-
关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨
数学学院
数学（师范）专业
2008
级
范佳利
指导教师
刘学文
摘
要
：
矩阵是高等代数中非常重要的内容之一，而在矩阵理论中较
为基础的就是求矩
阵的逆矩阵。
本文在
n
阶方阵求逆的方法基础上，
归纳了几类特殊矩阵逆的求法，<
/p>
并从中找
出一些初步的、具有应用价值的规律，简化了类似矩阵求
逆问题的计算。
关键词：
n
阶矩阵；逆矩阵；伴随矩阵；线性变换
Abstract:
Matrix
in linear algebra is a very important part of
content, And the matrix inverse
matrix
is of more important piece, In this paper the
inverse square n order based on method, The
three kinds of special inverse matrix
is also given, And find out some preliminary has
application
value of the law, Simplify
the inverse problem of similar matrix calculation.
Key word:
n
order matrix; inverse
matrix; adjoint matrix; linear conversion
< br>矩阵是高等代数的一个最基本的概念，
其内容贯穿于高等代数的始终，
而矩
阵问题中的求逆是矩阵内容中不可或缺的重要的一部分。
本文在矩阵的逆的概念
和相关性质、
及其求逆矩阵的
基本方法的基础上，
归纳总结出几类特殊矩阵的逆
矩阵的求法。
1
逆矩阵的基本概念与判定、性质
1.1
逆矩阵的定义
定义
1
[1]
对于
n
级方
阵
A
，如果存在
n
级方阵
B
，使得
AB
?
BA
?
E
，则
称
A
是可逆矩阵（可逆的
），称
B
为
A
的逆矩阵并记为
A
-1
，即
A
-1
=
B
.
注
1
可逆矩阵
A
必为方阵，其逆必唯一，且
A
-1
与
A
为同阶方阵，即
A
A
?
1
?
A
?
1
A
?
E
.
1.2
可逆矩阵的判定
第
1
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14
页）
1
定理
1
[1]
设矩阵
A
为
n
阶可逆矩阵，矩阵
A
可逆的充要条件是存在
n
阶矩
阵
B
使得
AB
?
BA
?
E
.
定理
2
[1]
设矩阵
A
为
可逆矩阵，则以下几个命题是等价的：
(1)
矩阵
A
可逆；
(2)
矩阵
A
的行列式
A
?
0
；
(3)
矩阵的
A
伴随矩阵
A
*
可逆
；
(4)
矩阵的
A
伴随矩阵
A
*
< br>的行列式
A
*
?
0
；
定理
3
[1]
矩阵
A
可逆的充要条件是存在
n
阶矩阵
B
使得
AB
?
E
(
BA
?
E
).
定理
4
[1]
矩阵
A
可逆的充要条件是矩阵
A
为满秩矩阵
(
即
rank
(
A
)<
/p>
?
n
).
定理
5
[1]
矩阵
A
可逆
的充要条件是矩阵
A
与单位矩阵
E
等价
(
对矩阵
A<
/p>
施
行初等变换可以使矩阵
A
转化为单位矩阵
E
)
定理
6
[1]
矩阵
A
可逆的充要条件是以矩阵
A
为系数矩阵的齐次线性方程
组
AX
?
B
的解唯一
.
定理
7
[1]
矩阵
A
可逆
的充要条件是矩阵
A
可表示为一些初等矩阵的乘积
.
定理
8
[1]
矩阵
A
可逆的充要条件是矩阵
A
的特征值均不为
0.
1.3
可逆矩阵的性质
(1)
若
A
可逆，则<
/p>
A
?
1
也可逆且
?
A
?
1
?
?
A
；
?
1
(2)
若
A
可逆，则
A
也可逆且
?
A
T
T
?
?
1
?
?
A
?
1
T
?
;
?
1
(3)
若
A
可逆，数
?
?
0
，则
?
A
也可逆且
?
?
A
?
?
?
1
< br>1
?
A
-1
；
(4)
若
A
，
B
都可逆，则
AB
也可逆且
?
AB
?
?
B
?
1
A
?
1
< br>.
?
A
?
1
?
A
O
?
?
A
O
?
若
?
?
可逆，
?
O
B
?
?
?
O
B
?
?
?
< br>?
?
O
?
O
?
O
A
?
?
O
A
?
可逆，
?
若
?
?
?
1
?
?
B
O
?
B
O
?
?
?
?
?
< br>A
?
1
?
1
O
?
；
?
1
?
B
?
B
?
1
?
?
；
O
?
可推广为：若
A
1
,
A
2
,
?
,
A
n
均可逆，则
A
1
A
2
?
A
n
可逆且
?
A
1
A
2
?
A
n
?
-1
=
A
n
?
1
A
n
?
1
?
1
?
A
1
?
1
；
第
2
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14
页）
2
?
1
?
A
1
?
若
?
?
?
?
A
2
?
?
< br>A
1
?
?
?
可逆，
?
?
?
?
?
?
A
n
?
?
A
2
?
A
1
?
1
?
?
?
?
?
?
< br>?
?
?
?
?
A
n
?
?
?
A
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
?
< br>?
?
?
A
1
?
1
A
2
?
1
?
?
?
?
?
?
1
?
A
n
?
?
A
< br>k
?
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A
2
?
若
?
?
?
?
A
n
A
< br>1
?
?
?
?
A
2
?
可
逆
，
?
?
?<
/p>
?
?
?
?
?
A
n
?
1
A
2
?
1
(5)
若
A
可逆，则
A
?
1
?
A
；
< br>(6)
若
A
可逆，则
A
?
k
?
?
A
?
1
?
；
k
注
2
<
/p>
若
A
,
B
为同阶可逆矩阵，则
A
?
B
不一定可逆
.
?
1
1
?
?
< br>1
0
?
?
2
1
?
如
A
?
?
?
,
B
?
?
2
1
?
均可逆，但
A
+
B
?
?
4
2
?
不可逆
.
2
1
?
?
?
?
?
?
注
3
(
4)
的逆命题成立，
即若
AB
可逆，
则
A
,
B
也可逆
.
这是因为：
由于
AB
可逆，
AB
?
A
B
?
0,
有
A
?
0
且
B
?
0
,
所以
A
,
B
也可逆
.
2
逆矩阵的求法
2.1
定义法
< br>利用定义，当条件中有矩阵方程时，通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出
AB
?
E
(
或
BA
?
E
)
的形式，从而可得
A
?
1
?
B
.
这一方
法适用于抽象矩阵求逆
.
2.2
公式法
当
n
级方阵
A
可逆时，有
< br>A
?
1
?
?
A
11
?
A
*
A
?
?<
/p>
12
?
?
?
?
A
1
n
A
22
?
A
22
?
A
2
n
A
n
1
< br>?
?
A
n
2
?
?
?
?
?
?
?
A
nn
?
1
*
A
,(d
?
A
?
0)
.
其中
A
*
是
A
的伴随矩阵
.
d
其中
：
A
i
j
是
A
中元素
a
i
j
的代数余子式
.
2.3
初等变换法
第
3
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14
页）
3
设<
/p>
n
阶矩阵
A
，作
n
?
2
n
矩阵
?
A
,
I
n
?
，然后对此矩阵施以初等行变换
,
若把
子块
A
变为
I
n
,
则子块
I
n
将变为
A
?
1
.
?
1
即
?
A
,
< br>I
n
?
?
初等行变换
?
?
?
< br>?
?
?
I
n
,
A
?
?
?
A
?
n
?
2
n
同样也可以作
矩阵
?
?
，然后对此矩阵只施以初等列变换，
?
I
n
?
?<
/p>
A
?
?
I
?
即
?
?
?
初等列变换
?
?
?
?
?
n
?
1
?
I
?
n
?
?
A
?
2.4
高斯
-
约当法
由定义
A
?
1
A
?
I
，设<
/p>
Y
?
AX
（
Y
,
X
均为
n
维向量）
，则
X<
/p>
?
A
?
1
Y
，若将
Y
?
AX
改写成
X
?
BY
，则
A
?
1
?
B
。具体方法
如下：写出
Y
?
AX
< br>的矩阵形式
?
y
1
?
?
y
< br>?
a
?
2
?
?
11
?
.
?
?
a
21
?
?
=
?
?
.
?
?
...
?
.
?
?
?
a
n
1
?
?
?
< br>y
n
?
?
?
a
12
a
22
...
a
n
2
...
a
1
n
?
...
a
2
n
?
?
.
..
...
?
?
...
a
nn
?
?
x
1
?
?
x
?
?
2<
/p>
?
?
.
?
?
?
?
.
?
?
.
?
?
?
?
x
n
?
?
?
由矩阵乘法写成方程形式
?
y
1
?
a
11
x
1
?
a
12
x
2
?
?
?
a
1
n
x
n
?
y
?
a
x<
/p>
?
a
x
?
?
?
a
x
?
2
21
2
22
2
2
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y<
/p>
n
?
a
n
1
x
1
?
a
n
2
x
2
?
?
?
a
nn
x
n
经消元后将上式转化为如下形式
?
y
1
?
b
11
x
1
?
b
12
x
2
?
?
?
b
1
n
x
n
?
y
?
b
x
?
b
x
?
?
?
b
x
?<
/p>
2
21
2
22<
/p>
2
2
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y
n
?
b
n
1
x
1
?
b<
/p>
n
2
x
2
?
?
?
b
nn
x
n
即
X
?
BY
所以
A
?
1<
/p>
?
B
2.5
分块矩阵法
第
4
页（
共
14
页）
4
定理
1
[3]
矩阵
A
是一个满秩矩阵，若
A
中存在
r
(1
?
r
?
n
)
阶非零主子式，
则一定可以分解成一个下三角分块
矩阵与一个上三角分块矩阵的乘积
A
?
LU
，
并且
A
?
1
?
L
?<
/p>
1
U
?
1
对于零元素特别多的矩阵，
可以考虑用分块矩阵求逆，
A
、
B
为可逆矩阵，
则<
/p>
?
A
?
1
?
A
O
?
?
?
?
?
?
O
B
?
?
O
?
1
?
1
?
O
O
?
?
O
A
?
?<
/p>
,
?
?
?
?
1
?
B
?
1
?
?
B
O
?
?
A
?
1
?
1
B
?
1
?<
/p>
?
，
O
?
O
?
.
?
1
?
B
?
?
A
?
< br>1
?
A
?
1
CB
?
1
?
?
A
O
?<
/p>
?
A
?
1
?
A
C
?
?
?
，<
/p>
?
?
?
?
C
B
?
?
?
?
1
?
1
?
1
O
B
B
?
?
?
?
O
?
?<
/p>
?
?
B
CA
2.6
解线性方程组法
设
A
?
?
a
i
j
?
n
是非奇
异矩阵，且令
A
?
1
< br>?
X
?
?
x
i
j
?
n
.
因为
AA
?
1
?
AX<
/p>
?
E
，从
而由分
块矩阵性质可知，计算
A
?
1
的问题等价于求解下列
n
个线性方程组
.
?
x
11
?
?
1
?
?
x
12
?
?
0
?
?
x
1
n
?
?
0
?
?
x<
/p>
?
?
0
?
?
x
?
?
1
?
?
x
?
?
0
?
12
22
2
n
A
?
?
?
?
?
,
< br>A
?
?
?
?
?
,
?
,
A
?
?
?
?
?
，
?
?
?
?
?
?
?
?
< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
n
< br>1
?
?
0
?
?
x
n
2
?
?
0
?
?
x
nn
?
?
1
?
<
/p>
求解上述方程组即可求得
A
?
1
的
n
个列向量，
也就求得
A
?
1
.
由于这
n
个方程
组的系数矩阵相同，故可采用三角分解法进行计算以节省工作量
.
三角分解法：设有方程组
AX
=
b
，
并设
A
?
LU
，于是
AX
?
LUX
< br>?
b
，其中
< br>?
1
?
?
u
11
?
l
?
1
?
?
21
?
?
,
U
?
?
L
?
?
l
31
l
32
1
?
?
?
?
?
?
< br>1
?
?
?
?
?
?
l
n
1
l
n
2
?
?
1
?
?
令
UX
?
Y
则
LY<
/p>
?
b
u
12
u
22
?
u
1
n
?
?
u
2
n
?
?
,
?
?
?
?
u
nn
?
于是求解
AX
=
b
的问题等价于求解两
方程组
UX
?
Y
和
LY
?
b
3
特殊矩阵逆的求法
第
5
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共
14
页）
5
3.1
类型一
< br>?
0
?
0
?
A
?
?
?
?
?
0
?
?
a
n
a
1
0
?<
/p>
0
0
0
?
0
0
?
?
?
?
a
2
?
0
?
0
?
?
?
?
,
a
i
?
0<
/p>
?
i
?
1,2<
/p>
?
n
?
，求
A
-1
?
a
n
?
1
?
0
?
?
观察此题有比较明显的特点，
现将矩阵<
/p>
A
分块，
可根据分块矩阵逆矩阵性
质求矩阵的逆
.
分块如下：
< br>
?
a
1
0
?
0
?
?
0
a
?
0
?
2
?
,
C
?
a
B
?
?
n
.
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
a
n
?
1
?<
/p>
?
?
O
C
?
1
?
?
O
B
?
?
1
则由分块矩阵的结论可得：
A
?
?
?
?
?
?
?
1
C<
/p>
O
B
O
?
?
?
?
由可逆矩阵的
性质可知：
?
1
?
a
?
1
?
B
?
1
?
?<
/p>
0
?
?
?
?
?
0
0
1
a
2
?
0
?
?
0
?
?
?
1
?
0
?
,
C
?
1
?
a
n
?
?
?
?
?
?
0
?
?
1
把
< br>B
?
1
,
C
?
1
代入
?
?
0
?
?<
/p>
1
?
a
1
?
1
C
?
?
?
?
?
0
O
?
?
?
?
?
?
?
0
?
?
0<
/p>
0
1
a
2
?
0
?
?
?
?
?
0
0
0
?
1
a
n
?
1
1
?
a
n
?<
/p>
?
?
0
?
?
?
0
?
?
?
?
?
0
?
?
?
?
O
?
A
?
1
=
?<
/p>
?
1
?
B
第
6
页（
共
14
页）
6
可利用这个结论，在解决一些类似问题上可更加简便，如：
<
/p>
?
0
1
0
?
0
?
?
0
0
1
?
0
?
?
?
A
=
?
?
?
?
?
?
?<
/p>
,
求
A
-1
.
?
?
0
0
0
?
1
?
?
?
< br>?
1
0
0
?
0
?
?
则
可直接利用以上结论，可清楚的得知：
?
0
0
?
0
1
?
?
1
0<
/p>
?
0
0
?
?
?
-1
A
=
?
0
1
?
0
0
?
< br>
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
?
1
0
?
?
3.2
类型
2
3.2.1
已知：
n
?
?
1
2
3
?
?
n
1
2
?
n
?
1
?
?
?
< br>A
?
?
?
?
?
?
?
?
,
n
?
2,
<
/p>
求
A
?
1
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
3
n
?
1
?
?
观察矩阵
A
可发现此矩阵有一定的规律
，如用公式法或者定义法，则计算
肯定相对比较复杂。不妨从线性的角度来解答。
先设线性方程组
AX
?
?
.
其中
?
=
（<
/p>
b
1
,
b
2
?
b
n
)
?
，
?
x
1
?
2
x
2
?
3
x
3
?
?<
/p>
?
nx
n
?
b
1
?
nx
?
x
?
2
x
?
?
?
(
n
?
1)
< br>x
?
b
3
n
2
?
1
2
?
?
(
n
?
1)
x
1
?
nx
2
?
x
3
?
?
?
(
n
?
< br>2)
x
n
?
b
3
?
?
?
?
< br>?
?
?
?
2
x
1
?
3
x
2
?
4
x
3
?
?
?
x
n
?
b
n
将这
n
个方程相加，可得：
n
1<
/p>
n
(
n
?
1)(
x
1
?
x
2
?
x
3
?
?
?
x
n
)
?
?
b
j
2
j
?
1
第<
/p>
7
页（
共
14
页）
7
令<
/p>
y
?
x
1
?
x
2
?
x
3
?
?
?
x
n
由上式可得：
n
2
y
?
?
b
j
n
(
n<
/p>
?
1)
j
?
1
由第一个方程减去第二个方程得：
(1
?
n
)
x
1
?
x
2
?
x
3
?
?
?
x
n
?
b
1
?
b
2
由些得出
y
< br>?
nx
1
?
b
1
?
b
2
n
?
?<
/p>
1
1
?
?
2
b
j
?
?
b
1
?
b
2
?
从而
x
1
?
(
y
?
b
1
?
b
2
)
?
?
?
?
n
n
?
n
(
n
< br>?
1)
j
?
1
?
?
?
?
?
3
，
?<
/p>
，
n
?
1
)
类似的，从第
i
个方程减去第
i
?
1
< br>个方程
(
i
?
2
，
n
?
?
1
?
?
2
b
?
b
?<
/p>
b
可求出：
x
i
?
?
?
?
j
?
i
i
?
1
?
i
?
2,3,
?
,
n
?
1
.
n
?
?
?
n
(
n
?
1)
j
?
1
?
?
?
从
第
n
个方程减去第一个方程，可求出：
n
?
?
1
?
?
2
x
n
?
?
?
b
?
b
?
< br>b
?
j
?
n
1
?
此线性方程组的解即为矩阵
A
的逆
.
n
?
?
?
?
n
(
n
?
1)
j
?
1
?
?
记
S
=
2
分别令
?
为
?
1
，
?
2
，
?
3
，
?
，
?
n
得
n
(
n
?
1)
S
?
?
S
?
?
?
S
?
?
?
?
?
?
S
?
< br>1
?
?
?
?
S
?
1
S
?
1
S
?
S
S
?
1
S
?
1
?
1
A
-1
=
?
S
S
S
?
1
n
?
?
?
?
?
?<
/p>
S
?
S
?
1
S
由以上的解答，
我们可知，
这种类型的求矩阵逆利用线性方程组法比利用初等变
换法简单得多
.
3.2.1
已知：
1
1
?
1+
a
1<
/p>
?
1
1
?
a
1
2
?
1
1
?
a
3
A
=
?
1
?
?
?
?
?
?
< br>1
1
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1
?
?
?
?
?
1
?
1
?
?
1
?
,
其中
a
1
a
2
?
a
n
?
0,
求
A
< br>-1
.
?
?
?
1
?
a
n
?
?
先设线性方程组
AX
=
?
.
其中
?
< br>=(b
1
,b
2
,
?
,b
n
< br>)
?
令
y
?
x
1
?
x
2
?
?<
/p>
?
x
n
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