-
2019-2020
四边形折叠拔高专题（真题含答案）
几何三大变换思考层次
【平移的思考层次】
①全等变换：对应边平行且相等、对应角相等．
②对应点：对应点所连线段平行且相等．
③新关系：平移会产生平行四边形．
④应用：常应用在天桥问题、存在性问题等．
【旋转的思考层次】
①全等变换：对应边相等、对应角相等．
②对应点：对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；
对应点连线的垂直平分线都经过旋转中心．
③新关系：旋转会产生等腰三角形．
④应用：当题目中出现等线段共点的时候考虑旋转结构等．
【轴对称的思考层次】
①全等变换：对应边相等、对应角相等．
②对应点：对应点所连线段被对称轴垂直平分；
对称轴上的点到对应点的距离相等．
③新关系：折叠会产生垂直平分、等腰三角形．
④应用：常应用在折叠问题、最值问题等．
一、单选题
1
．如图，菱形纸片
ABCD
中，<
/p>
?
A
?
60
?
，将纸片折叠，点
A
、
D
分别落在
A
< br>'
、
D
'
处，且
A
'
D
'
经过
B
，
EF
为折痕，当
D
'
< br>F
?
CD
时，
< br>CF
的值为（
）
.
FD
A
．<
/p>
3
?
1
2
B
．
3
6
C
．
2
3
?
1
6
D
．
3
?
1
8<
/p>
2
．如图，在矩形
ABCD
中，
AB=2
，
BC=4<
/p>
，
P
为边
AD<
/p>
上一动点，连接
BP
，把
△
ABP
沿
BP
折叠，使
A
落在
A′
处，当
△
A′DC
为
等腰三角形时，
AP
的长为（
）
A
．
2
B<
/p>
．
2
3
3
C
．
2
或
2
3
3
D
．
2
或
4
3
3
3
．如图，以矩形
ABOD
的两边
OD
、
OB
为坐标轴建立直角坐标系，若
E
是
AD
的中
点，将
△
ABE
沿
BE
折叠
后得到
△
GBE
，延长
BG
交
OD
于
F
点．若
OF
＝
1
，
FD
＝
2
，
则
G
点的坐标为
(
)
A
．<
/p>
(
3
2
6
)
，
5
5
2
4
6
)
，
5
5
B
．
(
3
4
6
)
，
5
5
2
3
6
)
，
5
5
C
．
(
D
．
(
4
．矩形
ABCD<
/p>
中，
AB
＝
3<
/p>
，
BC
＝
4
，点
E
是
BC
边上一点，连接
AE
，把
< br>∠
B
沿
AE
折
叠，使点
B
落在点
B′
处，当
△
CEB′
为直角三角形时，
BE
的长为
(
)
A
．
3
B
．
3
2
C
．
2
或
3
D
．
3
或
3
2
5
．如图，矩形纸片
ABC
D
，
AB
=4
，
BC
=3
，点
P
在
BC
边上，将
< br>△
CDP
沿
DP
折叠，点
C
落在点
E
处，
PE
、
DE
分别交
AB
于点
O<
/p>
、
F
，且
OP<
/p>
=
OF
，则
AD
的值为
DF
A
．
11
<
/p>
13
B
．
13<
/p>
15
C
．
15
17
D
．
17
19
6
．如图，在菱形
ABCD
中，点
E
是
BC
边的中点，动点
M
在
CD<
/p>
边上运动，以
EM
为
折痕将
△
CEM
折叠得到
△
PEM
，联接
PA<
/p>
，若
AB
＝
4<
/p>
，
∠
BAD
＝<
/p>
60°
，则
PA
的最小值
是
(
)
A
．
B
．
2
C
．
2
﹣
2
D
．
4
7<
/p>
．
如图，
菱形
A
BCD
的边，
AB
?
< br>8
，
?
B
?
60
,
P
是
AB
上一点，
BP
< br>?
3
，
Q
是
CD
边上一动点，将梯形
APQD
沿直线
PQ
折叠，
A
的对应点
A
'
< br>．当
CA
'
的长度最小时，
C
'
Q
的长为（<
/p>
）
A
．
5
B
．
7
C
．
8
D
．
13
<
/p>
2
8
．如图，在矩形
ABCD
中，
AB
＝
，
BC
＝
3
，将
△
< br>ABC
沿对角线
AC
折叠，点<
/p>
B
恰好
落在点
P
处，
CP
与
A
D
交于点
F
，连接
BP
交
AC
于点
< br>G
，交
AD
于点
E
，下列结论不
正确的是
(<
/p>
)
A
．
C
．
AC
＝
2
AP
B
．
△
PBC
是等边三
角形
D
．
S
△
BGC
＝
3
S
△
AGP
9
．
如图，
在
一张矩形纸片
ABCD
中，
AB
?
4
，
BC
?
8
，
点
E
，
F
分别在
AD
，
BC
上，将纸片
ABCD
沿直线
EF
折叠，点
C
落在
< br>AD
上的一点
H
处，点
D
落在点
G
处，
有以下四个结论：
①
四边形
CFHE
是菱形；
②
EC
平分
?
DCH
；
③
线段
BF
的取值范围为
3
?
BF
?
4
；
④
当点
H
与点
A
重合时，
EF
?
2
5
．
以上结论中，你认为正确的有（
）个．
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
10
．如图，将一张正方形纸片
ABCD
对
折，使
CD
与
AB
重合，得到折痕
MN
后展开，
E<
/p>
为
CN
上一点，
将
△
CDE
沿
DE
所在的直线折叠，
使得点
C
落在折痕
MN
上的点
F
处，
连接
AF
，
BF
，
BD
.
则下列结论中：
①△
ADF
是等边三角形；
②
tan
∠
EBF
＝
2
－
；
③
S
△
ADF
＝
S
正方形
ABCD
< br>；④
BF
2
＝
< br>DF
·
EF
.
< br>其中正确的是
(
)
A
．
①②③
B
．
①②④
C
．
①③④
D
．
②③④
11
．已知
ABC
中，
AC
?
BC
，
?
C
?
Rt
?
．如图，将
ABC
进行折叠，使点
A<
/p>
落
在线段
BC
上
（包括点
B
和点
C
），设点
A
的落点为
D
，折痕为
EF
，当
DEF
是等
腰三角形时，点
D
可能的位置共有（
）．
<
/p>
A
．
2
种
B
．
3
种
C
．
4
种
D
．
5
种
12
．如图，已知正方形
ABCD
的边长为
3
，
E
是
BC
上一点，
BE=<
/p>
3
，
Q
是
CD
上一动
点，将
△
CEQ
沿直线
EQ
折叠后，点
C
落在点
P
处，连接
PA
．点
Q
从点
C
出发，沿线
段
CD
向点
D
运动，当
PA
的长度最小时，
CQ
的长为（
）
A
．
3
3
?
3
二、填空题
B
．
3
?
3
C
．
3
2
D
．
3 <
/p>
13
．如图，矩形
ABCD
中，
AB
?
3
，
BC
?
4
，点
E
是
BC
边上一点，连接
AE
，把矩
形
沿
AE
折叠，使点
B
< br>落在点
B
?
处．当
?
CEB
?
为直角三角形时
，
BE
的长为
___________
_
．
14
．如图，矩形纸片
ABCD
，
AB
?
5
，
BC
?
3
，点
P
在
BC
边上，将
?
CDP
沿
DP
折叠，点
C
落在点
E
处，
PE
，
DE
分别交
AB
于点
< br>O
，
F
，且
OP
?
OF
，则
< br>AF
的
值为
_________
____
．
15
．如图，在矩形
ABCD
中，<
/p>
AB=3
，
B
C=2
，点
E
为线段
< br>AB
上的动点，将
△
CBE
沿
CE
折叠，使
点
B
落在矩形内点
F
< br>处，则
AF
的最小值为
__
．
16
．如图，正方形
ABCD
的边长是
16
，点
E
在边
AB
上，
AE
?
3
，点
F
是边
BC
上
不与点
B
、
C
重合的一个动点，把
< br>?
EBF
沿
EF
折叠，点
B
落在
B
'
处，若
?
CDB
'
恰
为等腰三角形，则
DB
'
的长为
______.
17
．
在菱
形
ABCD
中，
AB
< br>＝
2
，
∠
BAD
＝
120°
，
点
E
，
F
分别是边
AB
，
BC
边上的动点，
沿
EF
折叠<
/p>
△
BEF
，使点
B
的对应点
B’
始终落在边
CD
上，则
A
、
E
两点之间的最大距
离为
_____
．
< br>18
．如图，在矩形
ABCD
中
，
AB
＝
6
，
AD
＝
2
3<
/p>
，
E
是
AB
边上一点，
AE
＝
2
，
F
是直
线
CD
上一动点，将
△
< br>AEF
沿直线
EF
折叠，点
A
的对应点为点
A
′
，当点
E
，
A
′
，
C
三<
/p>
点在一条直线上时，
DF
的长为
_____
．
19
．在菱形
ABCD
中，
∠
B
＝
60°
，
BC
＝
2cm
，
M
为
AB
的中点，
N
为
BC
上一动点（不
CE
，
与点
B
重合）
，<
/p>
将
△
BMN
沿直
线
MN
折叠，
使点
B
落在点
E
处，
< br>连接
DE
，
当
< br>△
CDE
为等腰三角形时，线段
BN
的长为
_____
．
20
．如图，在矩形<
/p>
ABCD
中，
AB=8
< br>，
AD=6
，点
E
为
AB
上一点，
AE=2<
/p>
3
，点
F
在
AD
上，将
△
AE
F
沿
EF
折叠，当折叠后点
A
的对应点
A′
恰好落在
BC
的垂直平分线上
时，折痕
EF
的长为
_____
．
21
．
如图，在菱形
ABCD
中，
∠
DAB
=45°
，
AB
=4
，点
P
为
线段
AB
上一动点，过点
P
作
PE
⊥
AB
交直线
AD
于点
E
，将
∠
A
沿
PE
折叠，点
A
落在<
/p>
F
处，连接
DF
，
CF
，当
△
CDF
为直角三角形时，线段
AP
的长
为
__________
．
22
．
如图
，
把矩形纸片
OABC
放入平面直角坐
标系中，
使
OA
、
OC
分别落在
x
、
y
轴上，
连接
AC
，将纸片
OABC
沿
AC
折叠，使点
B
落在点
< br>D
的位置．若点
B
的坐标为（<
/p>
2
，
4
），则点
D
的横坐标是
___________
．
23<
/p>
．如图，四边形
ABCD
是菱形，
AB=2
，
∠
ABC
=30°
，点
E
是射线
DA
上一动点，把
△
CDE<
/p>
沿
CE
折叠，其中点
D
的对应点为点
D′
，若
CD′
垂直于菱形
ABCD
的边时，则
DE
的长为
_____
．
24
．如图，在矩形
中，
，
，
．
分别是线段
，
上的点，
连接
，使四边形
为正方形，若点
是
上的动点，连接
，将矩形沿
折
叠使得点
落在正方形
的对角线所在的直线上，对应点为
，则线段
的长为
< br>________
．
25
．如图在菱形
ABCD
< br>中，∠
A
＝
60°
，
AD
＝
，点
P
是对
角线
AC
上的一个动点，过
点
P
作
EF
⊥
AC
交
CD
于点
E
，交
AB
于点
F
，将
△
AEF
沿
EF
折叠点
A<
/p>
落在
G
处，当
△
CGB
为等腰三角形时，则
AP
的长为
_________.
参考答案
1
．
A
【解析】
【分析】
延长
DC
与
A
'
D
'
交于点
M
.
根据折叠的性质，可得
?
A
'
D
'
F
?
?
D
?
< br>120
?
，利用角度的
变换得到
?
CBM
?
?
M
，所以
BC
?
CM
，设
CF
?
x
，
D
'
F
?
DF
?<
/p>
y
，则
BC
?<
/p>
CD
?
x
?
y
，所以
FM
?<
/p>
CM
?
CF
?<
/p>
2
x
?
y
.
Rt
?
D
'
FM
中，
tan
?
M
?
tan30
?
?
D
'
F
y
3
，解出
x
、
y
的关系即可
?
?
FM<
/p>
2
x
?
y
3
【详解】
如图，
延长
DC
与
A
'
D
'
交于点
M
.
由已知可得
?
DCB
?
?
A
?
60
?
，
?
D
?
180
???
A
?
120
< br>?
.
根据折叠的性质，可得
?<
/p>
A
'
D
'
F
?
?
D
?
120
?
，所以
?
FD
'
M
?
180
???
A
'
D
'
F
?
60
?
.
因为
?
D
'
FM
?
90
?
，所以
?
M
?
90
???
FD
'
M
?
30
?
.
因为
?
BCM
?
180
???
BCD
?
120
?
，
所以
即得
?
CBM
?
?
M
，
所以
BC
?
CM
.
设
CF
?
x
，
?
CBM
?
180
???
BCM
??
M
?
30
?
，
D
'
F
?
DF
?
y
，
C
?
C
D
?
x
?
y
则
B
，
所以
FM
?
CM
?
CF
?
2
x
?
y
.
在
Rt
?
D
'
FM
中，
tan
?
M
?
tan30
?
?
D
'
F
y
3
CF
x
3
?
1
< br>3
?
1
.
，解得
x
?
?
?
?
?
y
，所以
FM
2
x
?
y
3
FD
y
2
2
【点睛】
本题考查菱形的性质以及三
角函数的基本应用，本题关键在于作出准确的辅助线
2
．
C
【解析】
【分析】
根据
△
A′DC
为等腰三角形，分三种情况进行讨论：
①
A'D=A'C
，
②<
/p>
A'D=DC
，
③
CA'=CD
，
分别求得
AP
的长，并判断是否符合题意．
【详解】
①
如图，当
A′D=A′C
时，过
A′<
/p>
作
EF
⊥
AD<
/p>
，交
DC
于
E<
/p>
，交
AB
于
F<
/p>
，则
EF
垂直平分
CD
，
EF
垂直平分
AB
∴
A'A=A'B
由折叠得，
AB=A'B
，
∠
ABP=
∠
A'BP
∴△
ABA'
是等边三角形
∴∠
ABP=30°
∴
AP=
A
B
2
2
?
?<
/p>
3
；
3
3
3
②
如图，当
A'D=DC
时，
A'D=2
由折叠得，
A'B=AB=2
∴
A'B+A'D=2+2=4
连接
BD
，则
Rt
△
ABD
中，
BD=
< br>AB
2
?
AD
< br>2
?
2
2
?
4
2
?
2
5
∴
A'B+A'D
＜
BD
（不合题意）
故这种情况不存在；
③
如图，当
CD=CA'
时，
CA'=2
由折叠得，
A'B=AB=2
∴
A'B+A'C=2+2=4
∴<
/p>
点
A'
落在
BC
上的中点处
此时，
< br>∠
ABP=
∴
AP=AB=2<
/p>
．
1
∠
ABA'=45°
2
综上所述，当
△
A′DC
为等腰三角
形时，
AP
的长为
< br>3
或
2
．
故选
C.
【点睛】
本题以折叠问题为背景，<
/p>
主要考查了等腰三角形的性质，
解决问题的关键是画出图形进行分
类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．
3
．
B
【解析】
【分析】
2
3
连结
EF
，作
GH
⊥
x
轴于
H
，根据矩形的性质得
AB
=
OD
=
OF
+
FD
=3
，再根据折叠的性质得
BA
=
BG
=3
，
EA
=
EG
，
∠
BGE
=
∠
A
=90°
，而
AE
=
DE
，则
GE
=
DE
，于是
可根据
“HL”
证明
Rt
△
DEF
≌
Rt
△
GEF
，
得到
FD
=
FG
=2
，
则
BF
=
BG
+
GF
=5
．在
Rt
△
OBF<
/p>
中，
利用勾股定理计
算出
OB
，然后根据
△
FGH
∽△
FBO
，
利用
相似比计算出
GH
和
FH
，
根据
OH
=
OF
﹣
HF
，即
可得到
G
点的坐标．
【详解】
连结
EF
，作
GH
⊥
x
轴于
H
，如图，
∵
四边形
ABOD
为矩形，
∴
AB
=
OD
=
OF
+
FD
=1+2=3
．
∵△
ABE
沿
BE
折叠后得到
△
GBE
，
∴
BA
=
BG
=3
，
EA
=
EG
，
∠
BGE
=
∠
A
=90°
．
∵
点
E
为
AD
的中点，
∴
AE
=
DE
，
∴
GE
=
DE
．
在
Rt
△
DEF
和
Rt
△
GEF
中，
?
ED
?
EG
∵
?
，
EF
?
EF
?
∴
Rt
△
DEF
≌
Rt
△
GEF
（
HL
），
∴
FD
=
FG
=2
，
∴
BF
=
BG
+
GF
=3+2=5
．
在
Rt<
/p>
△
OBF
中，
O
F
=1
，
BF
=5
，
∴
O
B
?
BF
2
?
OF
2
?
2<
/p>
6
．
∵
GH
∥
OB
，
∴△
FGH
∽△<
/p>
FBO
，
∴<
/p>
GH
FH
FG
?
?
，
OB<
/p>
OF
FB
即
GH
FH
2
?
?<
/p>
，
1
5
2
6
2
4
6
，
FH
?
，
5
5
< br>2
3
?
，
5
5
∴
G
H
?
∴
OH
=
OF
﹣
HF
=
1
?
∴
G
点坐
标为（
，
3
4
6
）．
5
5
故选
B
．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：
折叠是一种对称变换，
它属于轴对称，
折叠前后图形的形状和大小
不变，
位置
变化，
对应边和对应角相等．
也考查了坐标与图形的性质和相似
三角形的判定与
性质．
4
．
D
【解析】
【分析】
当
△
CEB′
为直角三角形时，有两种情况：
①
当点
B′
落在矩形内部时，如图
1
所示．
连结
AC
，先利用勾股定理计算出
AC=5
，
根据折叠的性质得
∠
AB′E=
∠
B=90°
，而当
△
CEB′
为直角三角形时，只能得到
∠
EB′C=90°
，所以点
A
、
B′
、
C
共线，即
∠
B
沿
AE
折叠，使
点
B
落在对角线
AC
< br>上的点
B
′
处，
AB=AB′=3
，
则
EB=
EB′
，
可计算出
CB′=2
，
设
BE=x
，
则
EB′=x
，
CE
=4-x
，然后在
Rt
△
CEB′
中运用勾股定理可计算出
x
．
②
当点
< br>B′
落在
AD
边上时，如图
2
所示．此时
ABEB′
< br>为正方形．
【详解】
当
△
CEB′
为直角
三角形时，有两种情况：
①
当点
B′
落在矩形内部时，如图
1
所示．
连结
AC
，
在
Rt
△<
/p>
ABC
中，
AB=3
，
BC=4
，
< br>∴
AC=
4
2
< br>?
3
2
=5
，
∵∠
B
沿
AE
折叠，使点
B
落在点
B′
处，
∴∠
AB′E=
∠
B=9
0°
，
当
△
CEB′
为直角三角形时，只能得到
∠
EB′C=90°
，
∴
点
A
、
B′
、
C
共线，即
∠
B
沿
AE
< br>折叠，使点
B
落在对角线
AC<
/p>
上的点
B′
处，
∴
EB=EB′
，
AB=AB′=3
，
∴
CB′=5
-3=2
，
设
BE=x
，则
EB′=x
，
CE=4-x
，
在
Rt
△
CEB′
中，
∵
EB′
2
+CB′
2
=CE
2
，
∴
x
2
+2<
/p>
2
=
（
4-x<
/p>
）
2
，解得
x=
3
，
2
∴
BE=
3
；
2
②
当点
B′
落在
AD
边上时
，如图
2
所示．
此时
ABEB′
为正方形，
∴
BE=AB=3<
/p>
．
综上所述，
BE
的长为
故选
D
．
【点睛】
< br>3
或
3
．
2
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段
相等；对应角相等．也考查了矩形
的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类
讨论，避免漏解．
5
．
C
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得出
DC
=
DE
、
CP
=
EP
，由<
/p>
∠
EOF
=
∠<
/p>
BOP
、
∠
B<
/p>
=
∠
E
、
OP
=
OF
可得出<
/p>
△
OEF
≌△
O
BP
（
AAS
），根据全等三角形的性
质可得出
OE
=
OB
< br>、
EF
=
BP
< br>，设
EF
=
x
< br>，则
BP
=
x
< br>、
DF
=4
﹣
< br>x
、
BF
=
PC
=3
﹣
x
，进而可得出
AF
=1+
x
．在
Rt
△
DAF<
/p>
中，利用勾股定理可求
出
x
的值，即可得出答案．
【详解】
根据折叠，可知：
△
DCP
≌△
DEP<
/p>
，
∴
DC
=
DE
=4
，
CP<
/p>
=
EP
．
?
?
EOF
?
?
BOP
?
在
△
OEF
和
△
OBP
中，
∵
?<
/p>
?
B
?
?
E
?
90
?
，
∴△
OEF
≌△
OBP
（
AAS
）
，
∴
OE
=
O
B
，
?
OP
?
OF
?
EF
=
BP
．
设<
/p>
EF
=
x
，则<
/p>
BP
=
x
，
DF
=
DE
﹣
EF
=4
﹣
x
．
又
∵
BF
=
OB
+
OF
=
OE
+
OP
=
PE
=
PC
，
PC
=
BC
﹣
BP
=3
﹣
x
，
∴
AF
=
AB
﹣
BF
=1+
x
．
2
2
2
2
2
2
在
< br>Rt
△
DAF
中，
AF
+
AD
=
DF
，即（
1+
x
）
+3
=
（
4
﹣
x
）
，解得：
x
=0.6
，
∴
DF
=4
﹣
x
=3.4
，
∴
AD
15
?
．
DF
17
故选<
/p>
C
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判
定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合
AF
=1+
x
，求出
AF
< br>的长度是解题的关键．
6
．
C
【解析】
分析：
当
A
，
P
，
E
在同一
直线上时，
AP
最短，
过点
E
作
EF
⊥
AB
于点
F
，依据
BE=
BC=2
，
∠<
/p>
EBF=60°
，即可得到
AE
的长度，进而得出
AP
的最小值．
解：如图，
EP=CE=
BC=2
，故点
P
在以<
/p>
E
为圆心，
EP
为半径的半圆上，
∵
AP+EP≥AE
，
∴<
/p>
当
A
，
P
，
E
在同一直线上时，
AP
最短，
如图，过点
E
作
EF
⊥
AB
于点
F
，
∵
在边长为
4
的菱形
ABCD
中，
∠<
/p>
BAD=60°
，
E
为
BC
的中点，
∴
BE=
BC=2
，∠
EBF=60°
，
∴∠
BEF=30°
，
BF
=
BE=1
，
∴
EF=
=
，
AF=5
，
∴
AE=
=
+
（
）
=2
，
∴
AP
的最小值
=AE-
PE=2
-2
，
故选
C
．
<
/p>
点睛：本题主要考查了菱形的性质以及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折
叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，
对应边和对应角相等．
解决问题的关键是得到点
P
在以
E
为圆心，
EP<
/p>
为半径的半圆上．
7
．
B
【解析】
【分析】
作
CH
?
AB
于
H
，如图，根据菱形的性质可判断
?
A
BC
为等边三角形，则
CH
?
3
AB
?
4
3
，
AH
?
BH
?
4
，再利用
CP
?
7
勾股定理计算
出，再根据折叠的性
2
质得点
A
'
在以点
P
为圆心，
PA
为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点
A
'
在
PC
上时，
CA
'
的值最小，然
后证明
CQ
?
CP
即可．
【详解】
解：作
CH
?
AB
于
H
，如图，
菱形
ABCD
的边
A
B
?
8
，
?<
/p>
B
?
60
，
∴
?
ABC
为等边三角形，
3
AB
?
4
3
，
AH
?
BH
?
4
，
2<
/p>
?
CH
?
PB<
/p>
?
3
，
?
HP
?
1
，
在
Rt
?
CHP
中，
CP
?
(4
3)
3
?
1
2
?
7
，
梯形
APQD
沿直线
PQ
折叠，
A
的对应点
A
'
，
?
点<
/p>
A
'
在以点
P<
/p>
为圆心，
PA
为半径的弧上，
?
当点
A
'
在
PC
上时，
CA
'
的值最小，
??
APQ
?
?<
/p>
CPQ
，
而<
/p>
CD
/
/
AB<
/p>
，
??
APQ
?
?
CQP
，
??
CQP
?
?
CPQ
，
?
CQ
?
CP
?
7
.
故选：
B
．
【点睛】
考查了菱形的性质：
菱形具有平行四边形的一切性质；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对
角线互相垂直，
并且每一条对角线平分
一组对角．
也考查了折叠的性质．
解决本题的关键是
确定
A′
在
PC
上时
CA′
的长度最小．
8
．
A
【解析】
【分析】
如图，
首先运用勾股定理求出
AC
的长度，
进而求出
∠
ACB
＝
30°
，
此为解决该题的关键性结
论；运用翻折变换的性质证明
△
BCP
为等边三角形；运用射影定理求出线段
CG
、
AG
之间
的数量关系，进而证明选项
A
、
B
、
C
成立，选项
A
不成立
.
【详解】
如图，<
/p>
∵
四边形
ABCD
为矩形，
∴∠
ABC
＝
90°
；由勾股定理得：
AC
2
＝
AB
2
+
BC
2<
/p>
，而
AB
＝
，
BC
＝<
/p>
3
，
∴
AC
＝
2
，
AB
＝<
/p>
AC
，
∴∠
ACB
＝
30°
；由翻折变换的性质得：
<
/p>
BP
⊥
AC
，<
/p>
∠
ACB
＝
∠<
/p>
ACP
＝
30°
，
BC
＝
P
C
，
AB
＝
A
P
，
BG
＝
P
G
，
∴
GC
＝
BG
＝
PG
，∠
B
CP
＝
60°
，
AC
＝
2
AP
，
∴△
BCP
为等边三角形，
故选项
B
、
C
成立，选项
A<
/p>
不成立；
2
由
射影定理得：
BG
＝
CG
?
AG
，
∴
AG
＝
<
/p>
BG
，
CG
＝<
/p>
3
AG
，
∴
S
△
BCG
＝
3
S
△
ABG
；由题意得：
S
△
ABG
＝
S
△
AGP
，
∴
S
△
BGC
＝
3
S
△
AGP
，
故选项
D
正确；
故选：
A
．
【点睛】
考查了翻折变换的性质、<
/p>
矩形的性质、
射影定理、
三角形的面积公
式等几何知识点及其应用
问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识
点来分析、判断、推理或解
答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．<
/p>
9
．
C
【解析】
【分析】
①
先判断出四边形
CFHE
是平行四边形，再根据翻折的性质可得
CF=FH
，然后根据邻边相
等的平行
四边形是菱形证明，判断出
①
正确；
②
根据菱形的对角线平分一组对角线可得
∠
BCH=
∠
ECH
，然后求出只有
∠
DCE=30°
时
EC
平分
∠
DCH
，判断出
②
错误；
③
点
H
与点
A
重合时，设
BF=x
，表示出
AF=FC=8-x
，利用勾
股定理列出方程求解得到
BF
的最小值，点
G
与点
D
重合时，
CF=CD
，求出最大值
BF=4
，然后写出
BF
的取值范围，判
断
出
③
正确；
④
过点
F
作
F
M
⊥
AD
于
M
，求出
ME
，再利用勾股定理列式求解
得到
EF
，判断出
④
< br>正确．
【详解】
解：
①∵
F
H
与
CG
，
E
H
与
CF
都是矩形
ABCD
的对边
AD
、
BC
的一部分，
∴
FH
∥
CG
，
EH
∥
CF
，
∴
四边形
CFH
E
是平行四边形，
由翻折的性质得，
CF=FH
，
∴
四边形
CFHE
是菱形，（故
①
正确）；
<
/p>
②∴∠
BCH=
∠
ECH
，
∴
只有
∠
DCE=30°
时
EC
平分
∠
DCH
，（故
②
错误）；
③
点
H
与点
A
重合时，此时
BF
最小，设
BF=x
，则
AF=FC=8-x
，
2
2
2
在
R
t
△
ABF
中，
AB
+BF
=AF
，
2
2
2
即
4
+x
=
（
8-x
）
，
解得
x=3
，
点
G
与点
D<
/p>
重合时，此时
BF
最大，
CF=CD=4
，
∴
BF=4
，
∴
线段
BF
的
取值范围为
3≤BF≤4
，（故
③
正确）；
过点
F
作
FM
⊥<
/p>
AD
于
M
，
则
ME=
（
8-3
）
-3=
2
，
由勾股定理得，
EF=
MF
2
?
ME
2
=
4
2
< br>?
2
2
=
2
5
，（故
④
正确）；
综上所述，结论正确的有
①③④
共
3
个，
故选
C
．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质
，
菱形的判定与性质，
勾股定理的应用，
难点在于灵活运用菱形
的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
10
．
B
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出
AB=CD=AD
，
∠
C=
∠
BAD=
∠
< br>ADC=90°
，
∠
ABD=<
/p>
∠
ADB=45°
，由折
叠的性质得出
MN
垂直平分
A
D
，
FD=CD
，
BN=CN
，
∠
FDE=
∠
CDE
，
∠
DFE=
∠
C=90°
，
∠
DEF=
∠
DEC
，
①
正确；
< br>
由线段垂直平分线的性质得出
FD=FA
，
得出
△
ADF
是等边三角形，
设
AB=AD=BC=4a
，则
MN=4a
，
B
N=AM=2a
，由等边三角形的性质得出
∠
< br>DAF=
∠
AFD=
∠
ADF=60°
，
FA=AD=4a
，
FM=
AM=2
a
，得出
FN=MN-
FM=
（
4-2
）
a
，由三
角函数的定义即可得出②正确；
求出
△
ADF
的面积
=
AD?FM=4
a
2
，正方形
ABCD
的面
积
=16a
2
，得出③错误；
求出
∠
BFE=
∠
DFB
，
∠
BEF=
∠
DB
F
，证出
△
BEF
∽△
DBF
，得出对应边成比例，得出
④
正
确；即可得出结论．
【详解】
∵
四边形
ABCD
是正方形，
∴
AB=CD=AD
，
∠
C=
∠
BAD=
∠
ADC=90°
，
∠
ABD=
∠
ADB=45°
，
由折叠的性质得：
MN
垂直平分
AD
，
FD=
CD
，
BN=CN
，
< br>∠
FDE=
∠
CDE
，
∠
DFE=
∠
C=90°
，
∠
DEF
=
∠
DEC
，
∴
FD=FA
，
∴
AD=FD=FA
，
即
△
ADF
是等边三角形，
①
正确；
设
AB=AD=BC=4a
，则
MN=4a
，
BN=AM=2a
，
∵△
ADF
是等边三角形，
∴∠
D
AF=
∠
AFD=
∠
< br>ADF=60°
，
FA=AD=4a
，
FM=
AM=2
a
，
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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