-
三角函数专题
1
、角
的概念的推广
：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时
针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任
何旋转时，
称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2
、象限角的概念
：
在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非
负半轴重合，
角的终边在第几象限，
就说这个角是第几象限的角
。
如果角的终边在坐标轴上，
就认为这个角不属于
任何象限。
3.
终边相同的角的表示
：
（
1
）
?
终边与
?
终边相
同
(
?
的终边在
?
终边所在射线上
)
?
?
?
?
?
< br>2
k
?
(
k
?
Z
)
，
注意
：相等的角
的终边一定相同，
终边相同的角不一定相等
.
如
与角
?
1825
?
的终边相同，
且绝对值最小的角的度数是
＿＿＿
，合＿＿＿弧度。
5
（答：
?
25
；
?
?
）
36
（
2
）
?
< br>终边与
?
终边共线
(
?
的终边在
?
终边所在直
线上
)
?
?
?
?
?
k
?<
/p>
(
k
?
Z
)
.
（
3
）
?
终边与
?
终边关于
x
轴对称
?<
/p>
?
?
?
?
?
2
k
?
(
k
?
Z
)
.
（
4
< br>）
?
终边与
?
< br>终边关于
y
轴对称
?
?
?
?
?
?
?
2
k
?
(
k
?
Z
)
.
（
5
）
?
终边与
?
终边关于原点对称
?
?
?
?
?
?
?
2
k
?
(
k
?
Z
)<
/p>
.
（
6
）
?
终
边
在
x
轴
上
的
角
可
表
示
< br>为
：
?
?
k
?
,
k
?
Z
；
?
终
边
在
y
轴
上
的
角
可
表
示
为
：
< br>?
k
?
?
?
?
k
?
?
,
k
?
Z
；
?
终边在坐标轴上的角可表示为：
?
?
,
k
?
Z
.
如
?
的终边与
的终边关于直线
2
2
6
y
?
x
对称，则
?
＝<
/p>
____________
。
（答：
2
k
?
?
?
3
,
k
?
Z
）
< br>
?
4
、
?
与
?
的终边关系
< br>：由“两等分各象限、一二三四”确定
.
如
若
?
是第二象限角，则
是第
2
2
_____
象限角
（答：一、三）
5.
弧长公式
：
l
?
|
?
|
R
，扇形面积公式：
S
?
1
lR
?
1
|
?
|
R
2
，
1
弧度
(1rad)
?
57.3
.
如
已知扇形
< br>2
2
AOB
的周长是
6cm
，该扇形的中心角是
1
弧度，求该扇形的面积。
（答：
2
cm
2
）
6
、
任意角的三角函数的定义
：
设
?
是任意一个角，
P
(
x
,
y
)
是
?
的终边上的任意一点
（异于原点）
，
x
y
x
y
它与原点的距离是
r
?
x
2
?
y
2
?
0
，那么
sin
?
?
,cos
?<
/p>
?
，
tan
?<
/p>
?
,
?
x
?
0
?
，
cot
?
?
(
y
?
0)
，
y
r
r
x
< br>r
r
sec
?
< br>?
?
x
?
0
?
，
csc
?
?
?
y
?
0
?
。三角函数值只与角的大小有关，
而与终边上点
P
的位置无关。
y
x
如
（
1
）
已知角
?
的终边经过点
P(5
，－
12)
，则
sin
?
< br>?
cos
?
的值为＿＿。
7
（答：
?
）
；
13
2
m
?
3
（
2
）
设
< br>?
是第三、四象限角，
sin
?
?
，则
m
的取
值范围是
_______
4
?
m
3
（答：
（－
1
，
)
）
；
2
细节决定成败，
态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话
。
第
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共
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页
（<
/p>
3
）
若
|
sin
?
|
cos<
/p>
?
?
?
0
，试判断
cot(sin
?
< br>)
?
tan(cos
?
)
的符号
sin
?
|
cos
?
|
（答：负）
7
.
三角函数线的特征
是：正弦线
MP
“站在
x
轴上<
/p>
(
起点在
x
轴上
)
”
、余弦线
OM
“躺在
x
轴上
(
起
点是原点
)
< br>”
、正切线
AT
“站在点
A
(1,0)
处
(<
/p>
起点是
A
)
”<
/p>
.
三角函数线的重要应用是比较三角函数值的
大小和解三角不等式
。
如
y
（
1
）<
/p>
若
?
?
8
?
?
?
0
，则
sin
?
,cos<
/p>
?
,
tan
?<
/p>
的大小关系为
_____
(
答：
tan
?
?
sin
?
?
cos
?
)
；
（
2
）
若
?
为锐角，则
?
,sin<
/p>
?
,
tan
?<
/p>
的大小关系为
_______
（答：
sin
?
?<
/p>
?
?
tan
?<
/p>
）
；
（
3
）
函数
y
?
1
?
2
cos
x
?
lg(
2
sin
x
?
3
)
的定义域是
___
____
T
B
S
P
α
O
M
A
x
（答：
(
2
k
?
?
8.
特殊角的三角函数值
：
30
°
45
°
60
°
0
°
0
1
0
0
90
°
1
0
180
°
0
－
1
0
0
270
°
－
1
0
?
3
,2
k<
/p>
?
?
2
?
](
k
?
Z
)
）
3
15
°
6
?
2
4
6
?
2
4
75
°
6
?
2
4
6
?
2
4
sin
?
cos
?
1
2
3
2
3
3
3
2
2
2
2
3
2
1
2
3
tan
?
1
1
2-
3
2+
3
2+
3
2-
3
cot
?
3
3
9.
同角三角函数的基本关系式
：
（
1
）平方关系：
s
in
2
?
?
c
os
2
?
?
1
,1
?
tan
2
?
?
sec
2
?
,1
?
cot
2
?
?
csc
2
?
（
2
）倒数关系：
sin
?
csc
?
=1,cos
?<
/p>
sec
?
=1,tan
< br>?
cot
?
=1,
sin
?
cos
?
（
3
）商数关系：
t
an
?
?
,
cot
?
?
cos
?
sin
?
同角三角函数的基本关
系式的主要应用是，
已知一个角的三角函数值，
求此角的其它三
角函数值。
在运用平方关系解题时，
要根据已知角的范围和三角
函数的取值，
尽可能地压缩角的范围，
以便进行
定号；
在具体求三角函数值时，
一般不需用同角三角函
数的基本关系式，
而是先根据角的范围确定三
角函数值的符号，
再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。
如
sin
?
?
tan
?
（
1
）
函数
y
?
的值的符号为
____
cos
?
< br>?
cot
?
（答：大于
0
）
；
（
2
）
若
< br>0
?
2
x
?
2
?
，则使
1
?
sin
2
2
x
?
cos
2
x
成立的
x
的取值范围是
____
（答：
[0
,
（
3
）
已知
sin
?
?
m
?
3
4
?
2
m
?
(
?
?
?
?
)
，则
tan
?
＝
____
，
cos<
/p>
?
?
m
?
5
m
?
5
2
?
4
]
3
[
?
,
?
]
）
；
4
细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话
。
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（答
：
?
（
4
）<
/p>
已知
tan
?
s
in
?
?
3
c
os
?
＝
___
；
sin
2
?
?
sin
?
cos
< br>?
?
2
＝
____
?
?
1
< br>，则
tan
?
?
1
sin
?
?
cos
?
5
）
；
12
5
< br>13
（答：
?
；
）
；
3
5
（
5
）
已知
sin
200
?
< br>?
a
，则
tan
160
?
等于
1
?
a
2
< br>1
?
a
2
A
、
?
B
、
C
、
?
D
、
2
2
a
a
1
?
a
1
?
a
a
a
（答：
B
）
；
< br>（
6
）
已知
f
(cos
x
)
< br>?
cos
3
x
< br>，则
f
(sin
30
?
)
的值为
______
（答：－
1
）
。
k
10.
三角函数诱导公式（
?
?
?
）
的本质是：奇变偶不变（对
k
< br>而言，指
k
取奇数或偶数）
，符
2
号看象限（看原函数，同时可把
?<
/p>
看成是锐角）
.
诱导公式的应用是求任意
角的三角函数值，其一般
步骤：
（
1<
/p>
）负角变正角，再写成
2k
?
+
?
,
0
?
?
?
2
?
；
(2)
转化为锐角三角函数。
如
9
?
7
?
（
1
）
cos
?
tan(<
/p>
?
)
?
sin<
/p>
21
?
的值为
_
_______
4
6
2
3
?
（答：
）
；
2
3
< br>4
?
?
(
?
2
7
0
)
?
______
，
若
?
为
第
二
象
限
角
，<
/p>
则
（
2
）
已
知
sin(
540
?
?
?
)
?
?
，
则
c
o
s
5
[sin(
180
?
?
?
)
?
cos(<
/p>
?
?
360
?<
/p>
)]
2
?
___
_____
。
t
a
n
1
(
8
?
0
?
?<
/p>
)
4
3
（答：<
/p>
?
；
?
）
5
100
11
、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
：
令
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?
sin
?
cos
?
?
cos
?
sin
?
???
?
sin
2
?
?
2sin
?
cos
?
cos
?
?
?
?
?
?
cos
?
cos
?
tan
?
?
?
?
?
?
令
?
?
?
sin
?
sin
?
???
?
cos
2
?
?
cos
2
?
?
sin
2
?
?
< br>?
2cos
2
?
?
1
?
1
?
2sin
2
?
< br>tan
?
?
tan
?
1+cos2
?
?
cos
2
?
＝
1
tan
?
tan
?
2
1
?
cos2
?
< br>
?
sin<
/p>
2
?
＝
2
2
tan
?
<
/p>
tan
2
?
?<
/p>
1
?
tan
2<
/p>
?
1
如（
1
）
下列各式中
，值为
的是
2
?
?
A
、
sin
15
co
s
15
B
、
cos
2
?
sin
2
12<
/p>
12
tan
22
.
5
1
?
co
s
30
C
、
D
、
2
1
?
tan
22<
/p>
.
5
2
细节决
定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话
。
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<
/p>
（答：
C
）
；<
/p>
（
2
）
命题
P
：
tan(<
/p>
A
?
B
)
?
0
，命题
Q
：
tan
A
?
tan
B
?
0
，则
P
是
Q
的
A
、充要条件
B
、充分不必要条件
C
、必要不充分条件
D
、既不充分也不必要条件
（答：
C
）
；
3
（
3
）
已知
sin(
?
?
?
)cos
?
?
cos(
?
?
?
)sin
?
?<
/p>
，那么
cos
2
?
的值为
____
5
（答：
（
4
）
1
3
?
的值是
______
sin
10
s
in
80
7
）
；
25
（答：
4
）
；
1
?
a
2
a
?
3
0
0
(5)
已知
tan110
?
a
，
求
a
的值
（用
a
表
示）
甲求得的结果是
，
乙求得的结果是
，
t
n
5
0
2
a
1
?
3
a
对甲、乙求得的
结果的正确性你的判断是
______
（答：甲、乙都对）
12.
三角函数的化简、计算、证明
的恒等变形的基本思路
是：一角二名三结构。即首先观察角
与角
之间的关系，注意角的一些常用变式，
角的变换是三角函数变换的核心！
第二看函数名称之间
的关系，通常“切化弦”
；第三观
察代数式的结构特点。
基本的技巧有
:
（
1
）巧变角
（已知角与特殊角的变
换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其
和差角的变换
.
如
?
?
< br>(
?
?
?
)
?
?
?
(
?
?
?
)
?
?
，
2
?
?
(
?
?
?
)
?
< br>(
?
?
?
)
，
2
?
?
(
?
?
?
)
?
(
?
?
?
)
，
?
?
?
?
< br>?
?
?
，
，
如
?
?
?
?
?
?
?
等）
?
?
?
?
2
?
2
2
2
2
2
?
1
?
（
1
）
已知
tan(
?
?
?
)
?
，
tan(
< br>?
?
)
?
，那么
tan(
?
?
)
的值是
_____
5
4
4
4
3
（答：
）
；
22
?
?
1
?
2
（
2
）
已知
0
?
< br>?
?
?
?
?
?
，且
cos(
< br>?
?
)
?
?
，
sin(
?
?
)
?
，求
cos(
?
?
?
)
的值
2
2
9
2
3
4
90
（答：
）
；
729
3
（
3
）
已知
?
,
?
为锐角，
sin
< br>?
?
x
,cos
?
?
y
，
cos(
?
?
?
< br>)
?
?
，则
y
与
x
的函数关系为
______
5
3
4
3
（答：
y
?
?
1
?
x
2
?
x
(
?
x
?
1)
）
5
5
5
(2)
三角函数名互化
(
切割化弦
)
，
如
（
1
）
求值
sin
50
(1<
/p>
?
3
tan10
)
（答：
1
）
；
sin
?
cos
?
2
?
1,
tan(
?
?
?
)
?
?
，求
tan(
?
?
2
?
)
的值
（
2
）
已知
1
?
co
s
2
?
3
1<
/p>
（答：
）
8<
/p>
(3)
公式变形使用
（
< br>tan
?
?
tan
?
?
tan
?
?
?
?
??
1
tan
?
tan
?
?
。
如
?
?
?
?
（
1
）
已知
A
、
B
为
锐角，且满足
tan
A
tan
B
?
tan
A
?
tan
B
?
1
，则
cos(
A
?
B
)
＝
_____
细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神
话
。
第
4
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页
（答
：
?
(2)
设
?
ABC
中，
tan
< br>A
?
tan
B
< br>?
3
?
3
tan
Atan
B
，
sin
Acos
A
?
2
）
；
2
3
，则此三角形是
___
_
三角形
4
（答：等边）
1
?
cos
2
?
1
?
cos
2
?
(4)
三角函数次数的降升<
/p>
(
降幂公式：
cos
2
?
?
，
sin
2
?
?
与升幂公式：
2
2
1
< br>?
cos
2
?
< br>?
2cos
2
?
，
1
?
cos
2
?
?
2sin
2
?
)
。
< br>如
3
1
1
1
1
(1)
若
?
?
(
?
,
?
)
，化简
?
?
cos
2
?
为
_____
2
2
2
2
2
（答：
sin
（
2
）
函数
f
(
x
)
?
5
sin
x
cos
x
?
5
3
c
os
2
x
?
5
3
(
x
?
R
)
的单调递增区间为
____
2
?
2
）
；
（答：
[
k
?
?
(5)
式子结构的转化
(
对角、函
数名、式子结构化同
)
。
如
sin
?
?
tan
?
（
1
）
tan
?
(cos
?
?
sin
?
)
?
cot
?
?
csc
?
?
12
,k
?
?
5
?
](
k
?
Z
)
）
12
（答：
sin
?
）
；
（
2
）
求证：
1
?
sin
?
1
?
2sin
2
1
?
tan
?
1
?
tan
2
?
?
2
；
?
2
1
2cos
4
x
?
2cos
2
x
?
2
（
3
）
化简：
?
?
2
tan(
?
x
)sin
2
(
?
x
)
4
4
1
（答：
cos
2
x
）
2
(6)
常值变换主要指“
1
”的变换
（
1
?
sin
2
x
?
cos
2
x
?
sec
2
x
?
tan
2
x
?
tan
x
?
cot
x
3
?
tan
?
?
sin
?
?
等）
，
如
已知
tan
?
?
2
，求
sin
2
?
?
sin
?
cos
< br>?
?
3cos
2
?
（答：
）
.
4
2
5
(7)
正余弦“
三兄妹
—
sin
x
?
cos
x
、
，
如
sin
x
cos<
/p>
x
”的内存联系――“知一求二”
（
1
）
若
sin
x
?
cos
x
?
t
，则
sin
x
cos
x<
/p>
?
__
t
2
?
1
（答：
?
)
，
特别提醒
：这里
t
?
[
?
2,
2]
；
2
（
2
）
若<
/p>
?
?
(0,
?<
/p>
),sin
?
?
cos
?
?
1
，
求
tan
?
的值。
2
4
?
7
（答：
?
）
；
3
si
n
2
?
?
2s
in
2
?
?
?
?
k
(
?
?
?
)
，试用
k
表示
sin
?<
/p>
?
cos
?
的值
（
3
）
已知
1
?
tan<
/p>
?
4
2
（答：<
/p>
1
?
k
）
。
细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变
未来，智慧缔造神话
。
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5
页
共
12
页