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逆矩阵的求法及逆矩阵的应用

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2021-03-01 11:50
tags:

-

2021年3月1日发(作者:金丝)


逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用



摘要:


在现代数学中,矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具,而逆矩阵则是矩

< br>阵理论中一个非常重要的概念。


关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常 重


要的意义。目前,对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。本文将对逆矩< /p>


阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结,并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方


面的应用。



关键词:矩阵



逆矩阵



逆矩阵的求法



逆矩阵的应用




The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix


Abstract:


In modern mathematics



matrix is an effective tool with extensive application



and


inverse


matrix


is


a


significant


concept


in


matrix


theory.


The


disduss


about


the


way


to


evaluating


inverse


matrix


and


its


application


is


of


an


important


meaning


with


mature


development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse


matrix


and


disscuss


the


methods


evaluating


inverse



will


also


talk


about


the


application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding.



Keywords:


Matrix








Inverse


matrix







The


way


to


evaluating


inverse


matrix



Application of inverse matrix


















一:引言



< br>在现代数学中,矩阵是一个有效而应用广泛的工具。在矩阵理论中,逆矩阵又一


个 非常重要的概念。本文将对矩阵可逆性的由来及逆矩阵的定义、性质、判定方法进


行探讨 ,并进一步了解逆矩阵在现代数学中的应用,以激发学生的学习兴趣,让学生


进一步了解 逆矩阵的应用,从而提高教育教学质量。



二:矩阵的逆的定义




对于


n


?


n


矩阵


A


,如果存在一个


n


?


n


矩阵


B


,使得


AB=BA=E



E


为单位矩阵)


,那


么说矩 阵


A


可逆,并把矩阵


B


称为


A


的逆矩阵。记


A


的逆矩阵为


A


?


1< /p>


.


三:可逆矩阵的性质



1


、如果矩阵


A

< p>


B


均可逆


,

< p>
那么矩阵


AB


可逆,其逆矩阵为

< br>B


A


.


(推广:如果

< p>
矩阵


A


1



A


2


,


……


A


n


均可逆


,


那么矩阵


A


1


A


2


A


n


可逆,其逆阵为


A

< p>
n



A


2


A


1




2


、如果


A


可逆,那么


A


可逆,且


?


A


?


1


?


?


1


=A


< p>


?


1


?


1


?


1


?

1


?


1


?


1


T


3


、如果


A


可逆,那么


A


可逆,且< /p>


A


T


?


?


?


1


?


?

< p>
A


?


1


T


?


.


4



(


A


'


)


?


1


?


(


A


?


1


)

< br>?


.


1


?


1


5


、如果


A


可逆,数

< br>?


?


0


,那么

< br>?


A


可逆,且


?


?


A


?


?

A


?


1




?


6


、如果矩阵

< p>
A


的逆存在,那么该逆矩阵唯一。



以上结论见文献


[1]



四:矩阵可逆的几种判别方法



设矩阵


A



n


阶方阵 ,那么


A


可逆的充要条件有:



1


、存在


n


阶方阵< /p>


B


,使得


AB=I




?


I


0


?


2


、对


PA Q=


?


?


,其中


P



s


?


n


矩阵,


Q



n


×


m


矩阵,


r



A



=n< /p>




?


0


0


?



1


3



A


?


0




4

< br>、


A


是非退化矩阵


.


5



A


的行向量(列向 量)组线性无关;



6



A


可由一系列初等矩阵的乘积表示;



7



A


可经过一系列初等行 变换(列变换)化成单位矩阵


I



< /p>


8


、齐次线性方程组


AX=0

< p>
只有零解


.


以上结论见文献


[1] [8]



五:逆矩阵的几种求法



(一)定义法



定义:矩阵

< p>
A



n


阶方阵,如果存在


n


阶方阵


B


, 使得


AB=E,


那么称


A


可逆,称


B



A

< p>
的逆矩阵,记为


A


.


< /p>


?


0


1


2


?


?


?


A

< p>
?


?


1


1


4


?


?


2

?


1


0


?


?


?


的逆矩阵


.

求矩阵


?


x


11

< br>?


A


?


1


?


?


x


21


?


x


?


1


A< /p>


?


31


A






因为



0,


所以


存在


.



x


12


x


22


x


32


x


13


?


?


x


23


?


x

< p>
33


?


?


,

< p>
?


1


由定义知


A


A=E,


所以



?


0


1


2


?


?


x


11


?

< p>
?


?


1


1


4


?


?


?

x


21


?


2


?


1


0


?


?


x


?


?


?


31


x


12


x


22


x


32


x


13


?


?


1


0


0


?


?

< p>
?


?


x


23


?


?


0


1

< br>0


?


?


?


x


33


?


?


=


?


0


0


1< /p>


?


.


?


?


1


0


0


?


?


?


?


x


13


?


x


23


?


4


x


33


?


?


0


1

0


?


?


?


2


x


13


?


x


23


?


?


=< /p>


?


0


0


1


?


.


x


23


?


2


x


33


?


1


由矩阵乘法得


< /p>


?


x


21


?


2


x


31


?


?


x


11


?


x


21


?


4

< p>
x


31


?


2


x


?


x


11


21


?


x


22


?


2


x


32

< br>x


12


?


x

22


?


4


x


32


2


x


12


?


x


22


由矩阵相等可解得




2


?

< p>
?


?


x


11


?


2


?


x

< br>13


?


?


1

?


?


x


?


?


1


?


x


?< /p>


?


1


?


x


21


?


4


?


12


?


23


?


3


?


x


22

< p>
?


?


2


?


1


?


x


31

< br>?


?


?


x


?


1


?


x


3 3


?


?


?


2< /p>


;


?


32


2


.


;


?


?


?


?


2


?

< p>
1


1


?


?


?


A


?


1

?


?


4


?


2


1


?


?


3< /p>


1


?


1


?


?


?


?


?

< p>
2


2


?




(二)伴随矩阵法



?


A


11


?

< br>A


12


1


?

1


?


定理:


n

阶矩阵


A


可逆的充分必要条件是


A


非退化


.



A


?


A


?


L


?


?


A


1


n


A


21


L

< p>
A


22


L


L


L


A


2


n

< br>L


A


n


1


?


?


A


n


2


?



其中,


L


?


?


A


nn< /p>


?


?


A


11


?


A


A


ij



|A|


中元素


a< /p>


ij


的代数余子式


.

矩阵


?


12


?

L


?


?


A


1


n


A*


,即有


A


-1


=


1


A*.


|A|

< br>A


21


L


A

22


L


L


L


A


2


n


L


A


n


1


?


?


A


n


2


?


称为矩阵


A


的伴随矩阵,


记作


?


L


?


A


nn


?


该定理见文献


[1]





⑴此方法适用于计算阶数较低矩阵(一般不超过


3


阶) 的逆,或用于元素的代数


余子式易于计算的矩阵求逆。注意


A*


=



A


ji



n


×


n


的元素位置以及各元素的符号。特


?


a


A


?


?


11


?


a


21


别地,对于


2


阶方阵


a


1 2


?


?


a


22


?


a


12


?< /p>


A


*


?


?


?


?


a


22


?


?


a


a


?


21


11


?


,其伴随矩阵为


.


?


A< /p>


B


?


⑵对于分块矩阵

?


?


,上述求伴随矩阵的规律不适用


.


C


D


?


?


?


1


?


3< /p>


?



2


:已知< /p>


A


?


?


?


,求


A


?


1


2


?


?


-1

< p>
.



:



A


= -1



0



A


可逆


.


由已知得



3


A


11


= 2, A


12


=1,


A


21

< p>
= 3, A


22


=1

A


-1


=


(三)行

< p>
(



)


初等变化法




1


?

< p>
2


3


?


?


?


2


?


3

?


A* =


?


?


?


?


?


?

< br>


|A|


?


1

< br>1


?


?


?


1


?


1


?






n


阶矩阵


A


,作


n< /p>


×


2n


矩阵,对该矩阵作初等行变换,如 果把子块


A


变为


I

n


,那


么子块


I

< br>n


变为


A


,即由


[A,E]


作初等行变换得


[E,A-1]

< p>
,所得的


A


即为


A


的逆矩阵


.


?


1< /p>


?


1




⑴对于阶数较高的矩阵(


n



3



,用初等行变换法求逆矩阵,一般比用伴随矩阵


法简便


.


用上述方法求逆矩阵,只允许 作初等行变换


.


?


A


?


初等列变换


?


E

< p>
?


⑵也可以利用


?


?


????


?


?


?< /p>


1


?


求得


A


的逆矩阵


.


?


E


?


?


A


?


?


A


?


初等列变换


?


E


?


初等行 变换


⑶若矩阵


A


可逆,可利用


?


A


M


B


?


????


?


?

< p>
E


M


A


?


1


B


?


,

< br>?


?


????


?


?


?


1


?


?


C


?


?


C


A


?


得< /p>


A


-1


B



CA


-1


.


这一方 法的优点是不需求出


A


的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变< /p>


换,即求出了


A


-1

B



CA


-1

.


?


2


2


3


?


?


?



3


:用初等行变换求矩阵


A

< p>
?


?


1


?


1


0


?


的逆矩阵


.


?


?


1


2


1


?


?

?


解:



?


2


?


E


?


?


?


1


?


A


M


?


?


1


?


?


1


0


1


?


?


?

< br>0


1


1


?


0


0


?


1


?


2


3


1


0


0


?


?


1


?


?


?


1


0


0


1


0

< br>?


?


?


2


?


2


1


0


0


1


?


?


?


?


1


0


2


1


?


?


1


0


0


?


?

< br>0


1


1


?


?


?


0


1


0


?


1


?


6


?


4


?


?


?


0


0


1


?


1


0


0

< br>1


0


?


?


1


?


1


0


0


1


0


?


?


?


?


2


3


1


0


0


?


?


?


0


1

< br>1


0


1


1


?


?


?


2


1


0


0


1


?


?


?


0


4


3


1


?


2


0


?


1


?

< br>4


?


3


?


?


1


?


5


?


3


?


?


1


6


4


?


?


?


1


?


4


?


3


?


?

< br>?


?


1


A


?


1


?


5


?


3


所以


?


?< /p>



?


?


1


6


4


?


?

< p>
?



4


(四)用


Cramer


法则求矩阵的逆



?


a


11


x


1


?


a


12

< br>x


2


?


L


?


a


1


n


x


n


?


b


1


?


?


a


21


x


1


?


a

< p>
22


x


2


?


L


?


a


2

< br>n


x


n


?


b


2


?


?



L


L


L


L


?


a


x


?


a


x


?


L


?


a


x


?

< br>b


nn


n


n

若线性方程组


?


n


1


1


n


2


2

< br>的系数行列式


D


?


|

< p>
a


ij


|


n


?


0


,则此方程组有


唯一的 一组解


x


1


?


D


1


D


D


,


x


2


?


2


,


L


,

< br>x


n


?


n


D


D


D


.


这 里


D


i


是将


D


中的第


i



a


1


i


,


L


,


a


ni


换成


b


1


,


L


,


b


n


得到的行列式< /p>


.


定理


1


若以


?


1


=


(1


,


0


,


0


,


……


,


0),


?


2


=


(0


,


1


,


0


,


?


,


0),


?


,


?


3


=


(0


,


0


,


……


,


1)


表示


F


n


(F


n


表示数域

F


上的


n


维行向量空间

< p>
)


上的一组标准基


,


那么


F


n


中任一向量


?


=


(a


1


, a


2


,


……


, a


n


)


都能且只能表示为


:


?

< p>
=a


1


?


1


+ a


2


?


2


+


……


+ a


n


?


n


的形式


,


这里


a


i



F(i = 1 , 2 ,


……


, n).


定理


2



若称 矩阵


A


与矩阵


B


相乘所得的矩阵为


AB




A


的第


i


行右乘以


B



其乘积即为矩阵


AB


的第


i



.









以< /p>





:



n



< p>




A=(a


ij


),A







< p>


?


1



,


?


2


,

……


,


?


n


,


其中


?


1


=(a


11


,a


12


,


……


,a


1n


),(i=1,2,


……


,n),

< br>由定理


1



:


?


1


=


Σ

a


ij


?


j


(i = 1 , 2 ,


?


, n)

< br>,解方程组(


?


1


,

< p>
?


2



,


?


,


?


n

< br>为未知量)


,


由于系数行列式



D=|A|



0


(


因为


A


可 逆


),


所以


,



Cramer


法则可得唯一解


:


?


j


?


D


j


D


=


b


j1


?


1


+


b


j2


?


2


+


?


+ b


jn


?


n


(j = 1 , 2 ,


?


, n) .


其中

< br>D


j


是用方程组的常数项α


1< /p>


,


α


2


,


?


,


α


n


替换行列式


D


的第


j< /p>


列的元素得到的


n


阶行列式


.


由定理


2


可得

< p>
:


BA


=


I


(


I


为单位矩阵

< br>),


从而有


A


-1


=


B.


其中


B=(b


ij


).


以上定理见文献


[1]



[7]



[8]



下面举例说明这种方法


.



5


?


1


1< /p>


?


1


?


?


?



4


:求矩阵


A


?


?


0


2


2


?


的逆矩阵


.


?


1


?


1


0


?


?


?


解:矩阵


A


的行向量为< /p>


?


1


,


?


2


,


?


3

< p>
,由标准基


?


1


,


?


2


,


?

< p>
3


表示为:



?


1


?


?


1


?


?


2


?

< br>?


3


?


2


?


2


?


2


?


2


?


3



?


3


?


?


1


?


?


2


解以


?


1


,


?


2


,


?

3


为未知量的方程组得:



1


1


2


3


6


3


1


1


1


?


2


?


?

< br>1


?


?


2


?


?


3



3


6


3


1


1


1


?


3


?


?


?


1


?


?


2


?


?

< br>3


3


3


3


?


1


?


?


1


?


?


2


?


?


3


所以


A


?


1


?


1

< p>
?


3


?


1


?


?


?


3

?


1


?


?


?


?


3


1


6< /p>


1


6


1


3


2


?


3


?

< p>
?


1


?


?



3


?


?

1


?


?


3


?


(五)解方程组求逆矩阵



由可逆矩 阵的上三角


(


下三角


)


矩阵的逆仍为上三角


(


下三角


)


矩阵


,


且对于上

(



)


三角矩阵的逆矩阵,


其主对角元分别为上


(


)


三角矩阵对应的主对角元的倒数


,


可设出


逆矩阵的待求元素


;


又由


A


-1


A = E


两端对应元素相等


,


依次可得只含有一个待求元素的


方程


,


因而待求元素极易求得

< br>,


此法常用元素待求上


(



)


三角矩阵的逆矩阵


.


?


1


?


1

?



5





A


?


?


2


?


?


1


0


0


0


?


?


2


0


0

< br>?


的逆矩阵


.


1


3


0


?


?

< br>2


1


4


?


解:设




6

?


1


?


?


X


21


?


?


1


A


?


?


?


X


31


?


?


?


X


41


?


0


1


2


X


32


X


42


0


0


1


3


X

< br>43


0


?


?

0


?


?


?


,


0


?


?


1


?


?


4


?


先求


A-1


中主对角线下的次对角线上的 元素


X


21


,


X


32


,


X


4 3


,


X


31


,


X


42



X< /p>


41


.


?


1< /p>


?


?


X


21


?



E



4


阶单位矩阵


,


比较


?


?


X


31< /p>


?


?


?


X


41


?


0


1


2


X


32


X

< p>
42


0


0


1


3


X


43


0


?


?


0


?

?


1


?


?


1


?


?


0


?< /p>


?


2


?


?


1


1


?


?

< p>
?


4


?


0


0


0


?


?

2


0


0


?


?


E


的两端对应元素


,


得:



1


3

< br>0


?


?


2


1


4


?


1


1


0


?


X


41< /p>


?


0


?


X


42


?


3


?


X


43


?


1

< p>
?


?


0;



解得,


X


43


?

< p>
?


;



4


12


2


1


1

< br>?


X


31


?

1


?


X


32


?


?


1


?


0


?


0;


解得,


X


43


?


?


;



3


2


0


?


X


41


?


2


?


X


42


?


1


?


X


43


?


1


?


X


41


?


1

< br>?


X


42


?

2


?


X


43


?


2


5


?


0 ;


解得,


X


42


?


?


;



4


4


1


1


?


0;


解得,


X


43


?


?



4


8


及所求的逆矩阵为


?


1


?


?


?


1


?


2


?< /p>


1


A


?


?


1


?


?


?

< p>
2


?


1


?


?


8


(六)求三角矩阵的逆的一种方法



0


1


2

1


?


6


5


?


4


0


0


1< /p>


3


1


?


12


0


?


?


0


?


?


?



0


?


?


1

< br>?


?


4


?



7

-


-


-


-


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