-
第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛
初二
第一试
2011
年
3
月
13
日
上午
8
：
30
至
10
：
00
得分
一、选择题（每小题
4
分，共
40
分。
）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确
的，请将正
确答案前的英文字母写在下面的表格内。
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
共得分
1
、
将
a
千克含盐
10
﹪
的盐水配制成含盐
1
5
﹪的盐水，需加
盐
x
千克，则由此可列出方程
（
）
?<
/p>
?
?
a
?
x
?
?
1
?
15
0
?
.
（
B
）
a
?
10
0
?
?
a
?
x
?
?
15
0
.
< br>0
0
0
0
1
?
10
0
?
?
x
?
1<
/p>
?
15
0
?
.
（
C
）
a
?
10
0
?
x
?
a
?
15
0
< br>.
（
D
）
a
?
0
0
0
0
（
A
）
a
< br>1
?
10
0
2
、一辆汽车从
A
地匀速驶往
B
地，如果汽车行驶的速度增加
a
﹪，则所用的时间减少
b
﹪，
< br>则
a
、
b
的关系是（
）
（
A
）
b
?
?
a
100
a
100
a
100
（
B
）
b
?
（
C
）
b
?
< br>
（
D
）
b
?
0
0
1
?
a
100
?
a
1
?
a
1
?
a
0
0
那么实数
m
的最大值是
（
）
x
?
1
?
m
?
x
?
2
恒成立，
3
、
当
x
?
1
时，
不等式
x
?
1
?
（
A
）
1
< br>．
（
B
）
2
。
（
C
）
3
。
（
D
）
4
。
4
、在平面直角坐
标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知
k
为整数，若
函数
y
?
2
x
?
1
与
y
?
kx
?
k
的图象的交点是整点，则
k
的值有（
）个
（
A<
/p>
）
2
．
（
B
）
3
。
（
C
）
4
。
（
D
）
5
。
5
、
（英语意译）已知整数
x
满足不等式
2
?
2
x
?
1
?
6
，则
x
的值是（
）
（
A
）
8
．
（
B
）
5
。
（
C
）
2
。
（
D
）
0
。
6
、若三角形的三条边的长分别为
a
、
b
、
c
，且
a
b
?
< br>a
c
?
b
c
?
b
?
0
.
则这个三角形一定
是（
）
（
A
）等腰三角形
（
B
）直角
三角形
（
C
）等边三角形
（
D
）等腰直角三角形
7
、如图
1
，点
C
在线段
BG
上，四边形
ABCD
是一个正方形，
< br>AG
与
BD
、
< br>CD
分别相交于
点
E
和
F
，如果
AE=5
，
EF=3
，则
F
G=
（
）
（
A
）
2
2
2
3
16
8
。
（
B
）
。
3
3
A
5
E
3
D
（图
1
）
（
C
）
4
。
（
D
）
5
。
8
、
n
的值是
（
）
2
?
1
能分解成
n<
/p>
个质因数的乘积，
（
A
< br>）
6
．
（
B
）
5
。
（
C
）
4
。
（
D
）
3
。
B
16
F
C
G
9
、若关于
x
、
y
的方程组
?
?
x
?
ay
?
1
?
0
,
没有实数解，则（
）
?
bx
?
2
y
?
a
?
0
（
A
）
ab
?
?
2
（
< br>B
）
ab
?
?
2
且
a
?
1
.
（
C<
/p>
）
ab
?
?
2
（
D
）
ab
?
?
2
且
a
?
2
.
10
、如图
2
，∠
AOB= 45
0<
/p>
，
OP
平分∠
A
OB
，
PC
⊥
OB
于点
C
。若
PC=2
，则
OC
的长是（
）
（
A
）
7
．
（
B
）
6
。
（
C
）
2
< br>?
2
2
。
（
D
）
2
?
二、<
/p>
A
组填空题（每小题
4
< br>分，共
40
分。
）
11
、化简：
A
P
2
3
。
O
（图
2
）
C
B
9
?
4
5
2
?
5
?
。
A
?
3
x
?
2
y
?
k
?
1
12
、若关于
x
、
y
的方程组
?
的解使
4
x
?
7
y
?
2
,
则
k
2
x
?
3
y
?
2
?
M
B
N
C
（图
3
）
的取值范围是
。
13<
/p>
、如图
3
，平行于
BC
的线段
MN
把等边⊿
ABC
分成一个三角形和一个四
边形，已知⊿
AMN
和四边形
MBCN
< br>的周长相等，则
BC
与
MN
的长度之比是
。
14
、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转
5
分钟，停机
15
分钟，
再运转
5
分钟，再停机
15
分钟，…，又知
8
月份这台冰箱的耗电量是
24.18
度（
1
度
=1
千瓦时）
，
则这台冰箱的压缩机运转时的功率是
瓦。
15
、已知自然数
a
、
b
、
c
满足
a
?
b
?
c
?
42
?
4<
/p>
a
?
4
b
?
12
c
和
a
?
a
?
2
?
0
，则
代数式
2
2
2
2
1
1
1
?
?
的值是
。
a
b
c
2
16
、已知
A
、
B
是反比例函数
y
?
的图象上的两点，
A
、
B
的横坐标分别是
3
，
5
。设
x
O
为原点，则⊿
AOB
的面积是
< br>
。
17
、设完全平方数
A
是
11
个连续整数的平方和，则
A
的最小值是
。
18<
/p>
、将
100
个连续的偶数从小到大排成一
行，其中第
38
个数与第
63
个数的和为
218
，
则
首尾两个数的和是
。
19
、<
/p>
A
、
B
两地相距
15km
，甲、乙两人同时从
A
地出发去
B
地。甲先乘汽车到达
A
、
B
之间的
C
地，然后下车步行，乙全程骑自行车，结果两人同时到达。已知甲步行的速
度
是乙骑自行车速度的一半，乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半，那么，
C
地与
A
地
相距
km
。
等量
关系为：
乘汽车走
AC
之间路程的时间
+
步行
BC
之
间的时间
=
乙骑自行车
15km
的时间，
把相关数值代入
即可求解．
解答：
解：设
AC<
/p>
相距
xkm
，乙骑自行车的速度为
akm/
小时．
x2a+15-x12a=15a
，
解得
x=10
，
故答案为
10
．
< br>
20
、已知
b
?
c
a
?
c
a
?
b
?
?
?
k<
/p>
，则直线
y
?
k
x
?
k
必经过点
。
a
b
c
三、
B
组填空题
（每小题
8
分，共
40
分。
）
21<
/p>
、等腰三角形的两个内角之比是
2
：
5
，则这个三角形的最大内角的度数是
或
。
23
、从甲、乙、丙三名男生和
A
、
B
两名女生中
选出一名男生和一名女生，则所有
可能出现的结果有
种；恰好选中男生甲和女生
A
的概率是
。
23
、从甲、乙、丙三名男生和
A
、
B
两名女生中
选出一名男生和一名女生，则所有可能
出现的结果有
种；恰好选中男生甲和女生
A
的概率是
。
24
、若关于
x
的
方程
x
?
b
b
b
?
a
?
的解是
x
1
?
a
,
x
2
?
x
a
a
，那么方程
x
?
2
2
的解是
x
1
=
，
x
2
=
。
?
a
?
x
?
1
a
?
1
25
、若两个自然数的差是一个数码相同的两位数
，它们的积是一个数码相同的三位数，
那么这两个自然数是
和
。
思路
：
< br>数码
相同的三位数是
111
的倍
数，数码相同的两位数是
11
的倍数
对
111
分解质因数
< br>：111=3×37
两个数的乘积是
111
再乘以一个
1
到
9
的数，这个
37
应
该是两个数之一，这样
我们就确定了一个数是
37.
这样另一个数就是
3
乘以一个
1
到
9
的数。
两数之差
是
11
的倍数，因为
37
除以
11
余数
是
4
，也就是说另一个数除以
11
余数是
4
发
现只有
3×5=15
符合条件
参考答案：
题号
答案
1
A
2
D
3
C
4
C
5
C
6
A
7
A
8
C
9
A
10
C
题号
11
答
案
12
13
4
：
3
14
130
1
5
1
16
16
15
17
121
18
218
19
10
20
（
-1
，
0
）
2<
/p>
?
5
k
?
3
题号
答案
21
22
2
；
384
23
6
；
24
25
37
；
15
75
0
;
100
0
1
6
a
;
a
?
3
a
?
1
第二十
二届“希望杯”全国数学邀请赛（
含提示
）
初二
第一试
2
011
年
3
月
13
日
上午
8
：<
/p>
30
至
10
：<
/p>
00
得分
一、选择题（每小题
4
分，共
40
分。
）以下每题
的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正
确答案前的英文字母写在下面的表格内。
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
共得分
2
、
将
a
千克含盐
10
﹪
的盐水配制成含盐
1
5
﹪的盐水，需加
盐
x
千克，则由此可列出方程
（
）
?<
/p>
?
?
a
?
x
?
?
1
?
15
0
0
?
.
（
B
）
a
?
10
0
0
?
?
a
?
x
?
?
15
0
< br>0
.
1
?
10
0
?
?
x
?
1
?<
/p>
15
0
?
.
（
C
）
a
?
10
0
?
x
?
a
?
15
0
.
< br>
（
D
）
a
?
0
0
0
0
（
A
）
a
1
< br>?
10
0
?
0
提示：配制问题——只加溶质，溶剂量不变；只加溶剂，溶质不变。
2
、一辆汽车从
A
地匀速驶往
B
地，
如果汽车行驶的速度增加
a
﹪，则所用的时间减少
b
﹪，
则
a
、
b
的关系是（
）
（
A
）
b
?
a
100
a
100
a
100
（
B
）
b
?
（
C
）
b
?
（
D
）
b
?
0
0
< br>1
?
a
100
< br>?
a
1
?
a
1
?
a
0
0
那么实数
m
的最大值是
（
）
x
?
1
?
m
?
x
?
2
恒成立，
提示：行程问题——时间
=
路程÷速度；最好
在时间上找等量关系，即
方程。
<
/p>
3
、
当
x
?
1
时，
不等式
x
?
1
?
（
A
）
1
．
（
B
）
2
。
（
C
）
3
。
（
D
）
4
。
提示：根据绝对值的意义，结合
x
的取值范围化简不等式，采用验证法，从最大的
4
开始验证。
（题目问的是最大值！
）
4
、在平
面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知
k
为
整数，若函数