-
总
结
求
矩
< br>阵
的
逆
矩
阵
的
方
法
-
标准化文件发布号：（
9556-E
UATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
总结求矩阵的逆矩阵的方法
课
程
名
称：
专
业
班
级：
成
员
组
成：
联
系
方
式：
2
摘要：
矩阵是线性代数的主要内容
,
很多实际问题用矩阵的思想去解既
简单又
快捷
.
逆矩阵又是矩阵理论的很
重要的内容
,
逆矩阵的求法自然也就成为线性代
数
研究的主要内容之一
.
本文将给出几种
求逆矩阵的方法
.
关键词：矩阵
逆矩阵
方法
Method of finding inverse matrix
Abstract:
Matrix in
linear algebra is the main content,many prictical
problems
with the matrix theory is
simple and fast. The inverse matrix andmatrix
theory the important content, the
solution of inverse matrix nature has
become one of the main research
contents of linear algebra. The paper
will give some method of finding
inverse matrix.
Key words:
Matrix
inversematrix method
3
正文：
1
.
引言<
/p>
:
矩阵是线性代数的主要内容
,
很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又
快捷
.
逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容
,
逆矩阵的求法自然也就成为线性代
数
研究的主要内容之一
.
本文将给出几种求逆矩阵的方法
.
2.
求矩阵的逆矩阵的方法总结：
2.1
矩阵的基本概念
矩阵，是由
个数组成的一个
行
列的矩形表格，通常用大写字母
表示
，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母
其元素
表示，其中下标
都是正整数，
他们表示该元素
在矩阵中的位置。比如，
矩阵，下标
表示元素
称为零矩阵。
或
表示一个
位于该矩阵的第
行、第
列。元素全为零的矩阵
特别地，一个
矩阵
，也称为一个
维列向量；而一个
矩
阵
，也称为一个
维行向量。
当一个矩阵的行数
与烈数
相等时，该矩阵称为一个
阶方阵。对
于方
阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称
为付对角线。若一个
阶方阵的主对角线上的元素都是
，而
其余元素都是
零，则称为单位矩阵，记为
，即：
4
。如一个
阶
方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，
是一个
阶下三角矩阵，而
是一个
阶上三角矩阵。今后我们用
表示数域
上的
则
矩阵构
成的集合，用
表示数域
上的
阶方阵构成的集合。
2.2
求逆矩阵的方法：
1.
利用定义求逆矩阵
定义
:
设
A
、
B
都是
n
阶方阵
,
如果存在
n
阶方阵
B
使得
AB= BA = E,
则称<
/p>
A
为可逆矩阵
,
而称
B
为
A
的逆矩阵
.
下面举例说明这种方法的应
用
.
例
1
求证
:
如果方阵
A
满足
A k= 0,
那么
EA
是可逆矩阵
,
且
（
E-A
）
?
1
= E
+ A + A
2
+…+A
K
?
1
证明
因为
E
与
A
可以交换
,
所以
(E- A )(E+A +
A
2
+…+
A
K
?
1
)=
E-A
K
,
因
A
K
= 0
,
于是得
(E-A)
（
E+A+A
2
+…+A
K
?
1
）
=E
，
同理可得（
E + A + A
2
+…+A
K
?
1<
/p>
）
(E-A)=E
，
因此
E-A
是可逆矩阵
,
且
(E-A)
?
1
= E + A + A
2
+…+A
K
?
1
.
同理可以证明
(E+ A)
也可逆
,
且
(E+
A)
?
1
= E -A + A
2
+…+
（
-1
）
K
?
1
A
K
?
1
.
由此可知
,
只要满足
A
K
=0
，就
可以利用此题求出一类矩阵
E
?
A
的逆矩阵
.
5
?
0
?
0
例<
/p>
2
设
A =
?
?
0
?
?
0
1
0
0
?
2
0
0
?
?
,
求
E-A
的逆矩阵
.
0
0
3
?
?
0
0
0
?
分析
由于
A
中有许多元素为零
,
考虑
A
K
是否为零矩阵
,
若为零矩阵
,
则
可以采用例
2
的方法求
E-A
的逆矩阵
.
解
容易验证
?
0
?
0
A
2<
/p>
=
?
?
0
?
?
0
0
2
0
?
?
0
?
0
0
0
6
?
?
，
A
3
=
?
0
0
0
?
?
0
?
?<
/p>
0
0
0
?
?
0
0
0
6
?
0
0
0
?
?
，
A
4
=0
0
< br>0
0
?
?
0
0
0
?
而
(E-A)(E+A+
A
2
+ A
3
)=E,
所以
?
1
?
0
(E-A)
?
1
= E+A+
A
2
+ A
3
=
?
?
0
?<
/p>
?
0
1
2
6
?
1
2
6
?
?
.
0
1
3
?
< br>?
0
0
1
?
2.
初等变换法
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法
.
如果
A
可逆，则
A
可通
过初等变换，化为单位矩阵
I
，即存在初等矩阵
P
1
,
P
2
?
,
P
S
使
（
1
）
p
1
p
2
?
p
s
A=I
，用
A
?
1
右乘上式两端，得：
（
2
）
p
1
p
2
?
p
s
I=
A
?
1
比较
（
1
）（
2
）
两式，可以看到当
A
通过初等变换化为单位矩阵的同时，对
单位矩阵
I
作同样的初等变换，就化为
A
的逆矩阵
A
?<
/p>
1
.
初等行变换
?
?
?
为（
I A
?
1
），就是求逆矩阵的初等行
变换
用矩阵表示（
A I
）
?
?
法，它是实际应用中比较简单的一种方法
.
需要注意的是，在作初等变换时只允
许作
行初等变换
.
同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵
.
6
?
2
3
1
?
例
1
求矩阵
A
的逆矩阵
.
已知
A=
?
0
1
3
?
.
?
?
?
?
1
2
5
?
?
?
2
3
1
1
0
0
?
?
1
2<
/p>
5
0
0
1
?
解
[A I
]
?
?
0
1<
/p>
3
0
1
0
?
?
?
0
1
3
0
1
0
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
5<
/p>
0
0
1
?
?
?
2
3
1
1
0
0
?
?
?
0
0
1
?
?
1
2
5
?<
/p>
0
1
3
0
1
0
?
?
?
?
?
?
0
0
1
?
1
/
6
?
1
/
6
1
/<
/p>
3
?
?
?
1
0
0
?
1
/
6
?
13
/
6
4
< br>/
3
?
?
0
1
0
1
/
2
3
/
2
?
1
?
?
?
?
?
0
0
1
?
< br>1
/
6
?
1
/
6
1
/
3
?
?
?
?
1
/
6
?
13
/
6
4
/
3
?
3
/
2
?
1
?
.
故
A
?
1
=
?
1
/
2
?
?
?
?
?
1
/
6
?
1
/<
/p>
6
1
/
3
?
?
在事先不知道
n
阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法
.
如果在初
等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为
0
，则意味着
A
不可逆，因为此时<
/p>
表明
A
=0
，则
A
?
1
不存在
.
?
1
2<
/p>
3
?
例
2 <
/p>
求
A=
?
4
5
6
?
.
?
?
?
?
7
8
9
?
?
3
1
0
0
?
?
1
2
3
1
0
0<
/p>
?
?
1
2
解
[A E]=
?
4
5
6
0<
/p>
1
0
?
?
?
0
?
3
?
6
?
4
1
0
?
?
?
?
?
?
?
?
7
8<
/p>
9
0
0
1
?
?
?
0
?
6
?
12
?
7
0
1
< br>?
?
3
1
0
0
?
?
1
2
0
?
3
?
6
?
4
1
0
?
.
?
?
?<
/p>
?
0
1
?
2
1
?
?
?
0
0
?
由于左端矩阵中有一行元素全为
0
，于是它不可逆，因
此
A
不可逆
.
3.
伴随阵法
定理
n
阶矩阵
A=[a
ij
]
为可逆的充分必要
条件是
A
非奇异
.
且
7
-
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-
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