-
2019-2020
年中考数学压轴题精选二
ABCD
中,
AB=2
,∠
A=60
°,以点
D
为圆心的⊙D 与边
AB
相切于点
E
.
1
、如图,在菱形
(
1
)求证:⊙D 与边
BC
也相切;
(
2
)设⊙D
与
BD
相交于点
H
,与边
CD
相交于点
F
,连接
HF
,求图中
阴影部分的面积(结果保留
π
);
(
3
)⊙D
上一动点
M
从点
F
出发,按逆时针方向运动半周,当
S
△
HDF
=
S
△
MDF
时
,求动点
M
经过的弧长(结果保留
π ).
思路点拨
:
(
1
)过
D
作
DQ
⊥
BC
于
Q
,连接
DE
,根据切线性质得出⊥
AB
,根据菱形性质求出
平分∠
ABC
,根据角平分线性质得出
的半径长,得出等边三角形
DE=DQ
,根据切线判定推出即可;
BD
(
2
)根据菱形性质和等边三角形判定得出等边三角形
的面积和扇形
FDH
的面积,相减即可得出答案;
ADB
,求出
DE
值,即可得出圆
DCB
和等边三角形
DHF
,求出△
DFH
的高
FN
,求出△
DFH
(
3
)根据△
FDH
的面积和已知求出△
MDF
边
DF
上的高
MZ
,求出∠
MDF
,同理得出另
满分解答
:
一点
M
′也符合,且圆心角是
150
°,根据弧长公式求出即可.
(
1
)证明:
过
D
作
DQ
⊥
BC
于
Q
,连接
DE
,
∵⊙D
切
AB
于
E
,
∴
DE
⊥
AB
,
∵四边形
ABCD
是菱形,
∴
BD
平分∠
ABC
,
∴
DE=DQ
(角平分线性质)
,
∵
DQ<
/p>
⊥
BC
,
∴⊙D
与边
BC
也相切;
(
2
)解:过
F
作
FN
⊥
DH
于
N
,
∵四边形
ABCD
是菱形,
∴
AD=AB=2
,
∵∠
A=60
°,
∴△
ABD
是等边三角形,
∴∠
DBA=60
°,
DC
∥
AB
,
AD=BD=AB=2
∵
DE
⊥
p>
AB
,
∴
A
E=BE=
,
由勾股定理得:
DE=3=DH=DF
,
∵四边形
ABCD
是菱形,
∴∠
C=
∠
A=60
°,
DC=BC
,
∴△
DCB
是等边三角形,
∴∠
CDB=60
°,
∵
DF=DH
,
∴△
DFH
是等边三角形,
∵
FN
⊥<
/p>
DH
,∴
DN=NH=
< br>,
由勾股定理得:
FN=
,
﹣×
3
×
=
π﹣
;
∴S
阴影
=S
扇形
FDH
﹣
S
△
FDH
=
(
3
)解:过
M
作
MZ
⊥
DF
于
Z
,
∵由(
2
)知:
S
△
HDF
=
×
3
×
=
,
DF=3
,
又∵S
△
HDF
=
S
△
DFM
,
∴
=
××
3
×
MZ
,
∴
MZ=
,
在
Rt
△<
/p>
DMZ
中,
sin
∠
MDZ=
=
,
∴∠
MDZ=30
°,
同理还有另一点
M
′也符合,此时
MM
′∥
CD
,∠
M
′
DC=180
°﹣
∴弧
MC
的长是
=
π
;
弧
CM
′的长是
=
π
;
答:动点
M
经过的弧长
π
或
π .
是
30
°
=150
°,
点评:
本题考查的知识点是三角形的
面积,等边三角形的性质和判定,勾股定理,菱形的性
质,扇
形的面积,锐角三角函数的定义,弧长公式等,主要考查学生综合运用性质进
行推理和计
算的能力,题目综合性比较强,难度偏大.
2
、如图
1
,抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
经过
A
(
-
1,0)
、
B
(3, 0)
、
C
(0 ,3)
三点,直线
l
是抛物线的对
称轴.
(
1
)求抛物线的函数关系式;
(
2
)设点
P
是直线
l
上的一个动点,当△
PAC
的周长最小时,求点
P
的坐标;
(
3
)在直线
l
上是否存在点
M
,使△
M
AC
为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条
件的点
M
的坐标;若不存在,请说明理由.
图
1
思路点拨
1
.第(
2
)题是典型的“牛喝水”问题,点
P
在线段
BC
上时△
PAC
的周长最小.
2
.第(
3
)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.
满分解答
(
1
)因为抛物线与
x
轴交于
A
(
-
1,0)
、
B
(3,
0)
两点,设
y
=
a
(
x
+
1)(
x
-
3)
,
代入点
C
(0 ,3)
,得-
3
a
=
3
.解得
a
=-
1
.
所以抛物线的函数关系式是
3
.
y
=-
(
x
+
1)(
x
-
3)
=-
x
2
+
2
x
+
(
2
)如图
2
,抛物线的对称轴是直线
设抛物线的对称轴与
x
轴的交点为
H
.
由
BH
x
=
1
.
当点
P
落在线段
BC
上时,
PA
+
PC
最小,△
PAC
的周长最小.
PH
CO
,
BO
=
CO
,得
PH
=
BH
=
2
.
BO
所以点
P
的坐标为
(1, 2)
.
图
2
)
或
(1,0)
.
(
3
)点
的坐标为
(1, 1)
、
(1,
)
、
(1,
M
6
6
考点伸展
第(
3
)题的解题过程是这样的:
设点
M
的坐标为
(1,
m
)
.
在△
MAC
中,
AC
=
10
,
MC
=
1
+
(
m
-
3)
,
MA
=
4
+
m
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
,当
MA
=
MC
时,
MA
=
MC
.解方程
4
+
m
=
1
+
(
m
-
①如图
3)
此时点
的坐标为
(1, 1)
.
,得
m
=
1
.
M
2
2
2
②如图
4
,当
AM
=
AC
时,
AM
=
AC
.解方程
4
+
m
=
10
,得
m
6
.
此时点
M
的坐标为
(1,
6
)
或
(1,
2
2
6
)
.
2
3
、如图
③如图
5
,当
CM
=
CA
时,
CM
=
CA
.解方程
1
+
(
m
-
3)
=
10
,得
m
=
0
或
6
.
当
M
(1,
6)
时,
M
、
A
、
C
三点共线,所以此时符合条件的点
M
的坐标为
(1,0)
.
图
3
图
4
图
5
,已知一次函数
y
=-
x
+
7
与正比例函数
y
4
x
的图象交于点
A
,且与
x
轴交于
3
点
B
.
(
1
)求点
A
和点
B
的坐标;
(
2
)过点
A
作
AC
⊥
y
轴于点
C
,过点
B
作直线
l
//
y
轴.动
点
P
从点
O
出发,以每秒
1
个单位长的速度,沿
O
—
C
—
A
的
路线向点
A
运动;同时直线
l
从点
B
出发,以相同速度向左
平移,在平移过程中,直线
l
交
x
轴于点
R
,交线段
BA
或线
段
于点
.当点
Q
P
到达点
A
时,点
P
和直线
l
都停止运
AO
动.在运动过程中,设动点
P
运动的时间为
t
秒.
①当
t
为何值时,以
、
、
为顶点的三角形的面积为
8
?
A P R
②是否存在以
A
、
P
、
Q
为顶点的三角形是等腰三角形?
图
1
若存在,求
t
的值;若不存在,请说明理由.
思路点拨
1
.把图
1
复制若干个,在每一个图形中解决一个问题.
P
在
CA
上运
2
.求△
APR
的面积等于
8
,按照点
P
的位置分两种情况讨论.事实上,
动
时,高是定值
4
,最大面积为
6
,因此不存在面积为
8
的可能.
3
.讨论等腰三角形
,按照点
P
的位置分两种情况讨论,点
的每一种位置又要讨
论三种情况.
APQ
P
满分解答
(
1
)解方程组
y
x
7,
3,
得
x
所以点
A
的坐标是
(3
,
4)
.
4
y
x,
y
4.
3
令
yx 7
0
,得
x
7
.所以点
B
的坐标是
(7
,
0)
.
1
(
2
)①如图
2
,当
P
在
OC
上运动时,
0
≤
t
<
4
.由
S
△
APR
得
S
梯形
CORA
S
△
ACP
S
△
POR
8
,
1
2
1
2
(
3+7 t) 4
4 (4
t)
1
2
t(7 t)
2
8
.整理,得
t
8t 12 0
.解得
t
=
2
或
t
=
6
(舍去).如图
3
,当
P
在
CA
上运动时,△
APR
的最大面积为
6
.
因此,当
t
=
2
时,以
A
、
P
、
R
为顶
点的三角形的面积为
8
.
图
2
图
3
图
4
②我们先讨论
P
在
OC
上运动时的情形,
0
≤
t
<
4
.
如图
1
,在△
中,∠
=
45
°,∠
>
45
°,
,所以
>
.因
=
7
,
AB
4 2
B
AOB
OB AB
AOB
OB
此∠
OAB
>∠
AOB
>∠
B
.
如图
4
,点
P
由
O
向
C
运动的过程中,
OP
=
BR
=
RQ
,所以
PQ
//
x
轴.
此时点
A
在
PQ
的垂直平分线上,
OR
=
2
CA
=
6
.所以
BR
=
1
,
t
=
1
.
P
在
CA
上运动时的情
我们再来讨论
形,
4
≤
t
<
7
.
在△
APQ
中,
cos
A
3
为定值,
AP
7
t
,
AQ
OA
OQ
OA
OR
5
3
5
5
t
20
.
3
3
如图
5
,当
AP
=
AQ
时
,解方程
7
t
,得
t
41
.
5
t
3
8
3
如图
6
,当
QP
=
QA
时,点
Q
在
PA
的垂直平分线上,
AP
=
2(
OR
-
OP
)
.解方程
20
7
t 2[(7 t )
(t 4)
,得
]
t 5
.
1
如
7
,
当
PA
=
PQ
时
,
那
么
2
AQ
.
因
此
.
解
方
程
cos
A
5
t
20
3
3
2(7 t)
3
5
,得
t
226
.
43
或
5
或
AP
A Q
2 A P c o s
A
综上所述,
=
1
或
41
8
226
时,△
是等腰三角形.
t
43
APQ
图
5
图
6
图
7
考点伸展
当
P
在
CA
上,
QP
=
QA
时,也可以用
AP 2AQ cos
A
来求解.
3
、如图
1
,抛物线
y
轴交于点
,连结
C
1
x
2
4
BC
3
y
BC
,以
为一边,点
x 4
与
x
轴交于
A
、
B
两点(点
B
在点
A
的右侧),与
2
O
为对称中心作菱形
BDEC
,点
是
轴上的一个
P
x
动点,设点
P
的坐标为
(
m
,
0)
,过点
P
作
x
轴的垂线
l
交抛物线于点
Q
.
(
1
)求点
A
、
B
、
C
的坐标;
(
2
)当点
P
在线段
OB
上运动时,
直线
l
分别交
BD
、
BC
于点
M
、
N
.试探究
m
为何值时,
四边形
CQMD
是平行四边形,此
时,请判断四边形
CQBM
的形状,并说明理由;
上运动时,是否存在点
P
EB
直接写出点
Q
的坐标;若不存在,请说明理由.
(
3
)当点
在线段
,使△
为直角三角形,若存在,请
Q
BDQ
图
1
思路点拨
1
.第(
2
)题先用含
m
的式子表示线段
MQ
的长,再根据
MQ
=
DC
列方程.
2
.第(
2
)题要判断四边形
准确的示意图,先得到结论.
3
.第(
3
)题△
BDQ
为直角三角形要分两种情况求解,一般过直角顶点作坐标轴的垂线
可以构造相似三角形.
CQBM
p>
的形状,最直接的方法就是根据求得的
m
的值画一个
满分解答
(
1
)由
y
1
x
2
4
(
2
)直线
DB
的解析式为
y
3
x
4
(x 2)(x
2
4
1
2
,可得
1
8)
,得
A
(
-
2,0)
,
B
(8,0)
,
C
(0,
-
4)
.
x 4
.
由点
P
的坐标为
(
m
, 0)
M (m,
所以
MQ
=
(
m 4) (
m
m 4)
1
m
2
m 8
.
2
4
2
4
当
MQ
=
DC
=
8
时,四边形
CQMD
是平行四边形.
解方程
1
1
2
3
1 m
4)
,
Q( m,
1
2
4
m
2
3
m
2
4)
.
m
2
m
8
8
,得
m
=
4
,或
m
=
0
(舍去).
1
4
此时点
P
是
OB
的中点,
N
是
BC
的中点,
N
(4,
-
2)
,
Q
(4,
-
6)
.
所以
所以四边形
CQBM
是平行四边形.
MN NQ
=
=
4
.所以
BC
MQ
与
互相平分.
图
2
(
3
)存在两个符合题意的点
图
3
Q
,分别是
(
-
2,0)
,
(6,
-
4)
.
考点伸展
Q
的坐标为
第(
3
)题可以这样解:设点
1
(
x 2)( x
( x,
8))
.
4
BH
HD
①如图
3
,当∠
DBQ
=
90
°时,
QG
GB
(x 2)(x
.所以
4
8 x
2
1
1
8)
1
.
2
解得
x
=
6
.此时
Q
(6,
-
4)
.
4
2
.所以
1
②如图
4
,当∠
=
90
°时,
QG
BDQ
GD
DH
HB
( x 2)(x
8)
4
.
2
x
解得
x
=-
2
.此时
Q
(
-
2,0)
.
图
3
图
4
4<
/p>
、为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学,老师决定购买文具盒与钢笔作为
p>
奖品.已知
5
个文具盒、
2
支钢笔共需
100
元;
4
个文具盒、
7
支钢笔共需
161
元.(
1
)
每个文具盒、每支钢笔各多少元?
(
2
)时逢“五一”,商店举行优惠促销活动,具体办法如下:文具盒九折,钢笔
超出部分八折.设买
关系式;
(
3
)若购买同一种奖品,并且该奖品的数量超过
考点:一次函数的应用;二元一次方程组的应用。
专题:优选方案问题。
10
件,请分析买哪种奖品省钱.
10
支以上
x
个文具盒需要
y
1
元,买
x
支钢笔需要
y
2
元,求
y
1
、
y
2
关于
x
的函数
分析:(
1
)设每个文具盒
x
元、每支钢笔
y
元,然后根据花费
100
元与
161
元分别列出方
程组成方程组,解二元一次方程组即可;
(
2
)根据促销方法对文具盒列出函数关系式,对钢笔分
x
≤
10
与
x
>
10
两种情况列出函数
关系式;
(
3
)求出
买两种奖品花钱相同时的件数,然后根据一次函数的性质讨论求
解.解答:解:(
1
)设每个文具盒
x
元、每支钢笔
y
元,
根据题意得,
,
解得
,
14
元,
15
元;
故,每个文具盒、每支钢笔各
(
2
)根据题意,
y
1
=0.9
×
14x=12.6x
,
当
x
≤
10
时,
y
2
=
15x
,
当
x
>
10
时,
y
2
=
15
×
10+
(
x
﹣
10
)×
15
×
0.8=150+12x
﹣
120=12x+30
;
(
3
)当买两种奖品花钱相同时,
12.6x=12x+30
,
解得
x=50
,
所以,①当所买奖品小于
②当所买奖品等于
③当所买奖品大于
50
件时,买文具盒更节省,
50
件时,买文具盒与钢笔都一样,
50
件时,买钢笔更节省.
点评:本题考查的是用一次函数解决实际问题,二元一次方程组的应用,本题根据题意列出
二元一次方程组求出文具盒与钢笔的单价是解题的关键.
5
、如图
1
,直线
y
4
x
x
y
B C
A
-2
0
、
,点
的坐标是(
,
).
轴、
轴的交点分别为
3
4
和
(
1
)试说明△
ABC
是等腰三角形;
(
2
)动点
M
从
A
出发沿
x
轴向点
B
运动,同时动点
N
从点
B
出发沿线段
BC
向点
C
运动,
运动的速度均为每秒
1
个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设
M
运动
t
秒时,△
MON
的面积为
S
.
①
求
S
与
t
的函数关系式;
②
设点
在线段
上运动时,是否存在
=
4
的情形?若存在,求出对应的
值;若
M
不存在请说明理由;
OB
S
MON
为直角三角形时,求
t
的值.
t
③在运动过程中,当△
图
1
思路点拨
1
.第(
1
)题说明△
ABC
是等腰三角形,暗示了两个动点
点.
M
、
N
同时出发,同时到达终
2
.不论
M
在
AO
上还是在
OB
上,用含有
t
的式子表示
OM
边上的高都是相同的,
用含有
t
的式子表示
OM
要分类讨论.
3
.将
S
=
4
代入对应的函数解析式,解关于
t
的方程.
4
.分类讨论△
MON
为直角三角形,不存在∠
ONM
=
90
°的可能.
满分解答
(
1
)直线
y
4
x 4
与
x
轴的交点为
B
(
3
,
0
)、与
y
轴的交点
C
(
0
,
4
).
3
Rt
△
BOC
中,
OB
=
3
,
OC
=
4
,所以
BC
=
5
.
点
A
的坐标是(
-2
,
0
),所以
BA
=
5
.因
此
BC
=
BA
,所以△
ABC
是等腰三角形.
(
2
)①如图
2
,图
3
,过点
N
作
NH
⊥
AB
,垂足为
H
.
在
Rt
△
BNH
中,
BN
=
t
,
sin B
4
,所以
NH
4
5
t
.
5
如图
2
,当
M
在
AO
上时,
OM
=
2
-
t
,此
时
S
1 OM NH
2
1
(2 t )
2
4 t
5
t
2
2
5
4
t
.定义域为
0
<
t
≤
2
.
5
如图
3
,当
M
在
OB
上时,
OM
=
t
-
2
p>
,此
时
S
1 OM NH
2
1
(t 2)
2
4
t
2
t
2
5
5
4
t
.定义域为
2
<
t
≤
5
.
5
图
2
t
图
3
t 4
.
②把
=
4
代入
S
2
S
2
5
4
t
,得
2
t
2
4
5
5
5
解得
t
1
2
11
,
t
2
2
11
(舍去负值).
因此,当点
M
在线段
OB
上运动时,存在
S
=
4
的情形,此时
t
2
11
.
3
5
③如图
4
,当∠
OMN
=
90
°时,在
Rt
△
BNM
中,
BN
=
t
,
BM
5
t
,
cos B
所以
,
5 t
t
3
.解得
t
25
.
5
8
如图
5
,当∠
OMN
=
90
°时,
N
与
C
重合,
t
5
.
不存在∠
ONM
=
90
°的可能.
所以,当
t
25
8
或者
t
5
时,△
MON
为直角三角形.
图
4
图
5
考点伸展
在本题情景下,如果△
MON
的边与
AC
平行,求
t
的值.
如图
6
,当
ON
//
AC
时,
t
=
3
;如图
7
,当
MN
//
AC
时,
t
=
2.5
.
图
6
图
7
6
、如图
1
,已知抛物线
y
=-
x
2
+
bx
+
c
经过
A
(0,
1)
、
B
(4, 3)
两点.
(
1
)求抛物线的解析式;
(
2
)求
tan
∠
ABO
的值;
(
3
)过点
作
⊥
轴,垂足为
,在对称轴的左侧且平行于
轴的直线交线段
B
BC x
C
y
MNCB
为平行四边形,求
点
N
,交抛物线于点
M
,若四边形
点
M
的坐标.
图
1
思路点拨
1
.第(
2
)题求∠
ABO
的正切值,要构造包含锐角∠
ABO
的角直角三角形.
2
.第(
3
)题解方程
MN
< br>=
y
M
-
y
N
=
BC
,并且检验
x
的值是否在对称轴左侧.
满分解答
(
1
)将
A
(0, 1)
、
B
(4,
3)
分别代入
y
=-
x
2
+
bx
+
c
,得
AB
于