平面向量方法总结大全

2021年1月25日发(作者：4075)


平面向量

应试技巧总结

一．
向量 有关概念：
：
既有大小
又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表 示，
．向量的概
念
1

。如：注意不能说向量就是有向线段，为什么 ？（向量可以平移）
rruuua
（答：
_____
＝（－
1,3< br>按向量已知
A
（
1,2
）
，
B
（
4 ,2
）
，则把向量）平移后得到
的向量是
AB

）
（
3,0
）
0

；
，注意：长度为2
．零向量
0
零向量的方向是任意的的
向量叫零向量，记作：
r uuu
ruuu
AB
共线的单位向量是：长度为一个单位长度的
向量叫做单位 向量
(
与
)
；

3
．
单位向量
AB
ruuu
?

||
AB

相等向量：
长度相等且
方向相同的两个向量叫相 等向量，相等向量有传递性；
4
．
baba
，
、记作：
：方 向
相同或相反的非零向量叫做平行向量，∥
5
．平行向量（也叫共线向量）

。规定
零向量和任何向量平行

：
提醒

①相等向量一定是共线向量，
但共线向量不一定
相等；
但两
, ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：
两个向量平
行包含两个向量共线
条直线平行不包含两条直线重合；
r
0

)
；
（因为有③平行向
量无传递性！
ruuuuuur
、

ACAB
?
共线共线；④三点

C
、
B
、
A
aa
。如：长度相等
方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－
6
．
相反向量
rrrr




）
两个
向量相等的充要条件是它们的起点相同，终
2< br>，则）若。
（
（下列命题：
1
ba
?
ba
?
ruuuuuuruuruuruu
。
）若（是平行四边形。
，则
4 3
点相同。
（）若是平行四
边形，则
DCDCAB
??
AB ABCDABCD
．

rrrrrrrrrrrr

_______
）
若
（
5
，
则。
（
6
）
若，
则。
其中正确的是
cb
//
a
//
a
?
b
,
b
?
cb
,
ca
?
ca< br>//

4
（答：
（）
（
5
）
）

二．向量的表示方法
：

1
，注意起点在前，终点在后；
． 几何
表示法：用带箭头的有向线段表示，如
ABcab

，
．符号表 示法：用一个小写的英
文字母来表示，
如，
2
等；
i
为轴、
轴方向相同的两个单位向量，
3
．
坐标表示法：
在平面内建立直角坐 标系，以与
y
x
jrrr
??
??
aaa
yx,
＝为向量基底，则平面内的
任一向量，称可表示为的坐标，
yx
,?
axi
?
yj
?
??
a
y
,
x
的坐标表示。如果
向量的起
点在原点
，叫做向量那么向量的坐标与向量的 终点坐标相同。


ee
是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的 ：如果和
三．平面向量
的基本定理
21
?
aeea
。
如
=

任一向量，有且只有一对实数、＋，使
???
21
2
211
rrrr

，则
若
______
（
1
）
1,2)(1,(
??
1),
c
?
a
?
(1,1),
b
??
crr
31

）
；
（答：
ba
?


22
（< br>2
）
下列向量组中，
能作为平面内所有向量基底的是


uruururuur
A. B.

(5,7)
??< br>1,2),2)
ee
?
(
?
e
(0,0),
e
?
(1,
?
2112
uruurruruu
13

C. D.
(6,10)
e
??
(3,5),
e
)
??
(,
?
e
(2,
?
3),
e

；
rr
ruuurruruuruuuruuuruuu
ba
,
可用

2121
42

（答：
B
）
向量
,
则上的中线的边分别是
）
（
3
已知,
且
ACBC
,
b
,
BE
??
ADB EAD
,
aBCABC
?
表示为
_____


rr
42
（答：
）
；

ba
?


33
???????????????
sr
?
ACr?
CDDB
2
CD
?
sAB
?
的值是已知）
4
（
在，则中，
点，边上，且
BCABC
?
D
．


___

（答：
0
）
? ?
aa
，它的长度和方向规定如下：的积是一个向量，记作与向量
四．
实数与 向量的积
：
实数
rr




????
??
????


aaaa
的的方向与当 的方向相同，
当
>0
时，的方向与
<0
时，
2,1
?
aarr
?
??
a
0
a
?

≠
0
，
注意
方向相反，当
0
＝时，
：
。
：
五．平面向量的数量积
rruuuuuurr
?
ba
< br>，
．
两个向量的夹角
：对于非零向量，
，
作
1
bOB
?
OA
?
a
,
??
AOB
??< br>?????
?
bababa
＝反向，
当，
的夹角，
当 同向，
当＝
0
0
??
时，
时，
＝称为向量，
，
?
ba

垂直。
，
时，

2
rr
?
?
ba
我们把数量，
2
．
平面向量的数量积
：
，
如果两个非零向量它们的夹角为，
cos||
a
||< br>brr




?
baabba
cosba
??
。规定：零向
量与，记作：＝与，即的数量积（或内积或点积）叫做
。
如
任一向量的数量积
是
0
，
注意数量积是 一个实数，不再是一个向量
?????????
5|
?
|
AB
|
?
3|
AC
|4|
BC
??
AB
?< br>BC

，
_________
1
）
△
ABC
中，
，
，则
（

）
；
（答：－
9
rrrrrurrrrur
?
11

____
（
2
）
已知，
则等于，与的夹角为
dckb
?
(1,),
a
?
kb
,
d
??
),
b
?
( 0,
?
c
?
aa



4
22

；
（答：
1
）
rrrrrr


（
3
，则
b
?
a
3
a
?
bg
??
2,
b
?
5,
a





等于已知
____
）
；
（答：
23
rr rrrrrrr






）
（
4
o

（答：
）


b
?
a
与
ab
?
aa
?
b
?< br>b
,
a

____
是两个非零向量，且已知，则的夹角为）
30
r
?
ab
cos||
b

如< br>。
0
，它是一个实数，但不一定大于为
上的投影在
．
3
．

??????

，则向量，且在向量上的投影为
______
已知，
5|
??
3|
b
|
a
|
b a
12
?
ab
?
12

）
（答：

5
rababbaa

在
4
．
等于的模与的几何意 义：数量积上的投影的积。
||
a
??
?
ba

，
：设
两个非零向量，
则：
，
其夹角为
5
．
向量数量积的性质
rrrr
0
b
?
a
?
b
?
a
?

①；
rrrrrr
rr
；②当，同向时，＝，与

222






baabaabb< br>反向时，特别地，
当
??
ba
a
?
a
?a
?
a
?
a
,
a
rrrrrr




??
ba
、
ba
0
a< br>?
b
?
，且不同向，＝－；当
0
＞为锐
角时，
是为锐角的必要非充分条件
；
?
barrrr
??
ba
、
ba
0
a
?
b
??
，且
0
当为 钝角时，
＜
是为钝角的必要非充分条件
；不反向，


rrrrrrba
?
?
?
ba
?
cos

，
。夹角
如
；④的计算公式：③非零向量
|||
b
||
a
?
b
|
?
arrba
????
?? ?
?
),)
b
?
(
a
?
(3,22

，
的取值范围是，
如果与的夹角为锐角，
则
______
（
1
）
已知
ba
41
?
?
?
? ??

且或
（答：
）
；
0
?


3331
????????????
?
FQ
,
OF
?
FQ
?
1
OF
??
S
的取值范
（
2
）
已知，则，若夹角的面积为，且
OFQ
?
S
??
；
（答：
）
)(,


34
rrrrrrrr





22
围是
_________



①，已知与之 间有关系式
）
（
3
),
yy
?
(cos,sin) ,(cos
a
?
x
,sin
xbba
0
k
?
,3
ka
?
b
?
a
?
kb
其中
rrrrrr

；②求用表示的大小与的
最小值，
并求此时的夹角< br>?
ba
?
ba
?
bakrr
1
2
1
?
k
o
?
60
?
）

（答：①，
；
②最小值为
0)
??
ab
(
?
k


2
k
4

：六．向量的运算．

1
．
几何运算
：


①向量加法：利用“平行四边 形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不
共线的向
uuuruuurruuurrrA C
量，
如此之外，
向量加法还可利用
“三角形法则”
：
设， 那么向量叫做与
abAB
?
a
,
BC
?
rruuu ruuuruuurra
?
b
?
AB
?
BC
?AC
；的和，即

buuurruuurrrruuuruuuruuur
②向量的减法：用“三角形法则”
：设，由减向
量
CA
?
AB?
AC
那么
a
?
b
?
AB
?
a
,
AC
?
b
,
的终点指向被减向量的终点。注意：此处减 向量
与被减向量的起点相同。
如


uuuruuuruuuruu uruuuruuuruuuruuuruuuruuur
（
1
）
化简：①< br>___
；②
____
；③
_____

?
) (
AC
?
BD
(
AB
?
CD
)
? ?
DCAD
?
ABAB
?
BC
?
CD
??
uuuruuurrCB
0
）
；
（答：①；②

； ③
ADuuurruuurruuurrrrr
（
2
）
若正方形的边 长为
1
，
，则＝
_____

c
?
,BC
?
b
,
ACaAB
?
|
?
c|
a
?
b
ABCD
（答：
；



22
）
uuuruuuruuuruuuruuur




OB
?
OC
?
OB
?
OC< br>?
2
OA
，则的形状且满足
3
（）
若
O是
所在平面内一点，
ABCABCVV
为
____


（答：直角三角形）
；


uuuruuuruuurrPA
?
BP
?
CP
?
0
，的中点，的边所在平面内有一点，满 足
4
（）
若为
BCABC
?
ABC
?
PD uuur
|
AP
|
??
uuur
设的值为
___< br>
，则
?
；



|
PD
|
（答：
2
）