绝对值习题及答案

2021年1月25日发(作者：池家卫)

例１求下列各数得绝对值
:

(1)
-
38
;
（２
)
０、
15
；

(3)a(
ａ
<
０
)
；

（
4)3b(
ｂ＞
0
）；

(5
）
a
－
2(
ａ＜
2
）；

（
6)a
－ｂ。

分析
:
欲求一个数得绝对值，关 键就是确定绝对值符号内得这个数就是正数还就
是负数，然后根据绝对值得代数定义去掉绝对值符号,
(6
）题没有给出
a
与ｂ得
大小关系，所以要进行分类讨论< br>.

解
:
（１）｜－
3
８｜
=
38
;
（
2
）｜＋
0
、
15
|=
0< br>、１
5
；

(3
）∵
a
<
0
，∴｜
a
｜
=-
a
;

(4
）∵
b
＞０
,
∴３
b
＞
0
,
｜
3b
｜＝
3b
;

(5)
∵
a
＜
2< br>,
∴ａ－
2
<
0
,
｜
a
-
2
|
＝
—
(a
-
2
）＝
2
-ａ
;


说明
:
分类讨论就是数学中得重要思想方法之 一
,
当绝对值符号内得数
(
用含字母
得式子表示时
)
无法判断其正、负时
,
要化去绝对值符号
,
一般都要进行分类讨论。

例２判断下列各式就是否正确
(
正确入
“
T
”
，错误入
“
Ｆ
”
）
:

(1
）｜－
a
｜
=
｜
a
｜；

(
）

（
2
）
—
｜
a
|=
｜－
a
｜；

（

）

< br>（４）若｜
a
|=|
b
|
，则
a
=
b
;
（

)

（５
)
若
a=
b
，则
|
a
|=
｜ｂ
|
；

(

）

（６
)
若｜
a
|
＞｜
b
｜，则
a
〉
b
;

（

）

(7
）若
a
〉ｂ，则｜
a
｜＞｜b
｜
;

（

）

（
8)< br>若ａ＞
b
，则
|
ｂ
—
a
|=
a—
b
.
(

）



分析 ：判断上述各小题正确与否得依据就是绝对值得定义，所以思维应集中到
用绝对值得定义来判断每一个结 论得正确性
.
判数
（或证明
)
一个结论就是错误得
,
只要能举出反例即可
.
如第（
2)
小题中取
a
＝
1
,
则－｜
a
|
＝－｜
1
｜＝
-
1
,
而｜
—
a
｜
＝｜
—
１｜
=< br>1
,
所以
—
｜
a
｜
≠|
-
a
|
。同理，在第
(
６
)
小题中取
a
=< br>—
1
，ｂ＝
0
，在第
（
4)
、
(7 )
小题中取ａ＝５
,
b
＝
-
５等，都可以充分说明结论就是 错误得。要证明
一个结论正确，须写出证明过程
.
如第（３）小题就是正确得．证明步 骤如下：



此题证明得依据就是利用
|
a
|< br>得定义，
化去绝对值符号即可
.
对于证明第
（
1
）< br>、
(5)
、
(8
）小题要注意字母取零得情况。

解 ：其中第
(2)
、（
4)
、
(6)
、
(7
）小题不正确
,
（１）、
(3
）、
(5
）、
(8< br>）小题就是
正确得。

说明：判断一个结论就是正确得与证明它就是正确得就是 相同得思维过程，只
就是在证明时需要写明道理与依据
,
步骤都要较为严格、规范.
而判断一个结论就
是错误得
,
可依据概念、
性质等知识
,
用推理得方法来否定这个结论
,
也可以用举反
例得方法，后者有时更为简 便。

例
3
判断对错
.
（对得入
“
Ｔ”
，错得入
“
F
”
)

(1
）如果一个数得相反数就是它本身，那么这个数就是０。

（

)

（２
)
如果一个数得倒数就是它本身
,
那么这 个数就是
1
与
0
．

（

）
< br>(3)
如果一个数得绝对值就是它本身
,
那么这个数就是
0
或
1
。

(
）

（４
)
如果说< br>“
一个数得绝对值就是负数
”
，那么这句话就是错得
.

(
）

（
5
）如果一个数得绝对值就是它得相反数
,
那么这个数就是负数
.



(
)

解
:
（
1)
Ｔ。

（２）
F
.< br>—
1
得倒数也就是它本身，０没有倒数
.

（
3)F
。
正数得绝对值都等于它本身，
所以绝对值就是它本身得数就是正数与０。

（
4
）
T
.
任何一个数得绝对值都就是正数或
0< br>，不可能就是负数，所以这句话就
是错得
.

(5
）
F
．
0
得绝对值就是
0
,
也可以认为就是
0
得相反数，所以少了一个数
0
．

说明
:
解判断题时应注意两点
:

（１）必须
“
紧扣
”
概念进行判断
;

（
2)
要注意检查特殊数，如
0
，
1
，
-
1
等就是否符合题意。

例
4
已知（
a
－
1)2
+
｜
b
+
3
｜＝
0
，求
a
、
b
．

分析：根据平方数与绝对值得性质，式中
(a－
1)2
与｜
b
+
3
｜都就是非负数
.
因为
两个非负数得与为
“
０

，当且仅当每个非负数得值都等于0
时才能成立
,
所以由
已知条件必有ａ
-
１
=
0
且
b
＋
3
＝
0
。
a
、 ｂ即可求出．

解
:
∵
（ａ
-
1)2
≥< br>0
,
｜ｂ＋
3
|≥
0
，

又（ａ－
1)2
+|
ｂ
+
３｜
=
0

∴< br>a
-
1
=
0
且ｂ＋３
=
０

∴
a
=
1
,
b
=
—
3
。

说明
:
对于任意一个有理数
x
，
x
２
≥
0
与
|
x
｜
≥
0
这两条性质就是十分重 要得
,
在解
题过程中经常用到
.

例
5
填空
:

（
1
）若｜
a|
＝
6
,
则
a
＝
______
;
（
2
）若｜－ｂ
|
＝０、
87
，则ｂ＝_____
＿；




（
4
）若< br>x
＋
|
x
｜＝
0
,
则
x
就 是＿＿
___
＿数
.

分析
:
已知一个数得绝对值 求这个数
,
则这个数有两个，它们就是互为相反数。


解：（１） ∵｜
a
|
＝６
,
∴
a
＝
±
6;

（
2)
∵｜－ｂ｜＝０、
87
，∴
b＝
±
0
、８
7
；


(4
） ∵
x
+
｜
x
|
＝０，∴
|
x
｜＝ －
x
。

∵
|
x
｜
≥
0
,
∴
—
x
≥
0

∴
x
≤
0
,
x
就是非正数
.
< br>说明
:“
绝对值
”
就是代数中最重要得概念之一，应当从正、逆两个方 面来理解这
个概念．

对绝对值得代数定义，至少要认识到以下四点：
（家教４、
0
,
复习辅导
“
有理数

例
3

2
结（１
)
-
（
4)
）

例
6

判断对错
:
(
对得入
“
T
”
，错得入
“
F
”
)

（
1
）没有最大得自然数。

（

）

(2
）有最小得偶数
0
。

(
）

（
3
）没有最小得正有理数．

（

）

（４）没有最小得正整数
.
(
）

（
5)
有最大得负有理数
.
（

)

(
６
)
有最大得负整数－１。

（

）

（７
)
没有最小得有理数．

(

）



(
８）有绝对值最小得有理数。

(
)

解
:
（
1)
Ｔ。
（２
)F
．
数得范围扩展后
,
偶数得范围也随之扩展
.
偶数包含正偶数，
０
,
负偶数
（
-
２
,< br>—
4
,…
)
，所以
0
不就是最小得偶数，偶数没有最 小得。

（
3)T
．

（
4)F
.
有最小得正整数
1
.

（５
)F
．没有最大得负有理数．

（
6
）
T
.

（
7)T
.

(8
）
T
。绝对值最小得有理数就是
0
.

例７

比较下列每组数得大小，在横线上填上适当得关系符号

（
“
＜
”“=”“
＞

）

(1< br>）｜
-
0
、
01
｜
___
＿＿
_< br>－｜
1
０
0
|;

（
2
）
-
(
-
３）＿
_____
－
|
—
３｜;

（
3
）
-
[
－（－
90
）］
_____
＿
_0
；


(
６）当< br>a
＜
3
时，ａ－
3____
＿
_0
;
｜
3
-
a
｜
__
＿
___a
－
3
.

分析：比较两个有理数得大小
,
需先将各数化简
,< br>然后根据法则进行比较。

解
:
（
1
）｜
—
0
、
01
|
＞
-|
1
０
0
｜
;

(2)
－（－
3)
>
－｜
—3
|
；

（
3)
－［－
(
－
9
０）］＜
0
；