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第14章-受限被解释变量

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2021-03-01 12:15
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2021年3月1日发(作者:gucci是什么意思)





?

< p>
陈强


,


《高级计量经济学及



Stata


应用》课件,第二版,


2014


年,高等教育出版社。







14




受限被解释变量



被解释变量的取值范围有时受限制,称为“受限被解释变量”



(Limited Dependent Variable)





14.1












对线性模型


y


i



?



x


i


?


??


?



?


i


,假设只有满足


y


i



?



c


的数据才能观测到。





例:



y


i


为所有企业的销售收入,而统计局只收集规模以上企业



数据,比如


y


i


?



100,000


。被解释变量在



100,000


处存在“左边断尾”。





断尾随机变量的概率分布




随机变量



y


断尾后,其概率密度随之变化。







y


的概率密度为



f


(


y


)


,在



c


处左边断尾后的条件密度函数为






?



f


(


y


)




y


?



c


?


?


P(


y


?



c


)


,



f


(


y



|


y


?



c


)


?



??



?


?


0,




y


?



c


?



由于概率密度曲线下面积为



1


,故断尾变量的密度函数乘以因子



1




P(


y


?



c


)



2











14.1


断尾的效果




3




断尾分布的期望也发生变化。以左边断尾为例。





对于最简单情形,



y


~


N


(0, 1)


,可证明


(


参见附录


)








?



(


c


)



E(


y


|



y


?



c


)


??


1


?



?


(


c


)


对于任意实数



c

,定义“反米尔斯比率”


(Inverse


Mill’s



Ratio




简记



IMR)






?



(


c


)





?


(


c


)


??


1


?



?


(


c


)






E(


y


|


y


?



c


)


?


< /p>


?


(


c


)





4










14.2


反米尔斯比率




5
















y


~


N


(


?


,


?



)








z


?



y


?



?



?



?



z


。故





2


y


?



??


?


?


~


N


(0, 1)






E(


y


|



y


?



c


)


?


E(


??


?



?



z


|


??


?



?



z


?



c


)


?


E


?


?


?


?


?



?



z


z


?


(


c


?



?


)


?



?


?


?


?



?



?



?


?


E


?


?



z



z


?


(


c


?



?


)


?



?


?


?


?



?



?



?


?


?



?



?


(


c


?



?


)


?



?


?


?


?


?


2


2


?


?


对于 模型


y


?



x


?



?



?




?



|


x


~


N


(0,


?



)


,则


y


|


x


~


N


(


x


?



,


?



)


,故



i


i


i


i


i


i


i


i



E(


y


i


|


y


i



?



c


) < /p>


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x


i


?


?


?


?



?



?



?



?


(


c


??


x


i


?


?



)


?



?


?


?


?

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OLS






y


i


?



x


i


?


?



?



?


i














线







?



?



?



?


(


c


?



x


i


?


?



)


?



?


,与


x


i


相关,导致



OLS


不一致。




6






?


x




参见图



14.3

。总体回归线为


??


?



?



x


i < /p>


,而样本回归线为


?


?

< br>


?



?


i







y


i



a


+



b


x


i


?


?


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?


c


?


?


?



?


?


?



?


?


?


?


?


?


?



?


?


?



?


?


?



?


?


?


?


?


?


?



?


?


?


x


?



+



a


b


i


?< /p>


?


x


i







14.3


断尾回归示意图




7






使用



MLE


可得到一致估计。断尾前的概率密度:





?


2


?


?


?


?


?


1


?


1


?



y


?



x


??



?


?


1


?



y


?



x


?


?



?


?


f


(


y


i


)


? ?


exp


?


??



i


i


?


?




i


i


?


?


?



?


?



?


?


2


?


?



2



?


?



2


?



?


?


?



?


?



?



?



?



??


?< /p>


样本被观测到的概率:




8




P(


y


i



?



c


|


x


i


)


?



1


?


P(


y


i



?



c


|


x


i


)


?


?



1


?


P


?


y


i


? ?


x


i


?


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c


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x


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??


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i


?



x


i


?


?


??


?



?


?


?



??


?



?


i


?


?



1


?


P


?



c


?



x


?


??


x


?


i


i


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?


??


?


?


?


?


??


??


?


c


?



?



1


?



?


?


x


i


?


?



?


?


?



?



??


?



??


?


断尾后的条件密度:



?


1


?



?


(


i


y


?



x


?


?


i


?


?



)


?



f


(


y


|


y


?



c


,


x


)


?



?




?


i


i


i


1


?



?


?


(


c < /p>


??


x


i


?


?



)


?



?


?



9 < /p>


?


?


?


14.2


零断尾泊松回归与负二项回归



计数数据有时仅包括正整数,不包括取值为



0


的观测值,称为


“零断尾”


(zero-truncated)





例:在商场发放问卷调查,研究消费者每周去商场的次数。




例:在公交车上发放问卷调查,研究乘车者每周坐公交的次数 。


如果不对似然函数进行调整,将得不到一致估计。





f


(


y


)




y


的概率函数,而


F


(


y


)


?


P(


Y


?



y


)




cdf


。如果存在零



断尾,则断尾后的概率函数为




10









f


(


y



|


y


?


1)


??


f


(


y


)


,



y


?



1, 2,


??


1


?



F


(0)


如果



y


服从泊松分布,则




f


(


y


|


y


?



1)


??


?


?


,


y


?



1, 2,


??


y


!(1


?



e



)



?


?< /p>


e


?


?


?



y


进行



MLE


估计,得到“零断尾泊松回归”


(zero- truncated Poisson


regression)


。如果



y


服从负二项分布


(NB1




NB2)


,可进行“零断


尾负二项回归”


(zero- truncated negative binomial regression)





14.3


随机前沿模型


(

< p>
选读


)


11






14.4


偶然断尾与样本选择




被解释变量


y


i


的断尾有时与另一变量


z


i


有关,称为“偶然断尾”



(incidental truncation)


或“样本选择”


(sample se lection)




z


i


为选择变量。





在美国的亚裔移民给人的整体印象是聪明能干。但在美国



的亚裔并非亚洲人口的代表性样本。通常只有受过高等教育或具


有吃 苦冒险精神的亚裔才会“自我选择”


(self selection)


移民。




决定移民与否的变量便对被解释变量产生了断尾作用,故“样


本选择 ”将导致“选择性偏差”


(selection bias)





12






妇女劳动力供给模型:




劳动时间方程



hours


?



?


0



?



?


1


wage


?



?


2


children


?



?


3


marriage


?



u



工资方程



w



?


w



?



?


?


?



?



age


?



?



education


?



?



children


?



??


location


?



v


0


1


2


3


0


o


r




w


o


表示



offered wage



w


r



表示



reservation wage





如果


w



?


w



?


0


,则选择不工作,无法观测到劳 动时间


(hours)




造成劳动时间方程的偶然断尾与样本选择问题。



o


r



13

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