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对数函数及其性质
【学习目标】
1.
理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；
2.
探索对数函数的单调性与特殊点，
掌握对数函数的性质，
会进行同底对数和不同底对
数大小的比较；
3
．了解反函数
的概念，知道指数函数
x
ya
?
与对数函数
log
a
yx
?
互为反函数
??
0,1aa
??
．
【要点梳理】
要点一、对数函数的概念
1
．函数
y
=log
a
x(a>0
，
a
≠
1)
叫做对数函数
.
其中
x
是自变量
，函数的定义域是
??
0,
??
，值域为
R
．
<
/p>
2
．判断一个函数是对数函数是形如
lo
g(0,1)
a
yxaa
???
且
的形式，即必须满足以下
条件：
（
1
）系数为
1
；
（
2
）底数
为大于
0
且不等于
1
< br>的常数；
（
3
）对数的真数仅有自变量
x
．
要点诠释：
（
1
）只有
形如
y=log
a
x(a>0
，
a
≠
1)
的函数才叫做对数函数，像
log(1),2log,log3
aaa
yxyxyx
?????
< br>等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不
是对数函数。
（
2
）
求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不
等于
1
；②对含有字母的式子要注意分类讨论。
要点二、对数函数的图象与性
1
1
图象
性质
定义域：
（
0
，
+
值
域：
R
过定点（
< br>1
，
0
）
，即
x=1
时，
y=0
在（
0
，
+
∞）上增函数
在（
0
，
+
∞）上是减当
0
＜
x
＜
1<
/p>
时，
y
＜
0
，
当
x
≥
1
时，
y
≥
0
当
0
＜
x
＜
< br>1
时，
y
＞
0
，
当
x
≥
1
时，
y
≤
0
要点诠释：
关于对数式
log
a
N
的符问题，既受
a
的制约又受
N
的制约，两种因素交织在一起，应
用时经常出错
.
下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考
.
以
1
为分界点，当
a
，
N
< br>同侧时，
log
a
N>0
；当
a
，
N
异侧时，
log
a
N<
0.
要点三、底数对对数函数图象的影响
1
．底数制约着图象的升降．
如图
要点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性）
，因此在解与对数
函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于
1
还是小于
1
，不要忽略．
2
．底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，
当
a>1
时，
随
a
的增大，
对数函数的图像愈靠近
x
< br>轴；
当
0
时，
对数函数的图象随
a
的增大而远离
x
轴
.(
见下图
)
要点四、反函数
1
．反函数的定义
设
,
AB<
/p>
分别为函数
()yfx
?
的定义域和值域，
如果由函数
()yfx
?
所解得的
()xy
?
?
也是
一个函数（即对任意的一个
yB
?
，都有唯一的
x
A
?
与之对应）
，那么就称函数
()xy
?
?
是函数
()yfx
?
的反函数，记作
1
()xfy
?
?
，在
1
()xfy
?
?
中，
y
是
自变量，
x
是
y
的
函数，习惯上改写成
1
()yfx
?
?
（
,xB
yA
??
）的形式．函数
1
()xfy
?
?
（
,yBxA
??
）与
函数
1
()yfx
?
< br>?
（
,xByA
??
）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是
B
，对
应法则都为
1
f
?
．
< br>由定义可以看出，函数
()yfx
?
的定义域
A
正好是它的反函数
1<
/p>
()yfx
?
?
的值域；函数
()yfx
?
的值域
B
正好是它的反函数
1
()yfx
?
?
的定义域．
要点诠释：
并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如
2
yx
?
．一般说来
，单调函数有
反函数．
2
．反函数的性质
（
1
）互为
反函数的两个函数的图象关于直线
yx
?
对称．
（
2
）若函数
()yfx
?
图象上有一点
若
??
,a
b
，则
??
,ba
必在其反函数图象上，反之，
??
,ba
< br>在反函数
图象上，则
??
,ab
必在原函数图象上．
【典型例题】
类型一、对数函数的概念
例
1.
下列
函数中，哪些是对数函数？
（
1
）
log(0,1)
a
yxaa
???
；
（
2
）
2
< br>log2;yx
??
（
3
）
2
8log(1)yx
??
；
（
4
）
log
6(
0,1)
< br>x
yxx
???
；
（
5
< br>）
6
logyx
?
．
【答案】
（
5
）
【解析】
（
1
）中真数不是自变量
x
，不是对数函
数．
（
2
）中对数式后加
2
，所以不是对数函数
．
（
3<
/p>
）中真数为
1x
?
，不是
x
，系数不为
1
，故不是对数函数．
（
4
）中底数是自变量
x
，二非常数，所以不是对数函数．
（
5
）中底数是
6
，真数为
x
，符合对数函数的定义，故是对数函数
．
【总结升华】
< br>已知所给函数中有些形似对数函数，
解答本题需根据对数函数的定义寻找
满足的条件．
类型二、对数函数的定义域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法
类似，
但要注意对数函数本身的性质
（如定义域
、
值域及单调性）
在解题中的重要作用
.
例
2.
求下列函数的定义域：
(1)
2
log
a
yx<
/p>
?
；
(2)
log(4-)(01)
a
yxaa
???
且
.
【答案】
（
1
）
{|0}xx
?
；
（
2
）
{|4}xx
?
．
【解析】由对
数函数的定义知：
2
0x
?
，
40x
??
，解出不等
式就可求出定义域
.
(1)
因为<
/p>
2
0x
?
，即<
/p>
0x
?
，所以函数
2
log{|0}
a
yxxx
??
的定义域为
；
(2)
因为
40x
??
，即
4x
?
< br>，所以函数
log(4-){|4}
a
< br>yxxx
??
的定义域为
.
【总结升华】
与对数函数有关的复合
函数的定义域：
求定义域时，
要考虑到真数大于
0
，
底数大于
0
，且不等于
1
．若底数和真数中都含有变量，或式子
中含有分式、根式等，
在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于<
/p>
log()
a
yfx
?
的定义
域时，应首先保证
()0
fx
?
．
举一反三：
【变式
1
】求函数
3312
1log(1)1x
yx
????
的定义域
.
【答案】
(1
，
23
)
?
(
23
，
2]
【解析】因为
1212
10log(1
)0log(1)1xxx
???????????????
，
所以
101132xxx
????????????
，
所以函数的定义域为
(1
，
23
)
?
(
23
，
2].
类型三、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤<
/p>
求值域和最值
.
要求同学们：一是牢固掌
握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函
数的单调性规律；三是树立定义域优先的观
念
.
例
3.
比较下列各组数中的两个值大小：
(1)
33
log3.6,log8.9
；
(2)
0.20.2
log1.9,log3.5
；
(3)
2
log5
与
7
log5
；
(4)
3
log5
< br>与
6
log4
．
(5)
log4.2,log4.8
aa
（
01aa
??
且
）
．
【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。
【答案】
(1)<
；
(2)
<
；
(3)
>
；
(4)
>
；
(5)
略．
【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成
. <
/p>
(1)
解法
1
：
画出对数函数
3
logyx
?
的图象，横坐标为
3.6
的点在横坐标为
8.9
的点
的下方，所以，
< br>33
log3.6log8.9
?
；
解法
2
：
由函数
3
logyx
?
在
R
+
上是单调增函数，
且
3.6<8
.9
，
所以
33
log3.6log8.9
?
；
(2)
与第
(1)
< br>小题类似，
0.2
logyx
?
在
R
+
上是单
调减函数，且
1.9<3.5
，所以
0
.20.2
log1.9log3.5
?
；
(3)
函数
< br>2
logyx
?
和
7
logyx
?
的图象如图
所示．当
1x
?
时，
< br>2
logyx
?
的图象在
7
logyx
?
的图
象上方，这里
5x
?
，
27
log5log5
??
．
(4)
3366
log5log31log6log4,
???
?
36
log5log4
??
(5)
注：底数是常数，但要分类讨论
a
的范围，再由函数单调性判断大小
.
解法
1
：当
1a
?
时，
l
og
a
yx
?
在
(0
，
+
∞
)
上是增函数，且
4.2<4.8
，所以，