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内部教案,请勿外传
小学奥数入门
1
.和差倍问题
和差问题和倍问题差倍问题
已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数
公式适用范围已知两个数的和,差,倍数关系
公式①
(
和-差
)
÷
2=
较小数
较小数+差
=
较大数小学奥数很简单,就这
30
个知识点
和-较小数
=
较大数
②
(
和+差
)
÷
2=
较大数
较大数-差
=
较小数
和-较大数
=
较小数
和÷
(
倍数+
1)=
小数
小数×倍数
=
大数
和-小数
=
大数
差÷
(
倍数
-1)=
小数
小数×倍数
=
大数
小数+差
=
大数
关键问题求出同一条件下的
和与差和与倍数差与倍数
2
.年龄问题的三个基本特征:
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
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③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
3
.归一问题的基本特点:问题中有 一个不变的量,一般是那个“单一
量”,题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量;
4
.植树问题
基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树,
两端都植树在直线或者不封
闭的曲线上植树 ,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有
一端植树封闭曲线上植树
基本公式棵数
=
段数+
1
棵距×段数
=
总长棵数
=
段数-
1
棵距×段数
=
总长棵数
=
段数
棵距×段数
=
总长
关键问题确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系
5
.鸡兔同笼问题
基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就 是把假设错的
那部分置换出来;
基本思路:
①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
基本公式:
① 把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚
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数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚
数一鸡脚数)
关键问题:找出总量的差与单位量的差。
6
.盈亏问题
基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另
一种标准分组,又产生一种结果, 由于分组的标准不同,造成结果的差
异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.
基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果
的变化,根据这个关系求出参 加分配的总份数,然后根据题意求出对象
的总量.
基本题型:
①一次有余数,另一次不足;
基本公式:总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点:对象总量和总的组数是不变的。
关键问题:确定对象总量和总的组数。
7
.牛吃草问题
基本思路:假设每头牛吃草的速度为“
1
”份,根据两次不同的吃法,
求出其中的总草 量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生
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长速度和总草量。
基本特点:原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题:确定两个不变的量。
基本公式:
生长量
=< br>(较长时间×长时间牛头数
-
较短时间×短时间牛头数)÷(长
时间
-
短时间);
总草量
=
较长时间×长时间牛头数
-
较长时间×生长量;
8
.周期循环与数表规律
周期现象:事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。
周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题:确定循环周期。
闰年:一年有
366
天;
< br>①年份能被
4
整除;②如果年份能被
100
整除,则年份必须能被400
整
除;
平年:一年有
365
天。
< br>①年份不能被
4
整除;②如果年份能被
100
整除,但不能被
400
整除;
9
.平均数
基本公式:①平均数
=
总数量÷总份数
总数量
=
平均数×总份数
总份数
=
总数量÷平均数
②平均数
=
基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法:
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①求出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算
.
②基准数法:根据给出的数之 间的关系,确定一个基准数;一般选与所
有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所 有给出
数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求
这个差的平均数和 基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公
式②。
10
.抽屉原理
抽屉原则一:如果把(
n+1
)个物体放 在
n
个抽屉里,那么必有一个抽
屉中至少放有
2
个物体。
例:把
4
个物体放在
3
个抽屉里,也就是把
4
分解 成三个整数的和,那
么就有以下四种情况:
①
4=4+0+0
②
4=3+1+0
③
4=2+2+0
④
4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么一个
抽屉里有
2个或多于
2
个物体,
也就是说必有一个抽屉中至少放有
2
个物体。
抽屉原则二:如果把
n
个物体放在
m
个抽屉里 ,其中
n>m
,那么必有一
个抽屉至少有
:
①
k=[n/m ]+1
个物体:当
n
不能被
m
整除时。
②
k=n/m
个物体:当
n
能被
m
整除时。
理解知识点:
[X]
表示不超过
X
的最大整数。
例
[4.351]=4
;
[0.321]=0
;
[2.9999]= 2
;
关键问题:构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依
据抽屉原则进行运算。
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11
.定义新运算
基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本
(混合)运算。
基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减
乘除的运算,然后按照基 本运算过程、规律进行运算。
关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12
.数列求和
< br>等差数列:
在一列数中,
任意相邻两个数的差是一定的,
这样的一列数,
就叫做等差数列。
基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用
a1
表示;
项数:等差数列的所有数的个数,一般用
n
表示;
公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用
d
表示;
通项:表示数列中每一个数的公式,一般用
an
表示;
数列的和:这一数列全部数字的和,一般用
Sn
表示.
基本思路:等差数列中涉及五个量:
a1 ,an, d, n,sn,,
通项公式中 涉
及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个
量,如果己知其中三个 ,就可以求这第四个。
基本公式:通项公式:
an = a1+
(
n
-
1
)
d
;
通项=首项+(项数一
1)
公差;
数列和公式:
sn,= (a1+ an)n2
;
数列和=(首项+末项)项数
2
;
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项数公式:
n= (an+ a1)d
+
1
;
项数
=
(末项
-
首项)公差+
1
;
公差公式:
d =
(
an
-
a1
))(
n
-
1
);
公差
=
(末项-首项)(项数-
1
);
关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式;
13
.二进制及其应用
十进制:用
0
~
9
十个数字表示,逢
10
进
1
;不同数位上的数字表示不
同的含义, 十位上的
2
表示
20
,百位上的
2
表示
200。所以
234=200+30+4=2102+310+4
。
=An1 0n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-61 0n-7+
…
…
+A3102+A2101+A1100
注意:
N 0=
1;
N
1
=N
(其中
N
是任意自然数)
二进制:
用
0
~
1
两个数字表示,
逢
2
进
1
;
不同数位上的数字表示不同
的含义。
(
2
)
= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-3 2n-4+An-42n-5+An-62n-7
+
……
+A322+A221+A120
注意:
An
不是
0
就是
1
。
十进制化成二进制:
①根据二进制满
2
进
1
的特 点,用
2
连续去除这个数,直到商为
0
,然
后把每次所得的余数按自 下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的
2
的
n
次方 ,再求它们的差,再找不大于这个差
的
2
的
n
次方,依此方法一直找 到差为
0
,按照二进制展开式特点即可
写出。
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14
.加法乘法原理和几何计数
加 法原理:如果完成一件任务有
n
类方法,在第一类方法中有
m1
种不
同方法,在第二类方法中有
m2
种不同方法……,在第
n
类方法中有
mn
种不同方法,那么完成这件任务共有:
m1+ m2....... +mn
种不同的方
法。
关键问题:确定工作的分类方法。
基本特征:每一种方法都可完成任务。
乘法原理:如果完成一件任务需要分成
n
个步骤进行,做第
1
步有
m1
种方法,不管第
1
步用哪一种方法,第
2
步总有
m2
种方法……不管前
面
n -1
步用哪种方法,
第
n
步总有
mn
种方法,
那么 完成这件任务共有:
m1
×
m2.......
×
mn
种不同的方法。
关键问题:确定工作的完成步骤。
基本特征:每一步只能完成任务的一部分。
直线:一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。
直线特点:没有端点,没有长度。
线段:直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点:有两个端点,有长度。
射线:把直线的一端无限延长。
射线特点:只有一个端点;没有长度。
①数线段规律:总数=
1+2+3+
…
+
(点数一
1
);
②数角规律
=1+ 2+3+
…
+
(射线数一
1
);
③数长方形规律:个数
=
长的线段数×宽的线段数:
④数长方形规 律:个数
=1
×
1+2
×
2+3
×
3+
…
+
行数×列数
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15
.质数与合数
质数:一个数除了
1
和它本身之外,没 有别的约数,这个数叫做质数,
也叫做素数。
合数:一个数除了
1
和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
质因数:如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质
因数。
分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。任何 一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式:
N=
, 其中
a1
、
a2
、
a3
……
an
都是合数
N
的质因数,且
a1
求约数个数的公式:
P=(r1+1)
×
(r2+1)
×
( r3+1)
×……×
(rn+1)
互质数:如果两个数的最大公约数是
1
,这两个数叫做互质数。
16
.约数与倍数
约数和倍数:若整数
a
能够被
b
整除,
a
叫做
b
的倍数,
b
就叫做
a< br>的
约数。
公约数:
几个数公有的约数,
叫做这几个数的公约 数;
其中最大的一个,
叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质:
1
、几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。
2
、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3
、几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。
4
、< br>几个数都乘以一个自然数
m
,
所得的积的最大公约数等于这几个数的
最 大公约数乘以
m
。
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例如:
12
的约数有
1
、
2
、
3
、
4
、
6
、
12
;
18
的约数有:
1
、
2
、
3
、
6
、
9
、
18
;
那么
12
和
18
的公约数有:
1
、
2
、
3
、
6
;
那么
12
和
18
最大的公约数是:
6
,记作(
12
,
18
)
=6
;
求最大公约数基本方法:
1
、分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。
2
、短除法:先找公有的约数,然后相乘。
3
、辗转相除法:每一 次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,
就是所求的最大公约数。
公倍数:< br>几个数公有的倍数,
叫做这几个数的公倍数;
其中最小的一个,
叫做这几个数的 最小公倍数。
12
的倍数有:
12
、
24
、36
、
48
……;
18
的倍数有:
18、
36
、
54
、
72
……;
那么< br>12
和
18
的公倍数有:
36
、
72
、108
……;
那么
12
和
18
最小的公倍数 是
36
,记作
[12
,
18]=36
;
最小公倍数的性质:
1
、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2
、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公 倍数基本方法:
1
、短除法求最小公倍数;
2
、分解质因数的方
法< br>
17
.数的整除
一、基本概念和符号:
1、整除:如果一个整数
a
,除以一个自然数
b
,得到一个整数商
c
,而
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且没有余数,那么叫做
a
能被
b
整除或
b
能整除
a
,记作
b|a
。
2
、常用符号:整除符号“
|
”,不能整除符号“”;因为符号“∵” ,
所以的符号“∴”;
二、整除判断方法:
1.
能被
2
、
5
整除:末位上的数字能被
2
、
5
整 除。
2.
能被
4
、
25
整除:末两位的数字所 组成的数能被
4
、
25
整除。
3.
能被
8
、
125
整除:末三位的数字所组成的数能被
8
、
12 5
整除。
4.
能被
3
、
9
整除:各个 数位上数字的和能被
3
、
9
整除。
5.
能被
7
整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组 成数之差能被
7
整
除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的
2
倍后能被
7
整除。
6.
能被
11
整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所 组成的数之差能被
11
整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被
11
整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被
11
整除。
7.
能被
13
整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所 组成的数之差能被
13
整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的< br>9
倍后能被
13
整除。
三、整除的性质:
1.
如果
a
、
b
能被
c
整除,那么(< br>a+b
)与(
a-b
)也能被
c
整除。
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2.
如果
a
能被
b
整除,
c
是整数,那么
a
乘以
c
也能被
b
整除。
3.
如果
a
能被
b
整除,
b
又能被
c
整除,那么
a
也能被
c
整除。
4.
如果
a
能被
b
、
c
整除,那么a
也能被
b
和
c
的最小公倍数整除。
18
.余数及其应用
基本概念:
对任意自然数
a
、
b
、
q
、
r
,
如果使得
a
÷< br>b=q
……
r
,
且
0
r叫做
a
除以
b
的余数,
q
叫做
a
除以
b
的不完全商。
余数的性质:
①余数小于除数。
②若
a
、
b
除以
c< br>的余数相同,则
c|a-b
或
c|b-a
。
③a
与
b
的和除以
c
的余数等于
a
除以
c
的余数加上
b
除以
c
的余数的
和除以
c
的余数。
④
a
与
b
的积除以
c
的余数等 于
a
除以
c
的余数与
b
除以
c
的余数的积
除以
c
的余数。
19
.余数、同余与周期
一、同余的定义:
①若两个整数
a
、
b
除以m
的余数相同,则称
a
、
b
对于模
m
同余。< br>
②已知三个整数
a
、
b
、
m
,如果
m|a-b
,就称
a
、
b
对于模
m
同余,记作< br>a
≡
b(mod m)
,读作
a
同余于
b
模
m
。
二、同余的性质:
①自身性:
a
≡
a(mod m)
;
②对称性:若
a
≡
b(mod m)
,则
b
≡
a(mod m)
;
③传递性:若
a
≡
b(mod m)
,
b
≡
c(mod m)
,则
a
≡
c(mod m)
;
④和差性:若
a
≡
b(mod m)
,
c
≡
d(mod m)
,则
a+c
≡
b+d(mod m)
,
a-c
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≡
b-d(mod m)
;
⑤相乘性:若
a
≡
b(mod m)
,
c
≡
d(mod m)
,则
a
×
c
≡
b
×
d(mod m)
;
⑥乘方性:若
a
≡
b(mod m)
,则
an
≡
bn(mod m)
;
⑦同倍性
:
若
a
≡
b(mod m)
,整数
c
,则
a
×
c
≡
b
×
c(mod m
×
c)
;
三、关于乘方的预备知识:
①若
A=a
×
b
,则
MA=Ma
×
b=
(
Ma
)
b
②若
B=c+d
则
MB=Mc+d=Mc
×
Md
四、被
3
、
9
、
11
除后的余数特征:
①一个自然数
M
,
n
表示
M
的各个数位上数字的和 ,
则
M
≡
n(mod
9)
或
(
mod
3
);
②一个自然数
M
,
X
表示
M
的各个奇数位上数字的和,
Y
表示
M
的各个偶
数数位上 数字的和,则
M
≡
Y-X
或
M
≡
11-
(
X-Y
)
(mod 11)
;
五、费尔马小定理:如果< br>p
是质数(素数),
a
是自然数,且
a
不能被
p整除,则
ap-1
≡
1(mod p)
。
20
.分数与百分数的应用
基本概念与性质:
分数:把单位“
1
”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。
分数的性质:分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(
0
除外),
分数的大小不变 。
分数单位:把单位“
1
”平均分成几份,表示这样一份的数。
百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法:
①逆向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。
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