小学奥数试题集与答案

2021年1月25日发(作者：孙用康)





小
学
奥
数
试
题
集
与
答
案


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：
WUUT-WUUY-WBBGB- BWYTT-1982GT

小学奥数试题集与答案

称球问题

［专题介绍］

称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。

下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。

［经典例题］

例

1
有

4
堆外表上一样的球，每堆

4
个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品

球每个重

10
克，次品球每个重

11
克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。

解

：依次从第一、二、三、四堆球中，各取

1
、
2
、
3
、
4
个球，这

10
个球一起放

到天平上去称，总重量比

100
克多几克，第几堆就是次品球。

例

2
有

27
个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平

只称三次（不用砝码），把次品球找出来。

解

：第一次：把

27
个球分为三堆，每堆

9
个，取其中两堆分别放在天平的两个盘

上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次

品必在较轻的一堆中。

第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆

3
个球，按上法称其中两堆，

又可找出次品在其中较轻的那一堆。

第三次：从第二次找出的较轻的一堆

3
个球中取出

2
个称一次，若天平不平衡，则

较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。

例

3
把

10
个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次

品找出来。


解：把

10
个球分成

3
个、
3
个、
3
个、
1
个四组，将四组球 及其重量分别用

A
、
B
、

C
、
D
表示。把

A
、
B
两组分别放在天平的两个盘上去称，则

（
1
）若

A=B
，则

A
、
B
中都是正品，再称

B
、
C
。如

B=C
，显然

D
中的那个球是次品；

如

B
＞
C
，
则次品在

C
中且次品比正品轻，再在

C
中取出

2
个球来称，便可得出结论。
如

B
＜
C
，仿照

B
＞
C
的情况也可得出结论。

（
2
）若

A
＞
B
，则

C
、
D
中都是正品，再称

B
、
C
，则有

B=C
，或

B
＜
C
（
B
＞
C
不可能，

为什么）如

B=C
，则次品在

A
中且次品比正品重，再在

A
中取出

2
个球来称，便可得

出结论；如

B
＜
C
，仿前也可得出结论。

（
3
）若

A
＜
B
，类似于

A
＞
B
的情况，可分析得出结论。

练习

找出次品吗

有

12
个外表上一样的球，其中只有一个是次品，用天平只称三次，你能

第十四讲

填符号

组算式

小朋友们，你听过
“
江南四大才子
”
之一祝枝山的故事吗

他写得一手好字。有一次过年，一个人请祝枝山写了一张条幅：
“
今

年正好晦气全无财帛进门。
”
主人一看：
“
今年正好晦气，全无财帛进
门。
”
差一点气昏过去，大骂祝枝山是个
“
大混蛋
”
。
祝枝山不慌不忙，

笑嘻嘻地说：
“
你听我念：
‘
今年正好，晦气全无，财帛进门。
’
这是

多么好的好彩。
”
主人一听，马上转怒为喜。

古人的断句，体现了标点符号的作用。数学中的运算符号也能发

挥类似的作用。


典型例题

例【
1
】

在下面

4
个

4
中间，添上适当的运算符号＋、－、
×
、

÷
和（

），组成

3
个不同的算式，使得数都是

2
。

4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
＝

2
4
＝

2
4
＝

2
分析

由题意，可以在

4
之间添加运算符号和括号，而题中

没有一个运算符号，而只能采用逐一试验的方法，找到正确答案。

解

如果在第

1
个

4
后面添＋号，后

3
个

4
不能得到

2
；如果第

1
个

4
后面是一号，
4
－
2
＝
2
，很容易想到：
（
4
＋
4
）
÷
4
＝
2
。所以

4

－（
4
＋
4
）
÷
4
＝
2
。

如果第

1
个

4
后面是
×
号，
4
×
4
＝
16
，由 于

16
÷
8
＝
2
。容易想

到 ：
4
×
4
÷
（
4
＋
4
）＝
2
。

如果第

1
个

4
后面是
÷
号，
4
÷
4
＝
1
，由于

1
＋
1
＝
2
，容易得到：

4
÷
4
＋
4
÷
4
＝
2
。

例【
2
】

在批改作业时，张老师发现小明抄题时丢了括号，但

结果是正确的。请你给小明的算式添上括号：


4
＋
28
÷
4
－
2
×
3
－
1
＝
4
分析

根据题意，错误的算式是丢了括号。只能按先乘除，

再加减的运算顺序来计算。因此括号添在乘除法的两侧是毫无意义

的，所添的括号要能够改变运算顺序。所以，括号应添在含有加减运

算的两边。

解

从左往右看，在

4
＋
28
两侧试添括号，计算得

32
，再除以

4
得

8
。小明的算式就变为

8
－
2
×
3－
1
＝
4
。如果把括号加在

8
－
2
的

两侧，计算结果大于

4
，只能把括号加在

3
－
1
的两侧。很容易得到：

8
－
2
×
（
3
－
1
）＝
4
。正确的算式应为：< br>
（
4
＋
28
）
÷
4
－
2
×
（
3
－
1
）＝
4

例【
3
】

在下面的数字之间添上运算符号，使等式成立。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
＝
6
分析

由题意，有

8
个地方要添运算符号，用逐一试验的方

法很难找到答案。分析写成的结果，由于

60
＝
2
×30
＝
3
×
20
＝
4
×
15
＝
5
×
12
＝
6
×
10
，因此可以把算 式中的数分成两个部分，使两个部分

的乘积等于

60
。在分的过程中，应先考虑较大的数，再考虑较小的

数。


解

把

7
□
8
□
9
分成一组，在它们之间添加号和减号，可得

7

＋
8
－
9
＝
6
。
剩下的

1
□
2
□
3
□
4
□
5
□
6
为一组，添上运算符号，结果

要得

10
。再看较大的数

4
□
5
□
6
，可得

4
＋
5
－
6
＝
3
。于是得到

1
＋
2

×
3
＋
4
＋
5
－
6
＝
10
。所以正确算式为（
11
＋
2
×
3
＋
4
×
5
－
6
）
×
（
7

＋
8
－
9
）＝
60
。

想一想：
如果把

6
□
7
□
8
□
9
分成一组呢

例【
4
】

8
8
在下面算式适当的地方添上加号，使等式成立。

8
8
8
8
8
8
＝

1000
分析

在

8
个

8
之间的适当的地方添上加号，运算符号是确

定的，关键要选择添加号的位置。可以考虑在加数中凑出一个较接近

1000
的数是

888
，再考虑余下的

5
个

8
怎样安排就行了。

解

8
8
8
8
8
8
＋
888
＝
1000
，余下的

5
个

8
可以

8
＋
88
＋
888
＝
1000
。

8
8
只要再相加就

拿出

2
个

8
组成

88
，得到

8
因为

1000
－（
88
＋
888
）＝< br>24
，剩下的

8
行了，答案是：
8
＋
8
＋
8
＋
88
＋
888
＝
1000
。

例【
5
】

1
2
3
在下面式子的适当地方添上＋、－、
×
，使等式成立。

4
5
6
7
8
＝
1


分析

这题等号左边的数字较多，
而等
号右
边的得数是最小

的自然数

1
。可以考虑在等号左边最后一个数字

8
前面添
“
一
”
号，

这时等

1
3
4
4
5
5
2
6
3
4
5
6
7
－
8
＝
1
；再考虑式应为

1
2
2
3
7
＝
9
；
可考虑在

7
前面添＋号，等式应为

1
6
＋
7
＝
9
；用前面的方法，只要让

1
2
3
4
5
6
＝
2
，

考虑

1
2
3
4
5
－
6
＝
2
；这时让

1
2
3
4
5
＝
8
就行了，考

虑

1
2
3
5
＋
5
＝
8
。
则只需

1
2
3
4
＝
3
即可

，
1< br>＋
2
×
3
－
4
＝
3
。

解

1
＋
2
×
3
－
4
＋
5
－
6
＋
7
－
8
＝
1

小结

根据题目给定的条件和要求添运

算符号和括号，没有固定的法则。解决这类问题，一般的方法有试验

法、
凑 整法、
逆推法。如果题中的数字较简单，
可以采用试验的方法，

找到答案，如例

1
、例

2
；如果题中结果较大，可以把数字先分组，

然后每组再试验，如例

3
。

凑整法常用于题中数字较多、结果较复杂的时候。
这时要先凑出

一个与结果较接近的数，然后再对算式中算式的数字做适当的安排，

即增加或减少，使等式成立，如例

4
、例

5
。

最短路线

在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。比如：邮递员送


信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳

旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。这样的问题，就是我们所要研究学习

的“最短路线问题”
。

典型例题

例
[1]
假如直线

AB
是一条公路，
公路两旁有甲乙两个村子，
如

下图

1
。现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到

汽车站的路线之和最短。问：车站应该建在什么地方

甲

A
乙

图
1
B
A
甲

B

乙

图
2

分析

如果只考虑甲村的人距离公路

AB
最近，只要由甲村向公

路

AB
画一条垂直线，
交

AB
于

C
点，
那么

C
点是甲村到公路

AB
最

近的点，但是乙村到

C
点就较远了。

反过来，由乙村向公路

AB
画垂线，交

AB
于

D
点，那么

D
点

是乙村到公路

AB
最近的点。
但是这时甲村到公路

AB
的

D
点
又远了。

因为本题要求我们在公路

AB
上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的

人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：

两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这

条直线与公路

AB
交点

P
，
就是所求的公共汽车站的建站点了
（图

2
）
。


解

用直线把甲村、
乙村连起来。
因为甲村乙村在公路的两侧，

所以这条连线必与公路

AB
有一个交点，设这个交点为

P
，那么在

P

点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。

例
[2]
一个邮递员投送信件的街道如图

3
所示，图上数字表示

各段街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。

问：走什么样的路线最合理全程要走多少千米

1
2
4
2
1

3

分析

选择最短的路线最合理。
那么，
什么路线最短呢一笔画

路线应该是最短的

。
邮递员从邮局出发，
还要回到邮局，按一笔画问

题，就是从偶点出发，回到偶点。因此，要能一笔把路线画出来，必

须途径的各点全是偶点。
但是图中有

8
个奇点，
显然邮递员要走遍所

有街道而又不走重复的路是不可能的。要使邮递员从邮局出发，
仍回

到邮局，
必须使

8
个奇点都变成偶点，
就是要考虑应在哪些街道上重

复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。如果有

不同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。

为使

8
个奇点变成偶点，
我们可以用图

4
的

4
种方法走重复的路

1
2
4
2
1
1
2
4
2
1


线。

图

4
中添虚线的地方，就是重复走的路线。
重复走的路程分别为：

（
a
）
3
×
4=12
（千米）

（
b
）
3
×
2
＋
2
×
2=10< br>（千米）

（
c
）
2
×
4=8
（千米）

（
d
）
3
×
2
＋
4
×
2=14（千米）

当然，重复走的路程最短，
总路程就最短。
从上面的计算不难找

出最合理的路线了。

解

邮递员应按图

4
（
c
）所示的路线走，这条路重复的路程最

短，所以最合理。全程为：

（
1
＋
2
＋
4
＋
2
＋
1
）
×
2
＋
3
×
6
＋
2
×
4

=20
＋
18
＋
8

=46
（千米）


例
[3]
图

5
中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有

街道。小明上学走路的方向都是向东或向南，
因为他不想偏离学校的

方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线

北

小明家

学校

分析

为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图

6
）
。

A
小明家

B
E
F

F

F

D
E
我们从小明家出发，顺序往前推。由于从小明家到

A
、
B
、
C
、
D
各

处都是沿直线行走，所以都只有一种走法。我们分别在交叉点处标上

“
1
”
。
而从小明家到

E
处，就有先到

A
或先到

D
的两种走法，正好

是两个对角上标的数

1+1
的和。从小明家到

F
点，
则有

3
条路线，
又

正好是两个对角上标的数

1+2
的和。

标在各交叉点的数，就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种

不同的路线的数。从中我们可以看出，
每个格内上右角与下左角两个


对角上的数的和，正好等于下右角上的数。

解

从小明家到学校有

13
条不同的路线。如图

7
所示。

北

小明家

A

1

1
D
2
E
2

M
3
F
5
N
4

G
9
K

13

H

4

B
1
C

1

学校

图

7

小结

寻找最短路线，不应该走
“
回头路”
。
要按照一定的逻

辑次序来排列可能路线，既要做到不重复数，也不漏数。对比较复杂

的图形，可以借助图表来寻找路线
。

知识要点：
用火柴棒摆成的算式，是很有趣的算

式，随着火柴棒的移动，它可以使数字、算法都发生

想不到的变化。通过火柴棒的移动，使原来不相等的

算式成为正确的算式，你感兴趣吗

[
例

1 ]
移动一根小棒，使下面的等式成立。


分析：
左边结果

21
，右边是

1
，所以通过火柴棒的移动，使左边变

小，右边变大。我们试着把“＋”变为“－”
，多出的这根火柴棒使

“
1
”变成“
7
”
，等式成立。

也可以 把“
14
”十位上的“
1
”移到等号的右边，使等式成立。

[
例

2 ]
移动一根小棒，使下面的等式成立。

分析：
只能移动

1
根火柴棒，因此数字不能改变，我们只好移动加

减号，使左边变成得数，右边变成算 式。我们试着把“
=
”变为“－”
，

多出的这根火柴棒使“－”变成“
=
”
，等式成立。

[
例

3 ]
你能移动两根小棒，使下面的等式成立吗

分析：
等式右边结果是

8
，可使左边变成

9-1
或

7+1
，
9-1
算式难以

出现

9
，可选择

7+1
，这样经移动算式变为：


[
例

4 ]
移动两根小棒，使下面的等式成立。

分析：
四个

1
相加，结果是

141
，和太大了，因此要想办法使和变

小，加数变大，这样把

141
后面“
1
”拿到前面加数中任何一个“
1
”

的前面，等式就成立。

[
例

5 ]
试一试最少移动几根小棒，使下面的等式成立。

分析：
四个

11
相加，结果是

224
，和太大了，因此要想办法使加数

变大，这样分别把两个

11
里面都拿一个“
1
”到前面加数中，变成两

个“
111
”
，
这
样等式就成立了。

第四讲

最大数和最小数问题

六月一日，
“
小天使
”
儿
童快餐店迎来了

28

位前来就餐的小朋友。


快餐店的老板准备了一份精美的礼品送给其中年龄最小的小朋友。

谁的年龄最小呢

当每个小朋友报出自己的年龄后，老板发现，其中有

10
岁的，

也有

9
岁、
8
岁、
7
岁、
6
岁的，最小的是

5
岁。但是

5
岁的小朋友

有

4
位。
按照这

4
位小朋友生日的先后，
还能找到一个最小的，因此

老板要他们各自报出自己的生日。结果如下：

小雨

豆豆

苗苗

慧慧

2
月

8
日

5
月

2
日

8
月

16
日

12
月

9
日

把这

4
位小客人的生日一比，很容易知道，慧慧是

28
位小朋友

当中最小的。

慧慧得到老板送的大蛋糕。她把这块大蛋糕分成了

28
份，让大家和

她一起品尝。

也许有的同学会问：
“
如果这

4
个小朋友中有两个生日是同一天，那

怎么办呢
”

是不是谁生日的数字大就是谁大呢哪些是通过比数字的大小

得到最大最小数通过下面的一些例题与方法，我们将会得到这方面

的知识。

典型例题


例
[
1
]
用

2
，
4
，
6
，
8
这

4
个数字组成一个最大的四位数。

分析

用这

4
个数字组成

4
位数有很多个，但最大的只有一个。

要使组成的四位数最大，应当遵循一条原则：用较大的数占较高的数

位。

解

用

2
，
4
，
6
，
8
组成的最大的四位数是

8642
。

例
[
2
]
从十位数

80
中划去

5
个数字，
使
剩下的

5
个数

字
（先后顺序不改变）组成的五位数最小

。
这个五位数最小的五位数

是多少

分析

在

10
个数字中划去

5
个数字，还剩

5
个数字组成五位数。

要使这个五位数最小，应当用最小的数去占最高位（万位）
，第

2
小

的占千位
……

但是

，
10
个数字中最小的

2
不能放在万位上
（想一想，
为什
么）
。

这样，万位上的数只能在剩下的第

2
小的数中选，应选

6
。万位确定

后，千位在剩下的数中选最小的

2
。

而题目中要求剩下的

5
个数字的先后顺序不改变，所以，百位、

十位、个位上的数字只能是最后三个数字

9
，
8
，
0
。

解

划去

4
个

7
和万位上的

8
。剩下的数组成的最小五位数是

62980
。


例
[
3
]
钱袋中有

1
分、
2
分、
5
分

3
种硬币。甲从袋中取出

3
枚，
乙从袋中取出

2
枚，
取出的

5
枚硬币仅有

2
种面值，
并且甲取出

的

3
枚硬币面值的和比乙取出的

2
枚硬币面值的和少

3
分，
那么取出

的钱数的总和最多是多少分

分析

因为乙只取

2
枚硬币，而

2
枚硬币的钱数最多是

5
×
2=10

（分）
。而甲取出的

3
枚硬币的和比乙取出的

2
枚硬币的和少

3
分。

因此，最多只有

10
－
3=7
（分）
。两者合起来就是取出的钱数的总和

的最大值。

解

10
＋
7=17
（分）

例
[
4
]
一把钥匙只能开一把锁。现在有

4
把钥匙

4
把锁，但不

知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁

分析

开第

1
把锁，
从最坏的情况考虑，
试了

3
把钥匙还未成功，

则第

4
把不用再试了，他一定能打开这把锁。同样的道理，
开第

2
把

锁最多试

2
次，开第

3
把锁最多试

1
次，最后剩下的一把钥匙一定能

打开剩下的第

4
把锁，不用再试。

解

最多（也就是按最不凑巧的情况考虑）要试的次数为

3
＋
2
＋
1=6
（次）
。

例
[
5
]
把

1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
填入下面算式中，使得数最


大。

□
□
□
□
－
□
□
×
□
□
这个最大得数是多少

分析

要使得数最大，被减数
（四位数）
应
当尽 可能大，减数
（
□

□
×
□
□
）应当尽可能小。由例
[
1
]
的
原则，可知被减数为

8765
。下

面要做的是把

1
、
2
、
3
、
4
分别填入
□
□
×
□
□
的

4
个
“
□
”
中，使

乘积最小

。
要使乘积最小

，
乘数和被乘数都应当尽可能小。也就是说，

它们的十位数都要尽可能小。因为

12
×
34=408
而

14
×
23=322
，
13
×
24=312
（最小）

解

8765
－
13
×
24=8453
小朋友们，回到我们开头提的故事，那么我们发现，不是所有的

比较大小都只看数字，而是同时要考虑其他因素，慧慧生日数字大，

证明她出生晚，所以她最小

，
同样的理由，
如果这

4
位小朋友在同一

天生日，那么谁出生的时间最晚那么谁就最小。

小结

用较小的数占较高的数位。

用不同的数字组成多位数，要使组成

的数最大，应当用较大的数占较高的数位；要使组成的数最小，应当

其中列举比较法是获得最大数或最小数的常用方法。

解决“最大（最小）问题”，有时需要考虑最不利（最不凑巧）的情况，比如，
“锁与钥

匙配对”的问题。

有这样一条规律一定要记住：
两个整数的和一定，
那么当它们相


等时，乘积最大。

第五讲

算式迷

小朋友们你猜过算式迷吗算式迷是由一些数字与算式构成

的。日本人形象地称之为< br>“
虫食算
”
，
即算式中一些数字被虫子咬去

了。要 想猜出算式迷，也得先分析这些数字和算式构成的
“
谜面
”
，

再运
用一些推理方法找到
“
谜底
”
。

典型例题

例【
1
】

将数字

0
、
1
、
3
、
4
、
5
、
6
填入下面的

内，使等式

成立，每个空格只填入一个数字，并且所填的数字不能重复。

×

分析

先看

＝

×

＝

2
2
＝

÷

可以填出来，

，乘积是个两位数，个位数是

2
，所给的

数字

0
，
1
，
3
，
4
，
6
中只有

3
×
4
的个位数是

2
，前面几个

3
×
4
＝
12
，余下的

0
，
5
，
6
要组成一个两位数除以一个一位数，商是

12
的除法算式，只能

是

60
÷
5
。

解

3
×

4
＝

1
2
＝

6 0
÷

5

例【
2
】

将数字

1
～
9
分别填在下面

9
个方格中，使算式成立。


+

-

×

=

（
1
）

=

（
2
）

=
（
3
）

分析

算

式
（
1
）
、
（
2
）
是加减算式。可填的 数字较多。而算

式
（
3
）

是乘法算式，要考虑数字

1
～
9
中，哪两个数字的积等于另一个数字，

所以先从乘法算式填起。

1
．

乘法算式（
3
）中可以先填成

2
×
3
＝
6
，余下的数字再分别

填入（
1
）
、
（
2
）中。

1
＋
4
＝
5
，剩下的

7
，
8
，
9
不能组成（
2
）式。

1
＋
7
＝
8
，剩下的

4
，
5
，
9
能组成

9
－
5
＝
4
，或

9
－
4
＝
5
。

1
＋
8
＝
9
，剩下的

1
，
7
，
8
能组成

8
－
7
＝
1
，或

8
－
1
＝
7
。

2
．

乘法算式（
3
）也可以填成

2
×
4
＝
8
，那么：

1
＋
5
＝
6
，剩下的

3
，
7
，
9
不能组成（
2
）式。

1
＋
6
＝
7
，剩下的

3
，
5
，
9
不能组成（
2
）式。

3
＋
6
＝
9
，剩下的

1
，
5
，
7
不能组成（
2
）式。



所以，此题答案是：


1
9

1


2
4

2


8
2
7
4
3
5
7
3
8

5
（或

9
6

9

1
（或

8
6

＝

1
7
）

5
4
）

＝

例【
3
】

把数字

1
～
9
填在方格里，使等式成立，每个数字只

能用一次。

÷

＝

÷

＝

÷

分析

一位数组成除法算式商相等的情况：
4
÷
2
＝
6
÷
3
，
6
÷
2
＝
9
÷
3
，
8
÷
2
＝
4
÷
1
，所以可先填写等式中 的前

4
个数。如果先填

4
÷
2
＝
6
÷
3
，剩下的

1
，
5
，
7
，
8
，
9
要组成一个三位数除以一个两位

数，商是

23
即

×
2
＝

，所得的积的个位一定是个双数，只

能填

8
。试验可知 ：
79
×
2
＝
158
。如果先填

8
÷
2
＝
4
÷
1
，剩下的

3
，

5
，
6
，
7
，
9
不能组成一个三位数除以一个两位数、商是

4
的除以算

式，所以等式中的前

4
个数不能填

8
÷2
＝
4
÷
1
。
我们可以填

4
÷
2
＝
6


÷
3
。

解

4

3

1

5

8

7

9

÷

＝

÷

＝

÷

（第一种情况）

2

6

9

2

1

7

4

5

8

÷

＝

÷

＝

÷

（第二种情况）

3

6

例【
4
】

用数字

0
～
9
组成下面的加法算式，每个数字只许用

一次，现已写出

3
个数字，请把这个算式补充完整。

4
＋

2

8

分析

观察算式，三位数加三位数，其和为四位数，所以和的

首位数字为

1
。因为算式中

8
已出现，故第一个加数的百位数字为

9
或

7
。

如果第

1
个加数的百位数字为

9
，则和的百位数为

1
或

2
，而这时

1
，

2
都已用过，所以第

1
个加数的百位数不是

9
。

如果第

1
个加数的百位数字为

7
，则和的百位数字必须为

0
，且十位

必向百位进一，此时

1
，
0
，
4
，
2
，
8
都已用过，还剩下

9
，
6
，
5
，
3
，



这里只有一个双数，如果放在第

2
个加数或者和的个位，
那么和或者


第

2
个加数的个位也必须是双数，这样显然不可能，所以

6
只能放在

十位上，这样和的十位就是

5
，余下的分别填

9
和

3
。

解

7
6
4
＋

2
8
4

1
0
5
3

例【
5
】

在下面算式的

立。

内填入一个合适的数字，使算式成

0 0

－

5 0
9

1
9 3

分析

由

于
（
12< br>）－
9
＝
3
，所以被减数的个位数字为

2
；再看十

位，由于

9
－（
0
）＝
9
，所以减数的十位数字为

0
；再看百位，由于

9
－
0
＝（
9
）
，所以差的百位数字为

9
；最后看千位，由于（
7
）－
5
－

1
＝
1
，所以被减数的千位数字为

7
。

解


7 0 0
2

－

5 0 0
9

1 9
9 3

小结

在做算式迷这类题时，首先要观察题目

中的算式，看看它含有哪几种运算，要填的数是几位数，要填的数字

是否规定好了

，
还是可以任意填。
其次是要熟练运用加减之间、乘除

之间的逆运算关系进行推理。
先确定能够确定的数字，
而且每一步要

把确定的结果代入算式，以利于下面的推理。
最后，所有的空格填完

之后要检验一下，看看答案是否正确。

第五讲

有趣的算式

算式谜是一种有趣的数学问题，它的特点是在算术运算的式
< br>子中，使一些数字数字或运算符号
“
残缺
”
，要我们根据运算法

则，进行判断推理，从而把
“
残缺
”
的算式补充完整，研究和解

决算式谜问题，有利于培养我们观察、分析、归纳、推理等思维

能力。


[
基本常
识

]
1
．

首位
数

字不
为

0
。

2
．

两

个

数

字相加，最大
进

位
为

1
，三
个

数

字相加最大
进

位
为

2
。

3
．

两

个

数

字相乘，最大
进

位
为

8
。

4
．

相同字母文字代表相同的
数

字，不同的字母文字代表不同的

数

字。

在下面算式的
□
里填上合适的数字，使算式成立：

可以这样想：

为了便于叙述，我们将各方格用字母代替。


第一步，由

A4B
×
6
的个位数为

0
可知，
B
＝
5
。

第二步，由

A45
×
6
＝
1DE0
可知，
A
只能为< br>
2
或

3
。但

A
为

3
时，
345
×
6
＝
2070
，不可能等 于

1DE0
，不合题意，故

A
＝
2
。

第三步，由

245
×
C
＝□□
5
可知，乘数十位上的

C
是小于

5
的奇数，即

C
只可能是

1
或

3
。

当

C
取

1
时，
245
×
16<8
□□□，不合题意，所以

C
不能取

1
，只能取

3
，故

C
＝
3
。

这样，就可以填上所有的空格。

根据下式写出除法算式（

）
÷
（

）＝（

）

可以这样想：

我

可以先

们

式

上

号
码
，如下：

给
竖

编



从
（
3
）
连
续
移下
两
位可得出商的十位一定是

0
，
从
商的
个
位

9

和除

相乘，

仍是三位

可得出除

的最高位一定是

1
。
从
（
1
）

数

积

数

数

减
（
2
）差等于

9
，除
数
的十位一定是

1
，
11
□×
9
的
积
是三位
数

只有

0
和

1
两
种
可能，而如果是

0
，余
数
不
会
是一位
数

9
，所以

除

位

1
。其
它
各位上
数
字迎刃而解。

选

数
个

拍脑袋提醒：

“
解 谜
”
的准则：
“
先推后试
”
。初学者往往急于求

成，拿到题就试解，结果欲速而不达。所以
“
先推
”

是要认真分析题目，在
□
、
*
类竖式谜中往往提供几

个已知数字，这些数字就是推理的基础，另外算式中

某行的
□
或
*
的个数也是重要的推理依据。

第五


讲

在
线
作
业


1
．在圆圈内填上适当的数使算式成立。


8

＋

6

3

1

2

8

答案：

4

8

5

＋

6

3

9

4

1

0

1

2

8

2
．在方框内填上适当的数使算式成立。

1

1

＋

9

8

1



答案：


9

1

1

＋

9

8

9

1

8

1

0

3
．在方框内填上适当的数使算式成立。

4

－

6

6

5

8

】

答案：

9

4

4

－

2

8

6

6

5

8



4
．在方框内填上数字

1
～
9
，使等式成立，不能重复。


÷

＋

答案：

×

－

＝

＝

＝

9

3

4

1

2

＋

－

＝

5

8

7

6

÷

×

5
．将数字

0
～
9
填到圆圈里，组成等式，每个数字只能用一

次。

＋

－

＝

1

＝

2

×



＝

3

答案：


1
＋

7
＝

8

1

9
－

6
＝

3

2

4
×

5
＝

2
1

3

第一讲

年龄问题

知识要点：
小朋友
,
你知道吗今年你

6
岁
,
明年你

几岁妈妈今年

30
岁
,
比你大

24
岁
,
明年妈妈比你大

几岁呢这些年龄问题在解答时要记住
:
每过一年
,
每
人年龄都要长大一岁
.
今年妈妈比你大几岁
,
再过些年
,

妈妈还是比你大几岁
.

[
例

1 ]
夏华今年

7
岁
,
他比爸爸小

28
岁
,
去年他比爸爸小多少岁

分析：
根据题意，我们知道今年夏华比爸爸小

28
岁
.
那么去年
,
夏

华与爸爸同时减去一岁
,
夏华仍然比爸爸小

28
岁
.

[
例

2 ]
弟弟今年

4
岁
,
哥哥今年

12
岁
,10
年后
,
哥哥比弟弟大几岁

分析：
根据题意，今年哥哥

12
岁
,
弟弟

4
岁
,
那么我们知道哥哥比



弟弟大

12
－
4=8(
岁
).
10
年后
,
哥哥的岁数是

12
＋
10=22
岁
.
10
年后
,

弟弟的岁数是

4
＋
10=14
岁
.
因此

10
年后
,
哥哥比弟弟大

22
－
14=8
岁
.

[
例

3 ]
小青说
:
“
3
年后
,
妈妈比我大

25
岁
.
”
妈妈问
:
“
5
年前
,
你


比妈妈小多少岁
”

分析：
由上题我们知道，哥哥比弟弟大

8
岁
, 10
年后
,
哥哥还是比

弟弟大

8
岁
.
由此我们可以这样想
:
既然

3
年后
,
妈妈比我大

25
岁
,
那

么
, 5
年前
,
妈妈仍然比我大

25
岁
,
也就是我比妈妈小

25
岁
.

[
例

4 ]
小林今年

6
岁
,
小红今年

10
岁
,
当小林的年龄和小红今年

的年龄一样大时
,
小红几岁

分析：
我们知道，小林今年

6
岁
,
要想使小林的年龄和小红今年的

年龄一样大
,
那么小林就要再过

4
年才能和小红一样大
.
小林过

4

年
,
小红也要过

4
年
,
即长大

4
岁
,
那么小红就是

10
＋
4=14
岁
.

[
例

5]
小芳今年

5
岁
,3
年后
,
小芳幼儿园的李老师比小芳大

20
岁
,

李老师今年多少岁

分析：
我 们知道，
3
年后
,
小芳幼儿园的李老师比小芳大

20
岁
,
那么

3
年前
,
小芳幼儿园的李老师还是比小芳大

20
岁
,
又因为小芳今年

5

岁
,
李老师今年就是

20
＋
5=25
岁
.

第一讲

一笔画问题

小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗

如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么是


不是所有的图形都能一笔画成呢这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。

典型例题

例【
1
】

下面这些图形，哪个能一笔画哪个不能一笔画

（
1
）

（
2
）

（
3
）

（
4
）

分析

图（
1
）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画

到同一点结束。

经过尝试后，可以发现图（
2
）不能一笔画出。

图（
3< br>）不是连通的，显然也不能一笔画出。图（
4
）也可以一笔

画出，且从任何一点出发都可以。

通过观察，
我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条

数不同。由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由

一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。

再看图（
1
）
、
（
4
）
，其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可

以从任意一点画起。而图（
2
）有

4
个奇点，
2
个偶点，不能一笔画

成。

这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，
偶点的个

数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。


例【
2
】

下面各图能否一笔画成

（
1
）

（
2
）

（
3
）

分析

图（
1
）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个

点都是与两条线相连的偶点。

关于图
（
2
）
，< br>经过反复试验，也可找到画法：
由

A
D
B
C
A
C
。图中

B
、
D
为
偶点，
A
、
C
为奇点，即图中有两个奇点，两

个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。

经过尝试，图（
3
）无法一笔画成，而图中有

4
个奇点，
5
个偶点。

解

图（
1
）
、
（
2
）可以一笔画。

这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关

系。

如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。
如果只

有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。

如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。

例【
3
】

下面的图形，哪些能一笔画出哪些不能一笔画出


分析

图（
1
）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由

A
开始或由

B
开始到

B
结束或到

A
结束。

图（
2
）有

10
个奇点，大于

2
，不能一笔画成。

图（
3
）有

4
个奇点，
1
个偶点，因此也不能一笔画成。

解

图（
1
）的画法见下图。

例【
4
】

下图中，图（
1
）至少要画几笔才能画成

A

B
（
1
）

O
D

C

分析

图（
1
）有

4
个奇点，所以不能一笔画出。如果把它分成

几个部分，而每个部分是一笔画图形，
则我们就可以用最少的几笔画

出这个图形。按照这样的要求，每个部分最多含有两个奇点，可以采

用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法，该奇点就变成偶

点。经观察，图 （
1
）可以切分成图（
A
）
、
（
B
）两个 图形。这两部分

都可以一笔画出，所以图（
1
）至少用两笔画出。

解


将图
（
1
）
分成图
（A
）
、
（
B
）
，
则图
（
A< br>）
可由

A

B
-

O
-

D
-
-

A

C
-

D
-

一笔画成，图（
B
）由

B
-

C
一笔画成，所以图（
1
）至少要两笔画完。

A

A

D


B
（
1
）

O


B
（
A
）

D

C


B
（
B
）

C
C

小结

个数。

能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的

一、

只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。

二、

只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起

点和终点。

三、

奇点超过两个，则不能一笔画。
对于一些比较复杂的路线问题，

可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的

方法进行解答。

和差倍问题讲义

1.
四年级有

4
个班，不算甲班其余三个班的总人数是

131
人；不算丁班其余三个班的总人数是

134
人；

乙、丙两班的总人数比甲、丁

两班的总人数少

1
人，问这四个班共有多少人

解答：
由“不算甲班其余三个班的总人数是

131
人；不算丁班其余三个班的总人数是

134
人”得到

131+134=265
，这

265
人包括

1
个甲班和

1
个丁班，以及

2
个乙班和

2
个丙的总和，又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少

1
人，所以用

265-1=264
就刚

好是

3
个乙班和

3
个丙班之和，
26 4
÷
3=88
，就是说乙、丙两个班的和是

88
人，那么，甲、丁两个班的和就是

88+1=89
人。所以，四个

班的和是

88+89=177
人。

2.
有四个数，其中每三个数的和分别是

45
，
46
，
49
，
52
，那么这四个数中最小的一个数是多少

解答：
把

4
个数全加起来就是每个数都加了

3
遍，所以，这四个数的和等于（
45+46+49+52
）÷
3=64
。用总数减去最大的三数之和，

就是这四个数中的最小数，即

64-52=12
。

3.
在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在

72
中间插入数字

6
，就变成了

762
。有些两位数中间插入数字后



所得到的三位数是原来两位数的

9
倍，求出所有这样的两位数。


解答：
两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的

9
倍，即这个数的个位乘以

9
以后的个位还等于原来的个位，那么个

位只能是

0
或

5
。如果是

0
，显然不行。因为

20
×
9=180
，
30
×
9=270
，
......
所以个位只能是
5
。试验得到：
15
，
25
，
35
，
45
是满足要求

的数。

4.
某班买来单价为

元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得

15
本；如果将这些练习本只给男生，平均每

人可得

10
本。那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱

解答：< br>这题要求的是“平均分给全班同学，每人应付多少钱”，我们可以用设数法来求解。假设班上有

2
个女生，那么就是一共有

3
0
个练习本，这

30
本“只给男生，平均每人可得

10
本”，说明男生有

3
个。那么，分给全部按同学，每人得

30/
（
2+3
）
=6
本，因此每

人应该付

6
本练习本的钱，即每人要付

3
元钱。

5.
动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得

12
粒；如只分给第二群，则每只猴子可得

15
粒；如只分

给第三群，则每只猴子可得

20
粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒

解答：
由题意可知，花生总数必定是

12
、
15
、
20
的倍数。同上题一样，我们也可以用设数法。假设共有花生

12*15*20
粒，那么第

一群猴子有

15*20
只，第二群猴子有

12*20
只，第三群猴子有

12*15
只，即共有（
1 5*20+12*20+12*15
）只猴子，
12*15*20/
（
15* 20+12*
20+12*15
）
=5
，所以平均分给三群猴子，每个猴子可得

5
粒。

注：如果懂得最小公倍数，那么应该设花生总数为

60
粒，这样，计算就方便很多。

6.
一个整数，减去它被

5
除后余数的

4
倍是

154
，那么原来整数是多少

解答：
被除数除以除数，余数肯定小于除数。所以，余数只可能是

0
、
1
、
2
、
3
、
4
，那么，原来的整数 只能是：
154+4
×
0
，
154+4
×
1
，

154+4
×
2
，
154+4
×
3
，
154+4
×
4
中的一个。经试验，结果是

162
，
154+4
×
2=162
。

7.
若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛， 已知家长和老师共有

22
人，家长比老

师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多

2
人，至少有

1
名男老师，那么在这

22
人中，爸爸有多少人

解答：
家长比老师多，所以老师少于

22/2=11
人，即不超过

10
人；相应的，家长就不少于

12
人。在至少

12
个家长中，妈妈比爸爸

多，所以妈妈要多于

12/2=6
人，即不少于

7
人。因为女老师比妈妈多

2
人，所以女老师不少于

9
人。但老师最多就

10
个，并且还至少

有

1
个男老师，所以老师必定是

9
个女老师和

1
个男老师，共

10
个。那么，在

12
个家长中，就有

7
个是妈妈。所以，爸爸有

12-7=5
人。

8.
一次数学考试共有

20
道题，规定：答对一题得

2
分，答错一题扣

1
分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得

23
分，他想知

道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。 请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题

解答：
20
个题如果全部做对的话，总分是

20*2=40
分。绻淮道题的话就要在

40
分中扣除

2
分，而做错一道的话就要扣除

1+2=3
分（因为在

40
分中我们假设它是做对的，给了

2
分，实际是不但不能给，反而要扣

1
分）。小明得了

23
分，比总分少

40-23=17
分。因

为没有做的题是偶数，最小的偶数是

0
，如果是

0
道题没答的话，那么

17
分就都是做错被扣的，但

17/3=5
…
2
，所以不可能。同理

2
道

题没做也不可能。结果只能是

4
道题没做 ，
17-2*4=9
分
=3*3
。所以答错

3
题。

9.
某种商品的价格是：每一个

1
分钱，每五个

4
分钱，每九个

7
分钱，小赵的钱至多能买

50
个，小李的钱至多能买

500
个。小李

的钱比小赵的钱多多少分钱

解答：
由“每一个

1
分钱，每五个

4
分钱，每九个

7
分钱”我们可以知道，九个

7
分钱是最便宜的，是最多的买法。那么，
50
÷
9=5
…

5
，小赵应该有

5
×
7+4=39
分钱；
500
÷
9=55
…
5
，小李应该有

55
×
7+4=389
分钱。那么，小李的钱要比小赵多

389-39=350
分。


10.
某幼儿园的小班人数最少，中班有

27
人，大班比小班多

6
人。春节分桔子

25
箱，每箱不超过

60
个，不少于

50
个，桔子总数

的个位数字是

7
。若每人分

19
个，则桔子数 不够，现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。问这

时大班每人分多少桔子小班有多少人。

解答：
首先，总人数不超过

27*3+6=87
人；其次，桔子的个数在

25
×
50=1250
和

25
×
60=1500
之间；现在大班每人比中班每人多分

一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。我们可以先从总数中拿出

6
个，让大班中的

6
个人先少拿一个，拿和中班一样多，这

样就变成平均都和中班的拿一样多 ，（
1250-6
）
/87>14
，所以，每人至少分

15
个，但至多分

18
个；再则，桔子总数的个位数字是

7
，所

以只能是每人

17
个或

15
个；但

15
个显然不可能，因为任何数乘以

15
后个位只能是

5
就是

0
。所以每人应该是

17
个桔子，即大班每人

17+1=18
个。（
1250-6
）
/17=73......3
，总人数应多于

73
人，
74*17=1258
，个位不是

1
，要使个位为

1
需加个位为

3
的

17
的倍数，
17*
9=153
，所以，桔子总数为（
1258+153
）
+6=1417
个，总人数

74+9=83
人。

小班有（
83-27-6
）
/2=25
人。

11.
一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于

13
，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数

和为

18
；小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为

24
，那么贴着桌子的这一面的数是多少

解答：
把小张和小李看到 的数相加，就是完整的四个侧面和两次顶面之和，因为位于对面两个数的和都等于

13
，那么四个侧面的数

字和应为

13*2=26，由此可知顶面数字为（
18+24-26
）
/2=8
，那么贴着桌子的 这一面的数就是

13-8=5
。

12
。图
< br>2-1
是一张道路图。
A
处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从

A
开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东

走。如果先后有

60
个孩子到过路口

B
，问：先后共有多少个孩子到过路口

C

解答：


13.
比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中 黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边

形的边长相等。缝制的方法是：每块黑色皮子的

5
条边分别与

5
块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的

6
条边中，有

3
条边与黑色

皮子的边缝在一起，另

3
条边则与其它白色皮子的边缝在一起。如果一个足球表面上共有

12
块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有

白色正六边形皮子多少块

解答：
12
块黑色正五边形皮子共有

12
×
5=60
条，这

60
条边每一条都是与白皮子缝合在一起的。而对于白皮子来说，每块

6
条边，

其中有

3
条边是与黑色皮子的边缝在一起，还有

3
条边则是与其它白色皮子的边缝在一起。因此，白皮子的边的总数就是黑皮子的边的

总数的

2
倍，即共有

60
×
2=120
条边。那么，共有

120/6=20
块白皮子。

14. 5
个空瓶可以换

1
瓶汽水，某班同学喝了

161
瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶

解答：
这里给出一种思路：我们可以先买

161
瓶汽水，喝完以后用这

161
个空瓶去换汽水，能换到的瓶数在总数中去掉就是实际需

要购买的数量。
161
个空瓶可以换回

161/5=32
…
1
，即

32
瓶，那么实际上只需要买

161-32=129
瓶汽水。检验：先买

129
瓶，喝完后用其

中的

125
个空瓶（还留有

4
个空瓶）可以换

25
瓶汽水，喝完后用

25
个空瓶又可以换

5
瓶汽水，再喝完后用

5
个空瓶还可以换

1
瓶汽水，

最后用这个空瓶和开始留下的

4
个 空瓶去再换一瓶汽水，这样总共喝了：
129+25+5+1+1=161
瓶汽水。

15.
现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从 每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的

苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩

34
个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的

2
倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少

解答：