-
第二章无限期模型与世代交叠模型
高级宏观经济学
_
第四版
—
中文
_
罗默课后题答案
第
2
章无限期模型与世
代交叠模型
2.1
考虑
N
个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数
Y = F K
,
AL
，或者采用紧凑形式
，
。
假设
。
假设所
有
厂商都能以工资
wA
雇用劳动，以成本
r
租赁资本，并且所有厂商的
A
值都相
同。
（
a
）
考虑厂商生产
Y
单位产出的成本最小化问题
。证明使成本最小化的
值唯一确定并独立于
< br>Y
，并由此证明所有厂商都选择相同的
k
值。
（
b
）
考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入
是上
述
N
个厂
商的总和，证明其产出也等于述
N
个厂商成本最小化的总产出。
证明：（
a
题目的要求是厂商选择资本
，同时厂商受到生产函数
问题。
K
和有效劳动
AL
以最小化成本
的约束。这是一个典型的最优化
k
构造拉格朗日函数
:
求一阶导数：
得到
:
上式潜在地决定了最佳资本<
/p>
k
的选择。很明显，
k
< br>的选择独立于
丫
-1
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
上
式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，
这便是
成本最小化条件。
(
b)
因为每个厂商拥有同样的
< br>k
和
A,
贝
U N
个成本最小化厂商的总产量为
:
< br>为
N
个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的
A
并且选择相同数量的
k
,
k
的决定
独立于
丫
的选择。因此，如果单一厂商拥有
的劳动人数，则它也会生
产
的产量。这恰
好是
N
个厂商成本最小化的总产量。
2.2
相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想
某个人只活两期，
其效用函
数由方程
(
2.43
)
给定。令
和
分别表示消费品在这两期中的价格，
W
表示此人终生收入的
价值，因此其预算约束是：
(a)
大化的
(b)
两期消费之间的替代弹性为
，或
明，若效用函数为
(
2.43
)
式，是则
与
之间的替代弹性为
答：
(
a
)
这是一个效用最大化
的优化问题。
。
。证
已知
和
<
/p>
和
W
,
则此人效
用最
和
是多少？
----
------------ (1)
(
2
)
求解约束条件：
(3)
将
方程
(
3
)
代
入
(
1
)
中，
可得：
-
---
---------------------------- (4)
这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程
(
边对求一阶条件可得：
4
)
两
(5
)
-2
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
解得
:
将方程（
5
）代入（
3
）
< br>,
则有
:
解得：
-------------------
（
6
）
将方程（
6
）代入（
5
）中，则有：
-------------------
（
7
）
（
b
）由方程（
5
）可知第一时期和第二时期的消费之比为：
（
8
）
对方程（
8
）两边取对数可得：
（
9
）
则消费的跨期替代弹性为：
因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3
（
a
）假设事先知道在某一时刻
，政府会没收每个家庭当时所拥有财
富的一
半。那么，消费是否会在时刻
发生突然变化？为什么？（如果会的话，
请说明时刻
前后
消费之间的关系。）
（
b
）假设事先知道，在某一时刻
，政府会没收每个家庭当时所拥有的部
分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在
时刻
发生
突然变化？为什么？
（
如果会，请说明时刻
< br>
前后消费之间的关系。
）
<
/p>
答：（
a
）考虑两个时期的消费，比如在
一个极短的时期
。
考虑家庭在
时期减少每单位有效劳动的消费为
。然后他在
内，从
到
投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这
< br>
一财富变
化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本
财富的回报率为
前
，在
会有一收益
，
，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为
-3
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
后
。总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满
足下列条件：
前
后
在
时，有下式：
前
后
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收
< br>
前，消
费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费
。
（
b
）从
家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先
会预测
到自己一半的财富会被政府没收，
为了最优化他一生的效用，家庭不会使
自己的消费发
生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.4
设方程（
2.1
）中的瞬时效用函数
为
。考虑家庭在（
2.6
）的
约束下最大化方程（
2.1
）的问题。请把每一时刻的
C
表示为初始财富加上劳动
收入现
值、
答：
以及效用函数各参数的函数。
OO
X
——
——
——
2.6
本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用
OO
(
1
)
OO
—
(2)
OO
令一
建立拉格朗日方程
:
求一阶条件
:
抵消—项得
:
-4
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
(3)
可以推出：
(4)
将其代入预算约束方程，得：
—
将
代入上式，得：
OO
(
5
)
—
(6)
，贝
只要
，则积分项收敛，为
——
将方程
(
7
)
代入
(
4
):
(7)
——
因此，初始消费为：
(8)
——
个人的初始财富为
------
，
方程
(
9
)
说
明消费是初始财富的一个不变的比例。
(9)
为个人的财富边际消费倾向。
可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡
增长路径
上是独立于利率的。对于折现率
会选择多消费。
而言，越大，家庭越厌恶风险，越
2
.5
设想某家庭的效用函数由
(
2.1
)
~
(
2
.2
)
式给定。假设实际利率不变，
令
W
表示
家庭
的初始财富加上终生劳动收入的现值
[(2.6)
的右端
]
。已知
r
、
W
和
效用函数中的各
参数，求
C
的效用最大化路径。
OO
——
2.1
-----
2.2
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
OO
(1)
-5 -
第二章无限期模型与世代交叠模型
OO
(2)
r
是常数
W
代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率
建立拉格朗日方程如下
:
求一阶条件，可得
:
抵消
，得：
（
3
）
两边对时间
t
求导，可得：
得到下面的方程：
—
将方程（
3
）代入（
4
），可得：
（
4
）
抵消
然后求消费的增长率
——，可得：
————
（
5
）
，则市场利率超
由于利率
r
是常数，所以消费的增长率为常数。如果
过贴现率，则消费会增加；反之，如果
会减少。如果
，则
决定了消费增长的幅度。
高，
越高，即消费增长的越快。
重写方程
（
5
），得：
，则市场利率小于贴现率，则消费
值越低，也就是替代弹性越
————
（
6
）
对方程（
6
）积分，积分区间是从时间
T =0
到时间
T
=t
，可得：
-6 -
第二章无限期模型与世代交叠模型
上式可以简化为：
（
7
）
对方程（
7
）两边取指数，可得：
，整理得：
下面求
解初始消费，将方程（
8
）代入（
2<
/p>
），可得
:
将
代入上式，可得：
-
-----
（
9
）
，从而保证积分收敛，则求解方程（
9
）可
得
:
OO
只要
---------
（
10
）
<
/p>
将方程（
10
）代入（
< br>9
）中，求解
---------
（
11
）
<
/p>
将方程（
11
）代入（
< br>8
），求解
：
---------
（
12
）
<
/p>
上式便是
C
的效用最大化路径。
2.6
生产力增长减速与储蓄。设想一个正处
于平衡增长路径上的拉姆塞一
卡斯一库普
曼期模型，假设
g
永久性下降。
（
a
）
（
b
）
曲线会如何变化（如果有影响）？
曲线会如何变化（如果有影响）？
（
c
）
当
g
下降时，
c<
/p>
如何变化？
（
d
）
用一个式子表示
g
的边际变化对平衡增长路
径上储蓄率的影响。能否
判断
此表达式的正负？
（
e
）
设生产函数是柯布一道格拉斯函数
重
新表示（
d
）中的结果。（提示：利用等式
答：（
a
）关于资本的欧拉方程
为
:
-7 -
，请用、
n
、
g
< br>、
B
和
a
o
）
第二章无限期模型与世代交叠模型
(
1
)
该方
程描述了资本的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了技术特征，
是该模型的核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，
定了该模型的最终解。
从而决
图
2
-1
拉姆塞模型
在平衡增长路径上，
，由此可以推出：
。在该方
程中，当
< br>g
永久性地下降时，会导致消费
C
上升以保持方程的均衡。因而在图形
上
曲线
向上移动。同时，保持
k
不变，
g
永久性地下
降会导致持平投资下
降，这样就会有更多的资源用于消费。由于持平投资
因而在更高的
k
水平上，
下降的幅度更大，
向上移动得更
大。图
2-1
是该模型的图示。
(
b
)
每单位有效
劳动消费的欧拉方程为：
(2)
该
方程描述了消费的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了偏好特征，
是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，
定了该模型的最终解。
在平衡增长路径上，要求
，即
，在
g
永久性地下降
从而决
为保持
，
必须下降。由于
因此，
必须上升，在
时
,
，因而
下降必然导致
k
上升。
图形上表现为
向右移动，如图
2-1
所示。
(c)
在
g
永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资
决定的，因而不会发生不连续的变化。它仍然保持在平衡增长路径
处。
与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着
g
永久性地下降而迅速变化。为
-8 -
第二章无限期模型与世代交叠模型
使经济从旧的平衡增长路径达到新的平衡增长路径，
将发生变化。
每单位有效劳动的消费
c
必
不过，
此处无法确定新的平衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，
因
而无法确定每单位有效劳动的消费
c
是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如
< br>果新的平
衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费
c
甚至可能保
持不变。因此，
c
和
k
逐步移动到新的平衡增长路径，此时的值高于
原先的平
衡增长路径值。
（
d
）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为
：
因为
k
保
持不变，即
知：
< br>，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（
1
）可
由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为
：
（
3
）
对方程（
3
）两边关于
g
求导数，可得：
可以再简化为：
-
---------------------------------
（
4
）
由于
由
，从而求出
决定，对该式两边关于<
/p>
g
求导数，可得：
为：
（
5
）
将方程（
5
）代入（
4
）中，可得：
-
---------------------------------
（
6
）
在方程（
6
）中，分母
为负，分子中第一项为正，而第二项为
负，因而无法确定正与负。因此，无法判断在平衡增长路径上
g
永久性地下降会
使
s
上升
还是下降。
（
e
）将柯布一道格拉斯生产函数
代入方程（
6
）中，可得
< br>:
-9 -
第二章无限期模型与世代交叠模型
简化为：
从上式可以推出：
最终有下面的结果
:
2.7
说明下列变化如何影响图
2.5
中的
线和
何影响平衡增长路径上的
c
值和
k
值。
（
a
）
上升
（
b
）
生产函数向下移动。
（
c
）
折旧率由本章中假设的零变为某一正值。
线，并在此基础上说
明其如
图
2-2
鞍点路径
< br>答：（
a
）关于
c
与
k
的欧拉方程为：
-
-
-------------
（
1
）
（
2
）
的上升即消费的跨期替代弹性
下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨
期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。这种情况使家
庭更偏好
于即期消费。
由于
没有出现在资本积累方程
(
2
)
中，因而资本
积累方程不受
的上升的
影响。在消费的动态方程中，在平衡增长路径上
于
的上升，因而
必须上升，又因为
，从而
，所以为使
，由
，
k
必须下
-10
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
降。此时
向左移动，消费移动到新的鞍点路径
A
点上，此刻家庭消费得更
，此时
和
低于原先的值。如图
多了，经济最终移动到新的稳定点
2-3
所示。
图
2-3
上升的影响
(b
)
由于生产函数的向下移动，因而
和
都变小了，如图
< br>2-4
所示
图
2-4
生产函数向下移动
根据资本的欧拉方程：
径上
，因而有
，在平衡增长路
。由于
变小，因此
这条曲线会向下移
动，如图
2-5
所示。
根据消费的欧拉方程：一
-----------------
，
在平衡增长路径上
，由于
变小，为保持
，从而
，必须使
k
下降，从而使
保
-11
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
持不变。因此
此刻
和
<
/p>
向左移动，如图
2-5
所示。经济最终将
收敛到新的均衡点
低于原先的值。
点
,
图
2-5
生产函数向下移动的影响
(
c
)
由于折旧率
S
由
0
变为正
数，因而资本的欧拉方程变为：
(
3
)
由于
折旧率
S
由
0
变为正数，因此持平投资变大，持平投资线向左上移动，
如图
2-6
所示。
图
2-6
持平投资线向左移动
这便要求增加储蓄或者投资，从而降低消费。由于持平投资变大，因此
会向下移
动，如图
2-7
所示。
-12
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
图
2-7
折旧率由
< br>0
变为正数的影响
资本的回报也下降为：
，从而消费的欧拉方程变为：
-
----------------
（
4
）
在平衡增长路径上，
数之前相比较，
要求
。与折旧率
由
0
变为正
必须变大，从而
k
必须变小。由于
k
必须变小，这便要求
点，此刻
和
曲线向左移动，如图
2-7
所示。经济
最终将收敛到新的均衡点
低于原先的值。
2.8
请在折旧率为正的情形下推导类似于（
2.39
）的
表达式
答：教材中方程（
2.39<
/p>
）中折旧率为
0
的情形为：
当考虑到折旧率
的情况时，消费和资本的欧拉方程变为：
---
---------------------
（
1
）
（
2
）
对方程（
1
）和（
2
）分别在
-
-
定义
和（
4
）重写为：
和
和
处进行一阶泰勒展开，可得：
-
-
（
3
）
（
4
）
，因为和为常数，所以
且
，将
（<
/p>
3
）
--
（
5
）
-13
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
--
对方程（
1
）和（
2
）计算偏导数：
（
6
）
—
（
7
）
—
-----------------------
（
8
）
-
一
将方
程（
7
）和（
8
）代入（
5
），将方程（
9
）和（
10
）代入（
6
），可得：
------
（
9
）
（
10
）
（
11
）
（
12
）
方程（
12
）的第二步用到了
。
对方程（
11
）除以
以求
的增长率，对方程（
12
）除以
以求
的增长率：
，第三步用到了定义
-
-------------
（
13
）
-
-
（
14
）
可以发现该结果与教材中不存在折旧率的增长率一样，
也就是说折旧率的存
在对增长率没有影响。因此，经济在向平衡增长路径移动时的
和
的不变增长率
卩与教材
中的结果应该一致。
令
-
方程（
13
）可以推出：
(15
)
由
方程（
15
），令（
13
）和（
14
）相等，可得：
-----------------
，求解可得
:
-14
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
如果
为正，则经济会偏离稳定点，所以
必为负：
，分别求其一阶导和二阶导：
现在考虑柯布一道格拉斯生产函数
（
16
）
（
17
）
<
/p>
，将其代入（
17
）式：
将方程（
16
）两边同时平方：
定义平衡增长路径上的储蓄率为，则平衡增长路径上的消费为：
（
18
）
<
/p>
将方程（
17
）和（
18
）代入（
15
）：
化简为
:
______
二
____________
（
19
）
在平衡增长路径上，
意味着
，即：
（
20
）
另外，实际投资等于持平投资：
，可以推出：
-------
-
---------
（
21
）
上步用到了
，由（
< br>21
）可以推出：
-----------
（
22
）
<
/p>
将方程（
20
）和（
22
）代入到（
19
）中，可得：
上式与教材中的（
2.39
）极其相似，它表明了消费与资本的调整速度（将
，
，
，
，
，
代入上式，得到
）
-15
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
要快于不存在折旧时的调整速度。
2
.9
拉姆塞模型的解析解
［
来自于史密
斯
(Smith,2006)
。
］
考虑生产函数柯布
-
道格拉斯函数的拉姆塞模型，
的情形，假设相对风险规避系数
与
资本份额相等。
< br>(
a
)
平衡增长路径上的
(
b
)
平衡增长路径上的
k
值
(
即
)
为多少
？
c
值<
/p>
(
即
)
为多少？
，
表示消费资本比
。请
(
c<
/p>
)
令
表示资本产出比
用
< br>z
、
x
和模型参数表示
和
(d
)
暂且
猜测
x
在鞍点路径上是常数，根据这一猜想
:
(i)
给定初始值
，求
z
的路径。
(ii)
给
定初始值
，
求
y
的路径。经济沿鞍点路径向平衡
增长路径收敛
的速度是否是常数？
(e
)
上述猜测的解是否满足
c
与
k
的运动方程
< br>(2.24)
与
(2.25)
？
答：
(
a<
/p>
)
已知
(
1
)
从正文可知，在
时，存在
。利用方程
(
1
)
计算得到
——
(
2
)
(b)
与
(
a)
题类似，根据正文可知，在
时，存在
利用方程
< br>(
1
)
计算得到：
。
——
(c)
得到：
设
——
(
3)
和
x
o
将方程
(
1
)
代入
的定义
(
4
)
将方
程
(
4
)
代入
x
的定义，得到：
(
5
)
使用
方程
(
4
),
考虑
的时间导数，得到
:
-16
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
（
6
）
从正文的方程（
2.25
）知道，
，方程（
6
）可表示
成：
（
7
）
为简化上式，将方程（
4
）和方程（
5
）代入上式，得到：
（
8
）
现在，对数化
x
，考虑其时间导数，得到
：
---
根据正文的方程（
2.24<
/p>
）和方程（
2.25
），上式可表示成：
-
-----------
-
-------------
（
10
）
<
/p>
将方程（
4
）和方程（
< br>5
）代入上式，再利用
得到：
-
（
11
）
（
d
）（
<
/p>
i
）根据
x
为常
量的假设，方程（
8
）可表示成
（
12
）
<
/p>
为确定
z
的变化路径，考虑方程（
12
）方程（
12
）
为线性非齐次常微分方程。
该方程的解包括通解和。简单地设
为求通解，考虑相应的齐次方程
程得到通解
：
（
13
）
为求特解，考虑非齐次方程
得到特解：
（
14
）
<
/p>
因此，方程（
12
）的
< br>
解表示成
（
15
）
利用初始条件，
替换
，得到：
（
16
）
为简化
，使用方程（
2
）和（
3
）消去，利用方程
（
4
）得到：
，
是积分常数，利用积分因子
。
，
是积分常数，求解
-
的微分方
（
9
）
（
17
）
-17 -
第二章无限期模型与世代交叠模型
（
ii
）
可将
方程（
4
）代入方程（
1
）
,
求解
y
的路径。由于已经得到
的路径，
将
的
路径代入方程（
17
），得到：
—
（
18
）
<
/p>
使用
k
表示
z<
/p>
的方程（
4
），上式可表示成：
—
（
19
）
<
/p>
现在，分析经济趋向平衡增长路径的收敛速度是否不变。方程（
1
9
）两端同
减方程
< br>（
2
）确定的平衡增长路径
———，再取对数求导：
———
考虑上式的时间导数，得到：
（
20
）
（
21
）
上式显然不是常数，收敛速度也不是常数。
< br>（
e
）
需要知道正文的方程（<
/p>
2.24
）和方程（
2.25
）
，
或
和
是否成立。使用方程（
2.24
）和方程（
2.25
）
求解
，
成
立的充要条件是方程（
2.24
）和方程（
2.25
，成立。已经方程（
2.25
）成立，以
前使用
该方程求解。因此
-
的充分必要条件是
程（
11
）可得：
（
22
）
<
/p>
根据（
a
）题和（
b
）题，在平衡增长路径上，
方程
（
22
）可表示成：
（
23
）
<
/p>
上式等同于方程（
11
），方程（
2.24
）和方程（
2.25
，得以成立。
等于
，
。假设
-
，根据方
2.10
< br>拉姆塞
-
卡斯
-
库普曼斯模型中的资本税。考虑处于平衡增长路径上的拉
姆塞
-
卡斯
-
库普曼斯经济。假设在某一时刻（我们称作
0
时），政府采取了一项
对投资所得按
税率征税的政策，因此家庭面临的实际利率变为
假设政府将税收收入以一次性转移支付的形式返还给家庭。最
第二章无限期模型与世代交叠模型
-18 -
第二章无限期模型与世代交叠模型
后，假设税收政策是意料之外的
(a)
(b)
作出何种反应？
何？
(c)
c
和
k
在新旧
两种平衡增长路径上的值有何不同？
(d)
［
本小题基于巴罗、曼昆和萨拉伊马丁
Barro, Mankiv, and
该税收政策如何影响
和
线
？
经济在
0
时会对该税收政策
0
时之后的动态学又是如
Sala-i-Martin,1995
］
假设存在许多与本题相同的国家，各国工人们的偏好相同，
但各国
间的投资收入税率可以不同。假设各国都处于其平衡增长路径。
(i)
证明平衡增长路径上的储蓄率
关于<
/p>
T
是递减的。
(ii)
低
T
、高、高储蓄率国家的居民是否有动机向低储蓄率国家投资？
为什么？
(e)
(c)
小题中的答案是否说明补贴投资
(
即让
T
<0
)
并通过一次性税收为
补贴筹
资的政策可以提高福利？为什么？
(f)
如
果政府并不返还税收收入，而是将其用于政府购买，
(
a
)
小题和
(
b
)
小题中
的答案会如何变化？
答：
(
a
)
由于资本的税后报酬变为：
单位有效劳动的消费增长率来实现一生效用的最大化，即：
，家庭将改变每
---
----------------------- (1)
在平衡增长路径上，
。为保持
，
降。因此，
要求
必须上升，又因为
，即税后报酬率为
，所以资本存量必须下
这条曲线将会
左移，如图
2-8
所示。
-20 -
第二章无限期模型与世代交叠模型
-21 -
第二章无限期模型与世代交叠模型
图
2-8
对投资增税的影响
家庭的每单位有效劳动的资本的欧拉方程仍为：
（
2
）
由于政府将由这种税收征集的收入又通过总量性转移支出返还给家庭，
家庭投资决策不受影响，因而
的轨迹不变。
所以
（
b
）
在
0
时刻，由于资本的存量由历史上的投资
决策所决定，因而资本不
会发生非连续的变化。资本仍然保持在原来的平衡增长路径上的
处。
在
0<
/p>
时刻，与每单位有效劳动的资本相反，每单位有效劳动的消费会由于征
税而立
刻发生变化。由于税收政策的这种变化是非预期性
的并且是毫无准备的，
因此消费的变化
是非连续的。
由于政府的这种税收征集，储蓄和资本积累的回报会比以前低，
家庭会转而
减少储
< br>蓄，增加消费，在图
2-8
上表现为
c
向上移动到
A
点，然后沿着新的
均衡
路径移动。经济
沿着新的鞍点均
衡路径缓慢移动，最终移动到新的均衡点
。
（
c
）
由图
2-8
可知，由于税收扭曲了经济刺激
，因此税后处在新的平衡增
长路
径上
的
c
与
k
的值
将变小。
（
d
）
（
i
）由上述的分析可以看出，税率
T
越高，在平衡增长路径上的
小，而且
曲线向左移动得越多，因而有
。
，同时，
时，
越
在平衡增长路径上，储蓄率可以表示为：
由
以将储蓄率表示为
:
可以推出
，由此可
（
3
）
对方程（
3
）两边求关于税率的导数：
可以简化为
:
由于资本的收入份额为
，以及
，可以改写上式为
:
-22
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
- ------------- (4)
以上便证明了平衡增长路径上的储蓄率
关于
T
是递减的。
(
ii
)
在低税率、咼资本存
量和咼储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储
蓄的国
家。由
(
a
)
可知，在平衡增长路径上
,
即税后的资本回报为
，可以推出
，假定在国家之间偏好与技术特征是相同的。
因而在低储蓄国家资本的税后回报与高储蓄国家的资本的税后回报相同。因此，
在低税
率、咼资本存量和咼储蓄的国家的公民没有动力去投资于
低储蓄的国家。
(e)
补贴投资不会增加福利。
原先的市场
结果便已经是中央计划者能够达到的社会效用最大化水平了，
给予了家庭最高可能的终生效用水平。
从初始的
E
点开始，投资补贴能够使消费短期内下降到
A
点，但最终经济
会沿着新
的平衡增长路径达到更大的消费水平
< br>
点。可以发现短期的效用损失
它
会超过长期的效用收益
(
都用现值形式表示
)
，
如图
2-9
所示。
图
2-9
对投资补贴不会增加福利
(f)
未将税收所得返给家庭，而是用于政府购买。令
位有效劳动的政府购买，则每单位有效劳动的资本存量变化的欧拉方程仍为：
假定政府
为每单
(
5
)
政府
购买被视为是政府的消费而不是投资，这将不会增加资本存量。由
(
5
)
可得，
< br>曲线将向下移动。如图
2-10
所示。
< br>
由
(
a
)
可知，由于政府征税，
曲线向左移动，
移动到
，在新的
平衡增长路径上，每单位有
效劳动的消费会低于存在政府的总量税返还的情况。
-23
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
如
图
2-10
所示
?
图
2-10
税收全部用于政府购买对经济的影响
2.11
应用相图分析预期变化的影响。考虑习题
2.10
中提到的政策，假设政
府并不
是在
0
时宣
布并执行该政策，而是在
0
时宣布将在以后某一时刻
对投资
收入按照税率
T
征税。
(a)
用相图画出之后
c
和
k
的动态学。
(b)
c
在
时刻的变化是否连续？为什么？
(c)
用相图画出之前
c
和
k
的动态学。
(d)
根据
(
a
)
、
(
b
)
和
(
c
)
的答案，
c
在
0
时应如何变化？
(e)
总结上
述
4
个小问题，并把
c
和
k
的路径描绘为时间的函数。
答：
(
a
)
-
(
c
)<
/p>
在开始征税的时间
之前，描述经济动态变化的方程为：
-
-- ------------------- (1)
(
2
)
对于
方程
(
1
)
，
在平衡增长路径上，
府返还总量税，资本积累方程不受影响。
在
时刻征税之后，
< br>c
的欧拉方程为：
可以推出
。由于政
--
-
------------------------
(3)
在平衡增长路径上，
报为
可以推出
，即税后的回
高于税后的资本回报。为保持
，
曲线必须向左移动
。因此，税前的资本回报
必须上升，
从而
k
必须下降。因此，在
时刻，
-24
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
如
图
2-11
所示
图
2-11
时刻征税使得
向左移动
不过值得注意的是，资本的
动态在实际征税之前仍由原先的欧拉方程决定。
在时刻征税之
后，消费
C
不可能发生不连续的变化，原因在于家庭已经在事先
知道了将要
征税的消息，家庭希望平
滑消费。
（
d
）在
时刻征税之后，消费不可能发生不连续的变化，同时经济会达到
新的平衡增长路径。在
0
时刻宣布并施
行征税后，
c
会立即由原先的均衡点
E
移
动到平衡
增长路径上的
A
点，如图
2-12
所示。
图
2-12
征税对
曲线的影响
在
A
点，由于消费
c
太高，从而不足以
将资本维持在原先的资本水平
因此
k
开始下降。从
0
时刻到
时刻，动态系统仍由原先的
消费在鞍点路径之左，因此消费开始上升。
上
,
的欧拉方程决定。
在时刻经济恰好移
动到新的鞍点路径，此时税收开始执行，并且动态系统
仍由新的
的欧拉方程决定。因此，<
/p>
c
开始下降，经济最终移动到新的鞍点
（
e
）每单位有效劳动的消费与每单位
有效劳动的资本如图
2-13
所示
-25 -
第二章无限期模型与世代交叠模型
(1)
每单位有效劳动的消费的图示
⑵每单位有效劳动的资本的图示
图
2-13
每单位有效劳动的消费、有效劳动的资本图示
2.12
应用相图分析暂时性变化的影响。考虑习题
2.11
的如下两种变形：
(a)
对
0
时到其后某一时刻
在
0
时刻，政府宣布将
间的投
资收入按照税
率
T
< br>征税，而此后投资收入仍将免税。
(b)
在
0
时，政府宣布将对
时其后某一时刻
间的投资收入按照税率
T
征税，而
之前和
之后的投资收入仍将免税。
答：
(
a
)
第一问是分
析预期到的税收将在
时刻结束，因而消费在
时刻将
不会发生非
< br>连续的变化。原因在于家庭的跨期消费最优化要求家庭平滑消费。
因
此，在经济返回到旧
的鞍点路径时，消费必须在
时刻位于旧的鞍点路径上。
在征税之
前，即到
0
时刻，和在结束征税之后，即
时刻之后，经济动态变
化由下面
两个欧拉方程决定：
-
--
------------------- (1)
(
2
)
资本积累的动态方程
贝
U
会受到征税的影响。在
，为了保证
所以
k
必须下降，从而
不会受到征税的影响，但是，消费的动态方程
0
时刻到
时刻，资本的税后回报为
成立，
L
必须上升，由于
，
保持不
c=o
必须左移。在
0
时刻，开始征税，
-26
-
第二章无限期模型与世代交叠模型
变
，但经济位于原鞍点路径的右边，因而
c
开始下降。此时经济在
的下边
,
-27
-