-
专题
05
等腰三角形中的动态问题
【典例解析】
∠
AOB
=
120°
,
OP
平分
∠
AOB
,
N
分别在
OA
,
【例
1
-
1
】
(
2020·
p>
安徽省泗县月考)
如图,
且
OP
=
1
.
< br>若点
M
,
OB
< br>上,且
∠
PMN
为等边三角形,
则满足上述条件的
∠
PMN
有
(
)
A
p>
.
1
个
【答案】
D
B
.
2
个
<
/p>
C
.
3
个
D
.无数个
p>
【解析】解:如图,在
OA
、
OB
上分别截取
OE
=
p>
OP
,
OF
=
p>
OP
,作
∠
MPN
=60°
.
∠
OP
平分
∠
AOB
,
∠
∠
EOP
=∠
POF
< br>=60°
,
∠
OP
=
OE
=
OF
,
∠∠
OPE
,
∠
OPF
是等边三角形,
∠
EP
=
OP
,
∠<
/p>
EPO
=∠
OEP
=∠
PON
=∠
MPN
=60°
,
∠∠
EPM
=∠
OPN
,<
/p>
∠∠
PEM
∠
∠
PON
∠
PM
=
PN
,
∠∠
MP
N
=60°
,
∠∠
PNM
是等边三角形,
只要
∠
MPN
=60
°
,
∠
PMN
就是等边三角形,
故这样的三角形有无数个.
故答案为
:
D
.
【例
1
-
2
】
p>
(
2020·
贵州六盘水期末)如图,在<
/p>
ABC
中,
AB
?
AC
?
3
,
?
B
?
?
p>
C
?
50
,点
p>
D
在边
BC
上运动
(点
D
不与点
B
,
C
重合)
,连接
< br>AD
,作
?
ADE
?
50
,
DE
交边
AC
于点
E
.
(
1
)当
?
BDA
?
100
时,
?
EDC
?
,
?
p>
DEC
?
(
p>
2
)当
DC
等于多
少时,
△
ABD
≌
△
DCE
,请说明理由;
(
3
)在点
D
的运动过程中,
ADE
的形状可以是等腰三角
形吗?若可以,请求出
?
BDA
的度数
;若不可
以,请说明理由.
【答案】
(
1
)
p>
30
,
100
;<
/p>
(
2
)
(
3
)见解析
.
p>
【解析】解:
(
1
)在
△
BAD
中,
∵∠
B
=50°
,∠
BDA
=100°
,
∴
∠
p>
EDC
=30°
,
∠
DEC
=100°.
(
2
)当
CD
=3
时,
∠
ABD
∠∠
DCE
,理由如下:
∵
AB
=
CD
=3
,∠
B
=50°
,∠
ADE
=50°
∴∠
B
=
∠
ADE
∵∠
ADB
+
∠
ADE<
/p>
+
∠
EDC
=1
80°
,∠
DEC
+
< br>∠
C
+
∠
EDC
=180°
∴∠
ADB
=
∠
DEC
又∠
B
=
∠
C
∴△
ABD
≌△
DCE
p>
(
3
)可以,理由如下:
< br>
∵∠
B
=
∠
C
=50°
,
∴∠
BAC
=80°
①当
AD
=
DE
时,
∠
DAE
=∠
DEA<
/p>
=65°
,
∠
∠
BAD
=∠
BAC
< br>-
∠
DAE
=15°
∠∠
BDA
=115°
②当
AD
=
AE
时,
∠
A
ED
=∠
ADE
=50°
∠∠
DAE
=180°<
/p>
-
∠
AED
-<
/p>
∠
ADE
=80°
又
∠∠
BAC
=80°
∠∠
DAE
=∠
BAE
∴点
D
与点
B
重合,不合
题意.
③当
AE
=
DE
时,
∠
DAE
=∠
ADE
=50°
∠∠
BAD
=∠<
/p>
BAC
-
∠
DA
E
=30°
∴∠
BDA
=100°.
综上所述,
当
∠
BDA
的度数为
< br>115°
或
100°
时,
△
ADE
是等腰三角形.
【变式
1
-
1
】
(
2019·
霍林郭勒市期中)点
A
的坐标是(
2
,
2
)
,若点
P
在
x
轴或
y
轴上,且
∠
APO
是等腰三角
形,这样的点
P
共有(
)个
A
.
6
【答案】
C
.
【解析】解:分两种情况进行讨论,
B
.
7
C
.
8
D
.
9
当
OA<
/p>
是底边时,作
OA
的垂直平分线,和坐标
轴的交点有
2
个;
< br>当
OA
是腰时,以点
O
为圆心,
OA
为半径画弧,和坐标轴有
4
个交点;以点
A
为圆
心,
OA
为半径画弧,
和坐标轴出现<
/p>
2
个交点;
∠
满足条件的点
P
共有
8
个,
故答案为:
C
.
【变式
1
-
2
】
(
2020·
山西初二月考)综合与探究:
在
?
ABC
中,
AB
?
AC
?
BC
?
3 cm
.
点
P
从点
A
出发以
1 cm/s
的速度沿线段
AB
向点
B
运动.
(
1
)如图
1
,设点
P
的
运动时间为
t
(
s
)
,当
t
?
______
s
时,
?
PBC
是直角三角形.
(
2
)如图
2
,
若另一动点
Q
从点
B
< br>出发,沿线段
BC
向点
C
运动,如果动点
P
,
Q
都以
1 cm/s
的速度同时
出发,设运动时间为
t
(
s
)
,求当
t
为何值时,
?
PBQ
是直角三角形
.
(
3
)如
图
3
,若另一动点
Q
< br>从点
C
出发,沿射线
BC
方向运动,连接
PQ
交
AC
点
D
,且动点
< br>P
,
Q
都以
1 cm/s
的速度同时出发.
∠
设运动时间为
t
(
< br>s
)
,那么当
t
为何值时,
?
DCQ
是等腰三
角形?
∠
如图
4
,
连接
PC
.
请你猜想:
在点
P
,
Q
的运动过程中,
?
PCD
和
?
QCD<
/p>
的面积之间的数量关系为
______
.
【答案】
(
1
)
3
;
(<
/p>
2
)
(
3
)见解析.
2
【解
析】解:
(
1
)当
∠
PBC
是直角三角形时,则
∠<
/p>
BPC
=90°
,
∠∠
B
=60°
< br>,
∠
BP
=
AP
=
∠
t
=
3
cm
,
2
3
,
2
3
;
2
故答案为:
1
(
2
p>
)
∠
当
∠
BPQ
=90°
时,
B
P
=
BQ
,
2
即
3
-
p>
t
=
1
t
,解得:
t
=2
p>
2
∠
当
∠
BQP
=90°
时,
B
P
=2
BQ
,
即
3
-
t
p>
=2
t
,解得:
t
=1
故当
t
=1
或
2
s<
/p>
时,
∠
PBQ
是
直角三角形;
(
3
< br>)
∠∠∠
DCQ
=120°
p>
∠
当
∠
DCQ
是等腰三角形,
CD
=
CQ
,
∠∠
PDA
=∠
CDQ
=∠
CQD
=30°
p>
∠∠
A
=60°
∠∠
APD
=90°
< br>
∠
AD
=2
< br>AP
3
-
t
=2
t
,解得:
t
=1
∠
< br>S
∠
PCD
=
< br>S
∠
QCD
,
< br>
过点
P
作
PE
∠
AC
于
E
,过点
Q
作
QG
∠
AC
于点
G
,
∠∠
CGQ
=∠
AEP
=90°
∠
AB
=
AC
=
BC
∠∠
A
=∠
ACB
=∠
QCG
=6
0°
∠∠
EAP
∠∠
GCQ
∠
< br>PE
=
QG
< br>∠∠
PCD
与
∠
QCD
同底等高
故
S
∠
PCD
=
S
∠
QCD
.
【例
2
】
(
2020·
江苏江阴月考)如图,在
∠
ABC
中,
AB
=
AC
=10
cm<
/p>
;
BC
=6
cm
,点
D
为
AB
的中点.
(
1
)
如果点
P
在线段
BC
上以
1
cm
/
s
的速度由点
B
向点
C
运动,
同时,点
Q
在线段
CA<
/p>
上由点
C
向点
A
运
动.
∠
若点
Q<
/p>
的运动速度与点
P
的运动速度相等,经过
1
秒后,
∠
B
PD
与
∠
CQP
是否全等,请说明理由;
∠
若点<
/p>
Q
的运动速度与点
P
的运动速度不相等,
当点
Q
的运动
速度为多少时,
能够使
∠
BPD
与
∠
CQP
全等?<
/p>
(
2
)
若点
Q
以
∠
中的运动速度从点
C
出发,
点
P
以原来的运动速度从点
B
p>
出发都逆时针沿
∠
ABC
< br>三边运动,
直接写出经过多少秒后,点
P
与点
Q
第一次在
∠
ABC
的那一条边上相遇.
【答案】
(
1
)
∠∠
BPD
与
∠
CQP
全等,
< br>∠
点
Q
的运动速度是
∠
ABC
的边
BC
上相遇.
【解析】解:
(
1
)
∠∠
BPD
与
∠
CQP
< br>全等,
∠
点
< br>P
的运动速度是
1
cm
/
s
,点
Q
的运动速度是
1
cm
/<
/p>
s
,
∠
运动
1
秒时,
BP<
/p>
=
CQ
=1
cm
,
∠
BC<
/p>
=6
cm
,
<
/p>
∠
CP
=5
cm
,
∠
AB<
/p>
=10
,
D
为<
/p>
AB
的中点,
∠
BD
=5
,
∠
BD
=
CP
,
∠
AB<
/p>
=
AC
,
p>
∠∠
B
=∠
C
p>
,
∠∠
BPD<
/p>
∠∠
CQP
.
∠
点
Q
的运动
速度与点
P
的运动速度不相等,则
BP
≠
CQ
,
<
/p>
5
cm
/
s
p>
.
(
2
)经过
p>
30
秒后点
P
与点
Q
第一次在
3
若
∠
BPD
与
∠
CQP
全等,只能
BP
=
CP
=3
cm
,
BD
=
CQ
=5
cm
,
此时,点
P
运动
3
cm
,需
3
秒,而点
Q
运动
5
cm
,
∠
点
p>
Q
的运动速度是
5
cm
/
s
.
3
(
2
)设经
过
t
秒时,
P
、
Q
第一次相遇,
∠
P
p>
的速度是
1
厘米
/
秒,
Q
的速度是
∠10+10+
t
=
5
厘米
/
秒,
3
5
t
,
< br>
3
5
=50
< br>(厘米)
,
3
解得:
t
=30
,
此时点
Q
的路程
=30×
∠50
<
2
×26
,
∠
此时点
Q
在
BC
上,
∠
经过
30
秒后点
P
与点
< br>Q
第一次在
∠
ABC
的边
BC
上相遇.
p>
【例
3
-
1
】
(
2019·
武汉
市期中)
如图,
已知:
∠
MON
=30°
,
点
A
1
、
A
2
、
A
3
、
…
在射线
ON
上,
点
B
1
、
B
2
、
B
3
、
…
∠
A
1
B
1<
/p>
A
2
、
∠
A
2
B
2
A
3
、
∠
A
3
B
3
A
4
、
…
均为等边三角形,
在射线
OM
上,
p>
若
OA
1
=1
p>
,
则
∠
A
9
B
9
A
10
的边长为
(
)
A
.
32
【答案】
D
【解析】解:如图,
B
.
64
C
.
128
D
.
256
∠∠
A
1<
/p>
B
1
A
2
是等边三角形,
∠
A
1
B
1
=<
/p>
A
2
B
1
,
∠3=∠4=∠12=60°
,
∠∠2=120°
,
∠∠
MON
=30°
< br>,
∠∠1=180°
-
120°
-
30°=30°
< br>,
又
∠∠3=60°
,
∠∠5=180°
-
60°
-
30°=90°
,
∠∠
MON
=∠1=30°
,
∠
OA
1<
/p>
=
A
1
B
1
=1
,
∠
A
2
B
1
=1
,
∠∠
A
2
B
< br>2
A
3
、
∠
A
3
B
3
A
4
是等边三角形,
< br>
∠∠11=∠10=60°
,
∠13=60°
,
∠∠4=∠12=60°
,
∠
A
1
B
1
∠
A
2
< br>B
2
∠
A
3
B
3
,
B
1
A
2
∠
p>
B
2
A
3
,
∠∠1=∠6=∠7=30°
,
∠5=∠8=90°
,
∠
A
2
B
p>
2
=2
B
1
A
2
,
B
3
A
3
=2
B
2
A
3
< br>,
∠
A
3
B
3
=4
B
1
A
2
=4
,
A
4
p>
B
4
=8
B
1
A
2
=8
,
A
5
B
5
=16
B
1
A
2
=16
,
…
< br>∠∠
A
n
B
n
A
n
+1
的边长为
2
n
-
1
,
∠∠
A
9
B
9
A
10
的边长为
2
9
-
1
=
2
8
=256
.
故答案为
D
.
【例
3
-
2<
/p>
】
(
2020·
浙江温州月考)如图,图
∠
是一块边长为
1
,周长记为
P
1
< br>的正三角形纸板,沿图
∠
的底边
1
的正三角形纸板后得到图
∠
,然后沿
同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板(即其
2
1
边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的
)后,得图
∠
、
∠
,
…
,记第
n
(
n
≥3
)块纸板的周长为
P
n
,则
2
剪去一块边长为
P
n
-
P
p>
n
-
1
等于
…
(
)
A
.
1
p>
2
n
?
1
B
.
3
-
1
n
2
< br>C
.
1
-
3
2
n
?
1
D
.
3
p>
2
n
?
1
+
1
2
n
?
2
【答案】
A
【解析】解:
P
1
=
< br>1
+
1
+
1
=
3
,
P
2
=
1
p>
+
1
+
P
3
=
1
+
1
+
5
1
< br>=
,
2
2
1
11
×3
=
,
4
4
p>
P
4
=
1
+
1
+
…
1
1
23
×2
+
×3
=
,
4
8
8
11
5
1
1
-
=
=
2
,
4
2
p>
4
2
23
11
p>
1
1
P
4
-
P
3
=
-
=
=
3
< br>,
4
8
2
8
1
∠
P
n
-
P
n
p>
-
1
=
n-1
p>
,
2
∠
P
3
-
P
2
=
故答案为:
A
.
【变式
3
-
1
】
(
2020·
山东牡丹期末)
如图,已知
?
MON
?
30
?
,点
A
1
,
A
2
,
< br>A
3
,
在射线
< br>ON
上,
点
B
< br>1
,
B
2
,
B
3
,
在
射线
OM
上,
?
A
1
B
1
B
2
,
?
A
p>
2
B
2
B
3
,
?
A
3
B
3
B
< br>4
,
均为等边三角形.
若
OB
1
?
1
,
则
?
A
8
B
8
B
< br>9
的边长为(
)
A
.
64
【答案】
B
B
.
128
C
.
132
D
.
256
【解析】解
:∠∠
A
< br>1
B
1
B
2
是等边三角形,
∠
A
1
B
< br>1
=
A
1
B
2
,
∠
A
1
B
1
B
p>
2
=∠
A
1
B
2
O
=60°
p>
∠∠
O
=30°
∠∠
A
2<
/p>
A
1
B
2
=90°
∠∠
O<
/p>
=∠
OA
1
B<
/p>
1
=30°
∠
OB
1
=
A<
/p>
1
B
1
=
A
1
B
2
=1
同理可得:
A
p>
3
B
3
=4
,
A
4
B
4
=8
,
A
n
B
n
=2
n
-
1
∠∠
A
8
B
8
B
9
的边长为
2
-
=128.
故答案为:
B
.
【变式
3
-
2
】
(
2019·
贵州印江
月考)如图,已知
AB
?
A
1
B
,
A
1
B
1
?
A
1
A
2
,
A
2
B
2<
/p>
?
A
2
B
3
,
A
3
B
3
?
A
3
B
4
……
,
若
∠
A
=
70°
,则
?
A
n
?
1
A
n
B
n<
/p>
?
1
的度数为(
)
A
.
70
<
/p>
n
2
B
.
70
n
?
1
2
C
.
70
n
?
1
2
D
.
70
n
?
2
2
【答案】
C
【解析】解:
∠
AB
?
A
1
B
,
?
A
?
70
?
∠∠
AA
1
B
=∠
A
=70°
∠
< br>A
1
B
1
?
A
1
A
2
∠∠
A
1<
/p>
A
2
B
1
=∠
A
1
B
1
A
2
∠∠
AA
1
B
=∠
A
1
A
2
B
1
+
∠
A
1
B
1
A
2
p>
70
?
1
∠
AA
1
B
=
=35°
2
2
70
?
1
同理可得:
∠
A
2
p>
A
3
B
2
=
∠
A
1
A
2
B
1
< br>=
2
=
17.5
?
2
2
70
?
1
∠
A
3
A
4
B
3
=
∠
A
p>
2
A
3
B
2
=
3
=
8.75
?
2
2
∠∠
A
1
A
2
B
1
< br>=
∠
?
A
n
?
1
A
n
B
n
?
1
p>
=
故答案为
C
.<
/p>
70
?
p>
n
?
1
2
【习题精练】
1.
(
2020·
山东青州期中)
如图,
p>
平面直角坐标系中,
点
A
< br>在第一象限,
∠
AOx
=40°
,
点
P
在
p>
x
轴上,
若
∠
p>
POA
是等腰三角形,则满足条件的点
P<
/p>
共有
______
个.
< br>
【答案】
4.
【解析】解:有
OA
=
OP
、
AO
=
AP
、
PO
=
P
A
三种情况:
∠
以
O
p>
为圆心,
OA
长为半径画弧,于
x
轴有
2
个交点
P
2
、
P
3
,
∠
< br>以
A
为圆心,
OA
长为半径画弧,与
x
轴有
2
个交点
O
、
P
1
,
点
p>
O
与
OA
不能构成
三角形,
P
1
符合条件,
∠
作线段
OA
的垂直平分线,交
x
轴有
1
个交点
P
4
,
∠
P
4<
/p>
A
=
P
4
O
,
∠
P
4
符合条件,
综上所述:符合条件的点共有
4
p>
个,
故答案为:
4
2.
(
2019·
< br>浙江宁波模考)如图,
?
AOB
?
10
?
,点
P
在
OB
上.以点
P
为圆心,
OP
为半径画弧,交<
/p>
OA
于
点
P
p>
1
(点
P
1
与点
O
不重合)
,连
接
PP
1
;再以点
P
1
为圆心,
OP
为半径画弧,交
OB
于点
P<
/p>
2
(点
P
2
p>
与点
P
……
不重合
)
,
连接
PP
再以点
P
2
为圆心,
< br>交
OA
于点
P
< br>3
(点
P
3
与点
P
1
不重合)
,
连接
P
2
< br>P
3
;
OP
为半径画弧,
1
2
;
按照上面的要求一直画下去,得到点
P
n
,若之后就不能再画出符合要求点
P
n
?
1
了,则
n
?
________
.
【答案】
8
【解析】根据题意可知,画出的三角形是等腰三角形,第一个底角
?
AOB
?
10
?
;
由三角形外角和定理可得,
第二个等腰三角形的底角
20°
,第三个等腰三角形的底角
p>
30°
,同理可得第
n
个
等腰三角形的底角度数为
10
n
,
因为等腰三角形的底角小于
90°
,
10
n
p>
<90
,即
n
<9
.
故答案为
8.
3.
(
2020·
河北保定一模)如
图,
?
AOB
?
10
?
,点
P
在
OB
上.以点
P
< br>为圆心,
OP
为半径画弧,交
O
A
于
点
P
1<
/p>
(点
P
1
与点<
/p>
O
不重合)
,连接
PP
1
;再以点
P
< br>1
为圆心,
OP
为半径画弧,交
OB
于点
P
2
(点
P
2
与点
P
……<
/p>
,
不重合)
,
连
接
PP
再以点
P
2
为圆心,
交
OA
< br>于点
P
3
(点
< br>P
3
与点
P
1
不重合)
,
连接
P
2
P
3
;
OP
为半径画弧,
1
2
;
按照上面的要求一直画下去,就会得到
OP
?
PP
1
?
PP
1
2
?
P
2
P
3
(
1
)
< br>?
P
2
P
3
P
4
?
_
________
?
;
(
2
)与线段
OP
长度相等的线段一共有
__________
条
(不含
OP
)
.
,则
【答案】
100,9.
?
p>
P
2
P
【解析】解
:
(
1
)由题意可知,
PO
?
PP
1
,
PP
1
1
< br>,
…
,
则
?
POP
,
?
PPP
1
?
?
OPP
1
1
2
?
?
PP
1
2
P
,
…<
/p>
,
∠
?
AOB
?
10°
,<
/p>
?
20°
,<
/p>
?
P
2
P
∠
?
PPB
1
A
?
30°
,
?
P
1
3
P
2
B
?
40°
,
?
P
4
P
3
A
?
50°
,
?
P
5
P
4
B
?
60°
,
…
,
∠
?<
/p>
P
2
P
3
P
4
?
180°?4
0°?40°=100°
,
故答案为
:
100
;
(
2
)根据题意,
10
n
<90
,解得
n
<9
.
∠
n
为整数,故
n
=8
.
∠
?
P
4
P
5
?
P
5
P
6
,
5
P
4
B
?
60
°
,
P
∠
?<
/p>
P
4
P
5
P
6
为等边三角形,
∠
与线段
OP
长度相等的线段一共有
9
条(不含
OP
)
,
故答案为:
9.
4.
(
2020·
福建连城期中)
如图,在
?
ABC
中,
?
C
?
90
< br>?
,
AC
?
BC
?
4cm
,点
D
是斜边
AB
的中点.点
p>
E
从点
B
出发以<
/p>
1
cm/
s
的速
度向点
C
运动,
点
F
同时从点
C
出发以一定的速度沿
射线
CA
方向运动,
规定
当点
E
到终点
C
时停止运动.设运动的时间为
x
秒,连接
DE
、
DF
.
(
1
)填空:
S
?
ABC
?
______
cm
2
;
<
/p>
(
2
)当
x
p>
?
1
且点
F
运动的速度也是
1
cm/
s
时,求证:
DE
?
DF
;
(
3
)若动点
F
以
3cm
/
s
的速度沿射线<
/p>
CA
方向运动,在点
E
< br>、点
F
运动过程中,如果存在某个时间
< br>x
,
使得
?
ADF
的面积是
?
BDE
面积的两倍,请你求出时间
x
的值.
【答案】
(
1
)
8
;
(2)
见解析;
(
3
)
【解析】解:
(
1
)
∠
S
∠
ABC
=
∠
S
∠
p>
ABC
=
4
或
p>
4.
5
1
×
AC
×
BC
2
1
×4×4=8
2
故答案为:
8
(
2
)
如图:连接
CD
< br>∠
AC
=
BC
< br>,
D
是
AB
中点
∠
CD
平分
∠
ACB
< br>又
∠∠
ACB
=90°
∠∠
A
=∠
B
=∠
ACD
=∠
p>
DCB
=45°
∠
CD
=
BD
依题意得:
BE
=
CF
?
BE
?
CF
?
在
∠
CDF
与
∠
BDE
中,
?
?
B
?
?
DCA
?
BD
?
CD
?
∠∠
CDF
∠∠
BDE
(
SAS
)
∠
DE
=
< br>DF
(
3
)过点
D
作
DM
< br>∠
BC
于点
M
< br>,
DN
∠
AC
< br>于点
N
,
∠
AD
=<
/p>
BD
,
∠
A
p>
=∠
B
=45°
,
∠
AND
=∠
DMB
=90°
∠∠
ADN
∠∠
BDM
(
AAS
)
∠
DN
=
DM
当
S
∠
ADF
=2
S
∠
BDE
.
∠
1
1
×
AF
×
DN
=2×
×
BE
×
DM
2
2
∠|4
-
3
x
|=2
x
4
5
p>
4
综上所述:
x
=
或
4.
5<
/p>
∠
x
1
=4
p>
,
x
2
=
5.
(
2020·
广东
佛山月考)
如图,
在等边
?
ABC
中,
AB
?
AC
?
BC
?
10
厘米,
DC
?<
/p>
4
厘米,
如果点
M
以
3
厘米
/
的速度运动.
(
1
)如果点
M
< br>在线段
CB
上由点
C
向点
B
运动.点
N
在线段
BA
上由
B<
/p>
点向
A
点运动,它们同时出发,
若点
N
的运动速度与点
M
的运动速度相等:
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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