关键词不能为空

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专题05 等腰三角形中的动态问题(解析版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2021-02-05 22:43
tags:

-

2021年2月5日发(作者:独立师)



专题


05


等腰三角形中的动态问题






【典例解析】



AOB



120°



OP


平分



AOB



N


分别在


OA



【例


1


-


1




2020·


安徽省泗县月考)


如图,



OP



1


< br>若点


M



OB

< br>上,且



PMN


为等边三角形, 则满足上述条件的



PMN



(




)




A



1




【答案】


D



B



2



< /p>


C



3




D


.无数个



【解析】解:如图,在


OA



OB


上分别截取


OE


=


OP



OF


=


OP


,作



MPN


=60°






OP


平分



AOB




∠ ∠


EOP


=∠


POF

< br>=60°





OP


=


OE


=


OF




∠∠


OPE




OPF

< p>
是等边三角形,




EP


=


OP



∠< /p>


EPO


=∠


OEP


=∠


PON


=∠


MPN


=60°




∠∠


EPM


=∠


OPN


,< /p>



∠∠


PEM


∠ ∠


PON




PM


=


PN






∠∠


MP N


=60°




∠∠


PNM


是等边三角形,



只要



MPN


=60 °




PMN


就是等边三角形,



故这样的三角形有无数个.



故答案为 :


D




【例


1


-


2




2020·


贵州六盘水期末)如图,在< /p>


ABC


中,


AB


?


AC


?


3



?


B


?


?


C


?


50


,点


D


在边


BC


上运动 (点


D


不与点


B


,


C


重合)


,连接

< br>AD


,作


?


ADE


?


50



DE


交边


AC


于点


E

< p>




1


)当


?


BDA


?


100


时,


?


EDC


?












?


DEC


?












2


)当


DC


等于多 少时,



ABD



DCE


,请说明理由;




3


)在点


D


的运动过程中,


ADE


的形状可以是等腰三角 形吗?若可以,请求出


?


BDA


的度数 ;若不可


以,请说明理由.




【答案】



1



30



100


;< /p>



2




3


)见解析


.



【解析】解:



1


)在




BAD


中,



∵∠


B


=50°


,∠


BDA


=100°






EDC


=30°




DEC


=100°.




2


)当


CD


=3


时,



ABD


∠∠


DCE


,理由如下:




AB


=


CD


=3


,∠


B


=50°


,∠


ADE


=50°



∴∠


B


=



ADE



∵∠


ADB


+



ADE< /p>


+



EDC


=1 80°


,∠


DEC


+

< br>∠


C


+



EDC


=180°



∴∠

< p>
ADB


=



DEC



又∠


B


=



C



∴△

< p>
ABD


≌△


DCE




3


)可以,理由如下:

< br>




∵∠

B


=



C


=50°




∴∠

BAC


=80°



①当

< p>
AD


=


DE


时,



DAE


=∠


DEA< /p>


=65°




∠ ∠


BAD


=∠


BAC

< br>-



DAE


=15°

< p>


∠∠


BDA


=115°



②当


AD


=


AE


时,



A ED


=∠


ADE


=50°



∠∠


DAE


=180°< /p>




AED


-< /p>



ADE


=80°




∠∠


BAC

=80°



∠∠


DAE

< p>
=∠


BAE



∴点


D


与点


B


重合,不合 题意.



③当


AE

=


DE


时,


DAE


=∠


ADE


=50°



∠∠


BAD


=∠< /p>


BAC




DA E


=30°



∴∠

BDA


=100°.



综上所述, 当



BDA


的度数为

< br>115°



100°


时,



ADE


是等腰三角形.


【变式


1


-

1




2019·


霍林郭勒市期中)点


A


的坐标是(

2



2



,若点


P



x


轴或


y


轴上,且


APO


是等腰三角


形,这样的点


P


共有(






)个



A



6



【答案】


C


.



【解析】解:分两种情况进行讨论,



B



7



C



8



D



9






OA< /p>


是底边时,作


OA


的垂直平分线,和坐标 轴的交点有


2


个;


< br>当


OA


是腰时,以点


O


为圆心,


OA


为半径画弧,和坐标轴有


4


个交点;以点


A


为圆 心,


OA


为半径画弧,


和坐标轴出现< /p>


2


个交点;






满足条件的点

P


共有


8


个,


故答案为:


C




【变式


1


-


2




2020·

< p>
山西初二月考)综合与探究:




?


ABC


中,


AB

< p>
?


AC


?


BC

< p>
?


3 cm


.



P


从点


A


出发以


1 cm/s


的速度沿线段


AB


向点


B


运动.





1


)如图


1


,设点


P


的 运动时间为


t


(


s

)


,当


t


?


______


s


时,


?


PBC


是直角三角形.




2


)如图


2


, 若另一动点


Q


从点


B

< br>出发,沿线段


BC


向点


C


运动,如果动点


P


,


Q


都以


1 cm/s


的速度同时


出发,设运动时间为


t


(

s


)


,求当


t

为何值时,


?


PBQ


是直角三角形 .




3


)如 图


3


,若另一动点


Q

< br>从点


C


出发,沿射线


BC


方向运动,连接


PQ



AC



D


,且动点

< br>P


,


Q


都以

1 cm/s


的速度同时出发.




设运动时间为


t


(

< br>s


)


,那么当


t


为何值时,


?


DCQ


是等腰三 角形?




如图


4



连接


PC


.


请你猜想:


在点


P


,


Q


的运动过程中,


?


PCD



?


QCD< /p>


的面积之间的数量关系为


______




【答案】



1



3



(< /p>


2




3


)见解析.



2


【解 析】解:



1


)当


PBC


是直角三角形时,则


∠< /p>


BPC


=90°




∠∠


B


=60°

< br>,




BP

=


AP


=



t


=


3


cm




2


3




2


3




2


故答案为:




1



2






BPQ


=90°


时,


B P


=


BQ




2



3


-


t


=


1


t


,解得:


t


=2



2





BQP


=90°


时,


B P


=2


BQ





3


-


t


=2


t


,解得:


t


=1



故当


t


=1



2


s< /p>


时,



PBQ


是 直角三角形;




3

< br>)


∠∠∠


DCQ


=120°






DCQ


是等腰三角形,


CD

=


CQ




∠∠


PDA


=∠


CDQ


=∠


CQD


=30°



∠∠


A


=60°



∠∠


APD


=90°

< br>



AD


=2

< br>AP



3


-

t


=2


t


,解得:


t


=1



< br>S



PCD


=

< br>S



QCD


< br>



过点


P


PE



AC


E


,过点


Q


QG



AC

于点


G




∠∠


CGQ


=∠


AEP


=90°




AB


=


AC


=


BC



∠∠


A


=∠


ACB


=∠


QCG


=6 0°



∠∠


EAP

∠∠


GCQ



< br>PE


=


QG


< br>∠∠


PCD




QCD


同底等高




S



PCD


=


S



QCD




【例


2


< p>


2020·


江苏江阴月考)如图,在

< p>


ABC


中,


AB


=


AC


=10


cm< /p>



BC


=6


cm


,点


D



AB


的中点.




1



如果点


P


在线段


BC


上以


1

cm


/


s


的速度由点


B


向点


C


运动,

< p>
同时,点


Q


在线段


CA< /p>


上由点


C


向点


A



动.






若点


Q< /p>


的运动速度与点


P


的运动速度相等,经过


1


秒后,



B PD




CQP


是否全等,请说明理由;




若点< /p>


Q


的运动速度与点


P

的运动速度不相等,


当点


Q


的运动 速度为多少时,


能够使



BPD




CQP


全等?< /p>




2



若点


Q




中的运动速度从点


C


出发,


P


以原来的运动速度从点


B


出发都逆时针沿



ABC

< br>三边运动,


直接写出经过多少秒后,点


P


与点


Q


第一次在


< p>
ABC


的那一条边上相遇.




【答案】



1



∠∠


BPD




CQP


全等,

< br>∠



Q


的运动速度是

< p>


ABC


的边


BC


上相遇.



【解析】解:


1



∠∠


BPD




CQP

< br>全等,




< br>P


的运动速度是


1


cm


/


s


,点


Q

< p>
的运动速度是


1


cm


/< /p>


s





运动


1


秒时,


BP< /p>


=


CQ


=1


cm





BC< /p>


=6


cm



< /p>



CP


=5


cm





AB< /p>


=10



D


为< /p>


AB


的中点,




BD


=5





BD


=


CP





AB< /p>


=


AC




∠∠


B


=∠


C




∠∠


BPD< /p>


∠∠


CQP






Q


的运动 速度与点


P


的运动速度不相等,则


BP



CQ



< /p>


5


cm


/


s




2


)经过


30


秒后点


P


与点


Q


第一次在


3




BPD




CQP


全等,只能


BP


=


CP


=3


cm

< p>


BD


=


CQ

< p>
=5


cm



< p>
此时,点


P


运动


3


cm


,需


3


秒,而点


Q


运动


5


cm






Q


的运动速度是


5


cm


/


s




3



2


)设经 过


t


秒时,


P



Q


第一次相遇,






P


的速度是


1


厘米


/


秒,


Q


的速度是


∠10+10+


t


=


5


厘米


/


秒,



3


5


t


< br>


3


5


=50

< br>(厘米)




3


解得:


t


=30


< p>


此时点


Q


的路程


=30×


∠50



2 ×26





此时点


Q



BC


上,




经过


30


秒后点


P


与点

< br>Q


第一次在



ABC

< p>
的边


BC


上相遇.



【例


3


-


1




2019·


武汉 市期中)


如图,


已知:



MON


=30°




A


1



A

< p>
2



A


3




在射线


ON


上,



B


1



B


2


B


3





A


1


B


1< /p>


A


2




A


2


B


2

< p>
A


3




A


3


B


3

A


4




均为等边三角形,


在射线


OM


上,



OA


1


=1





A


9


B


9


A


10


的边长为








A



32



【答案】


D



【解析】解:如图,



B



64



C



128



D



256




∠∠


A


1< /p>


B


1


A


2


是等边三角形,




A


1


B


1


=< /p>


A


2


B


1



∠3=∠4=∠12=60°


< p>


∠∠2=120°




∠∠


MON


=30°

< br>,



∠∠1=180°


-


120°


-


30°=30°

< br>,




∠∠3=60°




∠∠5=180°


-


60°


-


30°=90°

< p>



∠∠


MON


=∠1=30°







OA


1< /p>


=


A


1


B


1


=1





A


2


B


1


=1




∠∠


A


2


B

< br>2


A


3




A


3


B


3


A


4


是等边三角形,

< br>


∠∠11=∠10=60°



∠13=60°




∠∠4=∠12=60°





A


1


B


1



A


2

< br>B


2



A


3


B


3



B


1


A


2



B


2


A


3




∠∠1=∠6=∠7=30°



∠5=∠8=90°





A


2


B


2


=2


B


1


A


2



B

< p>
3


A


3


=2


B


2


A


3

< br>,




A


3


B


3


=4


B


1


A


2


=4




A


4


B


4


=8


B


1


A


2


=8




A


5


B


5


=16


B


1


A


2


=16





< br>∠∠


A


n


B

n


A


n


+1


的边长为



2


n

-


1




∠∠


A


9


B


9


A


10


的边长为


2


9


-


1


= 2


8


=256




故答案为


D




【例


3


-


2< /p>




2020·


浙江温州月考)如图,图



是一块边长为


1


,周长记为


P


1

< br>的正三角形纸板,沿图



的底边


1


的正三角形纸板后得到图



,然后沿 同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板(即其


2


1


边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的


)后,得图






,记第


n



n


≥3


)块纸板的周长为


P

< p>
n


,则


2


剪去一块边长为


P


n



P


n



1


等于












A



1



2


n


?


1


B



3



1



n


2

< br>C



1



3


2


n


?


1



D



3


2


n


?


1



1


2


n


?


2



【答案】


A



【解析】解:


P


1


< br>1



1



1



3




P


2



1



1



P


3



1



1



5


1

< br>=




2


2


1


11


×3





4


4




P


4



1



1





1


1


23


×2



×3





4


8

8


11


5


1


1




=


2




4


2


4


2


23


11


1


1


P


4



P


3





=


3

< br>,



4


8


2


8


1



P


n



P


n



1



n-1




2



P


3



P


2



故答案为:


A




【变式


3


-


1




2020·


山东牡丹期末)


如图,已知


?


MON


?


30

< p>
?


,点


A


1



A


2


< br>A


3



在射线

< br>ON


上,



B

< br>1



B


2



B


3



在 射线


OM


上,


?


A


1


B


1


B


2



?


A


2


B


2


B


3



?


A


3


B


3


B

< br>4



均为等边三角形.



OB


1


?


1




?


A


8


B


8


B

< br>9


的边长为(









A



64



【答案】


B



B



128



C



132



D



256



【解析】解


:∠∠


A

< br>1


B


1


B


2



是等边三角形,




A


1


B

< br>1


=


A


1


B


2




A


1


B


1


B


2


=∠


A


1


B


2


O


=60°



∠∠


O


=30°



∠∠


A


2< /p>


A


1


B


2


=90°



∠∠


O< /p>


=∠


OA


1


B< /p>


1


=30°




OB


1


=


A< /p>


1


B


1


=


A


1


B


2

< p>
=1



同理可得:


A


3


B


3


=4



A


4


B

< p>
4


=8



A


n


B


n


=2


n


-


1


∠∠


A


8


B


8


B


9


的边长为

2


-


=128.



故答案为:


B


.


< p>
【变式


3


-


2

< p>



2019·


贵州印江 月考)如图,已知


AB


?


A

< p>
1


B


,


A


1


B


1


?

A


1


A


2


,


A


2


B


2< /p>


?


A


2


B


3


,


A


3

< p>
B


3


?


A


3


B


4


……





A



70°


,则

?


A


n


?


1


A


n


B


n< /p>


?


1


的度数为(














A



70


< /p>


n


2


B



70



n


?


1


2


C



70



n


?


1


2


D


70



n


?


2


2


【答案】


C


【解析】解:



AB

< p>
?


A


1


B



?


A


?

70


?



∠∠

AA


1


B


=∠

A


=70°



< br>A


1


B


1


?


A


1


A


2



∠∠


A


1< /p>


A


2


B


1


=∠


A


1



B


1


A


2



∠∠


AA


1


B


=∠


A


1


A


2


B


1



A


1



B


1


A


2



70


?


1



AA


1


B


=


=35°



2


2


70


?


1


同理可得:



A


2


A


3


B


2


=



A


1


A


2


B


1

< br>=


2


=


17.5


?



2


2

70


?


1



A


3


A


4


B


3


=



A


2


A


3


B


2


=


3


=


8.75


?



2

< p>
2


∠∠


A


1


A


2


B


1

< br>=



?


A


n


?


1


A


n


B


n


?


1


=


故答案为


C


.< /p>



70


?



n


?


1


2


【习题精练】



1.



2020·


山东青州期中)


如图,


平面直角坐标系中,



A

< br>在第一象限,



AOx


=40°




P



x


轴上,




POA


是等腰三角形,则满足条件的点


P< /p>


共有


______


个.

< br>



【答案】


4.



【解析】解:有


OA


=


OP



AO


=


AP



PO


=


P

< p>
A


三种情况:







O


为圆心,


OA


长为半径画弧,于

< p>
x


轴有


2


个交点


P


2



P


3




< br>以


A


为圆心,


OA


长为半径画弧,与


x


轴有


2


个交点


O



P


1





O



OA


不能构成 三角形,


P


1


符合条件,




作线段


OA

< p>
的垂直平分线,交


x


轴有


1


个交点


P


4





P


4< /p>


A


=


P


4


O




< p>
P


4


符合条件,




综上所述:符合条件的点共有


4


个,



故答案为:


4



2.



2019·

< br>浙江宁波模考)如图,


?


AOB


?


10


?


,点


P



OB


上.以点

P


为圆心,


OP


为半径画弧,交< /p>


OA




P


1


(点


P


1


与点


O


不重合)


,连 接


PP


1


;再以点

P


1


为圆心,


OP


为半径画弧,交


OB


于点


P< /p>


2


(点


P


2


与点


P


……


不重合 )



连接


PP


再以点


P


2


为圆心,

< br>交


OA


于点


P

< br>3


(点


P


3

与点


P


1


不重合)



连接


P


2

< br>P


3



OP

为半径画弧,


1


2



按照上面的要求一直画下去,得到点


P


n

< p>
,若之后就不能再画出符合要求点


P


n

< p>
?


1


了,则


n

< p>
?


________





【答案】


8



【解析】根据题意可知,画出的三角形是等腰三角形,第一个底角


?


AOB


?


10

?




由三角形外角和定理可得, 第二个等腰三角形的底角


20°


,第三个等腰三角形的底角


30°


,同理可得第


n


等腰三角形的底角度数为


10


n




因为等腰三角形的底角小于


90°



10


n


<90


,即


n


<9 .



故答案为


8.



3.



2020·


河北保定一模)如 图,


?


AOB


?


10


?


,点


P



OB


上.以点


P

< br>为圆心,


OP


为半径画弧,交


O A




P


1< /p>


(点


P


1


与点< /p>


O


不重合)


,连接


PP


1


;再以点


P

< br>1


为圆心,


OP


为半径画弧,交


OB


于点


P


2


(点


P


2


与点


P




……< /p>



不重合)



连 接


PP


再以点


P


2


为圆心,



OA

< br>于点


P


3


(点

< br>P


3


与点


P

1


不重合)



连接


P


2


P


3


OP


为半径画弧,


1

< p>
2



按照上面的要求一直画下去,就会得到


OP


?


PP


1


?


PP


1


2


?


P


2


P


3



1


< br>?


P


2


P


3


P


4


?


_ ________


?





2


)与线段


OP


长度相等的线段一共有


__________


条 (不含


OP





,则




【答案】


100,9.






?


P


2


P


【解析】解 :



1


)由题意可知,


PO


?


PP


1



PP


1


1

< br>,






?


POP



?


PPP


1


?


?


OPP


1


1


2


?


?


PP


1


2


P



…< /p>





?


AOB


?


10°


,< /p>



?


20°


,< /p>


?


P


2


P



?


PPB


1


A


?


30°



?


P


1


3

< p>
P


2


B


?


40°



?


P


4


P


3


A

?


50°



?

P


5


P


4


B


?


60°







?< /p>


P


2


P


3


P


4


?


180°?4 0°?40°=100°




故答案为 :


100





2


)根据题意,


10


n


<90


,解得


n

< p>
<9





n


为整数,故


n


=8





?

< p>
P


4


P


5


?


P


5


P

6




5


P


4


B


?


60 °



P



?< /p>


P


4


P


5


P


6


为等边三角形,




与线段


OP


长度相等的线段一共有


9


条(不含


OP





故答案为:


9.


4.



2020·


福建连城期中) 如图,在


?


ABC


中,


?


C


?


90

< br>?



AC


?

BC


?


4cm


,点


D


是斜边


AB


的中点.点


E


从点


B


出发以< /p>


1


cm/


s


的速 度向点


C


运动,


F


同时从点


C


出发以一定的速度沿 射线


CA


方向运动,


规定


当点


E


到终点


C

< p>
时停止运动.设运动的时间为


x


秒,连接


DE



DF








1


)填空:


S

< p>
?


ABC


?


______


cm


2



< /p>



2


)当


x


?


1


且点


F


运动的速度也是


1


cm/

s


时,求证:


DE


?


DF





3


)若动点


F



3cm


/


s


的速度沿射线< /p>


CA


方向运动,在点


E

< br>、点


F


运动过程中,如果存在某个时间

< br>x



使得


?

ADF


的面积是


?


BDE


面积的两倍,请你求出时间


x


的值.

< p>


【答案】



1



8



(2)


见解析;



3



【解析】解:



1




S



ABC


=



S



ABC


=


4



4.



5


1


×


AC


×


BC



2


1


×4×4=8



2


故答案为:


8




2


) 如图:连接


CD



< br>∠


AC


=


BC

< br>,


D



AB

中点




CD

平分



ACB


< br>又


∠∠


ACB


=90°



∠∠


A


=∠


B


=∠


ACD


=∠


DCB


=45°




CD


=


BD



依题意得:


BE


=

CF





?


BE


?


CF


?




CDF




BDE


中,

?


?


B


?


?


DCA




?


BD


?


CD


?


∠∠


CDF


∠∠

BDE



SAS





DE


=

< br>DF




3

)过点


D



DM

< br>∠


BC


于点


M

< br>,


DN



AC

< br>于点


N






AD


=< /p>


BD




A


=∠


B


=45°




AND


=∠


DMB


=90°



∠∠


ADN


∠∠


BDM



AAS





DN


=


DM




S



ADF


=2


S



BDE





1

< p>
1


×


AF


×


DN


=2×


×


BE


×


DM



2

< p>
2


∠|4


-


3

< p>
x


|=2


x



4




5


4


综上所述:


x


=



4.



5< /p>



x


1


=4



x


2


=


5.



2020·


广东 佛山月考)


如图,


在等边


?

< p>
ABC


中,


AB


?


AC


?


BC


?


10


厘米,


DC


?< /p>


4


厘米,


如果点


M



3


厘米


/


的速度运动.




1


)如果点


M

< br>在线段


CB


上由点


C

< p>
向点


B


运动.点


N


在线段


BA


上由


B< /p>


点向


A


点运动,它们同时出发,


若点


N


的运动速度与点


M


的运动速度相等:



-


-


-


-


-


-


-


-



本文更新与2021-02-05 22:43,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/603676.html

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