-
因动点产生的等腰三角形模型
例
1 2013
年上海市虹口区中
考模拟第
25
题
如图
1
,在
Rt
△
ABC
中,∠
A
=
90
°,
AB
=
6
,
AC
=
8
,点
D
为边
BC
的中点,
DE
⊥
BC
交边
AC
于点
E
,
点
P
为射线
AB
上的一动点,
点
Q
p>
为边
AC
上的一动点,
且∠
PDQ
=
90
°.
(
1
< br>)求
ED
、
EC
的长;
(
2
)若
BP
=
2
,求
CQ
的长;
(
3
)记线段
PQ
与线段
DE
的交点为
F
,若△
PDF
为等腰三角形,求
p>
BP
的长.
图
1
备用图
动感体验
请打开几何画板文件名
p>
“
13
虹口
25<
/p>
”
,
拖动点
P<
/p>
在射线
AB
上运动,
可以体验到,
△
PDM
与△
QDN
保持相似.观察△
PDF
,可以看到,
P
、
F
可以落在对边的垂直平分线上,不存在
DF
=
DP
的情况.
请打开超级画板文件名
“
13
虹口<
/p>
25
”
,
拖动点
P
在射线
AB
上运动,
可以体验到,
△
PDM
与△
QDN
保持相似.观察△
PDF
,可以看到,
P
、
p>
F
可以落在对边的垂直平分线上,不存在
D
F
=
DP
的情况.
思路点拨
1
< br>.第(
2
)题
BP
=
2
分两种情况.
2
.解第(
2
)题时
,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系.
3
.第(
3
)题探求等腰三角形
p>
PDF
时,根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三
角形
CDQ
.
满分解答
(
1
)在
Rt
△
ABC
中,
AB
=
6
,
AC
=
8
,所以
BC
=
10
.
在
Rt
△
CDE
中,
CD
=
5
,所以
ED
?
CD
?
tan
?
C
?
5
?
3
15
25
.
?
,
EC
?
4
4
4
(
2
)如图
2
,过点
D
作
DM
⊥
AB
,
DN
⊥
AC
,垂足分别为
M
、
N
,那么
DM
、
DN
是
△
ABC
的两条中位线,
DM
=
4
,
DN
=<
/p>
3
.
由∠
p>
PDQ
=
90
°,
∠
MDN
=
90
°,可得∠
PDM
=∠
QDN
.
因此△
PDM<
/p>
∽△
QDN
.
所以
3
4
PM
DM
4
?
?<
/p>
.所以
QN
?
P
M
,
PM
?
Q
N
.
QN
D
N
3
4
3
图
2
图
3
图
4
①如图
3
,当
BP
=
2
,
P
在
BM
上时,
PM
=
1
.
此时
Q
N
?
3
3
3<
/p>
19
PM
?
.所
以
CQ
?
CN
?
QN
?
4
?
?
.
4
p>
4
4
4
②如图
p>
4
,当
BP
=
p>
2
,
P
在
MB
的延长线上时,
PM
=
5
.
3
15
15
31
PM
?
.所以
CQ
?
CN
?
QN
?
4
?
?
.
4
4
4<
/p>
4
QD
DN
3<
/p>
(
3
)如图
5<
/p>
,如图
2
,在
R
t
△
PDQ
中,
tan
?
QPD
?
< br>?
?
.
PD
DM
4
BA
3
在
Rt
△
ABC
中,
tan
?
C
?
?
.所以∠
QPD
=∠
C
.
CA
4
此时
QN
?
由∠
PDQ
=
90
°,∠
CDE
=
90
°,可得∠
=∠
CDQ
.
因此△
PDF
∽△
CDQ
.
当△
p>
PDF
是等腰三角形时,△
CDQ
也是等腰三角形.
①如图
5
,当
CQ
=
CD
=
5
时,
QN
=
CQ
-
CN
=
5
-
4
=
1
(如图
3
所示)
.
此时
PM
?
4
4
4
5
QN
?
.所以
BP
?
BM
?
PM
?
3
?
?
.
3
3
3
3
p>
5
4
25
CH
p>
,可得
CQ
?
?<
/p>
?
.
CQ
p>
2
5
8
②如图
p>
6
,当
QC
=
p>
QD
时,由
cos
C
?
所以
QN
=
CN
-
CQ
=
4
?
此时
P
M
?
25
7
.
?
(如图
2
所示)
8
8
4
7
7
25
.<
/p>
QN
?
.所以
BP
?
BM
?
PM
?
3
?<
/p>
?
3
6
6
6
③不存在
DP
=<
/p>
DF
的情况.这是因为∠
DFP
≥∠
DQP
>∠
DPQ
(如图
5
,图
6
所示)
.
图
5
图
6
考点伸展
如图
6
,当△
CDQ
是等腰三角形时,根
据等角的余角相等,可以得到△
BDP
也是等腰
三角形,
PB
=
PD
.在△
BDP
中可以直接求解
< br>BP
?
25
.
< br>
6
例
2
2012
年扬州市中考第
27
题
如图
1
,抛物线
y
=
ax
p>
2
+
bx
+
c
经过
A
(
-
1,0)
、
B
(3,
0)
、
C
(0 ,3)
三点,直线
l
是抛物线的
对称
轴.
(
1
)
求抛物线的函数关系式;
(
2
)设点
P
是直线
l<
/p>
上的一个动点,当△
P
AC
的周长最小时,求点
P
的坐标;
(
3
)在直线
< br>l
上是否存在点
M
,使△
MAC
为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合
条件的点
M
的坐标;若不存在,请说明理由.
图
1
动感体验
请打开几何画板文件名“
12
扬州
27
”
,拖动点
P
在抛物线的对称轴上运动,可以体验
到,当点
P
落在线段
BC
上时,
P
A
+
PC
最小,△<
/p>
P
AC
的周长最小.拖动点
M
在抛物线的对
称轴上运动,观察△
MAC
的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系,可以看到,点
M
有
1
次机会落在
AC
的垂直平分线上;
点
A
有
2
次机会落在
< br>MC
的垂直平分线上;
点
C
p>
有
2
次
机会落在<
/p>
MA
的垂直平分线上,但是有
1
次
M
、
A
、
C
三点共线.
思路点拨
1
.第(
2
)题是典型的“牛喝水”问
题,点
P
在线段
BC
< br>上时△
P
AC
的周长最小.
p>
2
.第(
3
p>
)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.
满分解答
(
1
)因为抛物线与
x
轴交于
A
(
-
1,0)
、
B
(3, 0)
两点
,设
y
=
a
(
x
+
1)(
x
-
3)
,
代入点
C
(0 ,3)
,得-
3
a
=
3
.解得
a
=-
1
.
所以抛物线的函数关
系式是
y
=-
(
x
+
1)(
x
-
3)
=-
x
2
+
2
x
+
3
.
(
p>
2
)如图
2
,抛物
线的对称轴是直线
x
=
1
.
当点
P
落在线段
BC
上时,
P
A
+
PC
最小,△<
/p>
P
AC
的周长最小.
设抛物线的对称轴与
x
轴的交点
为
H
.
BH
PH
,
BO
=
CO
,得
PH
=
BH
=
2
.
?
BO
CO
所以点
P
的坐标为
(1, 2)
.
由
图
2
(<
/p>
3
)点
M
的坐标
为
(1, 1)
、
(1,
6
)
、
(1,
?
6
)
或
< br>(1,0)
.
考点伸展
第(
3
)题的解题过程是这样的:
设点
M
的坐标为
(1,
m
)
.
在△
MAC
中,
AC
< br>2
=
10
,
MC
2
=
1
+
(
m
-
3
)
2
,
MA
2
=
4
+
m
p>
2
.
①如图
p>
3
,当
MA
=
p>
MC
时,
MA
2<
/p>
=
MC
2
.解方
程
4
+
m
2<
/p>
=
1
+
(
m
-
3)
2
,得
m
=
1
.
此时点
M
的坐标为
(1, 1)
.
②如图
4
,当
AM
=
AC
时,
AM
2
=
AC
2
.解方程
4
+
m
2
=
10
,得
m
?
?
6
.
此时点
M
的坐标为
(1,
6
< br>)
或
(1,
?
< br>6
)
.
③如图
5
,当
CM
< br>=
CA
时,
CM
2
=
CA
2
< br>.解方程
1
+
(
m
-
3)
2
< br>=
10
,得
m
< br>=
0
或
6
.
当
M
(1, 6)
时,
M
、
A
、
C
三点共线,所以此时符合条件的点
M
的坐标为
(1,0)
.
图
3
图
4
图
5
例
3 2012
年临沂市中考第
26
题
如图
1
,点
A
在
x
轴上,
OA
=
4
,将
线段
OA
绕点
O
顺时针旋转
120
°至
OB
的位置.
(
1
)求点
B
的坐标;
(
2
)求经过
A
、
O
、
B<
/p>
的抛物线的解析式;
(
3
)在此抛物线的对称轴上,是否存在点
P
,使得以点
P
、
O
、
B
为顶点的三角形是等
腰三角形?若存在,求点
P
的坐标;若不存在,请说明理由
.
图
1
动感体验
请打开几何画板文件名“<
/p>
12
临沂
26
”
,拖动点
P
在抛物线的对称轴上运动,
可以体验
到,⊙
O
和⊙
B
以及
OB
的垂直平分线与抛
物线的对称轴有一个共同的交点,
当点
P
运动到
⊙
O
与对称轴的另一个交点时
,
B
、
O
、<
/p>
P
三点共线.
请打开超级画板文件名“
12
临沂
26
”
,拖动点
P
,发现存在点
P
,使得以点
P
、
O
、
B
为顶点的三角形是等腰三角形
思路点拨
1
.用代数法探求等腰三角形分三步:先分类,按腰相等分三种情况;再根据两点间的<
/p>
距离公式列方程;然后解方程并检验.
2
.本题中等腰三角形的角度特殊,三种情况的点
P
重合在一起.
满分解答
(
1
)如图
2
,过点
B
作
B
C
⊥
y
轴,垂足为
C
.
在
Rt
△
OBC
中,∠
< br>BOC
=
30
°,
OB
=
4
,所以
BC
=
2
,
OC
?
2
3
.
所以点
B
的坐标为
(
?
2,
?
2
3)
.
(
2
)因为抛物线与
p>
x
轴交于
O
、
p>
A
(4, 0)
,设抛物线的解析式为
p>
y
=
ax
(
x
-
4)
,
代入点
B
(
?
2,
?
2
3)
,
?
2
3
?
?
2
< br>a
?
(
?
6)
.解得
a
?
?
3
.
6
3
3
2
2<
/p>
3
所以抛物线的解析式为
y
?
?
x
(
< br>x
?
4)
?
?
x
?
x
.
6
6
3<
/p>
(
3
)抛物线的对称轴是直线
x
=
2
,设点
P
的坐标为
(2,
y
)
.
p>
①当
OP
=
OB<
/p>
=
4
时,
OP<
/p>
2
=
16
.所以
4+
y
2
=<
/p>
16
.解得
y
?
?
2
3
.
p>
当
P
在
(2,
2
3)
时,
p>
B
、
O
、
P
三点共线(如图
2
)
.
②当
BP
=
BO
=
4<
/p>
时,
BP
2
=<
/p>
16
.所以
4
2
?
(
y
?
p>
2
3)
2
?
16
.解得
y
1
p>
?
y
2
?
?
2
3
.
③当
PB
=
PO
时,
PB
2
=
PO
2
.所以
4
2
?
(
y
?
2
3)
2
?
2
2
?
y
2
.解得
y
?
?
2
3
.
综合①、②、③,点
P
的坐标为
(2,
?
p>
2
3)
,如图
2<
/p>
所示.
图
2
图
3
考点伸展
如图
3
,在本题中,设抛物线的顶点为
D
,那么△
DOA
与△
OAB
是两个相似的等腰三
角形.
3
3
2
3
2
3
,得抛物线的顶点为
D
(2,
x
(
x
?
4)
?
?
(
x
?
2)
2
?
)
.
6
6
3
3
2
3
因此
t
an
?
DOA
?
.所以∠
DOA
=
30
°,∠
ODA
=
120
p>
°.
3
由
y
?
?
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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