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尚悟
深思生智
道由悟达
有理数与无理数
一、专题简析
理解两个数学概念，在学习数学概
念的同时了解一些数学史知识，深化概念的认识，能依据概念进行分析判断，
根据概念自
觉发现结论并解决一些问题。
二、阅读与探究
数学上，
有理数
是指一大类数，这个名称经过以讹传讹，已经积非成是了，较恰当的
称呼为“可比数”，凡是
能精确表示为
一个整数
a
和
一个正整数
b
的
比
的数都是有理数，例如
3/8
，
17/9
，
0
也是有理数，整数也可以看作
是分母为
1
的分数。
0.4, 0.1111
…，
0.313131
…
是有理数，因为
0.4=2/5, 0.1111
…
=1/9
，
0.3131
31
…
=31/99,
小数部分是有限
的或是无限循环的数都是有理数，分数都是有理数，分数本身就是一种比的记法。
有限小数都可以看作是分母是整十、整百、整千、整万……的分数；
无限循环小数都可以等值于一对整数的比，而且可以找到唯一的一对互质的整数。
读后归纳：整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数。
对应的，还有一类数叫
无理数
，凡是不
能精确表示为一个整数
a
和一个正整数
b
的比的数都是无理数（其实应
该称作“不可比数”更恰当），
无理数的典型特征是小数部分是无限不循环的。
依据材料解决问题
1
、分别将下列数写成两个互质的整数比（写出分数形式）
13,
5
，
0.25
，
3.14
，
0.024
，
0.33333
……
，
2.11111
……，
<
/p>
0.245245245245245
……
，
0
.
5
2
3
归纳：
?
?
?
?
变式：
0.033333
……
，
0
.
2
3
5
如果表示？
2
、
3
、这些数
4
、
?
当
n=10,
100,
1000
时，
1
?
< br>1
?
1
?
1
?
?
?
1
0
！
1
！
2
！
3
！
n
！
15
是无理数吗？将它化成小数形式
7
1
1
?
，
0
！
1
！
1
1
1
?
?
0
< br>!
1
!
2
!
，
1
1
1
1
1
?
?
?
?
都是有理数吗？
0
！
1
！
2
！
3
！
4
！
其和是有理数吗？
?
当
n
趋向于无穷大时，
1
?
1
?
1
?
1
?
?
?
1<
/p>
其和还是有理数吗？
0
！
1
！
2
！
3
！
n
！
尚悟
深思生智
道由悟达
5
、无理数“三剑客”——
e
(
2
.
71828
?<
/p>
)
，
?
（
3
.
1415926535
< br>?
），
2
（
1
.
4142135623
?
）
①
在历史上，自然对数的底
e
与曾一个商人借
钱的利息有关。
过去，有个
商人向财主借钱，财主的条件是每借
1
元，一年后利息是
1
元，即连本带利还
2
元，年利率
100%
。
利息好多喔！
财主好高兴。财主想，一年利率
100%
，半年的利率为
50%
，半年到期连本带息是
1.5
元，
1.5
元作为
2<
/p>
本金，又半年后，
1.5
×
（
1+0.5
）
=
1.5
=2.
25
元
。于是半年结一次帐，利滚利，利息比原来要多。财主又想，如果
一年结
3
次，
4
次，
12
次，……，
365
次，<
/p>
1000
次，……，岂不发财了？你觉得财主会无限收益吗？
令人惊叹的结论：
当
n
?
无穷大时，
?
1
?
?
1
?
?
?
e
?
n
< br>?
n
当
n
趋向无限时，
1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4
!)+1/(5!)+
……
=
∑
1/(n!) = e,
n
∈
N
（记住
：∑是连加符号，
N
用来表示自然数集合）
②
圆周率（
Pi
读作
p
à
i
）是圆的周长与直径的比值
，一般用希腊字母
π
表示，是一个在数学及物理学中普遍
存在的数学常数（约等于
3.141592654
）。
π
也等于圆的面积与边长为圆半径的正方形面积之比。
是精确计算圆周
长、圆面积、球体积等几何形状数值的关键值。它是一个无理数，即无限
不循环小数。在日常生活中，通常用
3.14
代表圆周率去进行
近似计算。而用十位小数
3.141592654
便足以应付一
定精度要求的计算。
令人惊叹的结论：
π
=4
×
(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+
…
…
)=4
×
∑
((-1)
/(1+2n)),
n
∈
N
2
③
已知
X
=2
（
x>0
）
证明：
x
是无理数
这是经典证明题—证明
2
是无理数
希望反复揣摩证明思路，汲取思维养分
n
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