-
模型三
蝴蝶模型（任意四边形模型）
任意四
边形中的比例关系
(“
蝴蝶定理
”
：
S 4
S 3
S 2
S 1D
C
B
A
①
1243::S S S S
=
或者
1324S S S S
?
=
?
②
((1243::AO OC S S S S =++ <
/p>
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模
型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方
面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例
1
】
(
小数报竞赛活动试题
如图，某公园的外轮廓是四边形
ABCD
，被对
角线
AC
、
BD
分成四个部分，
△
AOB
面积为
1
平方千米，
△
BOC
面积为
2
平方千米，
△
C
OD
的面积为
3
平方
千米，公园由陆地面积是
6
．
92
平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平
方千米？
A
【分析】
根据蝴蝶定理求得
3121.5AOD S =
?
÷
=
△
平方千米，公园四边形
ABCD
的面积是
1231.57.5+++=
平
方千米，所以人工湖的面积是
7.56.920.58-=
平方千米
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成
4
个三角形，其中三个三角形的面积
已知，
求：⑴三角形
BGC
的面积；⑵
:AG GC
=
？
B
【解析】
⑴根据蝴蝶定理，
123BGC
S
?
=
?
，那么
6BGC
S
=
；
⑵根据蝴蝶定理，
((:12:361:3AG GC
=++=
．
(
？？？
ABCD AC O
BCD
任意四边形、梯形与相似模型
面积的
1
3
，且
2AO
=
，
3DO
=
，那么
CO
的长度是
DO
的长度的
_________
倍。
A
B C D
A B
C D
【解析】
在本题中，四边形
ABCD
为任意四
边形，对于这种
”
不良四边
形
”
，无外乎两种处理方法：⑴利用已
知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边
形。看到题目中给出条件
:1:3ABD BCD S S =
，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于
是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是
面积的关系，转化为边的关系，
可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改
造这个
”
不良四边形
”
，于
是可以作
AH
垂直
BD
于
H
，
CG
垂直
BD
于
G
，面积比转化为高之比。再应用
结
论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解
法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问
题。
解法一：∵
::1:3ABD BDC
AO OC S S ??==
，
∴
236OC
=
?
=
，
∴
:6:32:1OC OD
==
．
解法二：作
AH BD
⊥于
H
，
CG BD
⊥于
G
．
∵
1
3ABD BCD S S
??=
，
∴
1
3AH CG
=
，
∴
1
3AOD DOC S S ??=
，
∴
1
3
AO CO =
，
∴
236OC
=
?
=
，
∴
:6:32:1OC OD
==
．
【例
3
】
如图，平行四边形
ABCD
的对角线交于
O
点，
CEF
△
、
OEF
△
、
ODF
△
、
BOE
△
的面积依次是
2
、
< br>
4
、
4
和
6
。求：⑴求
OCF
△
的面积；⑵求
GCE
△
的面积。
E
D
C
B
A
【解析】
⑴根据题意可知，
BCD
△
的面积为
244616+++=
，那么
BCO
△
和
CDO
?
的面积都是
1628÷
=
，
所以
OCF
△
的面积为
844-=
；
⑵由于
BCO
△
的面积为
8
，
BOE
△
的面积为
6
，所以
OCE
△
的面积为
862-
=
，
根据蝴蝶定理，
::2:41:2COE COF EG FG
S S ??===
，所以
::1:2GCE GCF S S
EG FG ??==
，
那么
11221233
GCE
CEF S S ??=
=
?
=+
．
【例
4
】
图中的四边形土地的总面积是
52
公顷
，两条对角线把它分成了
4
个
小三角形
，其中
2
个小三角形的
面积分别是
6
公顷和
7
公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
7
7
B
A
【解析】
在
ABE
，
CDE
中有
AEB CED
∠
=
∠，所以
ABE
，
CDE
的面积比
为
( AE EB
?
:( CE DE
?
。同
理有
ADE
，
BCE
的面积比为
( :( AE DE BE EC
??
。所以有
ABE S
×
CDE S
=ADE S
×
BCE S
，也就是
说在所有凸四边形中，连接顶点得
到
2
条对角线，有图形分成上、下、左、右
4
个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
< br>
即
6ABE S
?
=7ADE S
?
，所以有
ABE
与
ADE
的面积
比为
7:6
，
ABE S =7392167
?
=+
公顷，
ADE S =6
391867
?
=+
公顷。
显然，最大的三角形的面积为
21
公顷
。
【例
5
】
(2008
年清华附中入学测试题
如
图相邻两个格点间的距离是
1
，则图
中
阴影三角形的面积
为
。
B
D
B
D
【解析】
连接
AD
、
CD
、
BC
。
则可根据格点面积公式，可以得到
ABC
?
的面积为：
41122+
-=
，
ACD
?
的面积为：
3
313.52
+-=
，
ABD
?
的面积为：
4
2132
+
-=
．
所以
::2:3.54:7ABC ACD BO OD S
S ??===
，所以
44123471111
ABO ABD S S ??=
?
=
?
=+
．<
/p>
【巩固】如图，每个小方格的边长都是
1
，求三角形
ABC
的面积。
D
【解析】
因为
:2:5BD CE
=
，且
BD
∥
CE
，所以
:2:5DA AC
=
，
525ABC S ?=
+
，
510
277
DBC S
?=
?
=
．
【例
6
】
(2007
年人大附中考题
如图，边
长为
1
的正方形
ABCD
中，
2BE EC
=
，
CF FD
=
，求三角形
AEG
的面积．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
【解析】
连接
EF
．
因为
2BE EC
=
，
CF FD
=
，所以
1111
( 23212
DEF ABCD ABCD S S S
?=
??
=
．
因为
12AED ABCD S S
?=
，根据蝴蝶定理，
11
::6:1212
AG GF ==
，
所以
6613
677414
AGD GDF ADF ABCD ABCD S S S S S ???===<
/p>
?
=
．
所以
1322
21477AGE
AED
AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S S
???=
-=-==
，
即三角形
AEG
的面积是
2
7
．
【例
7
】
如图，长方形
ABCD
中，
:2:3BE EC
=
，
:1:2DF FC
=
，三角形
DFG
的面积为
2
平方厘米，求长
方形
ABCD
的面积．
A
B
C
D E
F
A
B
C
D E
F
【解析】
连接
AE
，
FE
．
因为
:2:3BE EC
=
，
:1:2DF FC
=
，所以
3111
( 53210
DEF
ABCD ABCD S S S =
??
=
长方形长方形．
因为
12AED
ABCD S
S =
长方形，
11
::5:1210
AG GF
==
，
所以
510AGD GDF S S
==
平方厘米，所以
12AFD
S
=
平
方厘米．因为
1
6
AFD ABCD S S
=
长方形，所以长方形
ABCD
的面
积是
72
平方厘米．
【例
8
】
如图，已知正方形
ABCD
的边长为
10
厘米，
E
为
AD
中点，
F
为
CE
中点，
G
为
BF
中点，求三
角
形
BDG
的面积．
A
B A
B
【解析】
设
BD
与
CE
的交点为
O
，连接
BE
、
DF
．
由蝴蝶定理可知
::BED BCD EO OC S S
=
，而
1
4
BED
ABCD S
S
=
，
12
BCD
ABCD
S
S =
，
所以
::1:2BED
BCD
EO OC S
S
==
，故
1
3
EO EC
=
．
由于
F
为
CE
中点，所以
1
2
EF EC =
，故
:2:3EO
EF =
，
:1:2FO EO
=
．
由蝴蝶定理可知
::1:2BFD BED S S FO
EO ==
，所以
11
28
BFD BED ABCD S S S
==
，
那么
111
10106.2521616
BGD BFD ABCD S
S S ===
??
=
（平方厘米）．
【例
9
】
如图，在
ABC
?
中，已知
M
、
N
分别在边
AC
、
BC
上，
BM
与
AN
相交于
O ,
若
AOM
?
、
ABO
?
和
BON ?
的面积分别是
3
、
2
、
1
，则
MNC
?
的面积是．
N
M C
B
A
【解析】
这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．
根据蝴蝶定理得
313
22
AOM
BON MON AOB S S S S
????
??
===
设
MON S x
?=
，根据共边定理我们可
以得
ANM ABM
MNC MBC
S
S S S ????=
，
3332
312
x
x ++=
++
，解得
22.5x
=
．
【例
10
】
(2009
年迎春杯初赛六年级
正六边形
123456A A A A A A
的面积是
2009
平方厘米，
123456B B B B B B
分别是正六边形各
边的中点；那么图中阴影六边形的面积
是
平方厘米．
B 4
B A 6
5
4
A 3
A A
B 4
B A 6
5
4
A 3
A A
【解析】
如图，设
62B A
与
13B A
的交点为
O
，则图中空白部分由
6
个与
23A OA
?
一样大小的三角形组成，只要求
出了
23A OA ?
的面积，就可以
求出空白部分面积，进而求出阴影部分面
积．
连接
63A A
、
61B B
、
63B A
．
设
116A B B ?
的面积为
”1“
，则
126
BAB ?
面积为
”1“
，
126A A B ?
面积为
”2“
，那么
636A A B
?
面积为
126A A B
?
的
2
倍，为
”4“<
/p>
，梯形
1236A A A A
的面积
为
224212
?
+
< br>?
=
，
263A B A ?<
/p>
的面积
为
”6“
，
123B A A ?
的面积为
2<
/p>
．
根据蝴蝶定理，
12632613:1:6B A B A A
B B O A O S S ??===
，故
23616A
OA
S
?=+
，
12312
7
B A A S
?=
，
所以
23123612::12:1:77A OA A A
A A S S ?=
梯形，即
23A OA
?
的面积为梯形
1236A A A A
面积的
1
7
，故为六边形
123456A A A A A A
面积的
114
，那么空白部分的面积为正六边形面积的
13
6147
?
=
，所以阴影部分面积为
32009111487
??
?
-=
???
(
平方厘米
．
板块二
梯形模型的应用
梯形中比例关系
(“
梯形蝴蝶定理
”
：
A B
C
D
b
a S 3
S 2
S 1S 4
①
2213::S S a b =
②
221324::::::S S S S a b ab
ab =
；
③
S
的对应份数为
(2
a b
+
．
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决
梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠
道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题
目中有事半功倍的效果．
(
具体的推
理
过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明
【例
11
】
如图，
22S
=
，
34S
=
，求梯形的面积．
【解析】
设
1S
为
2
a
份，
3S
为
2
b
份，根据梯形蝴蝶定理，
234S b
==
，所以
2b
=
；又因为
22S a b
==
?
，所以
1a =
；那么
211S a
==
，
42S a b =
?
=
，所以梯形面积
123412429S S
S S S
=+++=+++=
，或者根
据梯形蝴蝶定理，
((22
129S
a b =+=+=
．
【巩固】
(2006
年南京智力数学冬令营
如下图，梯形
ABCD
的
AB
平行于
CD
，对角线
AC
，
BD
交于
O
，已
知
AOB
△
与
BOC
△
的面积分别为
25
平方厘米与
35
平方厘米，那么梯形
< br>ABCD
的面积是
________
< br>平方厘米．
35
25A
B
C
D
【解析】
根据梯形蝴蝶定理，
2::25:35AOB
BOC
S
S a ab
==
，可得
:5:7a b
=
，再根据梯形蝴蝶定理，
2222::5:725:49AOB DOC S S a
b ===
，所以
49DOC
S
=(
平方厘米
．那么梯形
A B C D
的面积为
25353549144+
++=(
平方厘米
．
【例
12
】
梯形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
，已知梯形上底为
2
，且
三角形
ABO
的面积等于三角
形
BOC
面积的
2
3
，求三角形
AOD
与三角形
BOC
的面积之比．
A B
C D
【解析】
根据梯形蝴蝶定理，
2::2:3AOB
BOC
S
S
ab b ==
，可以求出
:2:3a
b =
，
再根据梯形蝴蝶定理，
2222::2:34:9AOD
BOC S S a b ===
．
通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了
某个条件的
缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的
结论．
【例
13
】
(
第十届华杯赛
如下图，四边形
ABCD
中，对角线
AC
和
BD
交于
O
点，已知
1AO
=
，并且
3
5
ABD CBD
=
三角形的面积三角形的面积，那么
OC
的长是多少？
A
B
C
D
O
【解析】
根据蝴蝶定理，
ABD AO CBD CO =
三角形的面积三角形的面积，所
以
35AO CO
=
，又
1AO
=
，所以
5
3
CO =
．
【例
14
】
梯形的下底是上底的
1.5
倍，三角形
OBC
的面积是
29cm
，问三角
形
AOD
的面积是多少？
A B
C
D
【解析】
根据梯形蝴蝶定理，
:1:1.52:3a b
==
，
2222::2:34:9AOD BOC S S a
b
??
===
，
所以
(
24cm AOD S
?=
．
【巩固】如图，梯形
ABCD
中，
AOB
?
、
COD ?
的面积分别为
1.2
和
2.7
，求<
/p>
梯形
ABCD
的面积．
D
C
B
A
【解析】
根据梯形蝴蝶定理，
22::4:9AOB
ACOD
S
S
a b ==
，所以
:2:3a b
=
，
2:::3:2AOD AOB
S S ab a b a ===
，
3
1.21.82
AOD COB S S
==
?
=
，
1.21.81.82.77.5ABCD S
=+++=
梯形．
【例
15
】
如下图，一个长方形被一些直
线分成了若干个小块，已知三角形
ADG
的面积是
11
，三角形
BCH
的
面积是
23
，求四边形
EGFH
的面积．
G F
E D
C
B A
G F
E
D
C
B A
【解析】
如图，连结
EF
，显然四边形
ADEF
和四边形
BCEF
都是梯形，于
是我们可以得到三角形
EFG
的面
积等于三角形
ADG
的面积；三角形
BCH
的面积等于三角形
EFH
的面积，所
以四边形
EGFH
的面积是
112334+=
．
【巩固】
(
人大附中入学测
试题
如图，长方形中，若三角形
1<
/p>
的面积与三角形
3
的面积比为
4
比
5
，四边形
2
的面积为
36
，则
三角形
1
的面积为
________<
/p>
．
321 3