-
反比例函数常见模型
一
、知识点回顾
1..
反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线
y=
（
k≠
0
）
．其
解析式有三种表示方法：
①
y
?
（
< br>k
?
0
）
；
②
y
?
k
x
?
1
（<
/p>
k
?
0
）
；
③
xy
?
k
2
．反比例函数
y=
（
k≠0
）的性质
（
1
）
当
k>0
时
?
函数图像的两个分支分别在第一，
三象限内
?
在每一象限内，
y
随
x
的增大而减小．
（
2
）
当
k<0
时
?
函数图像的两个分支分别在第二，
四象限内
?
在每一象限内，
y
随
x
的增大而增大．
（
3
）在反比例函数
y=
中，其解析式变形为
xy=k
，故要求
k
的
值
(
也
就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积
).
（
4
）若双曲线
y=
图像上一
点（
a
，
b
）
满足
a
，
b
是
方程
Z
2
－
4
Z
－
2=0
的两根，求双曲线的解析式
．由根与系数关系得
ab=
－
2
，
又
ab=k
，∴<
/p>
k=
－
2
，故双
曲线的解析式是
y=
?
2
．
x
k
< br>x
k
x
k
x
k
x
k
x
（
5
）由于反比例函数中自变量
x
和函数
y
的值都不
能为零，所
以图像和
x
轴，
y
轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无
限贴近的趋势．
二、新知讲解与例题训练
模型一：
如图，
点
A
为反比例函数
y
?
图象上的任意一点，
且
A
B
垂直于
x
轴，
则有
S
?
OAB
?
|
k
|
2
第
- 1 -
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/
共
13
页
k
x
例
1
：
如图
Rt
?
ABC
的锐角顶点是直线
y=x+m
与双曲线
y=
m
在第一象
x
限的交点，且
S
?
AOB
?
3
,
（
1
< br>）求
m
的值
（
2
）求
?
ABC
的面
积
变式题
1
、
如图所示，
点
A
1
,
A
2
,
A
3
在
x
轴上，
且
O
A
1
=
A
1
A
2
=
A
2
A
3
,
< br>分别过
A
1
,
< br>A
2
,
A
3
作
y
轴平行线，
< br>与反比例函数
y=
(x>0)
的
图像交于点
B
1
,
B
2
,
B
3
，
分别
过点
B
1
,
B
2<
/p>
,
B
3
作
x
轴的平行线，分别与
y
轴交于点
C
1
,
< br>C
2
,
C
3
,
连结
OB
1
,
OB
2
,
OB
3
,
那
么图中阴影部分的面积之和为
__________
8
x
2
、
如图，
点
A
在双曲线
y
?
上，点
B
在双曲线
y
?
上，且
AB
∥
x
轴，
C
、
D
在
x
轴上，若四边形
ABCD
为矩形，则它的面积为
.
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13
页
1
x
3
x
模型二：
如图：点
A
、
B
是双曲线
y
?
(
k
?
0
)
任意不重合的两点，直线
AB
交
x
轴于
k
x
M
点，交
y
轴于
N
点，再过
A
、
B
两点分别作
A
D
?
y
轴于
D
点，
BF
?
x
轴于
F
点，再连结
DF
两点，则有：
DF
||
AB
且
BM
＝
AN
例
2
：
如图，一次函数
y
?
a
x
?
b
的图象与
x
轴，
y
轴交于
A
，
B
两点，
与反比例函数
y
x
F
O
D
y
N
D
A
B
F
M
x
?
k
x
的图象相交于
C
，
D
两点，
分别过
C
，
D
两点作
y
轴，
轴的垂线，垂足为
E<
/p>
，
F
，连接
CF
，
DE
．有下列四个结论：
①
S
?
CEF
?
S
?
DEF
；②
?
AOB
相似于
?
FOE
；③△
D
CE
≌△
CDF
；
④
A
其中正确的结论是
．
（
把你认为
C<
/p>
?
B
D
正确结论
的序号都填上）
第
- 3
-
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13
页
y
B
A
O
C
D
F
E
x
例
3<
/p>
：
一次函数
y
?
ax
?
b
的图
象分别与
x
轴、
y
轴交于点
M
,
N
< br>，
与反比
例函数
y
?
的图象相交于点
A
,
B
．
过点
A
分别作
AC
?
x
轴，
AE
?
y
轴，
垂足分别为
C
,
E
；过点
B
分别作
BF
?
x
轴，
BD
?
y
轴，垂足分别为
AC
与
BD
交于点
K
，连接
CD<
/p>
．
F
，
D
，
k
x
（
1
）若点
A
，
B
在反比例函数
y
?
的图象的同一分支上，如图
1
，试
证明：
①
S
四边形
AEDK
?<
/p>
S
四边形
CFBK
；②
AN
?
BM
．
（
2
）
若点
A
，
B
分别在反比例函数
y
?
的图象的不同分支上，
如图
2
，
则
AN
与
B
M
还相等吗？试证明你的结论．
图
1
图
2
k
x
k
x
第
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13
页
模型三
：
如图，已知反比例函数
y
?
（
k
≠0
，
x>0
）上任意两点
P
、<
/p>
C
，过
P
做
PA
⊥
x
轴，交<
/p>
x
轴于点
A
，过
C
做
CD
⊥<
/p>
x
轴，交
x
轴于
点
D
，则
S
?
OPC
?
S
梯
形
PADC
.
k
x
例
4
：
如图，在直角坐标系中，一次函数
y
=
k
1
x+b
的图象与反比例函
数
y
?
k
2
的图象交于
A
(
1
,
4
)
、
B
(
4
，
1
)<
/p>
两点，则
△
AOB
的
x
面积是
______.
例
5
：
如图，
在直角坐标系中，
一次函数
y
?
k
1
x
?
b
的图象与
第
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反比例函数
y
?
k
2
的图象交于
A
（
1,4
）
、
B
（
3
，
m
）两点，则
△
AOB
x
的面积是
______.
例
6
：
如图
1
，已知直线
y
?<
/p>
x
与双曲线
y
?
(
k
?
0)<
/p>
交于
A
、
B
两点，
且点
A
的横
坐标为
4
．
（
1
）求
k
的
值；
（
2
）
如图
2
，
过原
点
O
的另一条
直线
l
交双曲线
y
?
< br>(
k
?
0)
于
C
、
D
两点（点
C
在第一象限且在点
的左边）
，当四边形
ACBD
的面
积为
24
时，求点
C
的坐标．
模型四
：
在
矩形
AOBC
中，
OB
=
a
，
OA
< br>=
b
，分别以
OB
，
OA
所在直线为
x
轴
和
y
轴，
建立如图所示的平面直角坐标系．
F
是
BC
上的一个动点
（不
与
B
、
C
重合
）
，过
F
点的反比例函数
y
?
k
(
< br>x
?
0)
的图象与
AC
边交于
x
1
2
k
x
k
x
A
点
E
，则
CE
a
?
.
CF
b
第
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