-
第
1
章
受限因变量模型
这一章讨论响应变量
仅仅被部分观测到的情况。引入被部分观测到的潜在随机变量
y
*
，
y
*
的实
际
观测变量为
y
i
。引入二元指示变量
D
i
，如果<
/p>
a
i
< y
*<
/p>
D <
br>*
i
，
D
i
= 1
；否则，
D
i
= 0
。即
i
表示变量
y
是否可
以被观测得到。
（
a
i
, b
i
）称为观测区间。如果对于
D
i
= 1
和
D
i
=
0
都有实际观测数据，当
D
i
= 1
时，
潜在变量与实际观测变量相等，当
D
i
= 0
时，实际观测变量同样有取值，但不等于潜在变量，这时称
数据被归并（
censored
）
，即小于
a
i
的数据被归并为
a
i
，而大于
b
i
的数据被归并为
b
i
。用数
学符号表示
为：
?
< br>a
i
,
????
如果
y
i
*
< br>?
a
i
?
y
i
?
?
y
i
*
,
???
?
如果
a
i
?
y
i
*
?
b
i
。
（
1
）
?
*
b
,
????
如果
y
?
b
i
i
i
?
如果只有当
D
i
= 1
时实际观测变量
y
i
才有观测数据，即：当
D
i
= 1
时，潜在变量与实际观测变量
相等，而当
D
i
= 0
时，
y
i
没有观测值，这时
称数据被截断（
truncated
）
，即小于
a
i
的数据和大于
a
i
的数
据被截断了。因
此截断数据与归并数据的区别在于，对于观测区间外的数据，归并数据将将其都归并
为一
点，而截断数据没有观测值。
将潜在随机变量
y
*
的基本模型设定为：
<
/p>
y
i
*
?
?
i
?
?
v
i
。
（
2
）
其中
?
i
为位置参
数，
?
为刻度参数；
v
i
为独立于
x
i
的连续随机扰动项，均值为
0
，方差为
1
，其分布函
数、密度函数分别为
< br>F
、
f
。在这些假定条件下，
y
i
的均值为
?
i
，方差为
?
，分布函数为
F
(
< br>概率密度函数为
f
(
*
2
y
i
*
?
?
i
?
< br>)
，
y
i
*
?
?
i
?
)
/
?
（证明
请参见附录
1
）
。
a
i
<
y
i
*
<
b
i
等价于
c
i
?
a
i
?
?
i
?
?
v
i
?
b
i
?
?
< br>i
?
?
d
i
，
那么
y
i
*
被观测到的概率为：
Pr(
a
i
?
y
i
*
?
b
i
)
?
Pr(
D
i
?
1)
?
F
(
d
i
)
?
F
(
c
i
)
（
3
）
下面对截断数据模型和归并数据模型分别进行介绍
1.1
截断数据模型
如果样本数据是从总体
的一部分抽取得到，我们把这类数据称为截断数据。比如，研究高收入阶
层（月收入
x
?
1000
0
）的消费与收入的关系，所采集的数据只是位于收入总体分布的一个区间里。
假设所有居民的收入服从正态分布，那么高收入阶层的收入只是在
x
?
10000
的区间里观测得到的。
下面介绍截断数据的分布特征和模型估计。
1
1.1.1
截断数据的分布特征
如前面所述，截
断数据只包括
D
i
= 1
情况下的数据。截断分布是指变量高于（低于）某个设定值
的未截断部分的
分布。如果变量只有在高于某一门限值
a
时才被观测到（
x
>
a
）
，称之为从下面截断
（
truncation
from
below
）或者是从左边截断（
truncation
from left
）
；如果变量只有在低于某一门限值
b
时才被观测到（
x
<
b
）
，称
之为从上面截断（
truncation from
above
）或者是从右边截断
(truncation
from
right)
。如图所示。
.5
.5
.4
.4
.3
.3
.2
.2
.1
.1
.0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
.0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
图一
截断分布图（上面截断（左图）
、下面截断（右图）
< br>）
下面分析截断数据的分布函数、密度函数、均值和方差。
1
．
截断变量的分布函数和密度函数
给定
模型（
1
）及相应的观测概率（
2
）
，那么第
i
个观
测变量
y
i
的条件分布函数为（证明请
参见
附录
2
）
：
?
0,
?
??????????????????????????????????????????
< br>如果
y
i
*
?
a
i
?
?
F
?
(
y<
/p>
i
?
?
i
)
/
?
?
?
F
?
c
i
?
F
y
(
y
i
)
?
?
,
????
如果
a
i
?
y
i
*
?
b<
/p>
i
（
4
）
F
?
d
i
?
?
F
?
c
i
?
?
< br>?
1,
??????????????????????
?????????????????????
如果
y
*
?
b
i
i
?
（注：此处及后面的
a
i
,
b
i
,
c
i
,
d
i
的定义均与前面相同）
密度函数为：
?
1
f
?
(
< br>y
i
?
?
i
)
/
?
?
,
????
如果
a
i
?
y
i
*
?
b
i
?
（
5
）
f
y
(
y
i
)
?
?
?
F
?
d
< br>i
?
?
F
?
c
i
?
?
0,
??????????????????????????
??????
其他
?
从截断数据的密度
函数（
4
）式我们可以推出从下面截断或从上面截断的各种不同
分布的变量的
密度函数。读者可以参阅下面介绍的几个例子。
例
1
截断均匀分布的密度函数和分布函数
如果
x
*
在区间
[
a
，
b
]
上服从均匀分布（
uniform
distribution
）
，那么
f
(
x
)
?
1
,
b
?
a
F
(
x
)
?
x
< br>?
a
???
(
< br>a
?
x
?
b
)
，
（
6
）
b
?
a
如果在
x
*
=
c
处截断，即实际观测值
x
=
x
*
，如果
x
*
?
c
；
x
= <
/p>
c
，如果
x
*<
/p>
<
c
。
这是左截断的例子，即右截断点
=
b
。根据（
5
）式，在
x
=
c
处截断的随机变量
x
的截断分布的密
2
度函数为：
f
(
x
*
)
f
(
x
*
)
1/(
b
?
a
)
1
（
7
）
f
(
x
)
?
?
?
?
P
(
D
i
< br>?
1)
F
(
b
)
?
F
(
c
)
1
?<
/p>
(
c
?
a
)
/(
b
?
a
)
b
?
c
分布函数为：
F
(
x
)
?
F
(
x
)
?
F
(
c
)
(
x
?
a
)
/(
b
?
a
)
?
(
c
?
a
)
/(
b
?
a
)
x
?
c
?
?
（
8
）
Pr(
D
i
?
1)
1
?
(
c
?
a
)
/(
b
?
a
)
b
?
c
< br>例
2
截断正态分布的密度函数
模型设定为：
y
i
*
?
?
i
?
?
v
i<
/p>
，
y
i
=
y
i
*
，如果
a
i
?
y
i
*
?
b
i
（
9
）
y
i
=
a
i
，如果
y
i
*
?
a
i
y
i
=
b
i
，如果
y
i
*
?
b
i
其中
v
i
~
N
(0,
1)
。即
y
i
*
~
N
(
?
i
,
?
2
)
，其中
?
i
、
?
分布表示
y
i
的均值和标准差。以
?
、
?
分别表示标准
正态分布密度函数
和分布函数。那么：
Pr(
a
i
?
y
i
?
b
i
)
?
Pr(
a
i
?
?
i
?
?
?
b
?
?
i
a
?
?<
/p>
i
???????????????????????
?
(
i
)
?
?
(
i
)
?
?
????????????
?????????????
(
d
i<
/p>
)
?
?
(
c
i
)
?
y
i
?
?
i
?
b
i
?
?
i
)
（
10
）
<
/p>
其中，
d
i
?<
/p>
b
i
?
?
i
?
,
??
c
i
?
a
i
?
?
i
< br>?
??
。
根据截断正态分布的密度函数公式：
?
1
f
?
(<
/p>
y
i
?
?
i
)
/
?
?
,
????
如果
a
i
?
y
i
*
?
b
i
?
f
y
(
y
i
)
?
?
?
F
?
d
i
?
< br>?
F
?
c
i
?
?
0,
????????????????????????????????
其他
?
可直接得到
a
i
?
y
i
*
?
b
i
时
y
i
的密度函数：
1
f
y
(
y
i
)
?
< br>?
?
(
y
i
?
?
i
?
)
?
(
d
i
)
?
?
(
c
i
)
y
i
?
?
< br>i
?
?
(
)
?
1
?
?
??????
if
???
a
?
?
?
（
11
）
<
/p>
?
i
?
?
?
(
d
i
)
????????????
?
< br>?
y
?
?
i
?
?
(
i
)
?
1
?
???????
if
???
b
?
?
??
< br>i
?
?
1
?
?
(
c
)
i
?
根据截断正态分布的分布函数公式
：
3
?
0,
??????????????????????????
?????????????????
如果
y
< br>i
*
?
a
i
?
?
F
?
(
y
i
?
?
i
)
/
?
?
?
F
?
c
i
?
< br>F
y
(
y
i
)
?
?
,
????
如果
a
i
?
y
i
*
?
b
i
F
?
d
i
?
?
F
?
c
i
?
?
< br>?
1,
??????????????????????
?????????????????????
如果
y
*
?
b
i
i
?
可直接得到
a
i
?
y
i
*
?
b
i
< br>时
y
i
的分布函数：
?
(
F
y
(
y
i
)
?
y
i
?
?
i
?
)<
/p>
?
?
(
a
i
)
?
(
?
y
i
?
?
i
?
)
?
?
(
c
i
)
?
(
d<
/p>
i
)
?
?
(
c
i
)
?
(
d
i
)
?
?
(
c
i
)
?
y
i
?
?
i<
/p>
?
?
(
?
)
（
12
）
<
/p>
?????????????????????
if
???
a
?
?
?
?
i
?
< br>?
(
d
i
)
?????????????
?
?
y
?
?
i
?
?
(
i
)
?
?
(
c
i
)
?
< br>?
?????????
if
??
?
b
i
?
?<
/p>
?
?
1
?
?
(
c
i
)
?
图二
截断正态分布变量的累积分布函数图
（设潜变量
y
*
~
N
(0, 1)
，图中虚线表示标准正态分布函数，实线表
示截断正态分布函数，截断点为
-1
、
1
）
2
．
截断变量的均值和方差
截断随机变量
的均值和方差称之为截断均值（
truncated
mean
）和截断方差（
truncated varianc
e
）
，
由下面的（
5
）
、
（
6
）式可以推出各种不同截断分布的均值和方差。给定模型（
9
）
，
y
i
的均值为：
E
[
y
i
]
?
?
i
?
??
i
（
13
）
其中，
?
i
?
E
[
v
i
|c
i
?
v
i
?
d
i
]
?
?
v
c
i
d
i
f
(
v
)
dv
F
(
d
i
)
?
F
(
c
i
)
y
i
< br>的方差为：
Var
[
y
i
|
D
i
?
1]
?
?
2
Var
[
v
i
|
c
i
?
v
i
?
d
i
]
（
14
）
<
/p>
其中，
Var
[
v
i
|c
i
?
v
i
?
d
i
]
?
?
v
2
c
i
d
i
f
(
< br>v
)
dv
?
?
i
2
。
F
(
d
i
)
?
F
(
c
i
)
（证明请参见附
录
3
）
。
<
/p>
例
3
：均匀分布的截断均值和截断方差<
/p>
给定模型（
6
）
，截断变量
x
的均值和方差分别为：
4
E<
/p>
(
x
)
?
?
xf
(
x
|
x
?
c
)
dx
?
?
x
c
c
b
c
b
b
1
1
dx
?
(
b
?
c
)
b
?
c
2
（
15
）
<
/p>
Var
(
x
)<
/p>
?
?
[
x
?
E
(
x
|
x
?
c
)]
2
f
(
< br>x
|
x
?
c
)
dx
1
1
????????????
?
[
x
?
(
b
?
c
)]
2
dx
c
2
b
?
c
1
?????????
???
[
b
2
?
c
2
?
(<
/p>
c
?
a
)(
b
?
c
)
2
]
2
b
例
4
：正态分布的截断均值和截断方差
给定模型（
9
）
，那么
y
i
的均值和方
差分别为：
E
[
y
i
]
?
?
i
?
??
i
（
16
）
<
/p>
其中，
?
i
?<
/p>
E
[
v
i
|
c
i
?
v
i
?
d
i
]
?
?
y
i
的方差为：
?
(
d
i
)
?
?
(
c
i
)
?
(<
/p>
d
i
)
?
?
(
c
i
)
Var
[
y
i
|
D
i
?
1]
?
?
2
Var
[
v
i
|
c
i
?
v
i
?
d
i
]
（
17
）
<
/p>
其中，
Var
[
v
i
|c
i
?
v
i
?
d
i
]
?
1
?
d
i
?
(
d
i
)
< br>?
c
i
?
(
c
i
)
?
(
d
i
)
?
?
(
c
i
)
2
?
[
]
。
< br>?
(
d
i
)
?
?
(
c
i
)
?
(
d
i
)
?
?
(
c
i
)
其中，
?
、
?
分别表示正态分布的密度函数和分布函数。
（
1
）
如果
c
i
<
/p>
?
-
?
，即数据
只是在右边截断，这时
?
(
c
i
) =
0
、
?
(
c
i
) =
0
，因此：
?
i
?
E
[
v
i
|v
i
?<
/p>
d
i
]
?
?
?
(
d
i
)
?
(
d
i
)
?
?
(
d
i
)
<0
（
17a
）
Var
[
v
i
|v
i
?
d<
/p>
i
]
?
1
?
d
i
?
(
d
i
)-
?
(
d
i
< br>)
2
（
17b
）
（
2
）
如果
d
i
<
/p>
?
+
?
，即数据
只是在左边截断，这时
?
(
d
i
) =
0
、
?
(
d
i
) =
1
，因此：
?
i
?
E
[
v
i
|v
i
?<
/p>
c
i
]
?
?
(
c
i
)
1
?
?
(
c
i
)
?
?
(
c
i
)
>0
（
18a
）
Var
[
v
i
|v
i
?
c<
/p>
i
]
?
1
?
c
i
?
(
c
i
)-
?
(
c
i
< br>)
2
（
18b
）
（
17a
）式中
?
(
d
i
)
=-
?
(
d
i
)
?
(
d
i
)
称之为
Inv
erse Mills Ratio
，将（
18a
）式中
?
(
c
i
)=
?
(
c
i
)
1
?
?
(
c
i
)
称之为风险
函数（
Hazard
Function
）
。
结论
1
<
/p>
E
(
y
|
y
?
b
)
?
E
(
y
)
?
E
(
y
|
y
?
a
)
。即，如果变量为从上面截断，则截断变量的均值小于初始
变量的均值；如果变量为从下面截断，则截断变量的均值大于初始变量的均值。
结论
2
截断变量的方差低于初始变量的方差。
5
图三
截断分布的均值（左图）
、方差（右图）
(
假定潜在变量
y
~
N
(2,
2)
)
*
1.1.2
截断回归模型估计
下面以左截断模型为例说明截断回归模型的估计。
设回归模型为：
y
i
?<
/p>
x
i
β
?
?
v
i
(19)
其中，
v
< br>i
~
N
(0, 1)
。那么，
y
i
~
N
(
x
i
β
,
?
2
< br>)
。根据例
4
，我们可以得到截
断随机变量
y
i
的均值和方差。
E
[
y
i
|
y
i
?
a
]
?
E
[
y
i
|
v
i
?
?<
/p>
i
]
?
x
i
β
?
?
其中，
?
i
?
?
(
?
i
)
?
x
i
β
?
??
(
?
i
)
(20)
1
?
?
(
?
i
)
a
-
x
i
β
?
，
?
(
?
i
)
?
?
< br>(
?
i
)/[1
?
?
(
?
i
)]
Var
< br>[
y
i
|
y
i
?
a
]
?
1
?
?
i
?
(
?
i
)
?
?
(
?
i
)
< br>2
?
1
?
?
(
?
i
)
（
21
）
<
/p>
其中，
?
(
?<
/p>
i
)
?
?
(
?
i
)[
?
(
?
i
)
?
?
i
< br>]
由
（
20
）
式可以看出，
截断均值为
?
和
x
i
的非线性函数。
同一般的非线性模型一样，<
/p>
变量
x
k
对
y
的
边际影响不等于其系数：
?
E
[
y
|
y
?
a
< br>]
d
?
(
?
)
?
?
?
β
?
?
?
x
d
?
?
x
?
?
β
?
??????????????????????????
β
?
?
?
?
(
?
)
2
?
??
(
?
)
?
?
?
（
22
）
<
/p>
?
?
?
????
?????????????????????
β
[1
?
?
(
?
)]
因为
0
?
?
(
?
i
< br>)
?
1
，所以变量
x
k
对
y
< br>的边际影响要小于其系数。
y
i
的方差也存在类似的缩减
（
attenuation
）
：
Var
(
y
i
|
y
i
?
a
)
?
?
2
[1
?
?
(
?
i
)]
?
?<
/p>
2
（
23
）
注：
对于
y
i
<
b
的情况，可以得到相同的结论。
下面分析截断模型中参数的最小二乘估计和极大似然估计。
1
．
OLS
估计
根据
E
[
y
i
|
y
i
?
a
]
?
x
i
β
?
??
(
?
i
)
，截断模型可以写为：
y
i
?
E
[
y
i
|
y
i
?
a
]
?
?
v
i
??????
x
i
β
?
??
i
?
u
i
（
24
）
6
其中，
u
i
=
?
v
i<
/p>
为
y
i
减去其条
件期望，
E(
u
i
)=0
。
如果以最小二乘法估计
（
19
）式，就忽略了非线性项
?
i
，因此
OLS
估
计量是有偏的。
另外，
y
i
|
y
i
>
a
的方差与
u
i
的方差相同，由
Var
(
y
i
|
y
i
?
a
)
?
?
2
[1
?
?
(
?
i
)]
可知，
y
i
存在异方差，为：
Va
r
[
y
i
]<
/p>
?
Var
[
u<
/p>
i
]
?
?
2
Var
[
v
i
|
v
i
?
?
i
]
?????????????
?
2
(1
?
?
i
2
?
??
i
i
)
??????????????
?
2
(1
?
?<
/p>
(
?
i
))
它是
x
i
的函数。
2
．
ML
估计
对
于模型（
19
）
，由截断随机变量的概
率密度函数可得
y
i
的密度函数为，<
/p>
（
25
）
<
/p>
f
y
(
y
i
)
?
?
(
1
y
i
?
x
i
β
?
)
，
（
26
）
<
/p>
?
1
?
?
(
?
i
)
可以得到
y
i
的对数似然
函数：
a
-
x
i
β
1
1<
/p>
LogL
i
?
?
[log(2
?
)
?
log
?
2
]
?
2
(
y
i
?
x
i<
/p>
β
)
2
?
log[1
?
?
(<
/p>
)]
（
27
）
<
/p>
2
2
?
?
对于
N
个观测值
(<
/p>
y
1
,
…
,
y
N<
/p>
)
，其联合对数似然函数为：
N
1
LogL
i
?
?
[log(2
?
)
?
log
?
2
]
?
2
2
?
2
?
(
y
i
?
x
i
β
)
< br>?
?
log[1
?
?
(
2
i
< br>?
1
i
?
1
N
N
a
-
x
i
β
?
)]
（
28
）
<
/p>
通过最优化方法可以解得上式的参数
?
和
?
的值。
1.2
归并数据模型
计量经济学当中经常能
碰到数据的归并问题，
简单地说，
归并数据即是被解释变量在某
个区间的
观测值都转化为同一个值。比如，研究电影院的座位需求情况，电影院总的座位
是
20000
个。如果实
际的需求量少
于
20000
，
那么观测到的需求量就
等于实际需求量；
但如果实际需求量大于
（等于）
20000
，
那么实际可观测到的需求数量只能为<
/p>
20000
。这时我们说需求量数据被归并，即所有大于
20000
的数
据都被归并为
< br>20000
。
格林（
Greene
，
2000
）列举了经验文献中归并数据的应用。其中包括：
1
，
家庭耐用品消费支出
[Tobin(1958)]
2
，
婚外情次数
[Fair(1977,1978)]
3
，
劳动力市场中妇女工作的小时数
[Quester and
Greene(1982)]
4
，
罪犯重新入狱的次数
[White(1980)]
等。
下面分别介绍归并数据的分布特征和模型估计。
1.2.1
归并数据的分布特征
如前所述，归并数据与截断数据的区别在于，归并变量包含
D
i
=
1
和
D
i
= 0
两种情况下的数据。
7
?
a
i<
/p>
,
????
如果
y
i
*
?
a<
/p>
i
?
y
i
?
?
y
i
*
,
????
如果
a
i
?
y
i
*
?
b
i
（
29
）
<
/p>
?
*
?
b
i
,
????
如果<
/p>
y
i
?
b
i
或者写作：
y
i<
/p>
?
max[
a
i
,min(
y
i
*
,
b
i
)
]
。即当
y
i
*
?
a
i
时，
所有值被归并为
a
i
；当
y
i
*
?
< br>b
i
时，所有值被归
并为
b
i
。
归并数据按照归并点
a
i
,
b
i
是随机的还是确定的分为固定
归并（
fixed
censoring
）和随机归并
（
random censoring
）两种。如果
a
i
,
b
i
是确定性的，我们称之为固定归并
；如果
a
i
,
b
i
是随机的，我们
称之为随机归并
。本章只介绍固定归并的情况。
归并数据按照归并点与观测区
间的关系还可以分为左边归并和右边归并。如果：
*
?
?
a
i
,
????
如果
y
i
?
a
i
y
i
?
?
< br>*
*
y
,
????
如果
y
< br>?
a
?
i
i
?
i
称潜在变量
< br>y
*
被从下面归并（
censo
red below
）或者从左边归并（
censored
from left
）
；
如果：
*
?
?
b
i
,
????
如果
y
i
?
b
i
y
i
?
?
*
*
y
,
????
如果
y
?
b
?
i
i
?
i
称潜在变量
y
*
被从上面归并（
censored
above
）或者从左边归并（
censored from
right
）
。
图
归并变量示意图
1
．归并变量的分布函数和密度函数
给定基本模型（
1
）的假定，
y
i
的分布函数为：
?
0
???????????????
???????????
如果
y
i
?
a
i
?
F
y
(
y
i
)
?
?
< br>F
((
y
i
-
?
i
)
/
?
)
???
如果
?
a
i
?
y
i
?
b
i
（
30
）
<
/p>
?
?
1
????
?????????????????????????????
如果
< br>y
i
?
b
i
??
归并变量的分布函数为一种混合分布（连续型和离散型
综合在一起）
。在
y
i
=
a
i
和<
/p>
y
i
=
b<
/p>
i
两点的概
率分别为
P
(
y
i
?
a
i
)
?<
/p>
P
(
y
i
*
?
a
i
)
?
F
((
a
i
-
?
< br>i
)/
?
)
< br>和
P
(
y
i
?
b
i
)
?
P
(
y
i
*
?
b
i
)
?
1
?
F
((
b
i
-
?
i
)/
?
)
，
因此对
于同一个潜在变量，其归并变量和截断变量的分布函数不相同，在观测区间内，
归并分布同潜在变量
的分布重叠在一起。
8