waste-gilt
圆锥曲线
1.
圆锥曲线的两定义
：
第一定义
中要
重视“括号”内的限制条件
：
椭圆中
，与两个定点
F
1
，
F
2
的距
离的和等于常数
2
a
，
且此
常数
2
a
一定要大于
F
1
F
2
，当常数等于
F
1
F
2
时，轨迹是线段
F
1
F
2
，
当常数小于
F
1
F
2
时，无
轨迹；
双曲线中
，
与两定点
F
1
，
F
2
的距离的差的
绝对值等于常数
2
a
，
且此常数
2
a
一定要小于
|
F
1
F
2
|
，
定义中的
“绝对值”与
2
a
＜
|F
1
F
2<
/p>
|
不可忽视
。若
2
a
＝
|F
1
F
2
|
，则轨
迹是以
F
1
，
F
2
为端点的两条射
线，若
2
a
﹥
|F
1
F
2
|
< br>，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.
圆锥曲线的标准方程
（标准方程是指中心（
顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）
：
x
2
y
2
y
2
x
2
（
1
）
椭圆
：
焦点在
x
轴上时
2
?
2
?
1
（
a
?
b
?
0
）
，
焦点在
y
轴上时
2
?
2
＝
1
（
a
?
b<
/p>
?
0
）
。
a
b
a
b
2
2
方程
Ax
?
By
?
C
表示椭圆的充要条件是什么？（
ABC
≠
0
，且
A
，
B
，
C
同号，
A
≠
B
）
< br>。
x
2
y
2
y
2
x
2
（
2
）
双曲线
：焦点在
x
轴上：
2
?
2
=1
，焦点在
y
轴上：
2
?
2
＝
1
（
a
?
0,
b
?
0
）
。方程
a
b
a
b
Ax
2
?<
/p>
By
2
?
C
表示双曲线的充要条件是什么？（
ABC
≠
0
，且
A
，<
/p>
B
异号）
。
<
/p>
（
3
）
抛物线<
/p>
：开口向右时
y
?
2
px
(
p
?
0)
，开口向左时
y
?
?
2
px
< br>(
p
?
0)
，开口向上时
2
2
x
2
?
2
py
(
p
?
0)
< br>，开口向下时
x
2
?
?
2
py
(
p
?
0)
。
3.
圆锥曲线焦点位置的
判断
（首先化成标准方程，然后再判断）
：
（
1
）
椭圆
：由
x
,
y
2
2
2
分母
的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
2
< br>（
2
）
双曲线
< br>：由
x
,
y
项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（
3
）
抛物线
：焦点
在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
提醒
：在椭圆中，
a
最大，
a
?
b
?
c
，在双曲线中，
c
最大，
c
?
a
?
b
。
4.
圆锥曲线的几何性质
：
2
2
2
2
2
2
x
2
y
2
（
1
< br>）
椭圆
（以
2
< br>?
2
?
1
（
a
?
b
?
0
）为例）
：①
范围
：
?
a
?
x
?
a
,<
/p>
?
b
?
y
?
b
；②
焦点
：两
a
b
个焦点
(
?
c
,0)
；
③
对称性
：
两条对称轴
x
?
0
,
y
?
0
，<
/p>
一个对称中心
（
0,0
< br>）
，
四个顶点
(
?
a
,0),(0,
?
b
)
，
a
2
c
其中长轴长为
2
a
，
短轴长为
2<
/p>
b
；
④
准线
：
两条准线
x
?<
/p>
?
；
⑤
离心率
：
e
?
，
椭圆
?
0
?
e
?
1
，
c
a
e
< br>越小，椭圆越圆；
e
越大，椭圆越扁。
< br>
x
2
y
2
?
2
?
1
（
a
?
0,<
/p>
b
?
0
）为例）
（
2
）
双曲线
（以
：①
范围
：
x
?
?
a<
/p>
或
x
?
a
,
y
?
R
；②
焦点
：
2
a
b
两个焦点
(
?
c
,0)
；③
对称性
：两条对称轴
x
?
0,
y
?
0
，一个对称中心（
0,0
）
，两个顶点
(
?
a
,0)
，其
中实轴长为
2
a
，虚轴长为
2
b
，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
a
2
c
2
2
x
?
y
?
k
,
k
?
0
；④
准线
：两条准线
x
?
?
；
⑤离心率：
e
?
，双曲线
?
e
?
1
，等轴双曲线
c<
/p>
a
b
?
e
?
2
，
e
越小，开口越小，
e
越大，开口越大；⑥
两条渐近线
：
y
?
?
x
。
a
p
2
（
3
）
抛物线
（以
y
?
2
px
(
p
?
0)
为例）
：①
范围
：
x
?
0,
y
?
R
；②焦点：一个焦点
(
,0)
，其中
p
2
的几何意义是：
焦点到准线的距离；
③
对称性
：
一条对称轴
y
?
0
，
< br>没有对称中心，
只有一个顶点
（
0,0
）
；
c
p
；
⑤
离心
率
：
e
?
，抛
物线
?
e
?
1
。
a
2
2
2
x
0
y
0
x
2
y
2
5
、
< br>点
P
(
x
0
,
y
0
)
和椭圆
2
?
2
?
1
（
a
?
b
?
0
）
的关系
：
（
1
）
点
P
(
x
0
,
< br>y
0
)
在椭圆外
?
2
?
2
?
1
；
a
b
a
b
2
2<
/p>
2
2
x
0
y
0
x
0
y
0
（
2
）点
P
(
x
< br>0
,
y
0
)
在椭圆上
?
2
?
2
＝
1
；
（
3
）点
P
(
x
0
,
y
0
)
在椭圆内<
/p>
?
2
?
2
?
1
a
b
a
b
④
准线
：一条准线
x
?
?
6
．直线与圆锥曲
线的位置关系
：
（
< br>1
）相交
：
?
< br>?
0
?
直线与椭圆相交；
?
?
0
?
直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一
定
有
?
?
0
，当
直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故
?
?
0
是直线与
双曲线相交的充
分条件，但不是必要条件；
?
?
0
?
直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定
< br>有
?
?
0
，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故
?
?
0
也仅是直线
与抛物
线相交的充分条件，但不是必要条件。
（
2
）
相切：
?
?
0
?
直线与椭圆相切；
?
?
0
?
直线与双曲线相切；
?
?
0
?
直线与抛物线相
切；
（
3
）
相离
：
?
?
0
?
直线与椭圆相离；
?
?
0
?
直线与双曲线相离
；
?
?
0
?<
/p>
直线与抛物线相
离。
提醒
：
（<
/p>
1
）
直线与双曲线、抛物线只有一个公共
点时的位置关系有两种情形
：相切和相交。如果
直线与双曲线的
渐近线平行时
,
直线与双曲线相交
,<
/p>
但只有一个交点；
如果直线与抛物线的轴平行时
< br>,
直线
x
2
y
2
与抛物线相交
,
也只有一个交点；
（
2
）<
/p>
过双曲线
2
?
2
＝
1
外一点
P
(
x
0
,
y
0
)
的直线与双
曲线只有一个
a
b
公共点的情况如下：
①
P
点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐
近线平行的直线
和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②
P
点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，
有两条与渐
近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③
P
在两条渐近线上但非原
点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；
④
P
为原点时不存在这样的直线；
（<
/p>
3
）
过抛物线外一点总有三条直线和抛物
线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
7
、
焦点三角形
（椭圆或双曲线上的
一点与两焦点所构成的三角形）
问题
：
S
?
b
tan
当
|
y
0
|
?
b
即
P
为短轴端点时，
S
m
ax
的最大值为
bc
< br>；
对于双曲线
S
?
2
?
2
?
< br>c
|
y
0
|
，
b
2
t
an
?
2
。
如
（
1<
/p>
）
短轴长为
5
，
8
、抛物线中与焦点弦有关的一些几
何图形的性质
：
（
1
< br>）
以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；
（
2
）
设
AB
为焦点弦，
M
为准线与
x<
/p>
轴的交点，则∠
AMF
＝∠
BMF
；
（
3
）
设
AB
为焦点弦，
A
、
B
在准线上的射
影
分别为
A
1
，
B
1
，若
P
为
A
1
B
1
的中点，则
PA
⊥
PB
；
（
4
）
若
AO
的延
长线交准线于
C
，则
BC
平行于
x
轴，
反之，若过<
/p>
B
点平行于
x
轴
的直线交准线于
C
点，则
A
，
O
，
C
三点共线。
9
、
弦长公
式
：
若直线
y
?
kx
?
b
与
圆锥曲线相交于两点
A
、
B
，
且
x
1
,
x
2
分别为
A
、
B
的横坐标，
则
AB
＝
1
?
k
2
x
< br>1
?
x
2
，若
y
1
,
y
2
分别为
A
、
B
的纵坐标，则
AB
＝
1
?
2
1
y
1
?
y
2
，若弦
AB
所在直线
2
k
方程设为
x
?
ky
?
b
，则
AB
＝
1
?
k
y
1
?
y
2
。特别地，焦点弦（过焦点的弦）
：焦点弦的弦长的计
算，一般
不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
抛物线：
b
2
x
0
x
2
y
2
在
双
曲
线
2
?
< br>2
?
1
中
，
以
P
(
x
0
,
y
0
)
为
中
点
的
弦
所
在
直
线
的
斜
< br>率
k=
2
；
在
抛
物
线
a
b
a
y
0<
/p>
p
y
2
?
2
px
(
p
?
0)
中，以
P
(
x
0
,
y
0
)
为中点的弦所在直
线的斜率
k=
。
y
0
提醒
：
因为
?
?
0
是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，
故在求解有关弦长、
对称问题时，
务必别
忘了检验
?
?
0
！
11
．了解下列结论
2
2
y
2
y
2
x
x
（
1
）双曲线
?
2
?
1
的渐近线方程为
2
?
2
?
< br>0
；
2
a
b
a
b
2
2
b
y
2
y
2
x
x
（
2
）以
y
?
?
x
为渐近线（即与双
曲线
?
2
?
1
共渐近线）的双曲线方程为
2
?
2
?
?
(
?
为
2
a
a
b
a
b
参数，
?
≠
0
）。
（
3
）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为
mx
?
ny
?
1
；
2
2
2<
/p>
b
2
（
4
）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为
，焦准距（焦
点到相应准线的距
a
b
2
离）为
，抛物线的通径为
2
p
，焦准距为
p
；
c
（
5
）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
2
（
6
）若抛物线
y<
/p>
?
2
px
(
p
?
0)
的焦点弦
为
AB
，
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)
，则①
|
AB
|
?
x
1
?
x
2
< br>?
p
；
p
2
,
y
1
y
2
?
?
p
2
②
x
1
x
2
?
4
（
7
）若
OA
、
OB
是过抛物线
y
?
2
px
(
p
?
0)
顶点
O
的两条互相垂直的弦，则直线
AB
恒经过定点
2
(2
p
,0)
12
、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容
< br>：
?
?
（
1
）
给
出直线的方向向量
u
?
?
1
,
k
?
< br>或
u
?
?
m
,
n
?
；
（
2
）
给出
OA
?
OB<
/p>
与
AB
相交
,<
/p>
等于已知
OA
?
OB
过
AB
的中点
;
?
（
3
）
给出
PM
?
PN
?
0
,
等于已知
P
是
MN
的中点
;
（
4
< br>）
给出
AP
?
< br>AQ
?
?
BP
< br>?
BQ
,
等于已知
P
,
Q
与
< br>AB
的中点三点共线
;
（
5
）
给
出
以
下
情
形
之
一
：
①
AB
//
AC
；
②
存
在
实
数
?
,
使
AB
?
?
AC
；
③
若
存
在
实
数<
/p>
?
?
?
,
?
,
且
?
?
?
?
1,
使
OC
?
?
OA
?
?
OB
,
等于已知
A
,
B
,
C
三点共线
.
（
6
）
给出
MA
?
MB<
/p>
?
0
,
等于已知
MA
?
MB
,
即
?
AMB
是
直角
,
给出
MA
?
MB
?
m
?
0
,
等于已
知
?
AMB
是钝角
,
给出
MA
?
< br>MB
?
m
?
0
,
等于已知
?
< br>AMB
是锐角
,
?
?
?
MA
MB
?
（
8
）
给出
?
?
?
< br>?
?
MP
,
等于已知
MP
是
?
AMB
的平分线
/
?
MA
MB
?
?
?
（
9
）
在平行四边形
ABCD
中，给出
< br>(
AB
?
AD
< br>)
?
(
AB
?
AD
)
?
0
，等于已知
ABCD
是菱形
;
（
10
）
<
/p>
在平行四边形
ABCD
中，给出
|
AB
?
AD
|
?
|
AB
?
AD
|
，等于已知
ABCD
是矩形
;
（
11
）
在
?
ABC
中，给出
OA
?
OB
?
OC
，等于已知
O
是
?
ABC
的外心（三角形外接圆的圆
心，三角形的外
心是三角形三边垂直平分线的交点）
；
（
12
）
<
/p>
在
?
ABC
中，
给出
OA
?
OB
?
OC
?
0
，等于已知
O
是
?
ABC
的重心（三角形的重心是
三角形三条中线的交点）<
/p>
；
（
13
）
在
?
ABC
中，给出
OA
?
O
B
?
OB
?
O
C
?
OC
?
O
A
，等于已知
O
是
?
ABC
的垂心（三角形
的垂心是
三角形三条高的交点）
；
（
14
）
在
?
ABC
中，给出
OP
?<
/p>
OA
?
心；
<
/p>
（
15
）
在
?
ABC
中，给出
a
?
OA
?
b
?
OB
?
c<
/p>
?
OC
?
0
,
等于已知
O
是<
/p>
?
ABC
的内心（三角形内切
圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）
；
（
16
）
<
/p>
在
?
ABC
中，
给出
AD
?
2
2
2
?
(
AB
AC
?
)
(<
/p>
?
?
R
?
)
等于已知
AP
通过
?
ABC
的内
|
AB
|
|
A
C
|
1
AB
?
AC
,
等于已知
AD
是
?
ABC
中
BC
边的中线
;
2
（
3
）
已知
A,B
为抛
物线
x
2
=2
py
(
p
>0)
上异于原点的两点，
OA
?
OB
?
0
，点
C
坐标为（
0
，
2
p
）
?
?
（
1
）求证：
A,B,C
三点共线；
（
2
）若<
/p>
AM
＝
?
BM<
/p>
（
?
?
R
）且
OM
?
AB
?
0
试求点
M
的轨迹方程。
x
1
2
x
2
2<
/p>
（
1
）证明：设
A
(
x
1
,<
/p>
),
B
(
x
2
,
)
，由
OA
?
OB
?
0
得
2
p
2
p
x
1
2
x
2
2
?
x
1
2
x
1
2
x<
/p>
2
2
2
)
x
1
x
2
?
?
0,
?
x
1
x
< br>2
?
?
4
p
，又
AC
?
(
?
x
1
,
2
p
?
),
A
B
?
(
x
2<
/p>
?
x
1
,
2
p
2
p
2
p
2
p
x
2
2
?
x
1
2
x
1
2
??
x
1
?
?
(2
p<
/p>
?
)
?
(
x
2
?
x
1
)
?
0
，
?
AC
//
AB
，即
A,B,C
三点共线
。
2
p
2<
/p>
p
（
2
）由（<
/p>
1
）知直线
AB
过定点
C
，又由
OM
< br>?
AB
?
0
及
AM
＝
?
BM
（
?
?
R
）知
OM
?
AB
，垂
足为
M
，
所以点
M
的轨迹为以
OC
为直径的圆，
除去坐标原点。
< br>即点
M
的轨迹方程为
x
2
+(
y-p
)
2
=
p
2
(
x
?
0
，
y
?
0)
< br>。
13.
圆锥曲线中线段的最值问题：
例
1
、
(1)
抛物线
C:y
2
=4x
上一点
P
到点
A(3,4
2
)
与到准线的距
离和最小
,
则点
P
的坐标为
______________
(2)
抛物线
C: y
2
=4x
上一点
Q
到点
B(4,1)
与到焦点
F
的距离和最小
,
则点
Q
的坐标为
。
分析：
（
1
）
A
在抛物
线外，
如图，
连
PF
< br>，
则
PH
?
PF
，
因而易发现，
当
A
、
P
、
F
三点共线时，距离和最小。
（
2
）
B
在
抛物线内，如图，作
QR
⊥
l
交于
R
，则当
B
、
Q
、
R
三点共线
时，距离和最小。
解：
（
1
）
（
2
，
2
）
（
2
）
（
A
Q
H
P
F
B
1
,
1
）
4
< br>x
2
?
y
2
?
1
，双曲线
C
2
的左、右焦点分别为
C
1
的左、右顶点，而
C
2
的左、右
1
、
已知椭圆
C
1
的方程为
4
顶点分别是
C
1
的左、右焦点。
(1)
求双曲线
C
2
的方程；
(2)
若直线
l
：
y
?
kx
?
2
与椭圆
C
1
及双曲线
C
2
恒有两个不同的交点，且
l
与
C
2
的两个交点
A
和
B
满足
< br>OA
?
OB
?
< br>6
(
其中
O
为原点
)
，求
k
< br>的取值范围。
2
2
解：
（Ⅰ）设双曲线
C
2
的方程为
x
?
y
?
1
，则
a
2
?
4
?
1
?
3
,
再由
a
2
?
b
2
?
c
2
得
b
2
?
1
.
2
2
a
b
x<
/p>
2
x
2
2
?
y
?
1.
?
y
2
?
1
得
(
1
< br>?
4
k
2
)
x
2
?
8
2
kx
?
4<
/p>
?
0
.
故
C
2
的方程为
（
II
）
将
y
?
kx
?
2
代入
3
4
由直线
l
与椭圆
C
1
恒有两个不同的交点得
< br>1
?
1
?
(
8
2
)
2
k
2
?
16<
/p>
(
1
?
4
k
2
)
?
16
(
4
k
2
?
1
)
< br>?
0
,
即
k
2
?
.
①
4
x
2
将
y
?
kx
?
2
代入
?
y
2
?
1
得
(
1
?
3
k
2
)
x
2<
/p>
?
6
2
kx
?
9
?
0
.
由直线
l
与双曲线<
/p>
C
2
恒有两个不
3
2
?
1
?<
/p>
1
?
3
k
?
0,
2
2
即
k
?
且
k
?
1.
同的交点
A
，
B
得
?
2
2
< br>2
3
?
?
?
2
?
(
?
6
2
k
)
?
36(1
?
3<
/p>
k
)
?
36(1
?
k
)
?
0.
6
2
k
?
9
,
x
?
x
?
A
B
1
?
3
k
2
1
?
3
k
2
由<
/p>
OA
?
OB
?<
/p>
6
得
x
A
x
B
?
y
A
y
B
?
6,
而
设
A
< br>(
x
A
,
y
A
),
B
(
x
B
,
y<
/p>
B
),
则
x
A
?
x
B
?
x
A
x
B
?
y
A
< br>y
B
?
x
A
x
B
?
(
kx
A
?
2)
(
kx
B
?
2
)
?
(
k
2<
/p>
?
1)
x
A
x
B
?
2
k
(
x
A
?
x
B
)
< br>?
2
?
(
k
?
1)
?
2
?
9
6
2
k
?
2
k
?
?
2
1
?
< br>3
k
2
1
?
3
k
2
3
k
2
?
7
?
2
.
3
k
?
1
3
k
2
?
7
< br>15
k
2
?
13
13
1
2
2
于是
2
?
6,
即
?
0.
解此不等式得
k
?
或
k
?
.
③
2
3
k
?
1
3
k
?
1
15
3
由①、②、③得
1
1<
/p>
13
?
k
2
?
或
?
k
2
?
1
.
4
3
15
故
k
的取值范围为
(
?
1,
?
13
3
1
1
3
13
)
(
?
,
?
)
(
,
)
(
,1)
15
3
2
2
3
15
在平面直角坐标系
xOy
中，已知点
A(0,-1)
，
B
点在直线
y
=
-3
上，
M
点满足
MB//OA
，
MA
?
AB
=
MB
?
BA
，
M
点的轨迹为曲线
C
。
（Ⅰ）求
C
的方程；
（Ⅱ）
P
为
C
上的动点，
l
为
C
在
P
点处得切线，求<
/p>
O
点到
l
距离的
最小值。
(
Ⅰ
)
设
M(x,y),
由已知得
B(x,-3),A(0,-1).
所以
MA
=
（
-x,-1-y
< br>）
,
MB
=(0,-3-y),
AB
=(x,-2).
再
由愿意得知（
MA
+
MB
）?
AB
=0,
即（<
/p>
-x,-4-2y
）?
(x,-2)=0.
1
2
1
2
'
1
x
-2.
(
Ⅱ
)
设
P(x
0
,y
0
)
为曲线
C
：
y=
x
-2
上一点，因为
y
=
x,
所
4
4
2
1
1
2
以
l
的斜率为
x
0
因此直线
l
的方程为
y
?
y
0
?
x
0
(
x
?
x
0
)
，即
x
0
x
?
2
y
?
2
y
0
?
x
?
0
。<
/p>
2
2
所以曲线
C
的方程式为
y=
1
2
x
0
?
4
|
2
y<
/p>
0
?
x
|
1
2
1
4
2
2
则
O
点到
l
的距离
d
?
.
又
y
< br>0
?
x
0
?
2
，所以
d
?
?
(
x
0
?
4
?
)
?
2,
2
2
2
4
x
0
?
4
x
0
?
4
2
x
0
?
4
2
0
2
当
x<
/p>
0
=0
时取等号，所以
< br>O
点到
l
距离的最小值为
2.
x
2
y
2
2
设双曲线
2<
/p>
?
2
?
1
（
a
＞
0,b
＞
0
）的渐近线与抛物线
y=x
+1
相切，则该双曲线的离心率等于
( )
a
b
x
2
y
2
设双曲线
2
?
2
?
1
的一条渐近线，则双曲线的离心率为
(
).
a
b
x
2
y
2
过
椭
圆
2
?
2
?
1
(
a
?
b
?
0
)
的
左
焦<
/p>
点
F
1
作
x
轴
的
垂
线
交
椭
圆
于
点
P
，
F
2
为
右
焦
点
，
若
a<
/p>
b
?
F
1
PF
2
?
60
，则椭圆的离心率为
x
2
y
2
?
2
?
1
(
b<
/p>
?
0
)
的左、右
焦点分别是
F
1
、
F
2
，其一条渐近线方程为
y
?
x
，点
已知双曲
线
2
b
P
(<
/p>
3
,
y
0
)
在双曲线上
.
则<
/p>
PF
1
·
PF<
/p>
2
＝
( )0
已
知
直
线
y
?
k
?
x
?
2
??
k
?
0
?
与
抛
物
线
C
:
y
?
8
x
相
交<
/p>
于
A
、
B
两
点
，
F
为
C
的
焦
点
，
若
2
|
FA
|
?
2
|
FB
|
，则
k
?
(
)
已知
直线
l
1
:
4
x
?
3
y
?
6
?
0
和直线
l
2
:
x
?
?
1
，
抛物线
y
?
4
x
上一动点
P
到直线
l
1
和直线
l
2
的距离之
和的最
小值是（
）
设已知
抛物线
C
的顶点在坐标原点，焦点为
F
(1
，
0)
，
直线
l
与抛物线
C
相交于
A
，
B
两点。若
AB
的
中点为（
2
，
2
）
，则直线
l
的方程为
___
__________.
2
x
2
y
2
?
?
1
的焦点为
F
1
,
F
2
，点
P
在椭圆上，若
|
PF
1
|
?
4
，则
|
PF
2
|
?
；
?
F
1
PF
2
的大
椭圆
9
2
小为
.
过抛物线
y
?
2<
/p>
px
(
p
?
0)
的焦点
F
作倾
斜角为
45
的直线交抛物线于
A
、
B
两点，若线段
A
B
的长为
8
，则
p
?
________________
【
解
析
】
设
切<
/p>
点
2
P
(
x
0
,
y
0
)
，
则
切
线
的
斜
率
为
y
|
x
?
x
?
2<
/p>
x
0
0
'
.
由
题
意
有
y
0
?
2
x
0
又
y
0
?
x
0
2
?
1
解<
/p>
得
:
x
0
x
0
2
?
1,
?
b
b
?
2,
e
?
1
?
(
)
< br>2
?
5
a
a
2
b
?
y
?
x
x
y
b
?
x
,
由方程组
?
双曲线<
/p>
2
?
2
?
1
的一条渐近线为
y
?
a
,
消去
a
b
a
2
?
?
y
?
x
?
1
2
y,
得
x
2
?
b
x
?
1
?
0
有唯一解
,
< br>所以△
a
b
b
< br>2
c
a
2
?
b
2
b
=
(
)
?
4
?
0
,
所以
?
2
,
e
?
?
?
1
?
(
)
2
?
5
a
a
a
a
a
由渐
近线方程为
y
?
x
知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是
x
2
?
y
2
?
< br>2
，于是两焦点坐标分别是（－
2
，
0
）和
P
(
3
,
1
)<
/p>
或
（
2
，
0
）
，
且
P
(
3
,
?
1
)
.
不
妨
去
P
(
3
,
1
)<
/p>
，
则
PF
1
?
(
?
2
?
3
,
?
1
)
，
PF
2
?
(
2
?
3
,
?
1
)
.
∴
P
F
1
·
PF
2
＝
(
?
2
?
3
,
?
1
)(
2
?
3
,
?
1
)
?
?
(
2
?
3
)(
2
?
3
)
?
1
?
0
【
解析
】
设抛物线
C
:
y
2
?
8
x
的准线为<
/p>
l
:
x
?
?
2
直线
y
?
k
?
x
?
2
??
k
?
0
?
恒
过
定
点
P
?
?
2,0
?
.
如
图
过
A
、
B
分
别<
/p>
作
AM
?
l
于
M
,
BN
?
l
于
N
,
由
|
FA
|
?
2
|
FB
|
,
则
< br>|
AM
|
?
2
|
BN
|
,
点
B
为
A
P
的中点
.
连结
OB
,
则
|
OB
|
?
?
|
OB
|
?<
/p>
|
BF
|
点
B
的横坐标为
1
,
故点
B
的
坐标为
1
|
AF
|
,
2
(1,2
2)
?
k
?
2
2
?
0
2
2
,
故选
D
?
1
?
(
?
2)<
/p>
3
2
?
?
y
1
?
4
x
1
A
?
x
1
,
y
1
?
,
B
?
x
2
,
y<
/p>
2
?
,
则有
x
1
?
x
2
，
?
2
?
?
y
2
< br>?
4
x
2
y
?
y
2
4
2
两式相减得，
y
1
2
?
y
2
?
4
?
x<
/p>
1
?
x
2
?
，
?
1
?
?
1
x
1
?
x
2
y
1
?
y
2
?
直线
l
的方程为
y-2=x-2,
即
y=x
一、椭
圆
1.
<
/p>
点
P
处的切线
P
T
平分△
PF
1
F
2
在点
P
处的
外角
.
2.
PT
平
分△
PF
1
F
2
在点
P
处的外角，则焦点在直线
PT
上的射影
H
点
的轨迹是以长轴为直径的圆，除
去长轴的两个端点
.
3.
以焦点弦
PQ
为直径的圆必与对应准线
相离
.
4.
以焦点半径
PF
1
为直径的圆必与以长轴为直径的圆
< br>内切
.
x
2
< br>y
2
x
x
y
y
5.
若
P
0
(
x<
/p>
0
,
y
0
)
在椭圆
2
?
2
?
1
上，则过
P
0
的椭圆的切线方程是
< br>0
2
?
0
2
?
1
.
a
b
a
b
x<
/p>
2
y
2
6.
若
P
0
(
x
0
,
y
0
)
在椭圆
2
?
2
?
< br>1
外
，
则过
Po
作椭圆的两条切线切点为
P
1
、
P
2
，
则切点弦
P
1<
/p>
P
2
的直
a
b
x
x
y
y
线方程是
0
2
?
0
2
?
1
.
a
b
x
2
y
2
< br>7.
椭圆
2
< br>?
2
?
1
(a
＞
b
＞
0)
的左右焦点分别为
F
1
，
F
2
，点
P
为椭圆上任意一点
?
F
1
PF
2
?
?
，则
a
b<
/p>
椭圆的焦点角形的面积为
S
?
F
1
PF
2
?
b
tan
2
?
2
.
< br>x
2
y
2
8.
椭圆
2
?
2
?
1
（
a
＞
b
＞
0
）的焦半径公式：
a
b
|
MF
1
|
?
a
?
ex
0
,
|<
/p>
MF
2
|
?
a
?
ex
0
(
F
1
(
?
c
,0)
,
F
2
(
c
,0)
M
(
x
0
,
y
0
)
).
9.
设过椭圆焦点
F
作直线与椭圆相交
< br> P
、
Q
两点，
A
为椭圆长轴上一个顶点，
连结
AP
和
AQ
分别交相
应于焦点
F
的椭圆准线于
M
、
N
两点，则
MF
⊥
NF.
10.
过椭圆一个焦点
F
的直线与椭圆交于两点
P
、
Q,
A
1
、
A
2
为椭圆长轴上的顶点，
A
1
P
和
A
2
Q
交于点
M
，
A
2
< br>P
和
A
1
Q
交于点
N
，则
MF
⊥
NF.
x
2
y
2
b
2
11.
AB
< br>是椭圆
2
?
2
< br>?
1
的不平行于对称轴的弦，
M
(
x
0
,
y
0
)
为
AB
的中点，则
k
OM
?
k
AB
?<
/p>
?
2
，
a
b
a
b
2
x
0
即
K
AB
?
?
< br>2
。
a
y
0
x
0
x
y
0
y
x
0
2
y
0
2
x
2
y
2
12.
若
P
0
(
x
< br>0
,
y
0
)
在椭圆
2
?
2
?
1
内，则被
Po
所平分的中点弦的方程是
2
?
2
?
2
?
2
.
a
b
a
b
a
b
x
2
y
2
x
2
y
2
x
0
x
y
0
y
13.
若
P
0
(
x<
/p>
0
,
y
0
)
在椭圆
2
?
2
?
1
内，则过
Po
的弦中点的轨迹方程是
2
?
2
?
2
< br>?
2
.
a
b
a
b
a
b
二、双曲线
1.
点
P<
/p>
处的切线
PT
平分△
PF
1
F
2
在点
P
处的
内角
.
2.
PT
< br>平分△
PF
1
F
2
在点
P
处的内角，
则焦点在直线
PT
上的射影
H
点的轨迹是以长轴为直径的圆，
除去长轴的两个端点
.
3.
以焦点
弦
PQ
为直径的圆必与对应准线
相交<
/p>
.
4.
以焦
点半径
PF
1
为直径的圆必与以实轴为
直径的圆
相切
.
（内切：
P
在右支；外切：
P
在左支
）
x
2
y<
/p>
2
5.
若
P
0
(
x
0
,
y
0
)
在
双曲线
2
?
2
?
1
< br>（
a
＞
0,b
< br>＞
0
）上，
则过
P
0
的双
曲线的
切线方程
是
a
b
x
0
x
y
0
y
?
2
?
1
.
2
a
b
x
2
y
2
6.
若<
/p>
P
0
(
x
0
,
y
0
)
在双曲线
2
?
2
?
1
（
a
＞
0,b
＞
0
）外
，则过
Po
作双曲线的两条切线切点为
a
b
x
x
y
y
P
1
、
P
2
，则切点弦
P
1
P
2
的直线方程是
0
2
?
0
< br>2
?
1
.
a
b
x
2
y
2
7.
双
曲线
2
?
2
?
1
（
a
＞
0,b
＞
o
）的左
右焦点分别为
F
1
，
< br>F
2
，点
P
< br>为双曲线上任意一点
a
b
?
F
1
PF
2
?
?
，则双曲线的焦点角形的面积为
S
?
F
1
PF
2
?
b
2
co
t
?
< br>2
.
x
2
y
2
8.
双曲线
2
?
2
?
1
（
a
＞
0,b
＞
o
）
的焦半径公式：
(
F
1
(
?
c
,0)
,
F
2
(
c
,0)
a
b
当
M
(
x
0
,
y
0
)
在右支上时，
|
< br>MF
1
|
?
ex
0
?
a
,
|
MF
2
|
?
ex
0
?
a
.
当
M<
/p>
(
x
0
,
y
0
)
在左支上时，
|
MF
1
|<
/p>
?
?
ex
0
?
a
,
|
MF
2
|
?
?
ex
0
?
a
9.
设过双曲线焦点
F
作直线与双曲线相交
P
、
Q
两点，
A
为双曲线长轴上一个顶点，连结
AP
和
AQ
分别交相应于焦点
F
的双曲线准线于
M
、
N
两点，则
MF
⊥
NF.
10.
过双曲
线一个焦点
F
的直线与双曲线交于两点
P
、
Q,
A
1
、
A
2
为双
曲线实轴上的顶点，
A
1
P
和
A
2
Q
交于点
M
，
A
2
P
和
A
1
Q
交于点
N
，则
MF
⊥
NF.
x
2
y
2
< br>11.
AB
是双曲线
2
?
2
?
1
（
a
＞
< br>0,b
＞
0
）的不平行于对称轴
的弦，
M
(
x
0
,
y
0
)<
/p>
为
AB
的中点，则
a
b
b
2
x
0
b
2
x
0
K
OM
?
K
AB
?
2
，即
K
AB
?
2
。
a
y
0
a
y
< br>0
x
2
y
2
12.
若
P
0
(
x
0
,
y
0
)
在双曲线
2
?
2<
/p>
?
1
（
a
＞
0,b
＞
0
）内，则被
Po
所平分的中点弦的方程是
a
b
x
0
x
y
0
y
x
0
2
y
< br>0
2
?
2
?
2
?
2
.
2
a
b
a
b
x
2
y
2
13.
若
P
0
(
x
0
,
y
0
< br>)
在双曲线
2
?
2
?
1
（
a
＞
0,b
＞
0
）内，则过
Po
的弦中点的轨迹
方程是
a
b
x
2
y
2
x
0<
/p>
x
y
0
y
?
?
2
?
2
.
a
2
b
2
a
b
< br>椭圆与双曲线的对偶性质
--
（会推导的经典结论）
椭
圆
x
2
y
2
1.
椭圆
2
?
2
?
1
（
a
＞
b
＞
o
< br>）
的两个顶点为
A
1
(
?
a
,0)
,
A
2
(
a
,0)
，
与
y
轴平行的直线交椭圆于
a
b
x
2
y
2
P
1
、
P
2
时
A
1
P
1
与
A
< br>2
P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2
?
1
.
a
b
x
2
y
2
< br>2.
过椭圆
2
?
2
?
1
(a
＞
0, b
＞
0)
上任一点
A
(
x
0
,
y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于
a
b
b
2
x
0
B,C
两点，则直线<
/p>
BC
有定向且
k
BC
?
2
（常数）
.
a
y
0
x
2
y
2
3
.
若
P
为椭
圆
2
?
2
?<
/p>
1
（
a
＞
b
＞
0
）上异于长轴
端点的任一点
,F
1
,
F
2
是焦点
,
?
PF
1
F
2
?
?
,
a<
/p>
b
?
PF
2
F
1
?
?
，则
a
?
c
?
?
?
tan
co
t
.
a
?
c
2
2
x
2
y
2
4.
设椭圆
2
< br>?
2
?
1
（
a
＞
b
＞
0
）的两个焦点为
F
< br>1
、
F
2
,P
（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，
a
b
在△
PF
1
F
2
中，记
?
F
1
PF
2
< br>?
?
,
?
PF
1
F
2
?
?
,
?
F
1
F
2
P
?
?
，则有
sin
?
c
?
?
e
.
sin
?<
/p>
?
sin
?
a<
/p>
x
2
y
2
5.
若椭圆
2
?
2
?
1
（
a
＞
b
＞
0
）的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2<
/p>
，左准线为
L
，则当
0
＜
e
≤
2
?
1
a
b<
/p>
时，可在椭圆上求一点
P
，使得
PF
1
是
P
到对应准线距离
d
与
PF
2
的比例中项
.
x
2
y
2
6.
P
为椭圆
2
?
2
?
1
（
a
＞
b
＞
0
）上任一点
,
F
1
,F
2
为
二焦点，
A
为椭圆内一定点，则
a
b
2
a
?
|
AF
2
|
?
|
PA
|
?
|
PF
1
|
?
2
a
?
|
AF
1
|
,
当且仅当
A
,
F
2
,
P
三点共线时，等号成立
.
(
x
?
x
0
)
2
(
y
?
y
0
)
2
?
?
1
与
直
线
A
x<
/p>
?
B
?
7.
椭
圆
y
a
2
b
2
A
2
a
2
< br>?
B
2
b
2
?
(
Ax
0
?
By
0
?
C
)
2
. <
/p>
C
?
0
有
公
共
点
的
充
要
条
件
是
x
2
y
2
8.
已知椭圆
2
?
2
?
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，<
/p>
O
为坐标原点，
P
、
Q
为椭圆上两动点，且
OP
?
OQ
.
（
1
）
a
b
4
a
2
b
< br>2
1
1
1
1
2
2
?
?
?
;
（
2
）
|OP|
+|OQ|
的最大值为
2
;
（
3
）
S
?
OPQ
的最小值是
|
OP
|
2
|
OQ
|
2
a
2
b
2
a
?
b
2
a
2
b
2
.
a
2
?
b
2
x
2
y
2
9.
过椭圆
2
?
2
?
1
（
a
＞
b
＞
0
）的右焦点
F
作直线交该椭
圆右支于
M,N
两点，弦
MN
的垂直平
a
b
|
PF
|
e
?
.
分线交
x
轴于
P
，则
|
MN
|
2
x
2
y
2
10.
已知椭圆
2
?
2
?
1
（
a
＞
b
＞
0
）
,A
、
B
、是椭圆上的两点，线段
AB
的垂直平分线与
x
轴
a
b
a
2
?
b
2
a
2
?
b
2
?
x
0
?
相交于点
P
(
x
0
,0)
,
则
?
.
a
a
x
2
y
2
11.
设
P
点是椭圆
2
?
2
?
1
（<
/p>
a
＞
b
＞
0
）上异于长轴端点的任一点
,F
1
、
F
2
为其焦点记
a
b
2
b
2
?
2
?
F
1
PF
2
?
?
，则
< br>(1)
|
PF
1
||
PF
2
|
?
.(2)
S
?
PF
1
F
2
?
b
tan
.
1
?
cos
?
2
x
2
y
2
12.
设
A
、
B
是椭圆
2
?
2
?
1
（
a
＞
b
＞
0
）的长轴两端点，
P
是椭圆上的一点，
?
P
AB
?
?
,
a
b
2
ab
2
|
cos
?
|
c
、
e
分别是
椭圆的半焦距离心率，
则有
(1)
|<
/p>
PA
|
?
2
.(2)
?
PBA
?
?
,
?
B
PA
?
?
，
2
2
a
?
c
co
s
?
tan<
/p>
?
tan
?
?<
/p>
1
?
e
.(3)
S
?
PAB
2
2
a
2
b
2
?
2
cot
?
.
2
b
?
a
x
2
y
2
13.
已知椭圆
2
?
2
?
1
（
a
＞
b
＞
0
）的右准线
l
与
x
轴相交于点
E
，过椭圆右焦点
F
的直线与
a
b
< br>椭圆相交于
A
、
B
两点
,
点
C
在右准线
l
上，且
BC
?
x
轴，则直线
AC
经过线段
EF
的中点
.
14.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的
切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连
线必与切线垂直
.
15.
过椭圆焦半
径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相
垂直
.
16.
椭圆
焦三角形中
,
内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之
比为常数
e(
离心率
).
（注
:
在椭圆焦三角形中
,
非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点
.
）
17.
椭圆焦三角形中
,
内心将内点与非焦顶
点连线段分成定比
e.
18.
椭圆焦三角形中
,
半焦距必为内、外点到椭
圆中心的比例中项
.
双曲线
x
2
y
2
1.
双曲线
2
?
2
?
1
（
a
＞
0,b
＞
0
）
的两个顶点为
A
1
(
?
a
,0)
,
A
2
(
a
,0)
，
与
y
轴平行的直线
a
b
x
2
y
2
交双曲线于
P
1
、
P
2
时
A
1
P
1
与
A
2
< br>P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2
?
1
.
a
b
x
2
y
2
2.
过双曲线
2
?
2
?
1
（
< br>a
＞
0,b
＞
< br>o
）上任一点
A
(
x
0
,
y
< br>0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交
a
b
b
2
x
0
双曲线于
B,C
< br>两点，则直线
BC
有定向且
k<
/p>
BC
?
?
2
（常数）
.
a
y
0
x
2
y
2
3.
若
P
为双曲线
2
?
2
?
1
（
a
＞
0,b
＞
0
）右（或左）支上除顶点外的任一点
,F
1
, F
2
是焦
a
b
点
, <
/p>
?
PF
1
F
2
?
?
,
?
PF
2
F
1
?
?
，则
c
?
a
?
?
c
?
a
?
?
?
tan
co
t
（或
?
tan
co
t
）
< br>.
c
?
a
2
2
c
?
a
2
2
x
2<
/p>
y
2
4.
设双曲线
2
?
2<
/p>
?
1
（
a
＞
0,b
＞
0
）的两个焦点为
F
1
、
F
2
,P
（
异于长轴端点）为双曲线上
a
b
任
意
一
点
，
在
△
PF
1
F
2
中
，
记
?
F
1
PF
2
?
?
,
?
PF
1
F
2
?
?
,
?
F
1
F
2
P
?
?
，
则
有
sin
?
c
?
?
e
.
?
(sin
?
?
sin
?
)
a
x
2
y
2
5.
若双曲线
2
?
2
?
1
（
a
< br>＞
0,b
＞
0
< br>）的左、右焦点分别为
F
1
、<
/p>
F
2
，左准线为
L
，则当
1
＜
e
a
b
≤
2<
/p>
?
1
时，
可在双
曲线上求一点
P
，
使得
PF
1
是
P
< br>到对应准线距离
d
与
PF
2
的比例中项
.
x
2
y
2
6.<
/p>
P
为双曲线
2
?
2
?
1
（
a
＞
0,b
＞
0
）上任一点
,
F
1
,F
2
为
二焦点，
A
为双曲线内一定点，
a
b
则
|
AF
2
|
?
2
a
?
|
PA
|
?
|
PF
1
|
,
当且仅当
A
,
F
2
< br>,
P
三点共线且
P
和
A
,
F
< br>2
在
y
轴同侧时，
等
号成立
.
x
2
y
2
7.
双曲线
2
?
2
?
1
（
< br>a
＞
0,b
＞
< br>0
）与直线
Ax
?
By
?
C
?
0
有公共点的充要条件是
a
b
A
2
a
2
?
B
2
b
2
?
C
2
.
x
2
y
2
8.
已知双曲线
2
?
2
?
1
（
b
＞
< br>a
＞
0
）
，
O
为坐标原点，
P
、
Q
为双曲线上两动点，且
a
b
OP
?
O
Q
.
4
a
2
b
2
1
1
1
1
2
2
?
?
?
;
（
2
）
|OP|
+|OQ|
的最小值为
2
（
1
）
;
（<
/p>
3
）
S
?
OPQ
的最小
b
?<
/p>
a
2
|
OP
|
2
|
OQ
|
2
a
2
b
2
a
2
b
2
值是
2
< br>.
b
?
a
2
x
2
y
2
9.
过双曲线
2
?
2
?
1
（
a
＞
0,
b
＞
0
）的右焦点
F
作直线交该双曲线的右支于
M,N
两点，
a
b
|
PF
|
e
?
.
弦
MN
的垂直平分线交
x
轴于
P
，则
|
MN
|
2
x
2
y
2
< br>10.
已知双曲线
2
?
2
?
1
（
a
＞
0,b
＞
0
）
,A
、
B
是双曲线上的两点，线段
AB
的垂直平分线
a
b
a
2
?
b
2
a
2
?
b
2
与
x
轴相
交于点
P
(
x
0
,0)
,
则
x
0
?
或
x
0
?
?
. <
/p>
a
a
x
2
y
2
11.
设
P
点是双曲线
2<
/p>
?
2
?
1
（
a
＞
0,b
＞
0
）上异于实轴端点的任一点
,F
1
、
F
2
为其焦点记
a
b
2
b
2
?
2
?
F
1
PF
2
?
?
，则
(1)
|
PF
< br>1
||
PF
2
< br>|
?
.(2)
S
?
PF
1
F
2
?
b
cot
.
1
?
cos
?
2
x
2
< br>y
2
12.
< br>设
A
、
B
是双曲线
2
?
2
?
1
（
a
＞
0,b
＞
0
）的长轴两端点，
P
是双曲线上的一点，
a
b
?
PAB
?
?
,
?
PBA
?
?
,
?
BPA
?
?
，
c
、
e
分别
是双曲线的半焦距离心率，则有
2
ab
2
|
cos
?
|
(1)
|
PA
|
?
2
.
|
a
?
c
2<
/p>
co
s
2
?
|
(2)
tan
?
tan
?
?
1
?
e
.(3)
S
?
PAB
2
2
a
2
b
2
?
2
cot
?
.
b
?
a
2
x
2
y
2
13.
已知双
曲线
2
?
2
?
1
（
a
＞
0,b
＞
0
）
的右准线
l
与
x<
/p>
轴相交于点
E
，
过双曲线右焦点
F
a
b
的直线与双曲线相交于
A
、
B
两点
,
点
C<
/p>
在右准线
l
上，且
BC
?
x
轴，则直线
AC
经过线
段
EF
的中点
.
14.
过双曲线焦半径的端点作双曲
线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应
焦点的连线必与切线垂直
.
15.
过双曲
线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦
半径互相
垂直
.
16.
双曲线焦三角形中
,
外点到一焦点的距离与以该焦点为端点
的焦半径之比为常数
e(
离心
率
).
(
注
:
在双曲线焦三角形中
,
非焦顶点的内、外角平
分线与长轴交点分别称为内、外点
).
17.
双曲线焦三角形中
,
其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比
e.
18.
双曲线焦三角形中
,
半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项
.
其他常用公式：
1
、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根
与系数关系来计算弦长，常用
的弦长公式：
AB
?
1
?
k
2
x
1
?
x
2
?
1
?<
/p>
1
y
1
?
y
2
2
k
(A,B
不同时为
0)
的形式。
(
它不适用于斜率为
0
的直线
)
。
2
、直线
的一般式方程：任何直线均可写成
3
、知直线横截距
与直线
，常设其方程为
垂直的直线可表示为
4
、两平行线
5
、若
直线
则
（斜率）且
< br>与直线
（在
间的距离为
平行
。
轴上截距）
（充要条件）
，
特
别
提
醒
：
只
有
当
6<
/p>
、
圆
的
一
般
方
程
：
时
，
方
程
才
表
示
圆
心
为
，
半
径
为
的圆。二元二次方程
且
且
。
表示圆的充要条件是
7
、圆的参数方程：
（
为参数），其中圆心为
，半径为
。圆的参数方
；
程
的
主
要
应
用
是
三
角
换
元
：
8
、
切线长：过圆
长为
（
为直径端点的圆方程
（
）
）外一点
所引圆的切线的
9
、弦长问题：①圆的弦长的计算
：常用弦心距
，弦长一半
及圆的半径
所
构成的直角三角
形
来
解
：
，当
< br>；
②
过
两
圆
时，方程
、
交
点
的
圆
(
公
共
弦
)
系<
/p>
为
为两圆公共弦所在直线方程
.
。
攻克圆锥曲线解答题的策略
摘要
:
为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从
四个
方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。
关键词：知识储备
方法储备
思维训练
强化训练
第一、知识储备：
1.
直线方程的形式
（
< br>1
）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（
2
）与直线相关
的重要内容
①倾斜角与斜率
k
?
tan
?
,
?
?
[0,
?
)
②点到直线的距离
d
?
（
3
）
弦长公式
Ax
0
?
By
0
?
C
A
?
B
2
2
③夹角公式：
tan
?
?
k
2
?
k
1
1
?
k<
/p>
2
k
1
直线
y
?
kx
?
b
上两点
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
< br>y
2
)
间的距离：
AB
?
1
?
k
2
x
1
?
x
2
?
(1
?
k
2
)[(
x
1
?
x
2
)
2
?
4
x
1
x
2
]
或
AB
?
1
?
（
4
）两条直线的位置关系
1
y
1
?
y
2
2
k
①
l
1
?
l
2
< br>?
k
1
k
2
=-1
②
l
1
//
l
2
?
k
1
?
k
2
且
b
1
?
b
2
2
、圆锥曲线方程及性质
(1)
、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）
x
2
y
2
?
1(
m
?
0,
n
?
0
且
m
?
n
)
标准方程：
?
m
n
距离式方程：
(
x
?
c
)
2
?
y
2<
/p>
?
(
x
?
c
)
2
?
y
2
?
2
a
参数方程：
x
?
a
cos
?
,
y
?
b
sin
?
(2)
、双曲线的方程的形式有两种
x
2
y
2
?
1(
m
?
n
?
0)
标准方程：
?
m
n
距离式方程：
|
(
x
?
c
)
2<
/p>
?
y
2
?
(
x
?
c
)
2
?
y
2
|
?
2
a
(3)
、三种圆锥曲线的通径
你记得吗？
2
b
2
2
b
2
2
p
椭圆：
；
双曲线：
；抛物线：
a
a
(4)
、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？
x
2
y
2
?
?
1
的两个焦点，
如：
已知
F
1
、
F
2
是椭圆
平面内一个动点
M
满足
MF
1
?
MF
2
?
2
则
4
3
动点
M
的轨
迹是（
）
A
、双曲线；
B
、双曲线的一支；
C
、两条射线；
D
、一条
射线
(5)
、焦点三角形面积公式：
P
在椭圆上时，
S
?
F
1
PF
2
?
b
2
t
an
?
2
P
在双曲线上时，
S
?
F
1
PF
2
?
b
2
cot
?
2
|
PF
1
|
2
?
|
PF
2
|
2
?
4
c
2
（其中
?
F
1
PF
2
?
?
,cos
?
?
,
PF
1
?
PF
2
?
|
PF
1
||
PF
2
|
cos
?
）
|
PF
1
|
?
|
PF
2
|
(6)
< br>、记住焦半径公式：
（
1
）
椭圆焦点在
x
轴上时为
a
?
ex
0
;
焦点在
y
轴上时为
a
?
ey
0
< br>，可简记
为“左加右减，上加下减”
。
< br>
（
2
）
双曲线焦点在
x
轴上时为
e
|
x
0
|
?
< br>a
（
3
）
抛物线焦点在
x
轴上时为
< br>|
x
1
|
?
p
p
,
焦
点在
y
轴上时为
|
y
1
|
?
2
2
(6)
、
椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？
第二、方法储备
1
、点差法（中点弦问题）
设
A
?
x
1
,
y
1
< br>?
2
2
x
2
y
2
?
?
1
的弦
AB
中
点则有
、
B
?
x
2
,
y<
/p>
2
?
，
M
?
a
,
b
?
为椭圆
4
3
2
2
x
1
y
x
y
x
?
x
2
?
1
?
1
，
2<
/p>
?
2
?
1
；两式相减得
1
4
3
4
3
4
?
2
2
?
?
?
y
2
1
?
y
2
3
< br>2
?
?
0
?
?
x
1
?
x
2
??<
/p>
x
1
?
x
2
?
4
?
?
?
y
1
?
y
2
??
< br>y
1
?
y
2
?
3
?
k
AB
=
?
3<
/p>
a
4
b
2
、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经
典套路是什么？如
果有两个参数怎么办？
设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用
判
别
式
?
?
0
，
以
< br>及
根
与
系
数
的
关
系
，
代
入
弦
长
公
式
，
设
曲
线
上
的
两
点