-
1.1
集合
1
、
B
包含于
A
，但
B
不是
A
的真子集，这个情况什么时候能出现？
解
由题设及真子集定义得，
A
的每一个元都属于
B
，因此
A
属于
B
，
B
属于
A
，得
A=B
。所以上述情形在
A=B<
/p>
的情况下出现。
2
、假设
A
包含于
B,A
∩
B=?
A
∪
B=?
解
（
i
）由于
A
包含于
B
，所以
A
的每一个元都属于
B
，即
A
的每一个元都是
A
和
B
的公共
元，因而由交集的定义得
A
包
含于
A
∩
B
，但显
然有
A
∩
B
包
含于
A
，所以
A
∩
B=A
（
ii
< br>）
由并集的定义，
A
∪
B
的每一个元都属于
A
和
B
之一，
但
A
包含于
B
，
所以
A
∪
B
的
每一元都属于
B
：
A
< br>∪
B
包含于
B
< br>。
另一方面
B
包含于
A
∪
B
，所以
A
∪
B=B
。
1.2
映射
1
、
A={1
，
2
，??，
100}
。找一个
AxA
到
A
的映射。
解
用（<
/p>
a
，
b
）表示<
/p>
AxA
的任意元素，
a
< br>和
b
都属于
A
< br>。按照定义做一个满足要求的映射即可，例如
Ф
：
（<
/p>
a
，
b
）→
a
就
是这样的一个，因为
Ф
替
AxA
的任何元素（<
/p>
a
，
b
）规定了
一个唯一的象
a
，而
a
∈
A
。
2
、习题
1
的映射下是不是每一个
元都是
AxA
的一个元的象？
解
映射<
/p>
Ф
之下，
A
的每
一个元素都是
AxA
的一个元的象，因为（
a
，
b
）中的
a
可以是
A
的任一元素。
1.3
代数运算
1
、
A={
所
有不等于零的偶数
}
。找一个集合
D<
/p>
，使得普通乘法是
AxA
到
D
的代数运算。是不是找得到一个这样的
D
？
解
一个不等于零的偶数除一个不等于零的偶数所得结果总是一个不等于零的有理数。
< br>所以取
D={
所有不等于零的有理数
}
，
普通除法就是一个
AxA
到
D
的代数运算。
2
、
A={a,b,c}.
规定
A
的两个不同的代数运算。
解
（
i
）用运算表给出
A
的
一个代数运算：
o
按照这个表，通过
o
，对于
A
的人和两个元素都
可以得出一个唯一确定的结果
a
来，而
a
仍属于
A
。所以
o
是
A
的一个
代数运算。
这个代数运算也可以用一下方式来加以描述<
/p>
o
：
（
x
，
y
）
→
a=x
o
y
对一切
x
，
y
∈
A
(ii)
同理
o
：
（
x
，
y
）
→
x=x
o
y
对一切
x
，
y
∈
A
也是
A<
/p>
的一个代数运算。
（列表亦可）
1.4
结合律
1
、
A=
{
所有
不等于零的实数
}
。
O
是普通除法：
a
o
b=a / b
这个代数运算适不适合结合律？
解
这个代数运算
o
不适合结合律。例如，当
a
= 4
，
b = c = 2
时
( a
o
b
）
o
c =
(4
o2)o2 =4/2
o2=2/2=1
a
o(
b
o
c) =
4
o(2o2) =4
o(2/2)=4/1=4
所以
当
a
，
b
和
c
取上述值时
( a
o
b
）
o
c
≠
a
o(
b
o
c)
。
2
、
A=
{
所有实数
}
。代数运算
o
：
(a
，
b)
→
a+2b=
a
o
b
适不适合结合律？
解
略
3
、
A=
{a,b,c}.
由表
给出的代数运算适不适合结合律？
解
所给代数运算
o
适合结合律。为得出结论，需对元素
a
，
< br>b
，
c
的
27
（
=3
3
）种排列（元素允许重复出现）加以验证。
1
b
c
b
c
c
a
a
b
a
a
a
b
b
c
c
b
c
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
c
a
但利用元素
< br>a
的特征，
可把验证简化。
仔细
考察运算表，
发现以下规律：
对集合
A
的任意元素
x
来说，
< br>都有
a
o
x=x
o
a=x
由此得
出，对于有
a
出现的排列，结合律都成立。剩下不出现
a
的排列共有
8
（
=2
3
）种。现验证
4
种：
( b
o
b
)
ob=
c
o
b=a
b
o(
b<
/p>
o
c)=b
o
c
=a
所以
( b
o
b)
ob=
b
o(
b
o
c)
< br>(b
o
b)
o
< br>c=c
o
c=b
b
o(
b
o
c)=
b
oa=b
所以
(b
o
b)
o
c= b<
/p>
o(
b
o
c)
(
b
o
c)<
/p>
o
b=a
o
b=
b
b
o(
c
o<
/p>
b)=b
o
a=b
所以
(
b
o
c)
o
b= b
o(
c
o
b)
(
b
o
c)
o
c
=a
oc=c
b
o(
c
o
c)=
b
ob=c
所以
(b
o
c)
o
c= b<
/p>
o(
c
o
c)
1.4
交换律
1
、
A=
{
所有实数
}
。
O
是普通减法：
aob=a-b
这个代数运算适不适合交换律
/
解
容易验证，当
a=1
，
b=2
时
，
aob
≠
boa
。所以这个代数运算不适合交换律。
2
、
A={a,b,c
，
d}
。
由表
：
所给代数运算适不适合交换律？
解
考察运算表，关于主对角线对称的位置上，有没有不相同的元
素。
1.6
分配律
假定⊙，
⊕
是
A
的两个代数运算，并且
⊕
适合结合律
，
⊙，
⊕
是和
两个分配律。证明
：
(
a
1
⊙
b
< br>1
)
⊕
(
a
1
⊙
b
2
)
⊕
(
a
2
⊙
b
1
)
⊕
(
a
2
⊙
b
2
< br>) =(
a
1
⊙
b
1
)
⊕
(
a
2
⊙
b
1
)
⊕
(<
/p>
a
1
⊙
b
2
)
⊕
(
a
2
⊙
b
2
)
解
(
a
1
⊙
b
1
)
⊕
(
a
1
⊙
b
2
)
⊕
(
a<
/p>
2
⊙
b
1
)
⊕
(
a
2
⊙
b
2
)
=
a
1
< br>⊙
(
b
1
⊕
b
2
)
⊕
a
2
⊙
(
b
1
⊕
b
2
)
=(
a
1
⊕
a
2)
⊙
(
b
1<
/p>
⊕
b
2
)
=(
a
1
⊕
a
2
)
⊙
b
1
⊕
(
a
1
⊕
a
< br>2)
⊙
b
2
=(
a
1
⊙
b
1
)
⊕
(
a
2
⊙
b
1
)
⊕
(
< br>a
1
⊙
b
2
)
⊕
(
a
2
⊙
b
2
)
1.7
一一映射
、变换
1
、
A={
所有＞
0
实数
}
。
A
={
所有实数
}
。找一个
A
与
A
间的一
一映射。
解
Ф
：
x
→㏒
x
对一切
x
∈
A
是一个
A
与
A
间的一一映射。<
/p>
首先，给了任一
x
∈
A
，即任一大于
0
的实数
x
，
㏒
x
是一个实数，即㏒
x<
/p>
∈
A
，并且㏒
x
是唯一确定的，所以
Ф
是一个
A
与
A
间的映射。
其次，
对于任一
y
∈
A
，
< br>即任一实数
y
，
10
=x
是一个大于
0
的实
数，
而在
Ф
之下，
x
→㏒
x
=
㏒
10
=y
，
-
-
-
-
-
-
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
d
a
c
c
c
a
b
a
d
d
c
d
b
y
y
所以
Ф
是一个
A
与
A
-
间的满射。
最后，若是
x
1
，
x
2
∈
A
，并且
x
1
≠
x
2
< br>
，那么
㏒
x
< br>1
≠
㏒
x
2
，
所以
Ф
是一个<
/p>
A
与
A
间的单射
。
这样，
Ф
是一个
A
与
A
间的一一映射。
2
、
A = {
所有?
0
的实数
}
< br>。
A
={
所有实数
a
，
0
?
a
?
1
< br>}
。
找一个
A
与
A
间的满射。
-
-
-
-
-
-
解
Ф
：
x
→
x
若
0
?
x
<1
；
x
→
1/x
若
x
?
1
是一个
A
与
A
间的满射。
-
首先，
Ф
替每一个
x
∈
A
，规定了一个确定的象
Ф
(x)<
/p>
，而
0
?
Ф
?
1
，
所以
Ф
是一个
A
与
A
间的映射。
其次，在
Ф
之
-
下，
A
的每一个元
a
都是
A
中的一个元，即
a<
/p>
本身的象，
所以
Ф
是一个
A
与
A
间的满射。
亦可证明：
-
-
-
-
Ф
1
：
x
→
|sin
x|
x
∈
A
。
Ф
2
：
x
→
0
0
?
x
<1
；
x
→
1/x
x
?
1
。
都是
A
与
A
间的满射。
-
3
、
假定
Ф
是一个
A
与
A
间的一一映射，
a
是
A
的一个元。
Ф
[
Ф
(a)]=
？
Ф
[
Ф
(a)]=
？
-
-1
-1
若
Ф
是一个
A
的一一变换，这两个问题的回答又该是什么？
-
解
当
Ф
是一个
A
与
A
间的一一映射时，
Ф
[
Ф
(a)]=a
Ф
[
Ф
(a)]
未必有意义
，
若
Ф
是一个
A
的一一变换，
那么，
-1
-1
Ф
[
Ф
(a)]=a
Ф
< br>[
Ф
(a)]=a
。
1.8
同态
1
、
A = {
所有的实数
x}
。
A
的代数运算是普通乘法。一下映射是不是
A
到
A
的一个子集
A
的同态
满射？
a)
x
→
|x| b)
x
→
2x c)
x
→
x
d)
x
→
-x
2
2
-
-1
-1
解
a)
取
A
={
所有?
0
的实数
}
。则
A
=A
，
而
Ф
1
：
x
→
|
x|=
Ф
1
(x) x
∈
A
是
A
到
A<
/p>
的一个同态满射。因为：对
-
-
-
任一实数
x
，
|x|
是一个唯一确定的?
0
的实数，
所以
Ф
1
是
A
到
A
的一个映射
;
若
x
∈
A
，
那么
x
∈
A
，
< br>
而
Ф
1
(
x
)=
|x
|=
x
,
-
-
-
-
-
-
-
所以
Ф
1
是
A
到
A
的一个满射；对任意
x<
/p>
，
y
∈
A
，
Ф
1
(
x
y)=
|x
y|=
|x||y|=
Ф
1
(
x
)
Ф
1
(y)
，所以
Ф
1
是
A
到
A
的一个同
-
-
态满射。
b)
当
x
取遍一切实数时，
2x
也取遍一切实数值。
易证。
Ф
2
：
x
→
2x
=
Ф
2
(x)
是
A
到
A
的一个满射，但
Ф
-
2
不是
< br>A
到
A
的一个同态满射。
因为：取
A
的数
2
和
3
< br>，
那么
Ф
2
(2)=4
Ф
2
(3)=6
-
Ф
2
（
2
·
3
）
=
Ф
2
(6)=12
≠
Ф
2
（
2
）
Ф
2
（
3
）
c)
取
A
=
{<
/p>
所有?
0
的实数
}
。那么
A
-
包含于
A
。
Ф
3
：
x
→
x
2
=
Ф
3
(x)
x
∈
A
是
A
到
A
的一个同态满射。
d)
当
x
取遍一切实数值时，
-x
也取遍一切实数值。
易证
;
Ф
4
: x
→
-x=
Ф
4
(x) x
∈
A
是
A
到
A
的一个满射，但不是一个同态满射。
2
、
假定<
/p>
A
和
A
对代数运
算
o
和
o
来说
同态，而
A
和
A
对于代数运算
o
和
o
来说同态。证明
A
和
A
对于
代数运算
o
和
o
来说同态。
解
由题设存在
A
到
A
的一个同态满射
Ф
1
：
a
→
a
=
Ф<
/p>
1
(a) a
∈
A
，
a
∈
A
并且对于
A
的任意两个元素
a
-
=<
/p>
=
-
-
-
=
-
=
-
-
-
-
-
和
b
来说
Ф
1
(aob)
=
a
o
b
=
Ф
1
(a)
o
Ф
1
(b)
同样存在
A
到
A
的一个同态满射
Ф
2
：
a
→
a
=
Ф
2
(
a
)
a
∈
A<
/p>
，
a
∈
A
并且对于
A
的任意两个元素
-
=
< br>-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
=
=
a
和
b
来说
Ф
2
(
a
o
b
) =
a<
/p>
o
b
=
Ф
2
(
a
-
)
o
Ф
2
(
b
-
< br>)
=
如下定义
Ф
：
a
→
Ф
2
[
Ф
1
(
a
)] a
∈
A
那么
Ф
是
A<
/p>
到
A
的一个同态满射。
< br>
因为：
(i)
-
=
由于
Ф
1
和
Ф
2
是同态
满射，所以对于任何
a
∈
A
，
Ф
1
(a)
是
A
的一个唯一确定的元素，而
Ф
2
[
Ф
1
(
a
)]
是
A
的一个唯一确定
=
=
-
-
=
< br>的元素，因而
Ф
是
A
到
A
的一个映射。
(ii)
由于同一原因，对于任何
a
∈
A
,
存在一个元素
< br>a
∈
A
,
使得
Ф
=
-
=
-
-
使得
Ф
1
(a)=
a
，
因此在
Ф
之下，
a
→
Ф
2
[
Ф
1
(
a
)]=
Ф
2
(
a
)=
a
。
因而
Ф
是
2
(
a
)=
a
<
/p>
，并且存在一个元素
a
∈
A
，
A
到
< br>A
的一个满射。
(iii)
由于同一原因，对于
A
的任何两个元素
a
和
b
，
Ф
(aob) =
Ф
< br>2
[
Ф
1
(
aob
)] =
Ф
2
[
Ф
1
(
a
)o
Ф
1
(
b
)] =
Ф
2
[
Ф
1
(
a
)]
o
Ф
2
[<
/p>
Ф
1
(
b
)] =
Ф
(a)
o
Ф
(b)
。
-
=
=
=<
/p>
-
-
-
-
-
=
=
=
=
因而
Ф
是
A
到
A
的一个同态满射。<
/p>
1.9
同构
自同构
1
、
A={a,b,c}.
代数运算
o
由下表给定：
找出所有
A
的一一变换，对于代数运算
o
来说，这些一一变换是否都是<
/p>
A
的自同构？
解
A
共有
6(=3!)
个一一变换，即
Ф
1
：
a
→
a
b
→
b
c
→
c
Ф
2
：
a
→
a
b
→
c
c
→
b
b
c
c
c
c
c
c
c
a
a
c
b
c
c
c
=
Ф
3
：
a
→
b
b
→
c
c
→
a
Ф
4
：
a
→
b
b
→
a
c
→
c
Ф
5
：
a
→
c
b
→
b
c
→
a
Ф
6
：
a
→
c
b
→
a
c
→
b
对于代数运算
o
来说，
Ф
1
和
Ф
< br>4
是
A
的自同构，其余
4
个都不是。这是因为，若
Ф
< br>1
是一个
A
的自同构，那么对<
/p>
A
的
任何元素
x
和
y
，将有
(1)
Ф
1
(xoy) =
Ф
1
(c) =
Ф
1
(x) o
Ф
1
(y) = c
因而
(2)
Ф
1
(c) = c
反过来，若
(2)
成立，那么
(1)
也成立。
2
、
A = {
< br>所有的有理数
}
。
找一个
A
的对于普通假发来说的自同构。<
/p>
（映射
x
→
x
除外）
。
解
设
k
是任一有理数，且
k
≠
0
，
k
≠
1
。
那么
Ф
：
x
→
kx
x
∈
A
是
A
的一个对于
加法来说的自同构，
并
且
Ф
显然不是映射
x
< br>→
x
。
Ф
是
A
的一个一一变换。
令
x
和
y
是
A
的任意两个元素，<
/p>
那么
Ф
：
3
x+y
→
Ф
(x+y)
=k(x+y) = kx+ky =
Ф
(x) +
Ф
(y)
所以
Ф
是
A
< br>的一个自同构。
（试
证，
A
只有以下对于加法来说的自同构
x
→
kx
x
∈
A
，
k
是
≠
0
的有
理数。
-
-
3
、
A = {
所有的有理数<
/p>
}
。
A
的代数运算是普通加法。
A
= {
所有
≠
0
的有理数
}
。
A
的代数运算是普通乘法。
证明，对于给的代数运算来说，
A
和
A
间没
有同构映射存在。
（先决定
0
在一个同
构映射下的象。
）
解
设
Ф
是
A
与
A
间对于所给代数运算的一个同构映射，而
Ф
(0) =
a
。
那么由于
Ф
是同构映射，
有
-
-
-<
/p>
Ф
(0) =
Ф
(0+0) =
Ф
(0)
Ф
(0) = a
但同构映射是单射，所以得
a
= a
。
于是有
- 2
-
-
-
-
-
-
-<
/p>
a
- a
=
a
（
a
-
1
）
= 0
但
a
∈
A
-
，所以
a
≠
0
，
因而
a
-1= 0 ,
即
a
=1.
-
这样
Ф
(0) = 1
①
由于
Ф
是满射，
A
的元
-1
必是
A
的某一元
a
的象：
2
Ф
(a) =
-1
。
由是得
Ф
(2
a
)
=
Ф
(a+a) =
Ф
(a)
Ф
(a) =
(-1)
= 1 .
-
于是由
Ф
是单射，得
2
a
= 0
，
而
Ф
(0) = -1
，
与
①
矛盾。这说明，在
A
与
A
间对所给代数运算来说不
存在
同构映射。
（另
证明：
设
Ф
(a)
= 2
。
考虑
Ф
(a/2+a/2)
）
1.10
等价关系与集合分类
1
、
A = {
所有的实数
}
。
A
的元间的关系
>
以及
?
是不是等价关系？
解
>
不是等价关系。这个关系不满足反射律：
a
>
a
不成立。
?
也不是等价关系，它不满足对称律，例如，
3
?
2 ,
但
2
?
3
不成立。
2
、
有人说，假如一个关系
R
适合对称律
和推移律，那么它也适合反射律。他的推论方法是：因为
R
适合对称律
a R b
→
b R a
因为
R
适合推移律
a R b
，
b R a
→
a R a
这个推论方法有什么错
误？
解
这个推论方法的错误在于，对
于“等价关系”定义的陈述没有准取得理解。
a R b
→
b R a
的意思是：由
a
R b
可得
b R a
；假如对于某一元素
a
，找不到任何元素
b
，使得
a R b
成立，那么就得不出
b R a
，因而也就得
不出
a R a
。
例如令
A
是整数集，如下定义
A
的元间的关系<
/p>
R
：
a R b
当且仅当
ab > 0
。
R
显然满足对
称律和推移律，但
R
不满足反射律，因为
0 R 0
不成立。
3
、
仿照例
3
规定整数间的关系
a
≡
b (-5)
证明所规定的是一个等价关系，并且找出模
-5
的剩
余类。
解
可完全仿照例
3
。
2.1
、
1
、
群的定义
全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？
-
2
-
-
2
解
不是
。
因为普通减法不适合结合律。
例如，
3-(2-1) =3-1=2
（
3-2
）
-1=1-
1=0
3-(2-1)
≠
（
3-2
）
-1
。
2
、
举一个有两个元的群的例子。
e
a
解
令
G = { e
，
e }
，
G
的乘法由下表给出
首先，容易验证，这个代数运算满足结合律。
(1)
(x y) z = x (y z) x ,y ,z
∈
G
因为，由于
c a = a c = a
,
若是元素
e
在
(1)
中出现，那么
(1)
成立。若是元素
e
不在
(1)
中出现，那么有
e
a
e
a
a
e
(a a) a = e
a = a , a (a a) = a e = a
而
(1)
成立。
其次，
G
有左单位元，就是
e
，
e
有左逆元，就是
e
，
a
有左逆元，就是
a
。所以
G
是一个群。
3
、
证明，也可以用条件Ⅰ
，Ⅱ
以及下面的条件Ⅳ
Ⅴ
来做群的定义：
Ⅳ
G
里至少存在一个单位元
e
，
能让
ae=a
对于
G
的任何元
a
都成立；
1
1
1
1
Ⅴ
对于
G
的任何元
a
，在
G
里至少存在一个右逆元
a
，
能让
a
a
= e
解
这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ
来做群的定义的证明。
4
-1
-1
-
-
-
-
-
-
-
-
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