-
八年级数学最短路径问题
【问题概述】
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，
< br>旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
点之间的最短路径．算法具体的形式包
括：
①确定起点的最短路径问题
-
即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题
-
与确
定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题
-
即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题
-
求图中所有的最短路径．
【问题原型
】
“将军饮马”
，
“造桥选址”
．
【涉及知识】
“
两点之间线段最短”
，
“垂线段最短”
，
“三角形三边关系”
，
“轴对称”<
/p>
，
“平移”
．
【出题背景】
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐
标轴、抛物线等．
【解题思路】
找对
称点实现“折”转“直”
，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【
十二个基本问题
】<
/p>
【问题
1
】
A
l
B
作法
A
图形
原理
连
AB
，与
l
交点即为
P
．
P
B
l
两点之间线段最短．
P
A
+
PB
最小值为
AB
．
在直线
l
上求一点
P
，使
P
A
+
PB
值最小．
【问
题
2
】
“将军饮马”
< br>
A
B
l
作法
A
作
B
关于
l
的对称点
B
＇
连
A B
＇
，与
l
交点即为
P
．
图形
原理
B
P
B'
l<
/p>
两点之间线段最短．
P
A
+
PB
最小值为
A B
＇
．
在直线
l
上求一点
P
，使
P
A
+
PB
值最小．
【问题
3
】
l
1
作法
P'
分别作点
P
关于两直线的
图形
l
1
原理
<
/p>
P
l
2
M
P
N
P''
l
2
两点之间线段最短．
PM
+
MN
+
PN
的最小值为
线段
P
＇
P
＇
＇
的长．
对称点
P
＇
和
P
＇
＇
，
连
P
＇
P
＇
＇
，
与两直线交点即为
M
，
N
．
< br>在直线
l
1
、
< br>l
2
上分别求点
M
、
N
，使△
PMN
的周长
最小．
【问题
4
】
l
1
Q
P
l
2
作法
Q'
图形
l
1
Q
P
N
P'
l
2
原理
分别作点
Q
、
P
关于直线
l
1
、
l
2
的对
称点
Q
＇和
P
＇
连
Q
＇
P<
/p>
＇
，与两直线交点即
为
< br>M
，
N
．
M
两点之间线段最短．
四边形
PQMN
周长的最小
值为线段
P
＇
P
< br>＇
＇
的长．
< br>在直线
l
1
、
< br>l
2
上分别求点
M
、
N
，使四边形
PQMN<
/p>
的周长最小．
【问题
< br>5
】
“造桥选址”
作法
-
1
-
图形
原理
A
M
N
B
m
n
A
将点
A
向下平移
MN
的长
度单位得
A
＇
，<
/p>
连
A
＇
B
，
交
n
于点
N
，
过
N
作
NM
⊥
m
于
M
．
A'
M
N
B
两点之间线段最短．
m
n
AM
+
MN
+
BN
的最小值为
A<
/p>
＇
B
+
MN
．
直线
m
∥
n
，在
m
、
n
，
上分别求点
M
、
N
，
使
MN
⊥
m
，且
AM
+
MN
+
BN
的
值最小．
【问题
6
】
A
B
作法
将点
A
向右
平移
a
个长度
l
图形
A
原理
A'
B
M
a
N
单位得
A
＇
，
作
A
＇
关于
l
的
对称点
A
＇
＇
，
连
A
＇
＇
B
，
交直线
M
A''
N
l
两点之间线段最短
．
AM
+
M
N
+
BN
的最小值为
< br>
A
＇
＇
B
+
MN
．
在直线
l
上求两点
M
、
N
（
M
在左）
，使
MN
?
a
，并使
AM
< br>+
MN
+
NB
< br>的值最小．
l
于点
N
，将
N
点向左平
移
a
个单位得
M
．
【问题
7
】
l
1
P
l
2
作法
P'
图形
l
1
P
l
2
原理
作点
P
关于
l
1
的对称点
P
＇
，
作
P
＇
B
⊥
l
2
于
B
，
交
l
< br>2
于
A
．
点到直线，垂线段最短．
P
A
+
AB
的最小值
为线段
P
＇
B
的长．
A
B
在
l
1
上求点
A
，在
l
2
上
求
点
B
，使
P
A
+
AB
值最
小．
【问题
8
】
l
1
N
A
M
B
l
2
作法
图形
B'
l
1
A
N
M
A'
B
l
2
原理
作点
A
关于
l
2
的对称点<
/p>
A
＇
，
作点
B
关于
l
1
的对称
点
B
＇
，
连
A
＇
B
＇
交
l
2
于
M
，
交
l
1
于
N
．
两点之间线段最短．
AM
+
MN
+
NB
的最小值为
线段
A
＇
B
＇
的长．
A
为
l
1
上一定点，
B
为
l
2
上
一定点，在
l
2
上求点
M
，
在
l
1
上
求
点
N
，
使
AM
+
MN
+
NB
的值最小．
【问题
9
】
A
B
l
作法
A
图形
原理
垂直平分上的点到线段两
B
连
AB
，作
AB
的中垂线与
直线
l
的交点即为
P
．
P
端点的距离相等．
l
在直线
l
上求一点<
/p>
P
，使
PA
?<
/p>
PB
的值
最小
．
PA
?
PB
＝
0
．
【问题
10
】
作法
-
2
-
图形
原理
A
B
l
A
三角形任意
两边之差小于
B
作直线
AB
，与直线
l
的交
点即为<
/p>
P
．
第三边．
PA
?
PB
≤
AB
．
P<
/p>
l
在直线
l
上求
一点
P
，使
PA
?
PB
的最大值
＝
< br>AB
．
PA
< br>?
PB
的值
最大
．
【问题
11
】
A
l
B
作法
A
图形
原理
三角形任意两边之差小于
B'
l
作
B
关于
l
的对称点
B
＇
作直线
A B
＇
，与
l
交点即
为
P
．
第三
边．
PA
?
PB
≤
AB
＇
．
PA
?
PB
最
大值
＝
AB
＇
．
B
P
在直
线
l
上求一点
P
，使
PA
?
PB
的值
最大
．
【
精品练习
】
作图题：
【例
1
】已知：如图，
A
，
B
在直线
L
的两侧，在
L
上求一点
P
，使
得
PA+PB
最小。
【例
2
】如图，直线
l
是一条河，
P
，
< br>Q
是两个村庄．计划在
l
上的某
处修建一个水泵站
M
，向
P
，
Q
两地供
水．现有如下
四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道）
，则所需管道最短的是
（
）
【例
3
】<
/p>
已知
A
（
1
，
1
）
、
B
（
4
，
2
）
．
< br>（
1
）
P
为
x
轴上一动点，求
PA
+
PB
的最小值和此时
P
点的坐标；
（
2
）
P
为
x
轴上一动点，求
P
A
?
PB
的值最大时
< br>P
点的坐标；
y
O
A
x
< br>B
y
B
-
3
-
O
A
x
（
3
）
CD
为
x
轴上一条动线段，
D
在
C
点右边且
CD
＝
1
，求当
< br>AC
+
CD
+
< br>DB
的最小值和此时
C
点的坐标
；
y
B
A
x
O
C
D
【例
4
】如图，已知两点
P
、
Q
在锐角∠
AOB
内，分别在
OA
、
OB
上求点
M
、
N
，使
PM
＋
MN
＋
NQ
最短．<
/p>
【例
5<
/p>
】如图，在河两岸有两个村子，要在两个村子之间架一座桥梁，请你利用已学知识画出使两
个村子
距离最短的桥梁建设位置，保留作图痕迹
【例<
/p>
6
】如图，已知牧马营地在点
P
处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到
营地
，请你替牧马人设计最短的放牧路线。
【例
7<
/p>
】
荆州护城河在
CC
＇处直角转弯，河宽相等，从
A
处到达
B
处，需经过两座桥
DD
＇
、
EE
＇
，护城河及
两
桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使
A
到
B
点路径最短？
-
4
-