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因动点产生的等腰三角形模型

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2021-03-01 10:39
tags:

-

2021年3月1日发(作者:鄙视英文)


因动点产生的等腰三角形模型




1 2013


年上海市虹口区中 考模拟第


25





如图


1


,在


Rt



ABC


中,∠


A



90


°,


AB



6



AC



8


,点


D


为边


BC


的中点,


DE



BC


交边


AC


于点


E




P


为射线


AB


上的一动点,



Q


为边


AC


上的一动点,

且∠


PDQ



90


°.




1

< br>)求


ED



EC


的长;




2


)若


BP



2


,求


CQ


的长;


< p>


3


)记线段


PQ


与线段


DE


的交点为


F


,若△


PDF


为等腰三角形,求


BP


的长.





1





























备用图



动感体验



请打开几何画板文件名



13


虹口


25< /p>




拖动点


P< /p>


在射线


AB


上运动,

可以体验到,



PDM


与△


QDN


保持相似.观察△


PDF


,可以看到,


P



F


可以落在对边的垂直平分线上,不存在


DF



DP


的情况.



请打开超级画板文件名



13


虹口< /p>


25




拖动点


P


在射线


AB


上运动,


可以体验到,



PDM


与△


QDN


保持相似.观察△


PDF


,可以看到,


P



F


可以落在对边的垂直平分线上,不存在


D F



DP


的情况.


思路点拨



1

< br>.第(


2


)题


BP



2


分两种情况.



2


.解第(


2


)题时 ,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系.



3


.第(


3


)题探求等腰三角形


PDF


时,根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三

< p>
角形


CDQ




满分解答




1


)在


Rt



ABC


中,



AB


6



AC



8


,所以


BC


10





Rt



CDE

中,


CD



5

,所以


ED


?


CD


?


tan


?


C


?


5


?


3

15


25



?



EC


?


4


4


4



2


)如图


2


,过点


D



DM



AB



DN



AC


,垂足分别为


M



N


,那么


DM



DN





ABC


的两条中位线,


DM



4



DN


=< /p>


3




由∠


PDQ



90


°, ∠


MDN



90


°,可得∠


PDM


=∠


QDN




因此△


PDM< /p>


∽△


QDN




所以


3


4


PM


DM


4


?


?< /p>


.所以


QN


?


P M



PM


?


Q N




QN


D N


3


4


3




2























3


























4


①如图


3


,当


BP



2



P



BM


上时,


PM



1




此时


Q N


?


3


3


3< /p>


19


PM


?


.所 以


CQ


?


CN


?


QN


?


4


?


?




4


4


4


4


②如图


4


,当


BP



2



P



MB


的延长线上时,


PM



5




3


15


15


31


PM


?


.所以


CQ

?


CN


?


QN

?


4


?


?




4


4


4< /p>


4


QD


DN


3< /p>



3


)如图


5< /p>


,如图


2


,在


R t



PDQ


中,


tan


?


QPD


?

< br>?


?




PD


DM


4


BA

3



Rt



ABC


中,


tan


?


C


?


?


.所以∠


QPD


=∠


C


< p>


CA


4


此时

< p>
QN


?


由∠


PDQ



90


°,∠


CDE



90


°,可得∠

PDF


=∠


CDQ




因此△


PDF


∽△


CDQ




当△


PDF


是等腰三角形时,△


CDQ


也是等腰三角形.



①如图

5


,当


CQ


CD



5


时,

QN



CQ


CN



5



4



1


(如图


3


所示)




此时


PM


?


4


4


4


5


QN


?


.所以


BP


?


BM


?


PM


?


3


?


?




3


3


3


3


5


4


25


CH


,可得


CQ


?


?< /p>


?




CQ


2


5


8


②如图


6


,当


QC



QD


时,由


cos


C


?


所以


QN



CN



CQ



4


?


此时


P M


?


25


7




?


(如图


2


所示)


8


8


4


7


7


25


.< /p>



QN


?


.所以


BP


?


BM


?


PM


?


3


?< /p>


?


3


6


6


6


③不存在


DP


=< /p>


DF


的情况.这是因为∠


DFP


≥∠


DQP


>∠


DPQ


(如图


5


,图


6


所示)






5


































6


考点伸展



如图


6


,当△


CDQ


是等腰三角形时,根 据等角的余角相等,可以得到△


BDP


也是等腰


三角形,


PB



PD


.在△


BDP


中可以直接求解

< br>BP


?


25


< br>


6



















2 2012


年扬州市中考第


27





如图


1


,抛物线


y



ax


2



bx



c


经过


A


(



1,0)



B


(3, 0)



C


(0 ,3)


三点,直线


l


是抛物线的


对称 轴.




1


) 求抛物线的函数关系式;




2


)设点


P


是直线


l< /p>


上的一个动点,当△


P


AC


的周长最小时,求点


P


的坐标;



3


)在直线

< br>l


上是否存在点


M


,使△


MAC


为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合

条件的点


M


的坐标;若不存在,请说明理由.





1



动感体验



请打开几何画板文件名“


12


扬州


27



,拖动点


P


在抛物线的对称轴上运动,可以体验


到,当点


P


落在线段


BC


上时,


P


A



PC


最小,△< /p>


P


AC


的周长最小.拖动点


M


在抛物线的对


称轴上运动,观察△


MAC


的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系,可以看到,点


M



1


次机会落在


AC


的垂直平分线上;



A



2


次机会落在

< br>MC


的垂直平分线上;



C



2



机会落在< /p>


MA


的垂直平分线上,但是有


1



M



A



C


三点共线.




思路点拨



1


.第(


2


)题是典型的“牛喝水”问 题,点


P


在线段


BC

< br>上时△


P


AC


的周长最小.



2


.第(


3


)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.



满分解答




1


)因为抛物线与


x


轴交于

< p>
A


(



1,0)



B


(3, 0)


两点 ,设


y



a


(


x



1)(


x



3)




代入点


C


(0 ,3)


,得-


3


a



3


.解得


a


=-


1




所以抛物线的函数关 系式是


y


=-


(


x



1)(


x



3)


=-


x


2



2


x



3





2


)如图


2


,抛物 线的对称轴是直线


x



1




当点


P


落在线段


BC


上时,


P


A



PC


最小,△< /p>


P


AC


的周长最小.


设抛物线的对称轴与


x


轴的交点 为


H




BH


PH



BO



CO


,得


PH



BH



2




?


BO


CO


所以点


P


的坐标为

(1, 2)






2


(< /p>


3


)点


M


的坐标 为


(1, 1)



(1,


6


)



(1,


?


6


)


< br>(1,0)




考点伸展



第(


3


)题的解题过程是这样的:



设点


M


的坐标为


(1,

m


)




在△


MAC


中,


AC

< br>2



10


MC


2



1



(


m



3 )


2



MA


2



4



m


2




①如图


3


,当


MA



MC


时,


MA


2< /p>



MC


2


.解方 程


4



m


2< /p>



1



(


m



3)


2


,得


m



1

< p>



此时点


M

< p>
的坐标为


(1, 1)




②如图


4


,当


AM



AC


时,


AM


2



AC


2


.解方程


4


m


2



10


,得


m


?


?


6




此时点


M


的坐标为


(1,


6

< br>)



(1,


?

< br>6


)




③如图


5


,当


CM

< br>=


CA


时,


CM


2



CA


2

< br>.解方程


1



(


m



3)


2

< br>=


10


,得


m

< br>=


0



6





M


(1, 6)

时,


M



A



C


三点共线,所以此时符合条件的点


M


的坐标为


(1,0)


< p>



3
















4


















5









































3 2012


年临沂市中考第


26





如图


1


,点


A



x


轴上,


OA



4


,将 线段


OA


绕点


O


顺时针旋转


120


°至


OB


的位置.




1


)求点


B


的坐标;




2


)求经过


A



O



B< /p>


的抛物线的解析式;




3


)在此抛物线的对称轴上,是否存在点


P

< p>
,使得以点


P



O



B


为顶点的三角形是等

腰三角形?若存在,求点


P


的坐标;若不存在,请说明理由 .





1


动感体验



请打开几何画板文件名“< /p>


12


临沂


26



,拖动点


P


在抛物线的对称轴上运动, 可以体验


到,⊙


O


和⊙


B


以及


OB


的垂直平分线与抛 物线的对称轴有一个共同的交点,


当点


P


运动到



O


与对称轴的另一个交点时 ,


B



O


、< /p>


P


三点共线.



请打开超级画板文件名“


12


临沂


26



,拖动点


P


,发现存在点


P


,使得以点


P



O



B


为顶点的三角形是等腰三角形





思路点拨



1


.用代数法探求等腰三角形分三步:先分类,按腰相等分三种情况;再根据两点间的< /p>


距离公式列方程;然后解方程并检验.



2


.本题中等腰三角形的角度特殊,三种情况的点


P

< p>
重合在一起.



满分解答




1


)如图


2


,过点


B



B C



y


轴,垂足为

C





Rt



OBC


中,∠

< br>BOC



30


°,


OB



4


,所以

< p>
BC



2



OC


?


2


3




所以点


B


的坐标为


(


?


2,

< p>
?


2


3)





2


)因为抛物线与


x


轴交于


O



A


(4, 0)


,设抛物线的解析式为


y



ax


(


x



4)




代入点


B


(


?


2,


?


2

< p>
3)



?


2


3


?


?


2

< br>a


?


(


?


6)


.解得


a


?

?


3




6


3


3


2


2< /p>


3


所以抛物线的解析式为


y


?


?


x


(

< br>x


?


4)


?

?


x


?


x




6


6


3< /p>



3


)抛物线的对称轴是直线

< p>
x



2


,设点

< p>
P


的坐标为


(2,


y


)




①当


OP



OB< /p>



4


时,


OP< /p>


2



16


.所以


4+


y


2


=< /p>


16


.解得


y


?


?


2


3





P



(2,


2


3)


时,


B



O



P


三点共线(如图


2





②当


BP



BO



4< /p>


时,


BP


2


=< /p>


16


.所以


4


2


?


(


y


?


2


3)


2


?


16


.解得


y


1


?


y


2


?


?


2


3




③当


PB



PO


时,


PB


2

< p>


PO


2


.所以


4


2


?


(


y


?


2


3)


2


?


2


2

?


y


2


.解得

y


?


?


2


3




综合①、②、③,点

< p>
P


的坐标为


(2,


?


2


3)


,如图


2< /p>


所示.





2




































3


考点伸展



如图


3


,在本题中,设抛物线的顶点为


D


,那么△


DOA


与△


OAB

< p>
是两个相似的等腰三


角形.


3


3


2


3


2


3


,得抛物线的顶点为


D

< p>
(2,


x


(


x

< p>
?


4)


?


?


(


x


?


2)


2


?


)



6


6


3


3


2


3


因此


t an


?


DOA


?


.所以∠


DOA



30


°,∠


ODA



120


°.



3



y


?


?















-


-


-


-


-


-


-


-



本文更新与2021-03-01 10:39,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/687756.html

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