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8
字模型与飞镖模型
模型
1
：角
的
8
字模型
如图所示，
AC
、
BD
相交于点
O
，连接
AD
、
BC
．
结论：
∠
A
＋∠
D
＝
∠
B
＋∠
C
．
A
D
O
B
C
模型分析
证法一：
∵∠
AOB
是
△
AOD
< br>的外角，∴∠
A
＋∠
D
＝∠
AOB
．∵∠
AO
B
是
△
BOC
的外角，
∴∠
B
＋∠
C
＝∠
AOB
．∴∠
A
＋∠
D
＝∠
B
＋∠
C
．
证法二：
∵∠
A
＋∠
D
＋∠
AOD
＝
180
°
，∴∠
A
＋∠
D
＝
180
°
－∠
AOD
．∵∠
B
＋∠
C
＋∠
BOC
＝
180
°
，
∴∠
B
＋∠
C
＝
180
°
－∠
BOC
．又∵∠
AOD
＝∠
BOC
，∴∠
A
＋∠
D
＝∠
B
＋∠
C
．
（
1
）因为这个图形像数字
8
，所以
我们往往把这个模型称为
8
字模型．
（
2
）
8
字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．
模型实例
观察下列图形，计算角度：
（
1
）如图①，∠
A
＋
∠
B
＋∠
C
＋
∠
D
＋∠
E
＝
________
；
A
E
B
F
C
图①
D
E
C
A
A
B
A
E
B
1
O
2
C
D
D
B
C
F
1
2
G
E
D
< br>图④
图
图③
解法一
：利用角的
8
字模型．如图③，连接
C
D
．∵∠
BOC
是△
< br>BOE
的外角，
∴∠
B
＋∠
E
＝∠
BOC
．∵∠
BOC
是
△
COD
的外角，∴∠
1
＋∠
2
＝∠
BOC
．
∴∠
B
＋∠
E
＝∠
1
＋∠
2
．（角的
8
字模型），∴∠
A
＋∠
B
＋∠
ACE
＋∠
< br>ADB
＋∠
E
＝∠
A
＋∠
ACE
＋∠
ADB
＋∠
1
＋∠
2
＝∠
A
＋∠
ACD
＋∠
AD
C
＝
180
°
．
解法二：如图④，利用三角形外
角和定理．∵∠
1
是△
FCE
的外角，∴∠
1
＝∠
C
＋∠
E
．
<
/p>
∵∠
2
是△
GB
D
的外角，∴∠
2
＝∠
B
＋∠
D
．
< br>
∴∠
A
＋∠
< br>B
＋∠
C
＋∠
< br>D
＋∠
E
＝∠
< br>A
＋∠
1
＋∠
< br>2
＝
180
°
< br>．
（
2
）如图②，∠
A
＋∠
B
＋∠
C
＋∠
D
＋∠
E
＋∠
F
＝
_
_______
．
A
E
F
E
图②
< br>D
C
B
A
O
F
E
1
2
3
P
图⑤
B<
/p>
A
O
B
Q
C
D
F
1
2
图⑥
E
D
C
（
2
）解法
一：
如图⑤，利用角的
8
字模型．∵∠
AOP
是△
AOB
的外角，∴∠
A
＋∠
B
＝∠
AOP
．
∵∠
AOP
是△
OPQ
的外角，∴∠
1
＋∠
3
＝∠
AOP
．∴∠
A
＋∠
B
＝∠
1
＋∠
3
．①（角的
8
字
模型），同
理可证：∠
C
＋∠
D
< br>＝∠
1
＋∠
2
< br>．②
，∠
< br>E
＋∠
F
＝∠
< br>2
＋∠
3
．③
< br>
由①＋②＋③得：∠
A
＋∠<
/p>
B
＋∠
C
＋∠<
/p>
D
＋∠
E
＋∠<
/p>
F
＝
2
（∠
1
＋∠
2
＋∠
3
）＝
360
°．
解法二：利用角的
8
字模型．如图⑥，连接
DE
．∵∠
AOE
是△
AOB
的外角，
∴∠
A
＋∠
B
＝∠
AOE
．∵∠
AOE
是△
OED
的外角，∴∠
1
＋∠
2
＝∠
AOE
．
∴∠
A
＋∠
B
＝∠
1
＋∠
2
．（角的
8
字模型）
∴∠
A
＋∠
B
＋∠
C
＋∠
A
DC
＋∠
FEB
＋∠
< br>F
＝∠
1
＋∠
< br>2
＋∠
C
＋∠
< br>ADC
＋∠
FEB
＋∠
F
＝
360
°．（四
边形内角和为
360
°）
练习：
1
．
（
1
）如图①，求：∠
CAD
＋∠
B
＋∠
C
＋∠
D
＋∠
E
＝
；
A
B
O
E
B
C
C
D
图①
图
D
A
O
E
解：如图，∵∠
1=
∠
B+
∠
D
，∠
2=
∠
C+
∠
CAD
，
∴∠
CAD+
∠
B+
∠
C+
∠
D+
∠
E=
∠
1+
∠
2+
∠
E=180
°．
故答案为：
180
°
解法二：
（
2
）如图
②，求：∠
CAD
＋∠
B
＋∠
ACE
＋∠
D
＋∠
E
＝
．
A
B
C
D
图②
O
E
解：由三角形
的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，
又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠
CAD
< br>＋∠
B
＋∠
ACE
＋∠
D
＋∠
E
＝180°
解法二：
2
．如图，求：∠
< br>A
＋∠
B
＋∠
< br>C
＋∠
D
＋∠
< br>E
＋∠
F
＋∠
< br>G
＋∠
H
＝
．
E
F
D
G
C<
/p>
H
A
B
解：
∵∠
G+∠D=∠3，
∠F+∠C=∠4，
∠E+∠H=∠2，
∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，
<
/p>
∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠
4+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°
解法二：
模型
2
：角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠
D
＝
∠
A
＋∠
B
＋
∠
C
．
A<
/p>
A
A
D
3
1
2
D
B
C
B
D
4
C
B
1
2
图②
3
4
< br>图①
C
模型分析
解法一：如图①，作射线
AD
．
∵∠
3
是△
ABD
的外角，∴∠
3
＝∠
< br>B
＋∠
1
，∵∠
4
是△
ACD
的外角，∴∠<
/p>
4
＝∠
C
＋∠<
/p>
2
∴∠
BDC
＝∠
3
＋∠
4
，∴∠
BDC
＝∠
B
< br>＋∠
1
＋∠
2
< br>＋∠
C
，∴∠
BDC
＝∠
BAC
＋∠
B
＋∠
C
解法二：如
图②，连接
BC
．
< br>∵∠
2
＋∠
4
< br>＋∠
D
＝
180
°，∴∠
D
＝
180
°－（∠
2
＋∠
4
）
∵∠
1
＋∠
2
＋∠
3
＋∠
4
＋∠
A
＝
180
°，∴∠
A
＋∠
1
＋∠
3
＝
180
°－（∠
2
＋∠
4
）
∴∠
D
＝∠
A
＋∠
1
＋∠
3.
（
1
）因为这个图形像飞镖，
所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．
（
< br>2
）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．
模型实例
如图，在四边形
ABCD
中，
AM
、
CM
分别平分∠
DAB
和∠
DCB
，
AM
与
CM
交于
M
，探究∠
AMC
与∠
B
、∠
D
间的数量关系．
A
D
B
M
A
1
B
3
4
2
C
D
M
C
解答：利用角的飞镖模型
如图所示，
连接
DM
并延长．∵∠
3
是△
AMD
的外角，∴∠
3
＝∠
1
＋∠
A
DM
，
∵∠
4
是△
CMD
的外角，∴∠
4
＝∠
2
＋∠
CDM
，∵∠
AMC
＝∠
3
＋∠
4
∴
∠
AMC
＝∠
1
＋∠
ADM
＋∠
CDM
＋∠
2
，∴∠
AMC
＝∠
1
＋∠
2
＋∠
ADC
．（角的飞镖模型）
∵
AM
、
CM
分别平分∠
DAB
和∠<
/p>
DCB
，∴
?
1
?
∴
?
AMC
?
?
BAD
?
BCD
，
?
2
?
，
2
2
360
?
?
?
?
B
?
?
ADC
?
?
BAD
?
BCD
?
?
ADC
（四边形内角和
< br>?
?
?
ADC
< br>，∴
?
AMC
?
2
2
2
360
°），∴
?
AMC
?
360
?
?
?
B
?
?
ADC
，∴
2
∠<
/p>
AMC
＋∠
B
－
∠
ADC
＝
360
°
.
2
练习：
1
．
如图，求∠
A+
∠
B+
∠
C+
∠
D+
∠
E+
∠
F=
.
A
E
115°
C
B
D
F
【答案】
230
°
提示：∠
C+
∠
E+
∠
D=
∠
EOC=115
?
.
（飞镖模
型），∠
A+
∠
B+
< br>∠
F=
∠
BOF=115
?
.
∠
A+
∠
B+
∠
C+
∠
D+
∠
E+
∠
F=115
?
+1
15
?
=230
?
2
．如图，求∠
A+
∠
B+
∠
C+
∠
D= .
D
105°
C
D
2
105°
1
4
3
C
115°
115°
A<
/p>
B
A
B
【答案】
220
°
提示：如图所示，连接
BD.
∠
AED=
∠
A+
∠
3+
∠
1
，∠
BFC=
∠
2+
∠
4+
∠
C
，
∠
A+
∠
ABF+
∠
C+
∠
CDE=
∠
A+
< br>∠
3+
∠
1+
< br>∠
2+
∠
4+
< br>∠
C=
∠
AED+
∠
BFC=220
?