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2021
届山东省青岛市高三教学质量检测（一模）
数学（文）试题
一、单选题
1
．已知集合
A
．
【答案】
B
【解析】现根据题干得到集合
B
的元素，再由集合交集的概念得到结果
.
【详解】
B
．
，集合
C
．
，则
D
．
（
）
集合
故答案为：
B.
【点睛】
，集合
，则
.
这个题目考查了集合的交集的运算，属于简单题目
.
2
．已知
为虚数单位，复数
满足
A
．第一象限
【答案】
A
【解析】根据复数的四则运算得到复数的化简结果，进而得到在复平面内所对应的点
.
【详解】
B
．第二象限
，则
在复平面内对应的点位于（
）
C
．第三象限
D
．第四象限
复数
满足
,
在复平面内对应的点位：
故答案为：
A.
【点睛】
如果
是复平面内表示复数
限；当
，
，在第一象限
.
的点，则①当
，
，
时，点
位于第一象
，
时，点
位于第二象限；当
时，点
位于第三象限；当
时，点
位于第四象 限．②当
于实轴下方的半平面内．
时，点
位于实轴上方的半平面内；当时，点
位
3
．“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结 来记录数量
.
如图所
示的是一位农民记录自己采摘果实的个数
.
在从 右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一
.
根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（
）
A
．
493
【答案】
C
B
．
383
C
．
183
D
．
123
【解析】根据题意将四进制数转化为十进制数即可
.
【详解】
根 据题干知满四进一
,
则表示四进制数
,
将四进制数转化为十进制数
,
得到
故答案为
:C.
【点睛】
本题以数学 文化为载体，
考查了进位制等基础知识，
注意运用四进制转化为十进制数，
考查运算能力，属于基础题．
4
．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业 从业者学历分布饼状图，从事该行业
岗位分布条形图，如图所示
.
给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业
中从事技术 岗位的人数超过总人数的
科生，其中正确的个数为（
）
A
．
0
个
【答案】
C
【解析】利用饼状图、行业岗位分布条形图得到相应命题的真假
.
【详解】
根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，
故①正确；
从条形 图中可
得到从事技术岗位的占总的百分之三十九点六，
故②正确；
而从条形图中看不出 来从事各个岗
位的人的学历，故得到③错误
.
故答案为：
C.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基
础题．
5
．执行如图所示的程序框图，则输出
的值为（
）
B
．
1
个
C
．
2
个
D
．
3
个
；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本
A
．
7
【答案】
C
B
．
6
C
．
5
D
．
4
【解析】根据框图，依次进入循环，直到不满足判断框内的条件为止
.
【详解】
K=9,s=1,
,
进入循环得
,
,k=8,
再进入循环
,
,k=7,
进入循环得到
，不满足判断框的条件，故此时输出
k
值，得到
k=5.
故答案为：
C.
【点睛】
对于程序框图的读图问题，一般按照从 左到右、从上到下的顺序，理清算法的输入、输出、条
件结构、循环结构等基本单元，并注意各要素之间 的流向是如何建立的．特别地，当程序框图
中含有循环结构时，需首先明确循环的判断条件是什么，以决 定循环的次数．
6
．在
中，
，
，则（
）
A
．
B
．
C
．
【答案】
A
D
．
【解析】
根据向量减法的三角形法则得到
基底表示向量
【详解】
根据向量的减法法则得到
,
又因为
.
，
再由向量的减法法则，
以
和
为
，
，
故得到
，
，代入上式得到
.
故答案为：
A.
【点睛】
这个题目考查的是向量基 本定理的应用；
解决向量的小题常用方法有：
数形结合，
向量的三角
形法则， 平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和
方向的向量为基底。
7
．已知数列
，则
A
．
13
【答案】
C
【解析】由等比数列的性质可得
a
7
＝
6
，再由等差数列的求和公式和中项性质，可得所求和．
【详解】
等比数列
{
a
n
}
中，
a
3
a
11
＝
a
7
2
，
可得
a
7< br>2
＝
6
a
7
，解得
a
7
＝
6
，
为等比数列，满足
（
）
B
．
48
C
．
78
D
．
156
；数列
为等差数列，其前
项和为，且
数列
{
b
n
}
是等差数列中
b
7
＝
a
7
＝
6
，根据等差数列的前
n
项和与 等差中项的性质得到：
S
13
＝
×
13
（
b
1
+b
13
）＝
13b
7
＝
13b
7< br>
代入求得结果为：
78.
故选：
C
．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、
求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，
属于
基础题．
8
．已知双曲线：
，
为坐标原点，过
的右顶点且垂直于
轴的直线
与
交< br>的渐近线于
，
，
过
的右焦点且垂直于
轴的直线交
的渐 近线于
，
，
若
的面积比为
，则双曲线
的渐近线方程为（
）
A
．
【答案】
B
B
．
C
．
D
．
【 解析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得
＝
，即可求出渐近线方程．
【详解】
由三角形的面积比等于相似比的平方，
则
＝
，
∴
，
∴
＝
，
∴
C
的渐近线方程为
y
＝±
故选：
B
．
x
，
【点睛】
这个题目考查了双曲线的几何意义的应用，
考查了三角形面积之比 等于相似比这一转化，
题目
比较基础
.
9
．某几何体的三视图如图 所示（其中正视图中的曲线为两个四分之一圆弧），则该几何体的
体积为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【答案】
B
【解 析】根据三视图得到原图是一个棱长为
4
的正方体，挖去了两个
圆柱，圆柱的底面圆的
半径为
2
，让正方体的体积减去半个圆柱的体积即可
.
【详解】
根据三视图得到原图是一个棱长为
4
的正方体，挖去了两 个
圆柱，圆柱的底面圆的半径为
2
，
故得到的体积为正方体的体积减去半个圆 柱的体积，
故答案为：
B.
【点睛】
思考三视图还 原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相
等”的基本原则，其内涵 为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体
的长，宽是几何体的宽；侧视图的高 是几何体的高，宽是几何体的宽
.
由三视图画出直观图的
步骤和思考方法：
1
、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；
2
、观察正视图和
侧 视图找到几何体前、后、左、右的高度；
3
、画出整体，然后再根据三视图进行调整
.
10
．
已知函数
则
的解析式是（
）
在一个周期内的图象如图所示，
A
．
B
．
C
．
【答案】
B
D
．
【解析】由函数的图像得到函数的周期排除
AC
，再 由图像的到在
答案
.
【详解】
处取得最值，从而得到
根据图像得到三角函数的周期为
此时排除
AC. ，
由周期的公式知
.
又因为图像中函数在
故答案为：
B
。
【点睛】
处取得最大值，代入
BD
发现
D
不合题意故舍去
.
这个题目考查了三角函数的图像的性质的应用，
知图求式，
比较好的方法有：
根据图 像中的特
殊点或者图像中体现出来的函数的定义域，进行选项排除
.
11
．已知函数
A
．
【答案】
D
B
．
，若
，
C
．
，
，则
，
，
的大小关系是（
）
D
．
【解析】
可以得出
，
从而得出
c< br>＜
a
，
同样的方法得出
a
＜
b
，
从 而得出
a
，
b
，
c
的大小关系．
【详解】
,
,
根据对数函数的单调性得到
a
又因为
a
c
＜
a
，且
a
＜
b
；∴
c
＜
a
＜
b
．
故选：
D
．
【点睛】
，
，再由对数函 数的单调性得到
考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和
0
比较，做商
和
1
比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果
.
12
．已知函数
实数
的取值范围是（
）
，若方程
（
为常数）有两个不相等的根，则
A
．
B
．
C
．
【答案】
D
D
．
【解析】求出当
x
＞
0
时，函数的 导数，研究函数的极值和图象，作出函数
f
（
x
）的图象，由
数形结 合进行求解即可．
【详解】
当
x
＞
0
时，函数
f
′（
x
）＝
2
﹣（
lnx< br>+1
）＝
1
﹣
lnx
，
由
f′（
x
）＞
0
得
1
﹣
lnx
＞
0
得
lnx
＜
1
，得
0
＜
x
＜
e
，
由
f
′（
x
）＜
0
得
1
﹣
lnx
＜
0
得
lnx
＞
1
，得
x
＞
e
，当
x
值趋向于正无穷大时，
y
值也趋向于
负无穷大，即当
x
＝
e
时，函数
f
（
x
）取得极大值，
极大值为
f
（
e< br>）＝
2
e
﹣
elne
＝
2
e
﹣e
＝
e
，
当
x
≤
0
时，< br>f
（
x
）＝﹣
x
2
﹣
x
＝﹣（x
+
）
2
+
，是二次函数，在轴处取得最大值
，
作出函数
f
（
x
）的图象如图：
要使
f
（
x
）＝
a
（
a
为常数）有两个不相等的实根 ，
则
a
＜
0
或
＜
a
＜
e
，
即实数
a
的取值范围是（﹣∞，
0
）∪故选：
D
．
【点睛】
，
本题主 要考查函数与方程的应用，
利用分段函数的表达式作出函数的图象，
利用数形结合是解
决本题的关键．已知函数零点
(
方程根
)
的个数，求参数取值范围的三种常用 的方法：
(1)
直接
法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确 定参数范围；
(2)
分离参数
法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；< br>(3)
数形结合法，先对解析式变形，在
同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后 数形结合求解．一是转化为两个函数
的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函 数零点
的个数，二是转化为
二、填空题
的交点个数的图象的交点个数问题．
13
．部分与整体以某种相似的方式呈 现称为分形，谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数
学家谢尔宾斯基
1915
年提出
.
具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将
它分成
4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余
3
个小三角形重复上述过程得
到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是
__________
．
【答案】
【解析】先观察图象，再结合几何概型中的面积 型可得：
P
（
A
）＝
【详解】
，得解．
由图可知：黑色部分由
9
个小三角形组成，该图案由
16
个小三角形 组成，这些小三角形都是
全等的，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件
A< br>，由几何概型中的面积型
可得：
P
（
A
）＝
故选：< br>B
．
【点睛】
，
本题考查了识图能力 及几何概型中的面积型，
属中档题．
在利用几何概型的概率公式来求其概
率时，几何“ 测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体
积时的等可能性主要体现 在点落在区域Ω上任置都是等可能的，
而对于角度而言，
则是过角的
顶点的一条射线落 在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．
14
．已知
，
满 足约束条件
，则
的最小值为
__________
．
【答案】
【解析】作出不等式对应的平面区域，利用
z
的几何意义，即可求解．
【详解】
作出
x
，
y
满足约束条件
对应的平面区域如图：
由
z
＝﹣
x
+
y
，得
y
＝
x
+
z
表示，斜率为
1
纵截距为
z
的一组平行直 线，
平移直线
y
＝
x
+
z
，当直线y
＝
x
+
z
经过点
A
时，直线
y＝
x
+
z
的截距最小，此时
z
最小，
由
，
此时
z
min
＝
+1
＝
．
故答案为：
．
【点睛】
点睛：利用线性规划求最值的步骤：
(1)
在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)
考虑目标函数的几 何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（
型）、斜
率型（
型）和距离型（
型）．
(3)
确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)
求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
15．已知椭圆
：
的离心率为
，
，
分别为椭圆
的左，右顶点 ，
为
椭圆
的右焦点，
过
的直线
与椭圆
交于不同的两 点
，
，
当直线
垂直于
轴时，
四边形
的面积为
6
，则椭圆
的方程为
__________
．
【答案】
【解析】根据题意和椭圆的几何性质得到四边形的面积为：
离心率 的值，构造方程得到结果
.
【详解】
结合
根据题意得到当直线和
x
轴垂直时四边形可分割成两个三角形，底边为
2a,
高为半通径长
此时四边形的面积为：
再由离心率为
，得到
此时方程为：
【点睛】
.
这个题目考查了椭圆的几何性质的应用 方程的求法，
涉及离心率的应用，
以及椭圆通径的应用；
题目比较基础
. < br>求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立
的方程，求出
即可，注意
的应用
.
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