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2015
年四川省高考数学试卷（理科）
一 、选择题：本大题共
10
小题，每小题
5
分，共
50
分。在 每小题给出的四个
选项中，只有一个是符合题目要求的。
1
．
（< br>5
分）设集合
A=
{
x
|
（
x
+< br>1
）
（
x
﹣
2
）＜
0
}
， 集合
B=
{
x
|
1
＜
x
＜
3}
，则
A
∪
B=
（
）
A
．
{
x
|
﹣
1
＜
x
＜
3
}
B
．
{
x
|
﹣
1
＜
x
＜
1
}
C
．
{
x
|
1
＜
x
＜
2
}
D
．
{
x
|
2
＜
x
＜
3
}
2
．
（
5
分）设
i
是虚数单位，则复数
i
3
﹣
=
（
）
A
．﹣
i
B
．﹣
3i C
．
i
D
．
3i
3
．
（
5
分）执行如 图所示的程序框图，输出
s
的值为（
）
A
．﹣
B
．
C
．﹣
D
．
4
．
（
5
分）下列函数中，最小正周期为< br>π
且图象关于原点对称的函数是（
）
A
．
y=cos
（
2x
+
C
．
y=sin2x+
cos2x
）
B
．
y=sin
（
2x< br>+
D
．
y=sinx
+
cosx
=1
的右焦点且与
x
轴垂直的直线，交该双曲线的两
）
< br>5
．
（
5
分）过双曲线
x
2
﹣
条渐 近线于
A
、
B
两点，则
|
AB
|
=
（
）
A
．
B
．
2
C
．
6
D
．
4
6
．
（
5
分）用数字< br>0
，
1
，
2
，
3
，
4
，< br>5
组成没有重复数字的五位数，其中比
40000
大的偶数共有（
）
A
．
144
个
B
．
120
个
C
．
96
个
D
．
72
个
|
=6
，
|
|
=4
，
若点
M
、
N
满足
，
7
．
（
5
分）
设四边形
ABCD
为平行四边形，|
，则
=
（
）
D
．
6
A
．
20
B
．
15
C
．
9
8
．
（5
分）
设
a
、
b
都是不等于
1
的正数 ，
则
“3
a
＞
3
b
＞
3”
是“log
a
3
＜
log
b
3”
的
（< br>
）
A
．充要条件
B
．充分不必要条件
C
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
9
．
（
5
分）如果函 数
f
（
x
）
=
（
m
﹣
2
）
x
2
+
（
n
﹣
8
）
x
+
1
（
m
≥
0
，
n
≥
0
）在区间
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[
]
上单调递减，那么
mn
的最大值为（
）
A
．
16
B
．
18
C
．
25
D
．
10
．
（
5分）设直线
l
与抛物线
y
2
=4x
相交于
A< br>、
B
两点，与圆（
x
﹣
5
）
2
+< br>y
2
=r
2
（
r
＞
0
）相切于点< br>M
，且
M
为线段
AB
的中点，若这样的直线
l
恰有
4
条，则
r
的
取值范围是（
）
A
．
（
1
，
3
）
B
．
（
1
，
4
）
C
．
（
2
，
3
）
D
．
（
2
，
4
）
二、填空题：本大题共
5
小题，每小题
5
分，共
25
分。
11
．
（
5
分）在（
2x
﹣
1
）
5< br>的展开式中，含
x
2
的项的系数是
（用数字填写
答案）
．
12
．
（5
分）
sin15°
+
sin75°
的值是
．
13
．
（
5
分）某食品的保鲜时间
y
（单位：小时）与储藏温度
x
（单位：
℃< br>）满足
函数关系
y=e
kx
+
b
（
e=2. 718…
为自然对数的底数，
k
、
b
为常数）
．若该食品在
0
℃
的保鲜时间是
192
小时，
在
22
℃
的保鲜时间是
48
小时，
则该食品在
33
℃
的保鲜
时间是
小时．
14
．
（
5
分）
如图，
四边形
ABCD
和ADPQ
均为正方形，
他们所在的平面互相垂直，
动点
M
在线段
PQ
上，
E
、
F
分别为
AB
、
B C
的中点，设异面直线
EM
与
AF
所成
的角为
θ< br>，则
cosθ
的最大值为
．
15
．
（
5
分）已知函数
f
（
x
）
=2
x
，
g
（
x
）
=x
2
+
ax
（其中
a
∈
R
）
．对于不相等的实数
x
1
、
x
2
，设
m=
，
n=
．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数
x
1< br>、
x
2
，都有
m
＞
0
；
②对于任意的
a
及任意不相等的实数
x
1
、
x
2< br>，都有
n
＞
0
；
③对于任意的
a
，存在不相等的实数
x
1
、
x
2
，使得
m=n；
④对于任意的
a
，存在不相等的实数
x
1
、
x
2
，使得
m=
﹣
n
．
其中的真命题有
（写出所有真命题的序号）
．
三、解答题：本大题共
6
小 题，共
75
分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。
16
．
（
12
分）设数列
{
a
n
}
（
n=1
，
2
，
3
，
…
）的前
n< br>项和
S
n
满足
S
n
=2a
n
﹣a
1
，且
a
1
，
a
2
+
1< br>，
a
3
成等差数列．
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（Ⅰ
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（
Ⅱ
）记数列
{
}
的前
n
项和为
T
n
，求使得
|
T
n
﹣
1
|
成立的
n
的最小值．
17
．
（
12
分）某市
A
、
B
两所中学的学生组队参加辩论赛，
A
中学推荐了
3< br>名男
生、
2
名女生，
B
中学推荐了
3
名男生 、
4
名女生，两校所推荐的学生一起参加
集训．
由于集训后队员水平相当，< br>从参加集训的男生中随机抽取
3
人，
女生中随
机抽取
3
人组成代表队．
（
Ⅰ
）求
A
中学至少有
1名学生入选代表队的概率；
（
Ⅱ
）
某场比赛前，
从代 表队的
6
名队员中随机抽取
4
人参赛，
设
X
表示参 赛的
男生人数，求
X
的分布列和数学期望．
18
．
（
12
分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
在
正方体中，设
BC
的中点为
M
、
GH
的中点为
N
．
（
Ⅰ
）请将字母
F
、
G< br>、
H
标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
；
（
Ⅱ
）证明：直线
MN
∥平面
BDH
；
（
Ⅲ
）求二面角
A
﹣
EG
﹣
M
的 余弦值．
19
．
（
12
分）如图，
A
、
B
、
C
、
D
为平面四边形
ABCD
的四个 内角．
（
Ⅰ
）证明：
tan
=
；
（
Ⅱ
）
若
A
+
C=180°
，
AB= 6
，
BC=3
，
CD=4
，
AD=5
，
求
tan
+
tan
+
tan
+
tan
的值．
20
．
（
13
分）如图，椭圆
E
：的离心率是
，过点
P
（
0
，
1
）
的动 直线
l
与椭圆相交于
A
、
B
两点，当直线
l
平行于
x
轴时，直线
l
被椭圆
E
截
得的线段长为
2
．
（
Ⅰ
）求椭圆
E
的方程；
（
Ⅱ
）
在平面直角坐标系
xOy
中，
是否存在与点
P
不同的定点
Q
，
使得
恒成立？若存在，求出点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
21
．
（
14
分）已知函数
f
（
x
）
=
﹣
2
（
x
+
a
）
lnx
+
x
2
﹣
2ax
﹣
2a
2
+
a
，其中
a
＞
0．
（
Ⅰ
）设
g
（
x
）是
f
（
x
）的导函数，讨论
g
（
x
）的单调性；
（
Ⅱ
）证明：存在
a
∈（
0
，
1）
，使得
f
（
x
）≥
0
在区间（
1< br>，
+
∞）内恒成立，且
f
（
x
）
=0
在区间（
1
，
+
∞）内有唯一解．
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2015
年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
< br>一、选择题：本大题共
10
小题，每小题
5
分，共
50
分。在每小题给出的四个
选项中，只有一个是符合题目要求的。
1
．（
5
分）设集合
A=
{
x
|
（
x+
1
）
（
x
﹣
2
）＜
0
}< br>，集合
B=
{
x
|
1
＜
x
＜
3
}
，则
A
∪
B=
（
）
A
．
{
x
|
﹣
1
＜
x
＜
3
}
B
．
{
x
|
﹣
1
＜
x
＜
1
}
C
．
{
x
|
1
＜
x
＜
2
}
D
．
{
x
|
2
＜
x
＜
3
}
【分析】
求解不等式得出集合
A=
{
x
|
﹣
1
＜
x
＜
2
}
，
根据集合的并集可求解答案．
【解答】
解：∵集合
A=
{
x
|
（
x
+
1
）
（
x
﹣
2
）＜
0
}
，集合
B=
{
x
|< br>1
＜
x
＜
3
}
，
∴集合
A=
{
x
|
﹣
1
＜
x
＜
2
}
，
∵
A
∪
B=
{
x
|﹣
1
＜
x
＜
3
}
，
故选：
A
．
【点评】
本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．
2．
（
5
分）设
i
是虚数单位，则复数
i
3﹣
=
（
）
A
．﹣
i
B
．﹣
3i C
．
i
【分析】
通分得出
D
．
3i
，利用
i
的性质运算即可．
【解答】
解：∵
i< br>是虚数单位，则复数
i
3
﹣
，
∴
=
=
=i
，
故选：
C
．
【点评】
本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题．
3< br>．
（
5
分）执行如图所示的程序框图，输出
s
的值为（
）
A
．﹣
B
．
C
．﹣
D
．
【分析】
模拟执行程序框图，依次 写出每次循环得到的
k
的值，当
k=5
时满足条
件
k
＞
4
，计算并输出
S
的值为
．
【解答】
解：模拟执行程序框图，可得
k=1
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k=2
不满足条件
k
＞
4
，
k=3
不满足条件
k
＞
4
，
k=4
不满足条件
k
＞
4
，
k=5
满足条件< br>k
＞
4
，
S=sin
输出
S
的值为
．
故选：
D
．
【点评】
本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
4
．
（
5
分）下列函数中，最小正周期为
π
且图象关于原点对称的函数是 （
）
A
．
y=cos
（
2 x
+
C
．
y=sin2x
+
cos2x
）
B
．
y=sin
（
2x
+
D
．
y=sinx
+
cosx
）
=
，
【分析】
求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．
【解答】
解：
y=cos
（
2x
+
确
y=sin
（
2x
+
确；
y=sin2x
+
cos2x=
y=sinx
+
cosx=
故选：
A．
【点评】
本题考查两角和与差的三角函数，
函数的奇偶性以及红丝带 周期的求法，
考查计算能力．
5
．
（
5
分）过双 曲线
x
2
﹣
=1
的右焦点且与
x
轴垂直的直线，交 该双曲线的两
sin
（
2x
+
sin
（
x
+
）
，
函数是非奇非偶函数，
周期为
π
，
所以C
不正确；
）
=cos2x
，函数是偶函数，周期为：
π
，不满足题意，所以
B
不正
）
=
﹣
sin2x
，是奇函数，函数的周期为：
π
，满足题意，所以
A
正
）< br>，函数是非奇非偶函数，周期为
2π
，所以
D
不正确；
条渐近线于
A
、
B
两点，则
|
AB
|
=
（
）
A
．
B
．
2
C
．
6
D
．
4
【分析】
求出双曲线的渐近线方程，求出
AB
的方程，得到
AB
坐标，即可求解
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|
AB
|
．
【解答】
解：双曲线
x2
﹣
=1
的右焦点（
2
，
0
）
，渐近 线方程为
y=
，
过双曲线
x
2
﹣
可得< br>y
A
=2
∴
|
AB
|
=4
故选：< br>D
．
=1
的右焦点且与
x
轴垂直的直线，
x=2
，
，
，
y
B
=
﹣
2
．
【点评】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．
6．
（
5
分）用数字
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
组成没有重复数字的五位数，其中比
40000
大的偶数共有（
）
A
．
144
个
B
．
120
个
C
．
96
个
D
．
72
个
【分析】
根据题意，符合条件的五位 数首位数字必须是
4
、
5
其中
1
个，末位数
字为< br>0
、
2
、
4
中其中
1
个；进而对首位数字分
2
种情况讨论，①首位数字为
5
时，②首位数字为
4
时，每 种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的
三个位置，
由分步计数原理可得其情况数目 ，
进而由分类加法原理，
计算可得答
案．
【解答】
解：根 据题意，符合条件的五位数首位数字必须是
4
、
5
其中
1
个 ，末
位数字为
0
、
2
、
4
中其中
1
个；
分两种情况讨论：
①首位数字为
5
时，
末位数字有
3
种情况，
在剩余的
4
个数中任取
3
个 ，
放在剩
余的
3
个位置上，有
A
4
3
=2 4
种情况，此时有
3
×
24=72
个，
②首位数 字为
4
时，
末位数字有
2
种情况，
在剩余的
4个数中任取
3
个，
放在剩
余的
3
个位置上，有
A
4
3
=24
种情况，此时有
2
×
24=48个，
共有
72
+
48=120
个．
故选：
B
．
【点评】
本题考查计数原理的运用，
关键是根据题意，
分析出满足题意的五位数
的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况．
7
．
（
5
分）
设四边形
ABCD
为平行四边形，
|
|
=6
，
|
|
=4
，
若点
M
、
N
满足
，
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，则
=
（
）
D
．
6
=
+
=
=
?
（
，
）
=
2
﹣
A
．
20
B
．
15
C
．
9
【分析】
根据图形得出
=
=
，
，
结合向量结合向量的数量积求解即可．
【解答】
解：∵四边形
AB CD
为平行四边形，点
M
、
N
满足
∴根据图形可得：
=
∴
∵
2
=
2
，
，
=
，
+
=
，
=
=
=
，
?
（
）
=
2
，
2
﹣
，
=
|
∴
故选：
C
|
=6
，
|
=
2
2
，
|
=4
，
2
2
=12
﹣
3=9
【点评】
本题考查 了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，
关键是向量的分解，表示．
8
．
（
5
分）
设
a
、
b
都是 不等于
1
的正数，
则
“3
a
＞
3
b
＞
3”
是
“log
a
3
＜
log
b3”
的
（
）
A
．充要条件
B
．充分不必要条件
C
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
【分析 】
求解
3
a
＞
3
b
＞
3
，得出< br>a
＞
b
＞
1
，
log
a
3
＜
log
b
3
，
或
根据对数函数的性质求解即可 ，
再利用充分必要条件的定义判断即可．
【解答】
解：
a
、
b
都是不等于
1
的正数，
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∵
3
a
＞
3
b
＞
3
，
∴
a
＞
b
＞
1
，
∵
l og
a
3
＜
log
b
3
，
∴
即
，
＜
0
，
或
求解得出：
a
＞
b
＞
1
或
1
＞< br>a
＞
b
＞
0
或
b
＞
1
，< br>0
＜
a
＜
1
根据充分必要条件定义得出：
“3
a
＞
3
b
＞
3”
是
“log
a
3
＜
log
b
3”
的充分条不必要件，
故选：
B
．
【点评】
本题综合考查了指数，对数函数的单 调性，充分必要条件的定义，属于
综合题目，关键是分类讨论．
9
．
（
5
分）如果函数
f
（
x
）
=
（
m
﹣
2
）
x
2
+
（
n
﹣
8
）
x
+
1
（
m
≥
0
，
n
≥
0
）在区间
[
]
上单调递减，那么
mn的最大值为（
）
A
．
16
B
．
18
C
．
25
D
．
【分 析】
函数
f
（
x
）
=
（
m
﹣2
）
x
2
+
（
n
﹣
8
）x
+
1
（
m
≥
0
，
n
≥0
）在区间
[
]
上单调递减，则
f′
（
x）≤
0
，故（
m
﹣
2
）
x
+
n
﹣
8
≤
0
在
[
，
2
]
上恒成立．而（
m
﹣
2
）
x
+
n
﹣
8
是一次函数，在
[
，
2
]
上的图象是一条线段．故只须 在两个端点处
f′
（
）≤
0
，
f′
（
2< br>）≤
0
即可．结合基本不等式求出
mn
的最大值．
【解答】
解：∵函数
f
（
x
）
=
（
m﹣
2
）
x
2
+
（
n
﹣
8）
x
+
1
（
m
≥
0
，
n≥
0
）在区间
[
]
上单调递减，
∴
f′
（
x
）≤
0
，故（
m
﹣
2
）
x
+
n
﹣
8
≤
0
在
[
，
2
]
上恒成立．而（
m
﹣
2
）
x
+
n
﹣
8
是一次函数，在
[
，
2
]
上的图象是一条线段．故只须在两个端点处
f′
（
）≤
0
，
f′
（
2
）≤
0
即可．即
由（
2）得
m
≤
（
12
﹣
n
）
，
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∴
mn
≤
n
（
12
﹣
n
）≤
=18
，当且仅当
m=3
，
n=6
时取得最大值，
经检验
m=3
，
n=6
满足（
1
）和（
2
）
．
故选：
B
．
解法二：
∵函数
f
（
x
）
=
（
m
﹣
2
）
x
2
+
（
n
﹣
8
）
x
+
1
（
m
≥
0
，
n
≥
0
）在区间
[
调递减，
∴①
m=2
，
n
＜
8
对称轴
x=
﹣
②
即
，
]
上单
③
即
设
设
y=
，
y′=
或
，
或
当切点为（
x
0
，
y
0
）< br>，
k
取最大值．
①﹣
=
﹣
2
．
k=2x
，
∴< br>y
0
=
﹣
2x
0
+
12
，
y
0
=
∵
x=3
＞
2
=2x
0
，可得
x
0
=3
，
y
0
=6
，< br>
∴
k
的最大值为
3
×
6=18
②﹣
=
﹣
．
，
k=
，
y
0
=
=
，
2y
0
+
x
0
﹣
18=0
，
解得：
x
0
=9
，
y
0
=
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∵
x
0
＜
2
∴不符合题意．
③
m=2
，
n=8
，
k=mn=16
综 合得出：
m=3
，
n=6
时
k
最大值
k=mn=1 8
，
故选：
B
．
【点评】
本题综合考 查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运
用几何图形判断，难度较大，属于难题．
10
．
（
5
分）设直线
l
与抛物线
y
2
=4x
相交于
A
、
B
两点，与圆（
x
﹣
5
）
2
+
y
2
=r
2
（
r
＞
0
）相切于点
M
，且
M
为线段AB
的中点，若这样的直线
l
恰有
4
条，则
r
的
取值范围是（
）
A
．
（
1
，
3
）
B
．
（
1
，
4
）
C
．
（
2
，
3
）
D
．
（
2
，
4
）
【分析】
先确 定
M
的轨迹是直线
x=3
，
代入抛物线方程可得
y=
±
2
与圆心（
5
，
0
）的距离为
4
，即 可得出结论．
【解答】
解：设
A
（
x
1
，
y
1
）
，
B
（
x
2
，
y
2
）
，
M
（
x
0
，
y
0
）
，
斜率存在时，设斜率为
k
，则
y
1
2
=4x
1
，
y
2
2
=4x
2
，
则
，相减，得（
y
1
+
y
2
）
（
y
1
﹣
y
2
）
=4
（
x
1
﹣
x
2
）
，
，
所以交点
当
l
的斜率存在时，利用点差法可得
ky
0
=2< br>，
因为直线与圆相切，所以
即
M
的轨迹是直线
x= 3
．
将
x=3
代入
y
2
=4x
，得
y
2
=12
，∴﹣
2
，
=
﹣
，所以
x
0
=3
，
∵M
在圆上，∴（
x
0
﹣
5
）
2
+y
0
2
=r
2
，∴
r
2
=y
0
2
+
4
＜
12
+
4=16
，
∵直线
l
恰有
4
条，∴
y
0
≠
0
，∴
4
＜
r
2
＜
16
，
故
2
＜
r
＜
4
时，直线
l
有
2
条；
斜率不存在时，直线
l
有
2
条；
所以直线
l
恰有
4
条，
2
＜
r
＜
4
，
故选：
D
．
【点评】
本 题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解
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决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共
5
小题，每小 题
5
分，共
25
分。
11
．
（
5
分）在（
2x
﹣
1
）
5
的展开式中，含
x
2
的项的系数是
﹣
40
（用数字填
写答案）
．
【分析】
根据所给的二项式，利用 二项展开式的通项公式写出第
r
+
1
项，整理成
最简形式，令
x
的指数为
2
求得
r
，再代入系数求出结果．
【解答】
解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
T
r
+
1
=
；
要求
x
2
的项的系数，
∴
5
﹣
r=2
，
∴
r=3
，
∴
x
2
的项的系数是
2
2
（﹣
1
）
3
C
5
3
=﹣
40
．
故答案为：﹣
40
．
【 点评】
本题考查二项式定理的应用，
本题解题的关键是正确写出二项展开式的
通项，在 这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
12
．
（
5
分）
sin15°
+
sin75°
的值是
．
【分析】
利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．
【
解
答
】
解
：
sin15°
+
s in75°
=sin15°
+
cos15°
=
=
sin60 °
=
．
．
（
sin15°
cos45 °
+
cos15°
sin45°
）
故答案为：
【点评】本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力．
13
．（
5
分）某食品的保鲜时间
y
（单位：小时）与储藏温度
x（单位：
℃
）满足
函数关系
y=e
kx
+
b< br>（
e=2.718…
为自然对数的底数，
k
、
b
为常 数）
．若该食品在
0
℃
的保鲜时间是
192
小时，
在
22
℃
的保鲜时间是
48
小时，
则该食品在
33
℃
的保鲜
时间是
24
小时．
【分析】
由题意可得，
x=0
时，
y=192
；
x=22
时，
y=48
．代入函数
y=e
kx
+
b
，解方
程，可得
k
，
b
，再由
x=33
，代入即可 得到结论．
【解答】
解：由题意可得，
x=0
时，
y=1 92
；
x=22
时，
y=48
．
abac的词语-
abac的词语-
abac的词语-
abac的词语-
abac的词语-
abac的词语-
abac的词语-
abac的词语-
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