-
初中几何中线段和(差)的最值
问题
一、两条线段和的最小值。
基本图形
解析
:
(对称轴为:动点所在的直线上)
一)
、已知两个定点:
1
、在一条直线
m
上,
求一点
P
,使
PA+PB
最小;
(
1
)点
A
、
B
在直线
m
两侧:
A
A
A
B
B
P
m
m
m
B
A
B
p>
P
B
(
2
)点
A
、
B
在直线同侧:
A
m
m
A'
A
、
A
’
p>
是关于直线
m
的
对称点。
1
/
38
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2
、
在直线
m
、
n
上分别找两点
P
、
Q
,使
PA+PQ+
QB
最小。
(
1
)两个点都在直线外侧:
A
m
n
B
(
2
)一个
点在内侧,一个点在外侧:
A
m
B
n
p>
(
3
)
两
个点都在内侧:
m
A
B
n
2
/
38
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A
m
P'<
/p>
P
Q'
Q
n
B
A
p>
m
P
B
Q
n
B'
A'
m
A
P
B
p>
Q
n
B'
(
4
)
p>
、台球两次碰壁模型
变式一:
已知点
A
、
B
位于直线
m,n
的
在直
线
n
、
m
分别
上求点
D
、
E
点,使得围
四边形
ADEB
周长最短<
/p>
.
n
A
B
p>
内侧,
n
A'
D<
/p>
E
B'
m
A
p>
B
成
的
m
填空:最短周长
=________________
变式二:
已知点<
/p>
A
位于直线
m,n
的内侧
,
n
在直线
m
、
n
分别上求点
P
、
Q
点
PA+PQ+QA
周长最短
.<
/p>
n
A
m
3
/
38
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A'
A
Q
P
< br>A
m
二)
、一个动点,一个定点:
(一)
动点
在直线上运动:
< br>
点
B
在直线
< br>n
上运动,
在直线
m
上找一点
P
,
使
PA+PB
最小
(在
图
中画出点
P
和点
B
)
1
、两点在直线两侧:
A
m
n
B
n
P
A
m
2
、两点在直线同侧:
A
m
4
/
38
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n
B
A
p>
P
A'
n
m
(二)动点在圆上运动
点
B
在⊙
O
上运动,在直线
m
上找一点
P
,使
PA+PB
最小(在图
中画出点<
/p>
P
和点
B
)
p>
1
、点与圆在直线两侧:
O
O
p>
B'
B
P
P'
p>
A
m
m
A
2
、点与圆在直线同侧:
O
O
A
p>
m
B
P
A
m
A'
5
/
38
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p>
三)
、已知
A
、<
/p>
B
是两个定点,
P
、
Q
是直线
m
上的两个动点,
P
在
Q
的
左侧
,
且
PQ
间长度恒定
,
在直线
p>
m
上要求
P
、
p>
Q
两点,使得
PA+PQ+QB
的值最小。
(
原理用平移知识解
< br>)
(
1
)点
A
、
B
在直线
m
两侧:
P
Q
p>
B
A
A
m
C
P
Q
p>
B
m
过
p>
A
点作
AC
∥
p>
m,
且
AC
长等于
PQ
长,连接
BC,
< br>交直线
m
于
Q,Q
向
左平移
PQ
长,即为
p>
P
点,此时
P
、<
/p>
Q
即为所求的点。
(
2
)点
A
、
B
在直线
m
同侧:
P
Q
m
6
/
38
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A
B
A
E
B
P
Q
B'
m
练习题
1
.
如图,
∠
A
OB
=45°,
P
是∠
AOB
内一点,
PO
=10<
/p>
,
Q
、
R
分别是
OA
、
OB<
/p>
上
的
动
点
,
求
△
PQR
周
长
的
最
小
值
为
.
Q
2
、
如图<
/p>
1
,在锐角三角形
ABC
中,
AB=4
,
∠
BAC=45
°,∠
BAC
的
平分线交
BC
于点
D
,
M,N
分别是
AD
和
AB
上的动点,<
/p>
则
BM+MN
的最小
值为
.
p>
3
、如图,在锐角三角形
ABC
中
,
AB=
5
2
,
7
/
38
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∠
BAC=45
,
BAC
p>
的平分线交
BC
于
D
,
M
、
N<
/p>
分别是
AD
和
A
B
上的动点,
则
BM+MN
的最小值是多少?
4
、如图
4
所示,等边△
ABC
的边长为
6,AD
是<
/p>
BC
边上的中线
,M
是
AD
上
的
动
点
,E
是
AC
边
上
一
点
.
若
AE=2,EM+CM
的
最
小
值
为
.
5
、
p>
如图
3
,在直角梯形
ABCD
中,∠
ABC
=
90
°,
AD
∥
BC
,
AD
=
4
,
AB
=
5
,
BC
=
6
,点
P
是
AB
上一个动点,当
PC
+<
/p>
PD
的和最小时,
PB
< br>的
长为
__________
.
8
/
38
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6
、
p>
如
图
4
,
等
腰
梯
形
ABCD
中
,
AB=AD=
CD=1
,
∠
ABC=60
°,
P
是上底,
下
中点
EF
直线上的一点,
则
PA+PB
的最小
为
.
底
值
7
p>
、
如图
5
菱形
p>
ABCD
中,
AB=2
,∠
BAD=60
°,
E
是
AB
的中点,
P
p>
是对
角
线
AC
p>
上
的
一
个
动
点
,
则
PE+PB
的
最
小
值
为
.
8
、如图,菱形
ABCD
的两条对角线分别长
6
和
8
,点
P
是对
角线
AC
上的一
个
动
点
,
点
M
、
N
分
别<
/p>
是
边
AB
、
p>
BC
的
中
点
,
则
PM+PN
的<
/p>
最
小
值
是
9
/
38
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9
、如图,圆柱形玻璃杯,高为
12cm
,底面周长为
18cm
,在杯内离杯
底
3cm
的点
C
处有一滴蜂蜜,
此时一只蚂蚁正好在杯外壁,
离杯上
沿
4cm
与蜂蜜相对的点
A
处,
则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
_______
_cm
.
10<
/p>
、如图,菱形
ABCD
中,
AB=2
,∠A=120°,点
P
< br>,
Q
,
K
分别
为
线
段
BC
,
CD
,
BD
上
的
任
意
一
点
,
则
p>
PK+QK
的
最
小
值
为
p>
11
、如图,正方形
ABCD
的边长为
2
,
E
为
AB
的
中点,
P
是
AC
上一动点.则
PB
+
PE
的
最小值是
10
/
38
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12
、
如图
6
所示,已知正方形
ABCD
的边长为
8
,点
M
p>
在
DC
上,且
DM
=2
,
N
是
A
C
上
的
一
个<
/p>
动
点
,
则
DN+MN
的
最
小<
/p>
值
为
.
<
/p>
13
、如图,正方形
ABCD
的边长是
2
,∠DAC
的
平分线交
DC
于点
E
< br>,
若
点
P
、
Q
分
别
是
AD
和
AE
上
的
动
点
,
p>
则
DQ+PQ
的
最
小
值
为
.
14<
/p>
、
如图
7
,在边
长为
2cm
的正方形
ABCD
中,点
Q
为
BC
边的中点,
点
P
为对
角线
AC
上一动点,连接
PB
、
PQ
,则△
PBQ<
/p>
周长的最小值
为
cm<
/p>
.
(结果不取近似
值).
11
/
38
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15<
/p>
、
如图,
⊙
O<
/p>
的半径为
2
,
点
A
、
B
、
p>
C
在⊙
O
上,
p>
OA
⊥
OB
,
p>
∠
AOC
=60°,
P
是
OB
上一动点,则
PA
+
PC
的最小值是
p>
.
p>
16
、
如图
8
p>
,
MN
是半径为
1
的⊙
O
的直径,
点
A
在⊙
O
上,
∠
AMN
=
30
°,
B
为
AN
弧的中点,
P
是直径
MN
上一动点,则
PA
+
PB
的最小值为
(
)
(A)2
解答题
1
、
如图
9
,正比例函数
y=
x
的图象与反比例
函数
y=
(
k
≠
0
)在
第一象限的图象交于
A
点,过
A
点作
x
轴的垂线,垂足为
M
,已知三
角形
OAM
的面积为
1.
(
1
)求反比例函数的解析式;
(B)
(C)1
(D)2
12
/
38
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(
2
)如果
B
为反比例函数在第一象限图象上
的点(点
B
与点
A
不重合),且
B<
/p>
点的横坐标为
1
,在
x
轴上求一点
P
,使
PA+PB
最小
.
2
p>
、如图,一元二次方程
x
2
+2x-3=0
的二根
x
1<
/p>
,
x
2
(
x
1
<
x
2
)是
抛物线
y=ax<
/p>
2
+bx+c
与
x
轴的两个交点
B
,
< br>C
的横坐标,且此抛
物线过点
A
(
3
,
6
p>
)
.
(
1
)求此二次函数的解析式;
(
2
)设此抛物线的顶点为
P
,对称
轴与
AC
相交于点
Q
,求点
P
和点
Q
的坐标;
(
3
)在
x
轴上有一动点
M
,当
MQ+
MA
13
/
38
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取得最小值时,求
M
点的坐标.
3
p>
、
如图
10
,
p>
在平面直角坐标系中,
点
A
的坐标为
(
1
,
的面积是
.
)
,
△
p>
AOB
(
1
)求点
B
的坐标;
(
2
)求过点
A
、
O
、
B
的
抛物线的解析式;
(
3
)在(
2
)中抛物线的对称轴上是否存在点
C
,使△
AOC
的周长
最小?若存在,求出点
C
的
坐标;若不存在,请说明理由;
14
/
38
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3
2
18<
/p>
4
.
如图,
抛物
线
y
=
x
-<
/p>
x
+
3
和
y
轴的交点为
A
,<
/p>
M
为
OA
的中点
,
5
5
若有一动点
P
,自
M
点处出发,沿直线运动到
x
轴上的某点(设为点
E
)
,再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点
F
)
,最后又
沿直线运动到点
A
,
求使点
P
运动的总路程最短的点
E
,
< br>点
F
的坐标,
并求出这个最短路
程的长.
15
/
38
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5
p>
.如图,已知在平面直角坐标系
xOy
中,
直角梯形
OABC
的边
OA
在
y
轴的正半轴上,
OC
在
x
轴的正半轴上,
< br>OA
=
AB
=2
,
OC
=3
,过点
B
作
BD
⊥
BC
,交
OA
于点
D
.将∠
DBC
绕点<
/p>
B
按顺时针方向旋转,角的两边
分别交<
/p>
y
轴的正半轴、
x
轴的正半轴于点
E
和
F
.
(
1
< br>)求经过
A
、
B
、
C
三点的抛物线的解析式;
(
2
)当
BE
经过(
1
)中抛物线的顶点时,求
p>
CF
的长;
(<
/p>
3
)在抛物线的对称轴上取两点
P
、
Q
(点
Q
在点
P
的上方)
,且<
/p>
PQ
=
1
,要使
四边形
BCPQ
的周长最小,求出
P<
/p>
、
Q
两点的坐标.
16
/
38
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p>
6
.
如图,
已知平
面直角坐标系,
A
,
B
两点的坐标分别为
A
(2
,<
/p>
-
3
)
,
B
(4
,-
1
)若
C
(
a
,
0)
,
D
(
a
+3
,
0)
是
x
轴上的两个动点,
则当
a
为
何
值时,四边形
ABDC
的周长最短.
17
/
38
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7
、
如图<
/p>
11
,在平面直角坐标系中,矩形
的顶点
O
在坐标原点,
顶点
< br>A
、
B
分别在
< br>x
轴、
y
轴的正半轴上,
OA=3
,
OB=4
,
D
为边
OB
的
中点
.
(
1
)若<
/p>
E
为边
OA
上的
一个动点,当△
CDE
的周长最小时,求点
E
的坐标;
(
2
)若<
/p>
E
、
F
为边
p>
OA
上的两个动点,且
EF=2
,当四边形
CDEF
的
周
长最小时,求点
E
、
F
的坐标
.
18
/
38
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二、求两线段差的最大值问题
(
运用三角形两边之差小于第三边
)
基本图形解析
:
1
、在一条直线
m
上,求一点
p>
P
,使
PA
与
p>
PB
的差最大;
19
/
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