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双曲函数
百科名片
双曲函数
在数学中，双曲函数类似于常见的
（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦
“sinh”，
< br>双曲余弦“cosh”，
从它们导出双曲正切“tanh”等。
< br>也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“ar
csinh”或“asinh”）以次类推
目录
双曲函数的作用
定义
实变双曲函数图像的基本性质
复变中的双曲函数
?
双曲函数与三角函数的关系
恒等式
反双曲函数
双曲函数与反双曲函数的导数
双曲函数的作用
定义
实变双曲函数图像的基本性质
复变中的双曲函数
?
双曲函数与三角函数的关系
恒等式
反双曲函数
双曲函数与反双曲函数的导数
?
双曲函数与反双曲函数的不定积分
?
双曲函数与反双曲函数的级数表示
?
实际应用
?
参考文献
展开
编辑本段
双曲函数的作用
双曲函数（
hyperbolic function
）可借助
指数函数
定义
Sinh_cosh_tanh
双曲正弦
sh z
＝
(e^z-e^(-z))/2
（
1
）
双曲余弦
ch z
＝
(e^z+e^(-z))/2
（
2
）
双曲正切
th
z
＝
sh z /ch z
＝
(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z))
（
3
）
双曲余切
cth z
＝
ch z/sh
z
＝
(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z))
（
4
）
双曲正割
sech z
＝
1/ch z
（
5
）
双曲
余割
csch z
＝
1/sh z
（
6
）
其中，指数函数（
exponential
Csch_sech_coth
function
）可由无穷级数定义
e^
z
＝
1
＋
z/
1
！＋
z^2/2
！＋
z^3/3
！＋
z^4/4
！
＋?＋
z^n/n
！＋?
（
7
）
双曲函数的
反函数
< br>（
inverse
hyperbolic
function
）分别记为
ar
sh
z
、
ar
ch
z
、
ar th
z
等。
编辑本段
定义
在数学中，双曲函数类似于常见的
三角函数
（也叫圆函数）。基本双曲函数是双
< br>曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三
角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asin
h”）
以此类推。
因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，
譬如说定义悬链线和拉普
拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲
角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数
函数的有理函数，并因此是完整的。
射线出原点交双曲线
x2
?
y2
=
1
于点
(cosh
a,sinh
a)
，这里的
a
被称为双曲角，
是这条射线、它关于
x
轴的镜像和双曲线之间的面积。定义
双曲函数（
Hyperbolic
Function
）包括下列六种函数：
sinh /
双曲正弦：
sinh(x) = [e^x -
e^(-x)] / 2
cosh /
双曲余弦：
cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2
tanh /
双曲正切：
tanh(x) = sinh(x) /
cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x +
e^(-x)]
coth /
双曲余切：
coth(x) = cosh(x) /
sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x)
-
e^(-x)]
sech /
双曲正割：
sech(x) = 1 / cosh(x)
= 2 / [e^x + e^(-x)]
csch /
双曲余割：
csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]
其中，
e
是
自然对数的底
e≈2.71828 18284 59045...=
1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+
1/n! +...
e^x
表示
e
的
x
次幂
,
展开成无穷幂级数是
:
e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! +
x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +...
如同点
(cost,sint)
定义一个圆，点
(cosh t,
sinh t)
定义了右半直角
双曲
线
x^2
?
y^2 =
1
。这基于了很容易验证的恒等式
cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1
和性质
t > 0
对于所有的
t
。
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