初一难题集锦(方程与绝对值)答案-(解题过程)

2021年1月25日发(作者：贾山)
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答案与评分标准

一、解答题（共
18
小题，满分
150
分）

1< br>、
a
，
b
为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？

（
1
）
|a+b|=|a|+|b|
；

（
2
）
|ab|=|a||b|
；

（
3
）
|a
﹣
b|=|b
﹣
a|
；

（
4
）若
|a|=b
，则
a=b
；
（
5
）若
|a|
＜
|b|
，则
a
＜< br>b
；

（
6
）若
a
＞
b
， 则
|a|
＞
|b|
．

考点
：绝对值；不等式的性质。

分析：
根据绝对值和不等式的性质对每一小题进行分析．

解答：
解 ：
（
1
）错误．当
a
，
b
同号或其中一个为
0
时成立．

（
2
）正确．

（
3
）正确．

（
4
）错误．当
a≥0
时成立．

（
5
）错误．当
b
＞
0
时成立．

（
6
）错误．当
a+b
＞
0
时成立．
< br>点评：
本题主要考查了绝对值和不等式的有关内容．需熟练掌握和运用绝对值和不等式的性质．< br>
2
、已知有理数
a
、
b
、
c
在数 轴上的对应点如图所示，化简：
|b
﹣
a|+|a+c|
﹣
2|c< br>﹣
b|
．


考点
：整式的加减；数轴；绝对值。

分析：
解决此题关键要对a
，
b
，
c
与
0
进行比较，进而确定
b
﹣
a
，
a+c
，
c
﹣
b
与0
的关系，从而很好的去掉绝对
值符号．

解答：
解：由数轴可 知：
a
＞
b
＞
0
＞
c
，
|a|< br>＞
|c|
，

则
b
﹣
a
＜
0
，
a+c
＞
0
，
c
﹣
b
＜0
．

∴
|b
﹣
a|+|a+c|
﹣
2|c
﹣
b|
=
﹣（
b
﹣
a
）
+
（
a+c
）﹣
2[
﹣（
c
﹣
b
）
]
=
﹣
b+a+a+c+2c
﹣
2b
=2a
﹣
3b+3c
．

点评：
在去绝对值符号时 要注意：大于
0
的数值绝对值是它本身，小于零的数值绝对值是它的相反数．

3
、已知
x
＜﹣
3
，化简：
|3+|2
﹣
|1+x|||
．

考点
：绝对值。

专题
：计算题。

分析：
这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．

解答：
解：∵
x
＜﹣
3
，

∵
1 +x
＜
0
，
3+x
＜
0
，

∴原式
=|3+|2+
（
1+x
）
||
，

=|3+|3+x||
，

=|3
﹣（
3+x
）
|
，

=|
﹣
x|
，

=
﹣
x
．

点评：
本题考查了绝对值的知识，注意 对于含有多层绝对值符号的问题，要从里往外一层一层地去绝对值符号．

4
、若
abc≠0
，则
考点
：绝对值。

+
+
的所有可能值是什么？

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专题
：计算题；分类讨论。

分析：
由 已知可得，
a
，
b
，
c
均不为零，因为题中没有指明
a
，
b
，
c
的正负，故应该分四种情况：
（
1< br>）当
a
，
b
，
c
均大于零时；
（
2
）当
a
，
b
，
c
均小于零时；
（
3
）当
a
，
b
，
c
中有两个大于零，一个小于零时 ；
（
4
）当
a
，
b
，
c
中
有两个小于零，一个大于零时，从而确定答案．

解答：
解：∵
abc≠0
，

∴
a≠0
，
b≠0
，
c≠0
．

∵（
1
）当
a
，
b
，
c
均大于零时，原式
=3
；

（
2
）当
a
，
b
，
c
均小于零时，原式
=
﹣
3
；

（< br>3
）当
a
，
b
，
c
中有两个大于零，一个小 于零时，原式
=1
；

（
4
）当
a
，b
，
c
中有两个小于零，一个大于零时，原式
=
﹣
1< br>．

∴
+
+
的所有可能值是：
±3
，
±1
．

点评：
此题主要考查了绝对值的性质，采用分类讨论思想是解答此题的关键．

5
、若
|x|=3
，
|y|=2
，且
|x
﹣y|=y
﹣
x
，求
x+y
的值．

考点
：非负数的性质：绝对值；绝对值。

专题
：分类讨论。

分析：
根据
|x
﹣
y |=y
﹣
x
，即可得到
y≥x
，再根据
|x|=3
，
|y|=2
即可确定
x
，
y
的值，从而求解．

解答：
解：因为
|x
﹣
y|≥0
，所以
y
﹣
x≥0
，
y≥x
．

由
|x|=3
，< br>|y|=2
可知，
x
＜
0
，即
x=
﹣
3
．

（
1
）当
y=2
时，
x+y=< br>﹣
1
；

（
2
）当
y=
﹣
2
时，
x+y=
﹣
5
．

所以
x+y
的值为﹣
1
或﹣
5
．

点评：
本题主要考查了绝对值的性质，若
x≠0
，且
|x|=a
， 则
x=±a
，根据任何数的绝对值一定是非负数，正确确定
x
，
y< br>的大小关系，确定
x
，
y
的值，是解决本题的关键．

6
、若
a
，
b
，
c
为整数，且
|a﹣
b|
+|c
﹣
a|
=1
，试计算
|c
﹣
a|+|a
﹣
b|+|b
﹣
c|
的值．

考点
：绝对值。

专题
：探究型。

分析：
根据绝对值的定义和已知条件
a
，
b
，
c
为整数，且|a
﹣
b|
+|c
﹣
a|
=1
确定出
a
、
b
、
c
的取值及相互关系，
进而在分情况讨论的过程中 确定
|c
﹣
a|
、
|a
﹣
b|
、
|b
﹣
c|
，从而问题解决．

解答：
解：
a，
b
，
c
均为整数，则
a
﹣
b
，c
﹣
a
也应为整数，且
|a
﹣
b|
，
|c
﹣
a|
为两个非负整数，和为
1
，

1999
所以只能是
|a
﹣
b|
=0
且
|c
﹣
a|
=1
，
①

19
99
或
|a
﹣
b|
=1
且
|c
﹣
a|
=0
．
②

由
①
知
a
﹣
b=0
且< br>|c
﹣
a|=1
，所以
a=b
，于是
|b
﹣
c|=|a
﹣
c|=|c
﹣
a|=1
；

由
②
知
|a
﹣
b|=1
且
c
﹣
a =0
，所以
c=a
，于是
|b
﹣
c|=|b
﹣a|=|a
﹣
b|=1
．

无论
①
或
②
都有
|b
﹣
c|=1
且
|a
﹣
b|+| c
﹣
a|=1
，

所以
|c
﹣
a|+|a
﹣
b|+|b
﹣
c|=2
．

点评：
根据 绝对值的定义和已知条件确定出
a
、
b
、
c
的取值及关系是 解决本题的关键，同时注意讨论过程的全面
性．

7
、若
|x
﹣
y+3|
与
|x+y
﹣
1999|
互为相反数，求的值

19
99
19
99
19
99
考 点
：解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；代数式求值。

专题
：计算题。

分析：
先根据相反数的定义得到
|x﹣
y+3|
与
|x+y
﹣
1999|
的关系，再根据绝 对值的性质列出关于
x
、
y
的方程组，求
出
x
、< br>y
的值，再把
x
、
y
的值代入所求代数式进行计算即可．
解答：
解：依相反数的意义有
|x
﹣
y+3|=
﹣< br>|x+y
﹣
1999|
．

因为任何一个实数的绝对值是非负 数，所以必有
|x
﹣
y+3|=0
且
|x+y
﹣
1 999|=0
．即

，

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由
①
有
x
﹣
y=
﹣< br>3
，由
②
有
x+y=1999
．

②
﹣
①
得
2y=2002
，
y=1001
，

所以
=
=
=
﹣
1000
．

点评 ：
本题考查的是相反数的定义、非负数的性质及解二元一次方程组，能根据非负数的性质得到关于
x
、
y
的二
元一次方程组是解答此题的关键．

8
、化简：
|3x+1|+|2x
﹣
1|
．

考点
：绝对值。

分析：
本题是两个绝对值和的问题．
解题 的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．
分
x
＜﹣
，
﹣
≤x
＜
，
x≥
三
种情况讨论

解答：
解：分三种情况讨论如下：

（
1
）当
x
＜﹣
时，

原式
=< br>﹣（
3x+1
）﹣（
2x
﹣
1
）
=
﹣
5x
；

（
2
）当﹣
≤x
＜
时，

原式
=
（
3x+1
）﹣（
2x
﹣
1
）
=x+2< br>；

（
3
）当
x≥
时，

原式=
（
3x+1
）
+
（
2x
﹣
1
）
=5x
．

综合起来有：
|3x+1|+|2x
﹣
1|=
．

点评：
本题考查了绝对值的知识，属于基础题，解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的 值，即
先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的 这些取值范围
分类讨论化简，这种方法又称为
“
零点分段法
”
．
9
、已知
y=|2x+6|+|x
﹣
1|
﹣
4|x+1|
，求
y
的最大值．

考点
：绝对值。

专题
：分类讨论。

分析：
首先使用
“
零点分段法
”
将
y
化简，有三个分界点：﹣
3
，
1
， ﹣
1
．则
x
的范围即可分为
x≤
﹣
3
，﹣
3≤x≤
﹣
1
，
﹣
1≤x≤1
，
x≥1< br>四部分，即可确定绝对值内式子的符号，从而确定
y
的值．

解答：< br>解：分析首先使用
“
零点分段法
”
将
y
化简，然后在 各个取值范围内求出
y
的最大值，再加以比较，从中选
出最大者．

有三个分界点：﹣
3
，
1
，﹣
1
．

（
1
）当
x≤
﹣
3
时，

y=< br>﹣（
2x+6
）﹣（
x
﹣
1
）
+4
（
x+1
）
=x
﹣
1
，

由于
x ≤
﹣
3
，所以
y=x
﹣
1≤
﹣
4
，
y
的最大值是﹣
4
．

（
2
）当﹣
3≤x≤
﹣
1
时，

y=
（
2x+6
）﹣（
x
﹣
1
）
+4（
x+1
）
=5x+11
，

由于﹣
3≤x≤
﹣
1
，所以﹣
4≤5x+11≤6
，
y
的最大值是
6
．

（
3
）当﹣
1≤x≤1
时，

y=
（2x+6
）﹣（
x
﹣
1
）﹣
4
（
x+ 1
）
=
﹣
3x+3
，

由于﹣
1≤x≤1
，所以
0≤
﹣
3x+3≤6
，
y
的最大值是
6
．

（
4
）当
x≥1
时，

y=
（
2x+6
）
+
（
x
﹣
1
） ﹣
4
（
x+1
）
=
﹣
x+1
，

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由于
x≥1< br>，所以
1
﹣
x≤0
，
y
的最大值是
0
．

综上可知，当
x=
﹣
1
时，
y
取得 最大值为
6
．

点评：
本题主要考查了绝对值的性质，一个正数的绝 对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0
的绝对
值是
0
． 对
x
的分为正确进行分类是解决本题的关键．

10
、设
a
＜
b
＜
c
＜
d
，求
|x
﹣
a|+|x
﹣
b|+|x
﹣
c|+|x
﹣
d|
的 最小值．

考点
：绝对值；数轴。

专题
：数形结合。

分析：
分析本题也可用
“
零点 分段法
”
讨论计算，但比较麻烦．若能利用
|x
﹣
a|
，< br>|x
﹣
b|
，
|x
﹣
c|
，
|x< br>﹣
d|
的几何意
义来解题，将显得更加简捷便利．

解答：< br>解：设
a
，
b
，
c
，
d
，
x
在数轴上的对应点分别为
A
，
B
，
C
，
D
，
X
，则
|x
﹣
a|
表示线段
AX之长，同理，
|x
﹣
b|
，
|x
﹣
c|
，
|x
﹣
d|
分别表示线段
BX
，
CX
，
DX
之长．现要求
|x
﹣
a|
，
|x
﹣
b|
，
|x
﹣
c|
，
|x
﹣
d|
之和的值最小，就
是要在数轴上找一点
X
，使该点到
A
，< br>B
，
C
，
D
四点距离之和最小．

因为a
＜
b
＜
c
＜
d
，所以
A
，
B
，
C
，
D
的排列应如图所示：

所以当
X
在
B
，
C
之间时，距离和最小，这个最小值为
AD+BC
，

即（
d
﹣
a
）
+
（
c
﹣
b
）
．

点评：
以上分别 用两种不同的方法即几何方法和代数方法进行求解．通过比较，可以发现借助数轴用几何方法化
简含有绝 对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．

11
、若
2x+|4
﹣
5x|+|1
﹣
3x|+4
的值恒为常数，求
x
该满足的条件及此常数的值．

考点
：一元一次不等式组的应用。

专题
：计算题。

分析：
要使原式对任何数
x
恒为 常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含
x
的项相加为零，即
x
的系 数
之和为零．
故本题只有
2x
﹣
5x+3x=0
一种情况．
因此必须有
|4
﹣
5x|=4
﹣
5x
且
| 1
﹣
3x|=3x
﹣
1
．
让
4
﹣
5x≥0
，
3x
﹣
1≥0
列式计算即可求得
x
该满 足的条件，进而化简代数式即可．

解答：
解：
x
应满足的条件是：
，

解得
≤x≤
，

∴原式
=2x+
（
4﹣
5x
）
+
（
3x
﹣
1
）
+ 4
=7
．

点评：
考查代数式的化简及一元一次不等式组的应用； 判断出绝对值内的代数式的符号是解决本题的关键；用到
的知识点为：一个数的绝对值是非负数．

12
、
x
是什么实数时，下列等式成立：

（
1
）
|
（
x
﹣
2
）
+
（
x
﹣
4
）
|=|x
﹣
2|+|x
﹣
4|< br>；

（
2
）
|
（
7x+6
）
（
3x
﹣
5
）
|=
（
7x+6
）
（
3x
﹣
5
）
．

考点
：含绝对值符号的一元一次方程。

专题
：计算题。

分析：
（
1
）根据等式的形式可判断出（
x
﹣
2< br>）及（
x
﹣
4
）同号，由此可得出答案；

（
2
）等式的形式可判断出（
x
﹣
2
）及（
x
﹣< br>4
）同号，由此可得出答案；

解答：
解：由题意得：
①（
x
﹣
2
）
≥0
，
（
x
﹣< br>4
）
≥0
，

解得：
x≥4
；
< br>②
（
x
﹣
2
）
≤0
，
（
x
﹣
4
）
≤0
，

解得：
x≤2
，

故
x≥4
或
x≤2
时成立；


（
2
）由题意得：
（
7x+6
）
（
3x
﹣
5
）
≥0
，

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解得：
x≤
﹣
或
x≥
．

点评：
本题考查含绝对值的一元一次方程，难度不大，解决此题的关键是掌握绝对值的性质．

13
、化简下列各式：

（
1
）

（2
）
|x+5|+|x
﹣
7|+|x+10|
．

考点
：绝对值。

专题
：计算题；分类讨论。

分 析：
此题要分类讨论，
在
x
取不同值的情况下，
去掉绝对值后结果不 同．
特别注意
（
1
）
中
dex
不能取
0< br>，
题
（
2
）
要讨论全面．

解答：
解：
（
1
）当
x
＞
0
时，
当
x< br>＜
0
时，
=
﹣
2
；

=0
；

（
2
）当

x≥7
时，
|x+5|+|x
﹣
7|+|x+10|=3x+8
；

当﹣
5≤x≤7
时，
|x+5|+|x
﹣
7|+|x+1 0|=x+5
﹣（
x
﹣
7
）
+x+10=x+22
；

当﹣
10≤x≤
﹣
5
时，
|x+5|+|x< br>﹣
7|+|x+10|=
﹣（
x+5
）﹣（
x
﹣7
）
+x+10=12
﹣
x
；

当

x≤
﹣
10
时，
|x+5|+|x
﹣
7|+|x +10|=
﹣
3x
﹣
8
．

点评：
本题主 要考查了绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；绝对值是非负数
≥0
；
0
的
绝对值还是零．

14
、若
a+b
＜
0
，化简
|a+b
﹣
1|
﹣
|3
﹣
a
﹣
b|
．

考点
：绝对值。

专题
：计算题。

分析：
根据
a+b
＜
0
，即可确定
a+b
﹣
1
与
3
﹣
a
﹣
b
的符号，根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值
是它的相反数；0
的绝对值是
0
．即可去掉式子中的绝对值符号，即可化简求值．

解答：
解：∵
a+b
＜
0
∴
a+b
﹣< br>1
＜
0
，
3
﹣
a
﹣
b=3
﹣（
a+b
）＞
3
∴原式
=1
﹣
a
﹣< br>b
﹣（
3
﹣
a
﹣
b
）
=1
﹣
a
﹣
b
﹣
3+a+b=
﹣
2
故答案是﹣
2
．

点评：
本题主要考查了绝对值的化简，正 确确定绝对值里边的式子的符号是解题的关键．

15
、已知
y=|x+2| +|x
﹣
1|
﹣
|3x
﹣
6|
，求
y的最大值

5

．

考点
：一元一次不等式的应用。

专题
：分类讨论。

分析：
先分点，然后根据情况分类讨论，从而得出最大值．

解答：
解：分点，﹣
2
，
1
，
2
当x≤
﹣
2
，
y=
﹣
x
﹣
2
﹣
x+1+3x
﹣
6=x
﹣
7
，
y
最大时，
x=
﹣
2
，
y=
﹣
9
﹣
2＜
x≤1
，
y=x+2
﹣
x+1+3x
﹣
6= 3x
﹣
3
，
y
最大时，
x=1
，
y=0
1
＜
x
＜
2
，
y=x+2+x
﹣
1+3x
﹣
6=5x
﹣
5
，
y
无最大值

x≥2
，
y=x+2+x
﹣
1
﹣
3x+6=
﹣
x+7
，
y
最大时，
x=2
，
y=5
所以，
y
最大值为
5
故答案为
5
．
< br>点评：
本题考查了分点和分类讨论的思想和绝对值符号的除符号．找出
x
的分点 ，分类讨论
x
的取值范围是解题
的关键．

16
、设
T=|x
﹣
p|+|x
﹣
15|+|x
﹣
p
﹣< br>15|
，其中
0
＜
p
＜
15
，试求当
p≤x≤15
时，
T
的最小值是多少？

考点
：绝对值；数轴。

专题
：计算题。

分析：
由题意得：从
p≤x≤15
得知，
x
﹣
p≥0 x
﹣
15≤0 x
﹣
p
﹣
15≤0
，然后去绝对值即可得出答案．

解答：
解：由题意得：从
p≤x≤15
得知，
x
﹣
p≥0 x
﹣
15≤0 x
﹣
p
﹣
15≤0
，

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T=|x
﹣< br>p|+|x
﹣
15|+|x
﹣
p
﹣
15|=
（
x
﹣
p
）
+
（
15
﹣
x
）
+
（
15+p
﹣
x
）
=30
﹣
x
，

又
x
最大是
15
，

则上式最小是
30
﹣
15=15
．

点评：
本题考查了绝对值和数轴的知识，属于基础题，根据题给条件去掉式中的绝对值是关键．

1 7
、已知
a
＜
b
，求
|x
﹣
a|+|x< br>﹣
b|
的最小值．

考点
：绝对值。

分析 ：
根据：
|x
﹣
a|
表示数轴上一点到
a
的距离，
|x
﹣
a|+|x
﹣
b|
即数轴上一点到
a
与
b
的两点的距离的和，据此
即可求解．

解答：
解：∵
|x
﹣
a|+|x
﹣
b|
即数轴上一点到
a
与
b
的两点的距离的和，

∴当点在
a
与
b之间时，式子的值最小，最小值是
b
﹣
a
．

点评：< br>本题主要考查了绝对值的意义，正确理解：
|x
﹣
a|
表示数轴上一点 到
a
的距离是解决本题的关键．

18
、
不相等的有理数< br>a
，
b
，
c
在数轴上的对应点分别为
A
，< br>B
，
C
，
如果
|a
﹣
b|+|b
﹣
c|=|a
﹣
c|
，
那么
B
点应为
（

）

（
1
）在
A
，
C
点的右边；

（
2
）在
A
，
C
点的左边；

（
3
）在
A
，
C
点之间；

（
4
）以上三种情况都有可能．

考点
：绝对值。

分析：
根据
|a
﹣
b|
表示数轴上表示
a
与表示
b
的两点之间的距离，根据三个点之间距离的关系即可求解．

解答：
解：
|a
﹣
b|+|b
﹣
c|=|a
﹣
c |
表示：数轴上表示
a
，
b
，
c
三个数的点距离之 间的关系，
a
到
b
的距离，即
b
到
a
的距 离与到
c
的距离的和等于
a
与
c
之间的距离，因而点
B
在
A
，
C
之间．

∴选（
3
）
．

点评：
本题主要考查了绝对值的意 义，
|a
﹣
b|
表示数轴上表示
a
与表示
b
的两点之间的距离，是解决本题的关键．