-
半角模型
1
已知如图:①∠
2
=
∠
AOB
;②
OA
=
OB
.
2
O
1
2
3
F
E
A
<
/p>
连接
FB
,将△
FOB
绕点
O
旋转至△
FOA
的位置,连接
F
′
p>
E
,
FE
,
可得△
OEF
≌△
OEF
′
B
O
F'
4
1<
/p>
2
3
F
E
A
模型分析
∵△
OBF
≌△
OAF
′,
∴∠
3
=
∠
4
,
OF
=
OF
′
.
1
∴∠
2
=
∠
A
OB
,
2
∴
∠
1
+
∠
3<
/p>
=
∠
2
∴∠
1
+
∠
4
=
∠
2
又∵
OE
是公共边,
p>
∴△
OEF
≌△
OEF
′
.
(
1
)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个
角共顶点;
(
2
)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系;
(
3
)常见的半角模型是
90
°含
45
°,
120
°含
60
°
.
模型实例
例
1
已知
,正方形
ABCD
中,∠
MAN=45
°
,它的两边分别交线段
CB
、
DC
于点
M
、
N
.
B
(
1
p>
)求证:
BM+DN=MN
.
(
2
)作
AH
⊥
MN
于点
H
,求证:
AH=AB
.<
/p>
证明:(
1
)延长
ND
到
E
,使
DE=BM
,
< br>
∵四边形
ABCD
是正方形,∴
AD=AB
.<
/p>
在
△
p>
ADE
和
△
ABM
中,
?
AD
?
AB
?
p>
?
?
ADE
?
p>
?
B
?
DE
?
BM
?
∴△
ADE
≌△
ABM
.
∴
AE=AM
,∠
DAE=
∠
BAM
∵∠
MAN=45°
,∴∠
BAM+
∠
NAD=4
5°
.
∴
∠
MAN
=
∠
EAN=45°
.
在
△
p>
AMN
和
△
AEN
中,
?
MA
?
EA
?
p>
?
?
MAN
?
p>
?
EAN
?
p>
AN
?
AN
?
p>
∴△
AMN
≌△
AEN
.
∴
MN=EN
.
∴
BM+
DN=DE+DN=EN=MN
.
(
p>
2
)由(
1
)知,
△
AMN
≌△
AEN
.
∴
p>
S
△
AMN
=S<
/p>
△
AEN
.
1
1
即
p>
AH
?
MN
?
p>
AD
?
EN
.
p>
2
2
p>
又∵
MN=EN
,
∴
AH=AD
.
即
AH=
AB
.
例
2
在等
边
△
ABC
的两边
AB
、
AC
上分别有两点
M
、
N
,
D
为
△
ABC
外一点,且
∠
MDN=6
0°
,∠
BDC=120°
,
BD=DC
.探究:当
M
、
N
分别在线段
AB
、
AC
上移动时,
BM
、
NC
、
MN
之
间的数量关系.
(
1
)如图①,当
DM=DN
时,
BM
、
NC
、
MN
之间的数量关系是
_______________
;
(
2
)如图②,当
DM≠DN
p>
时,猜想(
1
)问的结论还成立吗?写出你
的猜想并加以证明.
图①
图②
解答
(
1<
/p>
)
BM
、
NC<
/p>
、
MN
之间的数量关系是
BM+NC=MN
.
(
p>
2
)猜想:
BM+NC=MN
.
证明:如图③,延长
A
C
至
E
,使
C
E=BM
,连接
DE
.
∵
p>
BD=CD
,且∠
BDC=120°
,
p>
∴∠
DBC=
∠
D
CB=30°
.
又∵△
ABC
是等边三角形,
p>
∴∠
ABC=
∠
A
CB=60°
.
∴∠
MBD=
∠
NCD=90°
.
在
△
p>
MBD
与
△
ECD
中,
p>
∵
DB=DC
,∠
DBM=
∠
DCE=90°
,
BM=CE
,
∴
△
MBD
≌△
ECD
(
SAS
).
∴
DM=DE
,∠
BDM=
∠
CDE
.
p>
∴∠
EDN=
∠
B
DC-
∠
MDN=60°
.
在
p>
△
MDN
和
△
p>
EDN
中,
∵
MD=ED
,∠
MDN=
∠
EDN=60°
p>
,
DN=DN
,
∴
△
p>
MDN
≌△
EDN
(
SAS
).
∴
MN=
NE=NC+CE=NC+BM
.
图③
例
3
如图
,在四边形
ABCD
中,∠
B+
∠
ADC=180°
,
AB=AD
,
E
、
< br>F
分别是
BC
、
CD
延
长线上的点,且∠<
/p>
EAF=
1
∠
B
AD
.求证:
EF=BE-
FD
.
2
证明:在
BE
上截取
< br>BG
,使
BG=DF
,连接
p>
AG
.
∵∠
B+
∠
ADC=180°
,∠
ADF+
∠
ADC=180°
,
∴∠
B=
∠
ADF
.
p>
在
△
ABG
和
p>
△
ADF
中,
<
/p>
?
AB
?
AD<
/p>
?
?
?
p>
B
?
?
ADF
p>
?
BG
?
DF
?
∴
△
ABG
≌△
ADF
(
SAS
< br>).
∴∠<
/p>
BAG=
∠
DAF
,
AG=AF
.
∴∠
GA
F=
∠
BAD
.
1
1
∠
B
AD=
∠
GAF
.
2
2
∴∠<
/p>
GAE=
∠
EAF
.
在
△
p>
AEG
和
△
AEF
中,
∴∠<
/p>
EAF=
?
AG
?
AF
?
?
p>
?
GAE
?
?
p>
FAE
?
AE<
/p>
?
AE
?
∴
△
AEG
≌△
AEF
(
SAS
).
∴
EG=EF
.
∵
EG=BE-
BG
,
∴
EF=BE-
FD
.
练习:
1
.
已知,正方形
ABCD
,
M
在
CB
延长线上,
N
p>
在
DC
延长线上,∠
MAN=45°
.
求证:
MN=DN-
BM
.
【答案】
证明:如图,在
DN
上截取
DE=MB
,
连接
AE
,
∵四边形
ABCD
< br>是正方形,
p>
∴
AD=AB
,∠
D=
∠
ABC=90°
.
在
p>
△
ABM
和
△
p>
ADE
中,
?<
/p>
AD
?
AB
?<
/p>
?
?
p>
D
?
?
ABM
p>
?
BM
?
DE
?
p>
∴△
ABM
≌△
A
DE
.
p>
∴
AM=AE
,
∠
MAB=
∠
EAD
.
p>
∵∠
MAN=45°
=
∠
MAB+
∠
BAN
,
p>
∴∠
DAE+
∠
B
AN=45°
.
∴∠
EAN=90°
-45°
=45°
=
∠
MAN
.
在
△
AMN
和
△
AEN
中
,
?
AM
?
AE
?
p>
?
?
MAN
?
p>
?
EAN
?
p>
AN
?
AN
?
p>
∴△
AB
M
≌△
ADE
.
∴
MN=
EN
.
∵
DN-
DE=EN
.
∴
DN-
BM=MN
.
2
p>
.已知,如图①在
Rt
△
< br>ABC
中,∠
BAC=90°
,
AB=AC
,点
D
、
E
分别为线段
BC
上两动
点,若∠
DAE=45°
,探究线段
BD
、
DE<
/p>
、
EC
三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:把
△
AEC
绕点
A
顺时针旋转
90°
,得到
△
ABE′
,连接
E′D
使问题得到解
决.请你参考小明的思路探究并解决以下问题:
(
1
p>
)猜想
BD
、
DE
、
EC
三条线段之间的数量关系式,并
对你的猜想给予证明;
(
2
)当动点
E
在线段
BC
上,动点
D
运动到线段
CB
延长线上时,如图②
,其他条件不
变,(
1
)
中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明.
图①
图②
【答案】
解答:(
< br>1
)猜想:
DE
2
=BD
2
+EC
2
.
证明:将
△
AEC
绕点
A
顺时针
旋转
90°
得到
△
ABE′
,如图①
∴△
ACE
≌△
ABE′
.
∴
BE′
=EC
,
AE′=AE
,∠
C=
∠
ABE′
,∠
p>
EAC=
∠
E′AB
.
在
p>
Rt
△
ABC
中,
∵
p>
AB=AC
,
∴∠
ABC=
∠
ACB=45°
.
∴∠
AB
C+
∠
ABE′=90°
,即∠
E′BD=90°
.
∴
E′B
2
+BD
2
=
E′D
2
.
又∵∠
DAE=45°
,
p>
∴∠
BAD+
∠
E
AC=45°
.
∴∠
E′AB+
∠
BAD=45°
,即∠
E′AD
=45°
.
∴△
AE′D
≌△
AED
.
∴
p>
DE=DE′
.
∴
DE
2<
/p>
=BD
2
+EC
2
.
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