绝对值问题的求解方法

2021年1月25日发(作者：常乾坤)
绝对值问题的求解方法



一、定义法



例
1
若方程

只有负数解，
则实数
a
的取值范围是：
_________
。



分析与解

因为方程只有负数解，故

，原方程可化为：




，



∴

，



即



说明

绝对值的意义有两点。
其一，
一个正数的绝对值是它本身，
一个负数的绝对值是
它的相反数，零的绝对值是零；
其二，在数轴上表示一个点到原点 的距离。
利用绝对值的定
义常可达到去掉绝对值符号的目的。



二、利用非负性



例
2
方程

的图象是（

）



（
A
）三条直线：



（
B
）两条直线：



（
C
）一点和一条直线：（
0
，
0
），


（
D
）两个点：（
0
，
1
），（－1
，
0
）




分析与解

由已知，根据非负数的性质，得



即

或



解之得：

或



故原方程的图象为两个点（
0
，
1
），（－
1
，
0
）。



说明

利用非负数的性质，
可以将绝对值符号去掉，
从而将问题转 化为其它的问题来解
决。



三、公式法



例
3
已知

，求

的值。



分析与解

，



∴原式







说明

本题根据公式
值的定义求值。



四、分类讨论法


，将原式化为含有

的式子，再根据绝对


例
4
实数
a
满足

且

，那么



分析与解

由

可得




且

。



当

时，




；



当

时，






说明

有的题目中，
含绝对值的代数式不能直接确定其符号，
这就 要求分情况对字母涉
及的可能取值进行讨论。



五、平方法



例
5
设实数
a
、
b
满足不等式

，则



（
A
）

且



（
B
）

且



（
C
）

且



（
D
）

且



分析与解

由于
a
、
b
满足题设的不等式，则有




，



整理得




，



由此可知

，从而






上式仅当

时成立，



∴

，即

且

，



选
B
。



说明

运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。



六、图示法



例
6
在式子
在这些对应值中，最小的值是（

）



（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
）
4

中，由不同的
x
值代入，得到对应的值。


分析与解

问题可变化为：在数轴上有四点
A
、
B
、
C
、
D
，其对应的值分别是－
1
、－
2
，
－
3
、－
4
，求一点
P
，使

最小（如图）。






由于
得最小值
1
，故


是当
P
点在线段
AD
上取得最小值
3
，

的最小值是
4
。选
D
。


是当
P
在线段
BC
上取


说明

由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，
形象直观，便于思考，从而达
到快捷 解题之目的。