-
动力系统的概念
这一章是对于事实的调查，而且来源于应用于全书的动力系统
理论。我们的主要目的是
为后面的章节确定固定使用的常用符号和专业术语，
并且回想一些常常在课本的前言中不被
讨论的理论的一些方面。
为了更容易的阅读，
我们保持讨论时采用非专业术语，
并尽可能地
避免技术上的符号和观点。
然而许多遗漏的细节
可以从研究生使用的动力系统的课本的前言
中找到，
一些更加先
进的课题仅仅在研究性的文章中涉及到。
在某些情况下，
我们将
提供一
些在更深的章节中关于这个主题的参考。另外，我们鼓励读者使用附录
A
和
B
作为基于不
同的几何和函数分析的参考。
流量，映射，动力系统
对于任意的集
合
P
，一个变换群
F
< br>:
P
?
P
中的任意的一个参数
t
属于实数，如果
t
?
s
t
s
F
0
?
x
?
?
x
对于所有的
x
属于集合
P
，
并且
F
?
F
?
F
对于任意的
t
,
s
,
属于实数都成立
,
t
< br>t
?
t
则被称为一个流。
这两个属性表明
F
和它的逆
< br>F
是不可以转化的。
这一组合
(
p
,
F
)
叫做
t
基于空间
P
的一个连续的动力系统。
换句话说，
一
个连续的动力系统包括一个可能状态集合
和唯一决定将来状态
F
t
(
x
)
的当前的状态函数
x
的变化规则。
通过
x
这一点的变化轨迹是集
< br>t
合
?
(
x
)
?
U
t
?
R
F
t
(
x
)
。一个固定
点的流是一个点
x
且
F
(
x
)
?
x
对于任意的
t
?
R
都成立。
T
这个流的一个周
期的轨迹就是通过这一点
x
对于那些存在的正数
T,
并且满足
F
(
x
)
?
x
的这
样的轨迹。
如果用以上
所说的映射族
F
定义只需
t
?
0
，且对于所有的
t<
/p>
，
s
满足
F
t
0
?
x
?
?
x
和
F
t
?
s
< br>?
F
t
?
F
s
，则
F
t
叫做半流形。注：半流形通常是不可逆的，动力系统的一个典型的
特征是在无穷大的空间中是确定的。
当有单独向映射
f
:
P
?
P
且存在
?
P
,
f
?
时，
离散动力系统是确定的。
这样的系统还有
一
些
性
质
即
通
过
f
的
迭
代
次
数
可
以
得
出
唯
一
的
当
前<
/p>
状
态
决
定
所
有
的
将
来
状
态
f
?
x
?
,
f
2
?
x
?
,...
。这时
x
< br>的取值范围是确定的在集合
?
?
x
?
?
?
n<
/p>
?
Z
f
n
?
x
?
中
，其中
f
0
?
x
?
?
x
,
f
n
?
f
?
f
?
?
?
?
?<
/p>
f
,
f
?
n
?
f
n
?
?
?
?
?
?
?
n
?
?
?
1
。
上面离散动力系统的定点
x
是点
x
?
P
且
f
?
x
?
?
x
的点。
k
点的周期是对于点
x
?<
/p>
P
有
f
k
?
x
?
?
x
且对于所有的
j
?
k
有
f
j
?
x
?
?
x
。对于
x
?
P
，
?
?
< br>x
?
的极限集合是确定的，
<
/p>
i
?
?
x
?
?
?
q
?
P
?
n
i
?
?
:
f
n
?
x
?
?
q
?
。<
/p>
如果
f
是可逆
的，则
x
的
?
极限集合可以定义
x
的关于
f
?
1
?
极限级。
l
注：
连续型动力系统的一一映射
x
?
F
?
x
?
定义与离散型动力系统在相同的拓扑空间中。
一一映射不
能得到基础流量的全部性质，但是能够继承很多相似的特征。
另一个庞加莱映射提供了流的频闪
图片，它的构造如下：假设
P
是
?
上的一个开集合，
?
是在
< br>P
中一个超曲面（即光滑的
(
m
?
1)
维流行）
。假设
?
?
x
?
的任意轨道，
x
?
?
，横向
的相交于一点是不同于
x
的。然后第一个返回时间
?
?
x
?
是确定的对于
x
?
?
即
<
/p>
?
?
x
?
?
min
?
0
F
t
?
x
?
??
。
映射
P
:
?
?
?
,
x
?
F
?
?
x
?
?
?
?
x
?
< br>,
t
叫做第一返回映射或庞加
莱映射设联系在一起的流量
F
。超曲面通常被称作相应的庞加莱
截面。一一映射和第一返回映射和基础流和庞加莱截面一样光滑。
常微分方程和动力系统
这本书大部分叙述的常微分方程形式
x
?
f
?
x
,
t
?
.
n
这里
x
?
P
?
R
，
f
是一个充分光滑的向量场确定的
P
?
R
。集合
P
叫做方程的象空间，
?
同时
P
?
R
叫做扩充相空间。
< br>常微分方程叫做独立存在的如果
f
没有明确的时间相依性
，如下
f
?
x
,
t
?
?
f<
/p>
?
x
?
。流量<
/p>
和自治的方程结合起来单参数变换群
F
t
:
P
?
R
n
,
x
0
?
x
?
t
,
x
< br>0
?
，
x
0
表示为解决
x
< br>?
t
?
的初始状态，
如下，
x
?
0
?
?
x
0
。根据常微分方程的基本理论，
函数
F
t
的
t
像（）的右边一样光滑
，同时关于
t
也是光滑的。如果
f
依赖于
C
形状的参数，那么
F
也
r
是
C
类的随着关于那些参数的变量。
非
自
治
的
常
微
分
方
程
不
能
产
生
< br>流
，
因
为
解
x
?
t
;
t
0
,
x
0
?
明
确
取
决
于
初
始
时
间
t
< br>0
且
r
x
?
t
0
;
t
0
,
x
0
?
?
x
0
。其结果是，我们可以得到
x
?
t
?
s
;
t
0
,
x
0
?
?
x<
/p>
?
s
;
t
0
,
x
?
t
;
t
0
,
x
0
?
?
在一般情况下。然而，产生的映射
F
t
0
t
:
P
?
P
,
x
0
a
x
?
t
;
< br>t
0
,
x
0
?
,
具有两个参数的集合存在，解的唯一性能保证和流类似的性能
F
s
t
?
F
t
0
s
?
F
t
0
t
,
因为
x
?
t
?
s
;
t
0
,
x
0
?
?<
/p>
x
?
s
;
t
0
,
x
?
t
;
t
0
,
x
0
?
?
.
注：在扩充的相空间
P
?
R
上扩充的常微分方程
x
?
f
?
x
,
t
?
,
?
t
?
1
，
认为流
F
?
?
x
< br>,
t
?
?
F
t
t
?
?
?
x
?
,
t
?
?
。
和常微分方程（）等价的公式是积分方程
x
?
t
?
?
x
0
?
?
?
?
?
f
?
x
< br>?
?
?
,
?
?
d
?
（）
<
/p>
t
0
t
作为未知
函数
x
?
t
?
。一些方程承认自治的线性项在它们的右边，当常微分方程能够写成
x
?
Ax
?
g
?
x
,
t
?
，和相应的积分方程
x
?
t
?
?
e
A
?
t
?
t
0
?
?
< br>x
0
?
?
e
A
?
?
?
t
0
?
g
?
x
?
?
?
,
?
?
d
?
t
0
t
这个公式可以通过改进非齐次的，线性
常微分方程
x
?
Ax
< br>?
g
?
x
?
t
?
,
t
?
的通解获得。
积分方程是在估计进展的解之间的距离或关于初始条件或参数的偏导数非常有用的。
例
如，一个有连续独立解的常微分方程的初始条件能够涉及到在积分方程（）中，写作<
/p>
?
x
?
t
;
x
0
?
?
x
t
;
x
0
?
x
0
?
x
0
?
?
f
?<
/p>
x
?
?
;
x
0
?
,
?
?
?
f
x
?
;
x
0
,
?
d
?
t
0
?
x
0
?
x
0
?
?
?
t
?
?
?
?
?
t
< br>t
0
L
x
?
?
;
x
0
?
?
x
?
;
x
0
d
?
?
?
当
f
特定领域，
L
?
0
是一个
利普希茨<
/p>
常数然后，通过格朗瓦尔不等式，我们得到
x
?
t
;
x
0
?
?
x<
/p>
t
;
x
0
?
x
0
?
x
0
e
L
?
t
?
t
0
?
，
这样证明要求的连续性。最后不等式的一个重要结果是如果
x
0
?
x
0
?
e
?
和
t
?
t
0
?
那么
x
?
t
;
x
0
?
?
x
t
;
x
< br>0
?
?
。
?
1
?
?
1
L
，
?
?
O
?
?
?
< br>接近的初始条件停留在
O
?
?<
/p>
?
接近”
换句话说，
“
在有限时间，
例如，
在时间尺度
上
O
?
1
?<
/p>
当
?
?
0.
这种论据是有用的很多时候在离散化动力学动力系统理论中。例如，它意味着时
间
T
映射
x
?
F
T
?
x
?
的连续性对于任意在
x
和
t
处连续的流量
F
t
。
目前，我们已经解决的只有实数上
的常微分方程问题。微分方程的理论确定在一个流
形中在局部坐标上是类似的。
定义一个独立的常微分方程在一个流形上，
需要一个
利普希
茨向量场在
M
上，例如，一
个利普希茨映射
f
:
M
?
R
?
TM
,
p
?
?
p
,
v
?
p
?
?
.
然后和这个向量场相应常微分方程是系
统
p
?
v
?<
/p>
p
?
。
liouville
定理
一个自治的常微分方程流的一个重要的特征是其在体积元素上的作用，
例如
，
不管它
t
是否压缩，扩大，或保存大
量的集合的初始条件。如果
V
?
t
?
表示集合
F
?<
/p>
U
?
的体积的开
?
集的初始条件
U
?
< br>R
，那么下面陈述
liouville
< br>定理
:
n
d
V
?
t
?
t
?
0
?<
/p>
?
divfdx
.
U
dt
这个公式表示随意发散的向
量场产生大量保持体积的流在
R
上。
同
样，
有阻尼系统，
n
divf
?
0
，压缩拓扑空间的体积。同时，强迫系统，
divf
?
0
扩展相空间的体积。这些观
察结果对流具有重要的质的影响。例如，一个保持体积不变流
的不动点不能够渐进稳定。
至于在流形上的常微分方程，
liouville
定理能够叙述如下。让
?
作为一个在
M
上体
< br>积，和让
v
作为一个向量场在
M
上。通过公式，我们能够确定
v
关于<
/p>
?
的散度。
?
d
F
t
?
dt
?
?
?
?
t
?
0
?
?
div
?
v
?
?
.
t
t
< br>这里的
F
t
?
< br>表示在
F
处
?
< br>的拉回。如果
v
?
t
?
表示
?
体积的
F
?
U
?
，那么我们可
?
?
?
以得到
d
V
?
t
?
t
?
0
?
?
?
div
?
v
?
?
。
U
dt
在一个流形上积分形式的其中的含义，见附录。
结构稳定性和分歧点
假定两个向量场
u
和
v
是确定在一个有边界的流形
M
上的。
这样的向量场叫做在
M
上的拓扑等效，如果那
存在同胚映射
h
:
M
< br>?
M
，把轨道上的
u
变换到轨道上的
v
保存
它
们的方向。
拓扑等效向量场的例子在图显示出来。
在紧流形
M
上，
一个
C
类的向量场
1
如果它是拓扑等价的对于在<
/p>
M
上的任意其他向量场是在
C
的范围内充
u
是渐进稳定的，
r
分接近于
u
。
< br>不严格的说，
一个向量场是拓扑等价的，
如果小的变形不
能够改变它的在本
质结构上。
在二维
空间中，贝秀多定理鉴定了渐进稳定性的向量场的特征。也就是，让
M
< br>成为
一个封闭的在平面上的磁盘。
那么一个
C
类的向量场确定在
M
上是
渐进稳定的，
当且仅
当每个平衡点和周期轨道都是双曲时，从章
节意义上说，
没有连接鞍点的轨线。此外，
渐
< br>进稳定向量场的集合是开集，
C
的向量场是密集的在
M
上。
此理论适用于开平面在二维
空间的流形中，但是不适用于普通的二流形如二环面
T
< br>。
2
r
r
当一个向量场
u
在一个
C
类的向量场中时可能是渐进不稳定，它相对于这个类的一
个子集可能变成渐进稳定。
例如，
思考一个纯粹虚构的
二维空间的哈密尔顿函数的向量场
趋向于一个不动点，
它的特征
值不为零。
这样一个向量场的所有轨道接近这个不动点的附
近，
在哈密尔顿函数承认限度的局部最大值或最小值。
明显地，
任意小的扰动都能改变这
个不动点到槽中；因此，
< br>向量场在原点周围的任意封闭圆平面是渐进不稳定的。然而，
对
< br>于哈密尔顿函数本身来说小的摄动可能仍然放弃附近的局部极限值，
所以接近不动
点的轨
道可能会有点轻微的变形，但仍有坚持性。因此，最初的向量场在一个
C
类的哈密尔顿
函数向量场中是渐进稳定的。
在
C
类向量场的
空间中的一个向量场
u
是确定的在
M<
/p>
上，如果它不是渐进稳定的，
被称为一个分叉点。
作为一个分歧点，
我们指的是通过一个分叉点作为交换参数在向量场
中的一个用参数表示的族。
一个不变的集合附近发生质的改变通常称作局部
分歧点，
然而
质的改变涉及的扩展结构在相空间中叫做全局分歧
。
更多的了解分歧点的含义，
请看
Ch
ow
and Hale [72],
或着
Gukenheimer
，
Holmes[145]
,Kuznetsov[221]
。
r
r
r
哈密尔顿系统
古典的，
精典哈密尔顿系统是众所周知的存在在物理学中。
它们被不同形式的微分方<
/p>
程来描述
q
?
D
p
H
?
q
,
p
,
t
?
,
p
?
?
D
q
H
?
q
,
p
,
t
?
,
< br>2
n
n
其中
?
q
,
p
?
?
R
?
R<
/p>
叫做典型变量，
C
类作用
H
:
R
?
R
?
R
?
R
叫做系统的哈
n
n
< br>?
?
密尔顿量。
整数
n
是指自由度的数量。
哈密尔顿系统最常出现在用
n
自由度描述的机械系
统的运动中。在
此背景下，
q
是一个向量
n
的广义坐标，
p
是一个向量相应的广义动量。
如果，
机械系统是保守系统，例如，
仅受和
时间无关势能力，
那么哈密尔顿函数仅仅是机
械能量
H
?
T
?
V
，动能和势能的和。
如果
H
没有显式依赖
t
，那么（）的解是守恒的，因为
d
H
?
q
?
t
?
,
p
?
t
?
?
?
0
.
对于单
dt
自由度系
统，这是我们想象的轨道作为
H
水平面曲线的子集。除了体积保
留，一个典型
哈
密
尔
< br>顿
系
统
的
流
有
两
个
保
持
性
能
。
首
先
，
它
保
留
了
典
型
辛
的
特
< br>征
从
dq
?
dp
?
?
i
?
1
dq
i
?
dp
i
的形式，例如，
n
?
F
< br>?
?
dq
?
dp
?
?
dq
?
dp
t
?
对于
t
?
R
，
?
F
?<
/p>
表示
F
的拉回（见附录）
.
?
t
t
因此，
F
是一个在流形（
R
,
dq
?
dp
）上的辛映射
(
?
2
n
2
n
,
dq
?
dp
)
，于是也保存体
2
n
积
?
dq
?
dp
?
?
d
q
?
dp
?
。
（见附录
+
）
。因为这种体积可能区别仅仅在在
R
n
2
n
上标准体积，
我们断定就标准体积
的拓扑空间
R
而言，
典型哈密尔顿函数
的流是体积保存不变的。
换
句话说，
对
于任意
t
,
大量集合的初始条件
U
的体积是等于
于
大量的图像集合
F
?
U
?
的体
t
积。
超出以上提及的保持性能，
，写出动力系统的哈密尔
顿形式，其优点在整个向量场
X
H
?
X
q
,
X
p
?
D
p
H
,
?
< br>D
q
H
能够被一个实函数
H
复制。此外，哈密尔顿函数本身告诉你很
多哈密尔顿量流。例如，
F
t
?
?
?
?
的不动点仅仅
是临界点
H
，例如，
DH
?
0
的点。不懂点的稳定性明显的取决于影响性能<
/p>
的
H
。
如果
H
具有局部最小值或最大值在
p
点，
那么
p
是一个稳定的
不动点，
因为这样运
用
H
来决定作为一个李雅普诺夫函数。
在
R
上，经典的哈密尔顿系统的概念能够推
广的一个辛流形。观察的结果是对于任
意
u
?
u
q
,
u
p
?
T
x<
/p>
R
2
n
，一个典
型的哈密尔顿向量场
X
q
n
?
?
H
满足
p
i
X
H
?
dq
?
dp
?
?
u
?
?
dq
?
dp
?
X
H
?
x
?
,
u
< br>?
?
X
,
u
p
?
X
,
u
q
?
DH<
/p>
?
x
?
?
u
,
其
中
我
们
用
过
的
公
式
（
）
和
附
录
A
里
的
一<
/p>
些
符
号
。
因
此
，
我
们
可
以
得
到
?
dq
?
< br>dp
?
b
?
X
H
?
?
DH
，或相当于
X
< br>H
?
x
?
?
?
dq
?
dp
?
DH
?
x
?
。
）
（附
录）
这最后一个表达式提出在任意
2
n
维空间辛流形
?
M
,
?
?
上推广的哈密尔顿系统。
让我们考虑
类
C
的函数
H
:
M
?
R
.
哈密
尔顿函数的向量场
X
H
:
M
?
TM
和
H
联系起来能够确定
2
向量场
X
H
?
?
?
DH
?
。
我们给出了几何的定义在图
.
相当于
，
X
H
是具有哈密尔顿变量
H
的哈密尔顿函数如
果
i
X
H
?
?
x
?
[
u
]
?
?
< br>(
x
)
?
?
X
H
?
x
?
,
u
?
?
?
DU
?
u
,
（）
对于所有的
u
?
T
x
M
。最后，微分方程
x
?
X
H
?
x
?
（）
叫做哈密尔顿系统通过哈密尔顿
变量
H
生成的在
?
M
,
?
?
水平面上的集合
H
< br>，
?
E
?
h
?
?
?
x
?
M
H
?
x
?
?
h
?
,
叫做能量面。由隐式函数定理，如果保持
DH
?
x
?
?
0
对于所有
x
?
E
?
h
?
,
E
?
h
?
是一个流形。
在那种情况下
E
?
h
?
是一个
M
的余维数
1
一个子流形，
叫做常规能源表面。
如果包含
L
< br>能源
表面
E
?
< br>h
?
，
M
任意子集
L
叫做等能道。有时
M
的两个子集包含一样的能源表面也是提到
的等能道
< br>
广义的哈密尔顿系统，拥有经典哈
密尔顿系统的所有保持性能。例如，过（）的解，
哈密尔顿变量
H
被固定，因为
d
< br>H
?
x
?
t
?
?
?
D
H
?
x
?
t<
/p>
?
?
?
X
H
?
x
?
t
?
?
?
dt
?
?
< br>?
x
?
t
?
?
?
?
X
H
?
x
?
t
?
?
,
X
H
?
x
?
t
?
?
< br>?
?
?
0,
我们经常在
（）
用到的。
这意味着
（）
的轨
道局限于
H
的能量面。
对于辛保存的证
明来自
?
通过（）的流量，看
亚伯拉罕
和马斯登
?
4
?
或者阿诺德
?
21
?
。体积
?
?
的保存遵循附录。
哈
密尔顿系统的性能延续到它们的庞加莱映射。
特别是，
对于一个
n
维自由度的哈密尔顿系统，
如果
?
是一个
?
2
n
?
2
?
维的庞加莱截面在一个固定
的能量面内，那么
限制辛的形式
?
?
?
< br>?
?
是非退化的，相应的庞加莱映射
P
:
?
?
?
（如果定义）是辛映射。
例如，<
/p>
P
?
?
?
?
?
?
。
让我们考虑一个映射
f
:
M
?
< br>R
。
变化率
f
< br>沿着一个哈密尔顿向量场
X
H
的
轨迹能够
计算因为
d
f
?
x
?
t
?
?
?
Df
?
x
?
t
?
?
?
X
H
?
x
?
t
?
?
?
dt
?
?
?
?
Df
x
?
t
?
?
?
?
x
?
t
?
?
DH
x
?
< br>t
?
?
?
?
?
f
,
H
?
x
?
t
?
,
?
?
?
?
?
?
?
?
,
< br>?
?
是泊松括号由辛形式
?
诱导而来
（见附录）
的哈密尔顿系统的首次
积分是一个常数解的
函数，以上公式表明
f
是不变的当且仅当
?
f
,
H
?
?
0
，
例如，当且仅当
f
是退化的随着
H
。
一些向量场能够写成哈密尔顿形式在开集中，
但是没有在整个的相空间上。
例如，
思考
相空间
M
?
R
?
S
和坐标
?
I
,
?
?
和辛的形式
d
?
?
dI
。微分方程
1
&
I
?
?
1
，
?
?
0
，
< br>容许哈密尔顿函数
H
?
I
,
?
?
?
?
在
M
的开子集上，
但是这种函数不能扩展到一个全局性的确
定的平稳的函数在
M
上，因为它在
?
中不
是周期性的。一般来说，如果对于任意
x
?
M
有
一个
x
的邻域
U
，
在辛流形
?
M
,
?
?
上的一个向量场
X
X
是一个受限于
U
的哈密尔顿变量，
叫做局部哈密尔顿量，
。注：
X
是一个局部哈密尔顿变量当且仅当单形
?
?
< br>x
?
?
X
?
x
?
,
?
?
是闭的
对于所有
x
来说。
Poincare-Cartan
积分不变式
目前为止我一直认为只有
独立哈密尔顿函数向量场，
但是在经典力学中也有人遇到过这
样
的微分方程形式
q
?
D
p
H
?
q
,
p
,
t
?
，
< br>
?
?
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