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初中几何中线段和差最大值最小值典型分析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2021-02-05 22:36
tags:

-

2021年2月5日发(作者:skate)


初中几何中线段和(差)的最值


问题



一、两条线段和的最小值。



基本图形 解析



(对称轴为:动点所在的直线上)



一)


、已知两个定点:



1


、在一条直线


m


上, 求一点


P


,使


PA+PB


最小;




1


)点


A



B


在直线


m


两侧:




A


A


A









B


B


P



m



m



m


B


A


B


P


B



2


)点


A



B

< p>
在直线同侧:










A



m



m


A'


A



A




是关于直线


m


的 对称点。



1


/


38


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2



在直线


m



n


上分别找两点


P



Q


,使


PA+PQ+ QB


最小。




1


)两个点都在直线外侧:





A



m






n



B







2


)一个 点在内侧,一个点在外侧:





A



m



B




n






3




个点都在内侧:




m


A



B



n




2


/


38


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A



m


P'< /p>


P


Q'


Q



n


B


A



m


P


B


Q



n


B'


A'



m


A


P


B


Q



n


B'






4



、台球两次碰壁模型



变式一:

< p>
已知点


A



B

< p>
位于直线


m,n



在直 线


n



m


分别 上求点


D



E


点,使得围


四边形


ADEB


周长最短< /p>


.










n


A


B


内侧,


n


A'


D< /p>


E


B'


m


A


B




m




填空:最短周长


=________________




变式二:


已知点< /p>


A


位于直线


m,n


的内侧


,


n


在直线


m



n


分别上求点


P



Q


PA+PQ+QA


周长最短


.< /p>





n


A


m


3


/


38


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A'


A


Q


P

< br>A


m







二)


、一个动点,一个定点:



(一)


动点


在直线上运动:

< br>



B


在直线

< br>n


上运动,


在直线


m

< p>
上找一点


P



使


PA+PB


最小


(在


图 中画出点


P


和点


B



1


、两点在直线两侧:







A



m



n


B



n


P


A



m








2


、两点在直线同侧:





A



m


4


/


38


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n


B


A


P


A'



n



m







(二)动点在圆上运动



< p>
B


在⊙


O


上运动,在直线


m


上找一点


P


,使


PA+PB


最小(在图


中画出点< /p>


P


和点


B




1


、点与圆在直线两侧:




O



O


B'


B


P


P'


A



m



m


A








2


、点与圆在直线同侧:



O






O


A



m


B


P


A



m


A'


5


/


38


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三)


、已知


A


、< /p>


B


是两个定点,


P



Q


是直线


m


上的两个动点,


P



Q



左侧


,



PQ


间长度恒定


,


在直线


m


上要求


P



Q


两点,使得


PA+PQ+QB

< p>
的值最小。


(


原理用平移知识解

< br>)




1


)点


A



B


在直线


m


两侧:





P


Q


B


A


A


m


C







P


Q


B


m




A


点作


AC



m,



AC


长等于


PQ


长,连接


BC,

< br>交直线


m



Q,Q



左平移


PQ


长,即为


P


点,此时


P


、< /p>


Q


即为所求的点。



2


)点


A



B


在直线


m


同侧:







P


Q


m


6


/


38


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A


B


A


E

B


P


Q


B'


m









练习题




1



如图,



A OB


=45°,


P


是∠


AOB


内一点,


PO


=10< /p>



Q



R


分别是


OA



OB< /p>









PQR





< p>


























Q



2




如图< /p>


1


,在锐角三角形


ABC


中,


AB=4


,


< p>
BAC=45


°,∠


BAC



平分线交


BC


于点


D



M,N


分别是

< p>
AD



AB


上的动点,< /p>



BM+MN


的最小

值为

















3


、如图,在锐角三角形


ABC

< p>




AB=

< p>
5


2



7


/


38


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BAC=45



BAC


的平分线交


BC



D



M



N< /p>


分别是


AD



A B


上的动点,



BM+MN

< p>
的最小值是多少?




4


、如图


4


所示,等边△


ABC


的边长为


6,AD


是< /p>


BC


边上的中线


,M


AD






,E



AC






.



AE=2,EM+CM

< p>















.





5



如图


3


,在直角梯形


ABCD


中,∠


ABC


< p>
90


°,


AD



BC



AD



4



AB


< p>
5



BC



6


,点


P



AB


上一个动点,当


PC


+< /p>


PD


的和最小时,


PB

< br>的


长为


__________












8


/


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6






4







ABCD




AB=AD= CD=1




ABC=60

< p>
°,


P


是上底,



中点


EF


直线上的一点,


PA+PB


的最小


< p>




















7



如图


5


菱形


ABCD


中,


AB=2

,∠


BAD=60


°,


E



AB


的中点,


P


是对



线


AC










PE+PB






























8


、如图,菱形

ABCD


的两条对角线分别长


6



8


,点


P


是对 角线


AC


上的一






M



N



别< /p>




AB



BC







PM+PN


的< /p>




















9


/


38


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9


、如图,圆柱形玻璃杯,高为


12cm


,底面周长为


18cm


,在杯内离杯



3cm


的点


C


处有一滴蜂蜜,


此时一只蚂蚁正好在杯外壁,


离杯上 沿


4cm


与蜂蜜相对的点


A

< p>
处,


则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为


_______ _cm













10< /p>


、如图,菱形


ABCD


中,


AB=2


,∠A=120°,点


P

< br>,


Q



K


分别



线



BC



CD



BD










PK+QK





















11


、如图,正方形


ABCD


的边长为


2



E

< p>


AB



中点,


P



AC


上一动点.则


PB


+


PE


的 最小值是









10


/


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12




如图


6


所示,已知正方形


ABCD


的边长为


8


,点


M



DC


上,且


DM =2



N



A C





个< /p>






DN+MN




小< /p>

















< /p>


13


、如图,正方形


ABCD

< p>
的边长是


2


,∠DAC


的 平分线交


DC


于点


E

< br>,




P



Q





AD



AE








DQ+PQ























14< /p>



如图


7


,在边 长为


2cm


的正方形


ABCD


中,点


Q



BC


边的中点,



P


为对 角线


AC


上一动点,连接


PB



PQ


,则△


PBQ< /p>


周长的最小值























cm< /p>



(结果不取近似


值).









11


/


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15< /p>



如图,



O< /p>


的半径为


2




A



B



C


在⊙


O


上,


OA



OB




AOC


=60°,


P



OB


上一动点,则


PA


+


PC


的最小值是













16



如图


8



MN


是半径为


1


的⊙


O


的直径,



A


在⊙


O


上,



AMN



30


°,


B



AN


弧的中点,


P


是直径

< p>
MN


上一动点,则


PA



PB


的最小值为


(




)



(A)2


解答题


1



如图


9


,正比例函数


y=


x


的图象与反比例 函数


y=



k



0


)在


第一象限的图象交于


A


点,过


A


点作


x


轴的垂线,垂足为


M


,已知三


角形


OAM


的面积为


1.




1


)求反比例函数的解析式;






(B)






(C)1




(D)2



12


/


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2


)如果


B


为反比例函数在第一象限图象上


的点(点


B

< p>
与点


A


不重合),且


B< /p>


点的横坐标为


1


,在

x


轴上求一点


P


,使


PA+PB


最小


.














2


、如图,一元二次方程


x


2


+2x-3=0


的二根


x


1< /p>



x


2



x


1



x

< p>
2


)是


抛物线


y=ax< /p>


2


+bx+c



x


轴的两个交点


B


< br>C


的横坐标,且此抛


物线过点


A



3



6






1


)求此二次函数的解析式;




2


)设此抛物线的顶点为


P


,对称


轴与


AC


相交于点


Q


,求点


P


和点


Q


的坐标;


< p>


3


)在


x


轴上有一动点


M


,当


MQ+ MA


13


/


38


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取得最小值时,求


M


点的坐标.


















3



如图


10



在平面直角坐标系中,



A


的坐标为



1



的面积是


.







AOB



1


)求点


B


的坐标;




2


)求过点


A



O



B


的 抛物线的解析式;




3


)在(


2


)中抛物线的对称轴上是否存在点


C


,使△


AOC


的周长


最小?若存在,求出点


C


< p>


坐标;若不存在,请说明理由;




14


/


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3


2


18< /p>


4



如图,


抛物 线


y



x


-< /p>


x



3



y


轴的交点为


A


,< /p>


M



OA


的中点 ,


5


5


若有一动点

P


,自


M


点处出发,沿直线运动到


x


轴上的某点(设为点


E



,再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点


F



,最后又


沿直线运动到点


A



求使点


P


运动的总路程最短的点


E


< br>点


F


的坐标,


并求出这个最短路 程的长.



15


/


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5


.如图,已知在平面直角坐标系


xOy


中, 直角梯形


OABC


的边


OA

< p>


y


轴的正半轴上,


OC



x


轴的正半轴上,

< br>OA


=


AB


=2



OC


=3


,过点

< p>
B



BD



BC


,交


OA


于点


D


.将∠


DBC


绕点< /p>


B


按顺时针方向旋转,角的两边


分别交< /p>


y


轴的正半轴、


x


轴的正半轴于点


E



F





1

< br>)求经过


A



B



C


三点的抛物线的解析式;




2


)当


BE


经过(


1


)中抛物线的顶点时,求


CF


的长;



(< /p>


3


)在抛物线的对称轴上取两点


P



Q


(点


Q


在点


P


的上方)


,且< /p>


PQ



1


,要使 四边形


BCPQ


的周长最小,求出


P< /p>



Q


两点的坐标.






16


/


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6



如图,


已知平 面直角坐标系,


A



B


两点的坐标分别为


A


(2


,< /p>



3




B


(4


,-


1


)若


C


(


a



0)



D

< p>
(


a


+3



0)



x


轴上的两个动点, 则当


a




何 值时,四边形


ABDC


的周长最短.



17


/


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7



如图< /p>


11


,在平面直角坐标系中,矩形


的顶点


O


在坐标原点,


顶点

< br>A



B


分别在

< br>x


轴、


y


轴的正半轴上,


OA=3



OB=4



D


为边


OB



中点


.






1


)若< /p>


E


为边


OA


上的 一个动点,当△


CDE


的周长最小时,求点

E


的坐标;






2


)若< /p>


E



F


为边


OA


上的两个动点,且


EF=2

< p>
,当四边形


CDEF



周 长最小时,求点


E



F


的坐标


.









18


/


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二、求两线段差的最大值问题


(


运用三角形两边之差小于第三边


)



基本图形解析



1


、在一条直线


m


上,求一点


P


,使


PA



PB


的差最大;



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