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群论与魔方：群论基础知识
要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」
(Group
Theory)
是必不可少
的知识，本
章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」
(Abstract
< br>Algebra)
的
重要分支，是有关「群」
(Group)
的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数
学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」
就是一种非常重要的代数结构。
群的基本定义
设有一个集合
G
和
G
上的「二元运算
」
(Binary
Operation)
「
?
」。如果
G
< br>的元素和「
?
」满足以下「公理」
(Axiom)
，我们便说
(G,
?)
构成一个「群」
(
为
了行文方便，有时可以把「群
(G, ?)
」径直称
为「群
G
」
)
：
1.
「封闭性」
(Closure)
－对
G
中任何两个元素
a
和
< br>b
而言，
a ? b
∈
G
。
2.
「结合性」
(Associativity)
－对
G
< br>中任何三个元素
a
、
b
和
c
而言，
(a
?
b)
? c = a ? (b
? c)
。
3.
「单位元」
(Identity)
－存在
G
中
一个元素
e
(
称为「单位元」
)
，使得对于
G
中任
何元素
a
而言，
e ? a = a
? e = a
。
4.
「逆元」
(Inverse)
－对于
G
中任何
元素
a
而言，都有
G
< br>中的元素
a
?
1
(
称为
a
的「逆元」
)
，使得
a ?
a
?
1
=
a
?
1
?
a = e
。
请注意由于「
?
」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可
以不用括号，即写成
a ? b ? c
。如果某
个运算涉及同一个元素，我们可以像一
般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把
a
?
a
? <
/p>
a
写成
a
3
。我们还可以仿
照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：
a
0
=
e
，
a
?
n
=
(a
?
1
)
n
< br>。另外，可以证
明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于
< br>G
中任一元素
a
而言，其「逆<
/p>
元」
a
?
1
也是唯一的。根据「封闭性」，若
a
和
b
是
G
的元素，则
(a
?
b)
也是
G
的元素，因此我们也可以谈论
(a ? b)
的逆元，而且这个逆元满足
(a ?
b)
?
1
=
b
?
1
?
a
?
1
(
1)
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如果
(G,
?)
还满足「交换性」
(Commutativity)
，即对
G
中任何两个元素
a
< br>、
b
而言，
a ? b = b
? a
，我们便说
(G,
?)
是「交换群」
(Commutative Group)<
/p>
或「阿
贝尔群」
(Abelian
Group)
。
此外，如果在
G
中存在一个元素
g
使得对
G
中任何元素
a
，都有
a = g
n
，其
中
n
为
0
、正整数或负整数，我们便说
(G,
?)
是「循环群」
(Cyclic <
/p>
Group)
。在此
情况下，我们说
G
由
g
生成，记作
G = < g >
，其中
< g >
称为
g
的「生成集合」
(Span)
，其定义为
<
g
>
=
{g
n
:
n
是整数
}
，我们也说
< br>g
是
G
的「生成元」
(Generator)
。
< br>举例说，如果我们把
G
定为整数集
Z
，把「
?
」定为整数的加法「
+
」，那
么容易验证
(Z,
+)
构成一个交换群，这个群的「单位元」是
0
，对每个整数
n
而
言，其「逆元」就是其负数
?
n
。而且
(Z,
+)
也是一个循环群，其生成元就是
1
，
因
为
Z
中的元素要么是
0
，要么是正整数，要么是负整数，而对任何正整数
n
而
言，我们有
n = 1 + 1 + ... 1 (
共
n
个
1)
，以及
?
n =
(
?
1) +
(
?
1) + ...
(
?
1) (
共
n
个
?
1)
。由此我们有
Z = < 1 >
。
类似地，如果我们把
G
定为非零实数集
R*
，把「
?
」定为实数的乘法
「
×
」，那么容易验证
(R*,
×)
< br>也构成一个交换群，这个群的「单位元」是
1
，对
每个非零实数
x
而言，其「逆元」就是其倒数
1
/
x
。但
(R*,
×)
不是一个循环
群，因为我们无法找到
< br>R*
的生成元。
「群」是一个非常广泛的概念，其定义中的集合
G
的元素可以是各式各样
的对象，除了上述较为具体的整数／非零实数外，还可以是某些
抽象数学对
象，例如「几何变换」。以下介绍一种特殊的几何变换－「对称变换」，即可
保持几何图形的形状不变的变换，以下图为例：
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上图显示一个等边三角形的三个顶点
A
、
B
、
C<
/p>
以及三条对称轴。上图共有
以下六种对称变换：恒等变换
(Identity
Transformation
< br>，记作
I
，即不作任何变
换，亦
等同于逆时针旋转
0°)
、逆时针旋转
120° (
记作
R)
、逆时针旋转<
/p>
240° (
记作
R
2
)
、以通过三角形上方顶点
(<
/p>
即上图中的
A
点
)
的轴为对称轴的反射
(
记作
R
A
)
、
以通过三角形左下方顶点
(
即上图中的
B
点
)
的轴为对称轴的反射
(
记作
R
B<
/p>
)
、以通
过三角形右下方顶点
(
即上图中的
C
点
)
的轴为对称轴的反射
(
记作
R
C
)(
注
1)
。
我们可以把上述六种对称变换组成一个集合，记作
S
3
(
下标
代表三角
形
)
。这个集
合中的元素有一种二元运算，称为「复合」
(Composition)
，记作
「
?
」。两个变换的「
复合」就是先后进行该两个变换，举例说，
R
A
? R
便代
表先以通过
A
点的轴为对称轴进行反射，然后逆时针旋转
120°
(
注
2)
。基于上
述定义，容易推出
(S
3
,
?)
构成一个群，称为「对称
群」
(Symmetry
Group)
。首
先，任何两个对称变换的复合显然也是一个对称变换，例如
R
A
?
R
2
= R
B
，因此
「
?
」满足封闭性。其次，「
?
」显然也满足结合性。第三，
I
显然就是
S
3
中<
/p>
的单位元。最后，每个对称变换都有其逆变换，而且这个逆变换显然也是对称
变换，例如
R
?
1
= R
2
，
(R
A
)
?
1
= R
A
等。
<
/p>
我
们
也
可
以
把
S
3
的
元
素
看
成
对
顶
点
集
合
{A,
B,
C}
进
行
「
排
列
」
(Permutati
on
，亦译作「置换」
)
的结果，一个
集合的排列就是该集合上的一个
「双射」
(Bijection
)
。例如前述的
R
A
< br>就相当于把
A
映像为
A
，
B
映射为
C
和
C
映射为
B
的变换。由于这个集合有
3
个元素，所以共有<
/p>
3!
=
6
种
排列，刚好对
应着前述的六种对称变换，因此
S
3
也称为「排列群」
(Permutation
Group
，亦译
作「置换群」
)(
注
3)
。
2
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