-
第二章
解析函数
（
Analytic
function
）
第一讲
授课题目：
< br>§
2.1
解析函数的概念
§
2.2
解析函数与调和函数的关系
教学内容：
复变函数的导数、解析函数的概
念与求导法则、函数解析的
充分必要条件、调和函数的概念、共轭调和函数、解析函数<
/p>
与调和函数的关系
.
< br>学时安排：
2
学时
教学目标：
1
、切实理解掌握解析函数的概念
2
、掌握函数解析的充分必要条件，判断
函数的解析性
3
、了解复变函数导数的定义
教学重点：
函数解析的充分必要条件
教学难点：
解析函数与调和函数的关系
教学方式：
多媒体与板书相结合
作业布置：
P
51
思考题：
1
、
2
、习题二：
1-12
板书设计：
一、解析函数的概念
二、函数解析的充分必要条件
三、解析函数与调和函数的关系
参考
资料：
1
、
《复变函数》
，西交大高等数学教研室，高等教育出
版社
.
2
、
《复变函数与积分变换学习辅导与习题
全解》
，
高等
教育出版
.
3
、
《复变函数论》
，
（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）
2005
年
5
月
.
4
、
《复变函数与积分变换》<
/p>
苏变萍
陈东立编，
高等教
育出版社，
2008
年
4
月
.
课后记事：
1
、解析函数的概念基本掌握
2
、函数解析的充分必要条件掌握不太好<
/p>
3
、已知调和函数，求作解析函数的方
法不灵活
4
、加强课后辅导
教学过程：
§
2.1
解析函数的概念
(
The conception of analytic
function
)
一、复变函数的导数（
Derivative of
complex function
）
定义（
Definition
）
2.
1
设
w
?<
/p>
f
(
z
)
是在
z
0
的某邻域内
有定
义，对于邻域内任一点
z
0
?
?
z
.
如果
?
z
?
0
lim
f
(
z
o
?
< br>?
z
)
?
f
(
z
0
)
?
z
存在有
限的极限值复数
A
，则称
f
(
z
)
在
z
0
处可导，极限
A
称为
f
(
z
)
在
z
0
处的导数，记作
f
'
(
z
0
)
，或
dw
dz
.
即
z
?
z
0
f
'
(
z
0
)
?
lim
?
z
?
0
f
(
< br>z
0
?
?
z
)
?
f
(
z
0
)
?
z
由此可得
?<
/p>
w
?
f
'
(
z
0
)
?
z
?
o
(|
?
z
|)
(
?
z
?
0)
称
< br>f
'
(
z
0
)
?
z
为
函数
f
(
z
)
在
z
0
处的微
分，也称函数
f
?
z
< br>?
在
z
0
处可微。
记作
df
?
z
0
?
< br>?
f
?
?
z
0
?
dz
说明：
（
1
）
?
z
?
0<
/p>
是按任意方式趋于零；
（
2
）
f
?
< br>z
?
在
z
0
可导与
f
?
z
?
在
z
0
可微等价
;
(
3
)
若
f<
/p>
?
z
?
在
z
0
处可导，则
f<
/p>
?
z
?
在
z
0
处连续
;
?
w
(
4
)
当
?
z
?
0
时，
的极限不存在，称
f
?
z
?
在
z
0
不可导
.
?
z
若
w
?
f
(
z
)
是在点
z
0
连续，但
w
?
f
(
< br>z
)
在点
z
0
不一定可导
.
并且在复变函数中处处连续但又处处不可微的函数很多
.
例
1
设
f
(
z
)
?
Re
z
.
证明：
f
(
z
)
在
z
平面上处处连续
，
但处
处不可导
.
< br>证明
对于复平面上任意一点
z
,
?
f
Re(
z
?
?
z
)
?
Re(
z
)
x
?
?
x
?
x
?
x
?
?
?
< br>?
z
?
z
?
x
?
i
?
y
?
x
?
i
?
y
当
?
z
取实数趋于
0
时
,
?
f
?
z
?
1
;
?
?
f
< br>?
lim
?
?
< br>z
?
0
不存在
< br>.
?
z
当
?
z
取纯虚数趋于
0
时
,
?
f
?
z
?
0
;
?
即
f<
/p>
?
z
?
在
z
不可导，由于
z
的
任意性，
f
?
z
?
在复平面上任何点都不
可导
.
学生课堂练习：
f
(
z
)
?
z
在
z
平面上处处连续，但处处不可导<
/p>
.
二、
解析函数的概念与求导法则（
Resolution and
report
the concept of function to
laws
）
1
、解析函数的概念（
Analytic function
concept
）
定义（
Definition
）
2.2
如果
f
(
z
)
在
z
0
及
z
0
的某个邻域内
处处可导，则称
f
(
z
)
在
z
0
处解析
.
如果
f
(
z
)
在区域
D
内处处解析，则我们称
f
(
z
)
在
D
内
解析
，
也称
f
(
z
)
是
D
的解析函数
.
如果
f
(
z
)
在区域
G
内解析，而闭区域
D
上每一点都属
G
,
那么
称
f
(
z
)
在闭区
域
D
上解析
.
注
1
解析函数这一重要概念，是与区域密切相关的
.
注
2
f
(
z
)
在区域
D
内解析，指
f
(
z
)
在区域
D
内处处可导
.
注
3
若
函
数在一点可导，则函数必然在这点连续
.
注
4
函数在一点的可导性是一个局
部概念，而解析性是一
个整体概念；
注
5
函数在一点解析，是指在这个
点的某个邻域内解析，
因此在此点可导；
反之，
在一点的可导性不能得到在这个点解析
.
2
、
导数的四则运算法则
（
A
derivative
of
the
algorithms
）
：
设
f
(
z
)
和
g
(
z
)
< br>在区域
D
内解析，
那么
f
(
z
)
?
g
(
z
< br>)
，
f
(
z
)
g
(
z
)
，
f
(
z
)
/
g
(
z
)
（分母不为零）
也在区域
D
内解析，并且有下面的导
数
的四则运算法则：
(
f
(
z
)
?
< br>g
(
z
))'
< br>?
f
'
(
z
)
?
g
'
(
z
)
[
f
(
z
)
g
(
z
)]'
?
f
'
(
z
)
g
< br>(
z
)
?
f
(
z
)
g
'
(
z
)
?
?
?
f
(
z
)
g
(
z
)
?
< br>f
'
(
z
)
g
(
z
)
?
f
(
z
)
g
'
(
z
)
[
g
(
z
)]
2
.
3
、复合函数求导法则（
Composite function to laws
on
）
：
w
?
g
(
?
)
在
?
平面上
设
?
?
f
(
z
)
在
z
平面上的区域
D
内解析，
的区域
D
1
内
解析，而且当
z
?
D
< br>时，
?
?
f
(
z
)
?
D
1
，则复合函数
w
< br>?
g
[
f
(
z
)]
?
h
?
z
?
在<
/p>
D
内解析，并且有
h
'
(
z
)
?
[
g
(<
/p>
f
(
z
))]'
?
g
'
(
f
(
z
))
f
'
(
z
)
4
、
反函数的求导法则
(Inverse
function
derivative
rule)
：
设
w
?
f
(
z
)
是
在
区
域
D
内
解
析
，
且
f
?
(
z
< br>)
?
0
，
反
函
数
z
?
f
?
1
(
w
)
?
?
?
w
?
存在且连续，则
?
?
(
w
)
?
1
f
?
?
z
?
z
?
?
< br>?
w
?
?
1
f
?
?
?
?
w
?
?
.
5
、举例
(For
example)
：
（
1
）如果
f
(
z
)
?
a
（复常数）
，那么
d
z
n
d
z
?
nz
n
?
1
；
（
2
）
?
1
，
d
z
d
z
d
f
(<
/p>
z
)
?
0
；
d
z
（<
/p>
3
）
z
的任何多
项式
P
(
z
)
?
a
0
?
a
1
z
?
...
?
a
n
z
n
在整个复平面解析，并且有
P
'
(
z
)
?
a
1
?
2
a
2
z
?
...
?
na
< br>n
z
n
?
1
（
4
）
在复平面上，
任何有理函数，
除去使分母为零的点外是解
析的，它的导数的求法与
z
是实变量时相同
.
三、
函数解析的一个充分必要条件
（<
/p>
Analytic
functions
for
a
full
）
可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：
定
理
（
Theorem
）
2.1
（
可
微
的
充
要
条
件
）
设
函
数
f
(
z
)
?
u
?
x
,
y
?<
/p>
?
iv
?
x
,
y
?
在
区
域
D
内
有
定
义
，
< br>则
f
(
z
)
在
点
z
?
x
?
iy
?<
/p>
D
可微的充要条件是：
（
1
）
u
?
x
,
y
?
与
v
?
x<
/p>
,
y
?
在
?
x
,
y
?
处可微；
(2)
u
?
x
,
y
?
与
v<
/p>
?
x
,
y
?
在
?
x
,
y
?
处
满
足
柯
西
-
黎
曼
（
Cauchy-Riemann
）
条
件（简称
C-R
方程）
?
u
?
x
< br>?
?
v
?
y
u
?
v
.
?
?
?
?
y
?
x<
/p>
证明
（必要性）设
f
(
z
)
< br>在
z
?
x
?
iy
?
D
有导数
?
?
a
?
ib
，根
据导数的定义，当
z
?
?
z
?
D
时（
?
z
?
0
）
f
(
z
?
?
z
)
?<
/p>
f
(
z
)
?
?
?
z
?
o
(|
?
z
|)
?
(
a
?
ib
)(
?
x
?
i
?
y
)
?
o
(|
?
z
|
)
其中，
?
z
?
?
x
?<
/p>
i
?
y
.
比较上式的实部与虚部，得
u
(
x
?
?
< br>x
,
y
?
?
y
)
?
u
(
x
,
y
)
?
a
?
x
?
b
?
y
?
o
(|
?
z
|)
v
< br>(
x
?
?
x
,
y
?
?
y
)
?
v
(
x
,
y
)
?
b
?
x
?
a
?
< br>y
?
o
(|
?
z
|)
因此，
由实变二元函数的可微性定义知，
u
< br>?
x
,
y
?
与
v
?
x
,
y
?
在
?
x
,
y
?
处
可微，并且有
<
/p>
?
u
?
x
u
?
v
?
v
?
a
,
?
?
y
?
?
b
,
?
x
?
b
,
?
y
?
a
即
?
u
?
x
?
?
v
?
y
u
?
v
?
?
?
?
y
?
x
（充分性）设
u
?
x
,
y
?
与
v
?
x
< br>,
y
?
在
?
x
,
y
?
处可微，
，并且有柯西
-
黎曼
方程成立：
?
u
?
x
?
?
v
?
y
u
?
v
?
?
y
?
?
?
x<
/p>
?
u
?
v
设
?
x
?
a
,
?
x
?
b
,
则由可微性的定义，有：
u
(<
/p>
x
?
?
x
,
y
?
?
y
)
?
u
(
x
,
y
)
?
a
?
x
?
b
?
y<
/p>
?
o
(|
?
z
|)
v
(
x
?
?
x
,
y
?
?
y
)
?
v
(
x
,
y
)
?
b
?
x<
/p>
?
a
?
y
?
o
(|
?
z
|)
令
?
z
?
?
x
?
i
?
y
，当
z
?
?
z
?
D
（
?
z
?
0
）时，令
?
?
a<
/p>
?
ib
，有
<
/p>
f
(
z
?
?
z
)
?
f
(
z
)
?
?
u
?
i
?
v
?
?
?
z
?
o<
/p>
(|
?
z
|)<
/p>
?
(
a
?
ib
)(
?
x
?
i
?
y
)
?
o
(|
?
z
|)
则有
?<
/p>
z
?
0
lim<
/p>
f
(
z
?
?
z
)
?
f
(
z
)
o
(|
?
z
< br>|)
?
lim
(
?
?
)
?
?
?
z
?
0
?
z
?<
/p>
z
所以，
f
(<
/p>
z
)
在点
z
?
x
?
iy
?
D
可微的
.
且
说明：
（
1
）
解析函
数的导数形式：
?
u
?
v
?
v
?
v
?
u
?
u
?
v
?<
/p>
u
?
f
(
z
)
?
?
x
?
i
?
x
?
?
y
?
i
?
x
?
?
x
?
i<
/p>
?
y
?
?
y
?
i
?
y
（
2
）
C-R
条件是复变
函数可导的必要条件而非充分条件
.
xy
?
?
x
2
?
y
2
例
2
取
u
(
x
,
y
)
?
v
(
x
,
y
< br>)
?
?
?
?
0
x
2
?
y
2
?
0
x
?
y
?
0
2
2
令
f
(
z
< br>)
?
u
(
x
,
y
)
?
iv
(
x
,<
/p>
y
)
，则
u
(
x
,
y
),
v
(
x
,
y
)
在点
(
0
,
0
< br>)
满足
C
?
R
方程：
?
u
?
x
?
?
v
?
y
u<
/p>
?
v
?
0
?
?
?
?
y
?
x
?
0
但
u
(
x
,
< br>y
)
、
v
(
x
,
y
)
在点
(
0
,<
/p>
0
)
不连续，所以复变函数
f
(
z
)
< br>在
z
?
0
不
连续
,
从而
f
(
z
)
在
z
?
0
不可导
.
< br>定理
（
Theorem
）
2.2
设函数
f
(<
/p>
z
)
?
u
?
x
,
y
?
?
iv
?
x
,
y
?
< br>在区域
D
内有定义，则
f
(
z
)
在
D
内解析的充要条件是：
（
1
）
u
?
x
,<
/p>
y
?
与
v
?
x
,
y
?
在
D
内可微；
(2)
u
?
x
,
y
?
与
v
?
x
,
y
?
在
< br>D
内
满
足
柯
西
-
黎
曼
（
Cauchy-Riemann
）条
件（简称
C-R
方程）
?
u
?
x
< br>?
?
v
?
y
u
?
v
?
?
?
?
y
?
x<
/p>
推论
设函数
f
(
z
)
?<
/p>
u
?
x
,
y
?
?
iv
?
x
,
y
?
在区域
D
内有定义，则<
/p>
f
(
z
)
在区域
D
内解析的充分条件是：
(1)
u
?
x
,
y
?
与
v
?
x
,
y
?
的偏导数在
D
内连续；
(2)
u
?
x
,
y
?
与
v<
/p>
?
x
,
y
?
在
D
内满足柯西<
/p>
-
黎曼条件
,
简
称
C-R
方程
?
u
?
x
?
v
?
u
?
v
?
?
?
?
y
?
y<
/p>
?
x
例
3
讨论
函数
f
?
z
?
?
Re
z
的可
导性与解析性
.
1
）因为
u
?
x
，
v
?
0
，且
< br>
解（
?
u
?
x
u
< br>?
v
?
v
?
1
,
?
?
0
，
?
0
，
?
0
，
?
y
?
x
?
y
所以
C
?
R
方程在整个复平面不成
立，因此
w
?
Re
< br>z
在整个复平面内处处
不可导
,
从而不解析
.
学生课堂讨论：
讨论函数
f
?
z
?
?
z
的可导性与解析
性
.
2
解
f
?
z
?
?
z
?
x
2
?
y
2
，所以
2
u
(
x
< br>,
y
)
?
x
2
?
y
2
,
v
(
x
,
y
)
?
0
u
x
?
2
x
,
< br>u
y
?
2
y
,
v
x
?
v
y
?
0
显然上述四个偏导在整个复平面上连续
由
C
?
R
条件
?
2
x
?
0
?
x
?
0
?
?
?
2
y
?
0
y
?
0
?
?
故
f
?
z
?
?
z
只在
z
?
0
处可导，从而
在复平面上处处不解析
.
2
例
4
<
/p>
讨论函数
f
?
z
?
?
e
x
cos
y
?
ie<
/p>
x
sin
y
的可
导性与解析性
解
因为
u
(
x
,
y
)
?
e
x
cos
y
,
v
(
x
,
y
)
?
ie
x
sin
y
u
x
?
e
cos
y
,
u
y
?
?
e
sin
y
,
v
x
?
e
sin
y
,
v
y
?
e<
/p>
cos
y
x
x<
/p>
x
x
上述的四
个偏导数在整个复平面上连续，并且满足
C-R
方程：
?
u
?
x
?
v
?
< br>u
?
v
?
?
?
?
y
?
y<
/p>
?
x
所以函数
f
?
z
?
?
e
x
cos
y
?
ie
x
sin<
/p>
y
在整个复平面处处可导，
故也处
处解析，并且有
?
u
?
v
?
i<
/p>
?
e
x
cos<
/p>
y
?
ie
x
sin
y
?
f
?
z
?
?
x
?
x
?
即
e
z
?
e
z
f
?
?
z
?
?
?
?
例
5
设
f
(
z
)
在区域
D
内解析，证明：若
f
(
z
)
满足下列条件
之一，则
f
(
z
)
< br>在
D
内为常数：
（
1
）
对每一个
z
?
D
，有
f
?
(
z
)
=0
（
2
）
Re
f
(
z
)
或
Im
f
(
z<
/p>
)
在
D
内为常数
（
3
）
f
(
z
)
在
D
内为常数<
/p>
（
4<
/p>
）
f
(
z
)
在
D
内解析
（
5
）
f
(
z
)
恒在
D
内为实数
（
6
）
arg
f
(
z
)
在
D
内为常数
证明
注意：
在区域
D
内
，
若
u
x
?<
/p>
u
y
?
v
x
?
v
y
?
0
,
则在
D
内
u
,
< br>v
为常数
?
< br>u
?
v
?
v
?
u
?
?
?
f
z
?
?
i
?
?
i
?
0
及
u
(1)
由
?
x
?
x
?
y
?
y
x
?
u
y
?
< br>v
x
?
v
y
?
0
则
在
D
内
u
,<
/p>
v
为常数，从而
f
(
z
)
在
D
内为常数
.
(2)
由
Re
f
(
z
)
在
D
内为常数，故
?
x
区域
D
内解析，
由
C<
/p>
?
R
方程可知
?
x
数，从而
f
(
z
)
在
D<
/p>
内为常数
.
?
v
?
u
u
?<
/p>
?
?
0
，已知<
/p>
f
(
z
)
在
?
y
?
v
?
?
则在
D
内
u
,
< br>v
为常
y
?
0
，
同理，由
Im
f
(
z
)
在
D
内为常数，可证
f
(
z
)
在
D
内为常数
.
(4)
设
f
(
z
)
?
u
?
iv
,
因为
f
?
z
?
在
D
内为解析，所以
?
u
?
x
?
v
?
u
?
v
?
?
<
/p>
?
?
y
?
y
?
x
(1)
因
f
?
z
?
?
u
?
iv
在
D
内为
解析，所以
?
u
?
x
?
?
(
?
v
)
?<
/p>
y
?
?
?
u
?
y
?
(
?
v
)
?
x
（
2
）
由（
1
）和（
2<
/p>
）式得
：
<
/p>
?
u
?
u
?
v
?
v
?
?
?
?
0
?
x
?
y
?
x
?
y
故
f
(<
/p>
z
)
在
D
内为常数
.
本节重点掌握：
（
1
）
复变函数解析与可导的关系；
（
2
）解析函数的实部和虚部不是完全独立的，它们是
C-R
方程的一组解
.
（
3
）函数在哪一点不满足
C-R
方程，函数在那一点不可微
.
函数在哪个区域不满足
C-R
方程，函数在那个
区域不解析
.
§
2.2
解析函数与调和函数的关系
（
The relation of analytic
function and harmonic function
）
一、调和函数的概念
(The
concept
of
harmonic
functions)
< br>定义（
Definition
）
2.3
如果二元实函数
?
?
x
,
y
?
在区域
D
内
有二阶连续偏导
数，且满足拉普拉斯方程
?
?
?
x
,
y
?
?
0
,
则称
?
?
x
,
< br>y
?
为区域
D
< br>内的调和函数
.
调和函数常出现在诸如流体力学、
电学、
磁学等实际问题中
.
定理（
Theorem
）
2
.3
若
f
?
z
?
?
u
?<
/p>
x
,
y
?
?
iv
?
x
,
y
?
在区域
D
内
解析
,
则在区域
D
内
u
?
x
,
y
?
与
v
?
< br>x
,
y
?
都是区域
D
内的调和函数
.
证明：
因
f
?
z
?
?
u
?
x
,
y
?
?
iv
?
< br>x
,
y
?
在区域
D
内解析，
所以
u
?
x
,
< br>y
?
与
v
?
x
,
y
?
在区域
D
内满足
C
?
R
方程
?
u
?
x
?
v
?
u
?
v
?
?
?
?
y
?
y
?
x
在上述二式子分别对
y
与<
/p>
x
求偏导数：
?
2
u
?
x
?
y
?
?
2
v
?
y
2
?
2
u
?
y
?
x
?
?
?
2
v
?
x
2
因为
?
2
u
?
x
?
y
?
?
2
v
?
x
2
?
2
u
?
y
?
< br>x
，于是有
?
?
2
v
?
y
2
?
?
2
u
?
x
?<
/p>
y
?
?
2
u
?
y
?
x
?
0
即
v
?
x
,
y
?
是区域
D
内的调和函数，同理
u
?
x
,
y
?
也是区域
D
内的调
和函数
.
注意：此定理的逆不一定成立
.
共轭调和函数
(Conjugate harmonic
function)
定义（
Definition
）
2.4
在区域
D
内满足
C
?
R
方程
?
u
?
x
?
v
?
u
?
v
?
?
?
< br>?
y
?
y
?
x
的两个调和函数
u
?
x
,
< br>y
?
,
v
?
x
,
y
?
中
,
v
?<
/p>
x
,
y
?
称为
u
?
x
,
y
?
在区域
D
内的共轭调和函数
.
由上面的讨论
,
我们已经证明了
:
定理（
Theorem
）
2.4
若
f
?
z
?
?
u
< br>?
x
,
y
?
?
iv
?
x
,
y
?
在区
域
D
内解
析
的
充
分
必
要
条
件
是
在
区
域
D
内
,
则
在
区
< br>域
D
内
f
?
z
?
?
u
?
x
,
y
?
?
iv
?
x
,
y
?
的虚部
v
?
x
,
y
?
必为实部
u
?
x
,
y
?
的共轭调和
函数
.
注
1
：
由此定理，利用一个调和函数和它的共轭调和函数作
一个解析函数
.
二、解析函数与调和函数的关系（
Analytic
functions and
functions of the
relationship between
）
f
(
z
)
< br>?
u
(
x
,
y
)
?
i
v
(
x
,
y<
/p>
)
在
D
内解析<
/p>
?
在
D
内
v
(
x
,
y
)
必为
u
?
u
(
x
< br>,
y
)
的共轭调和函数
.
在
D
内满足
C
?
R
方程
:
u
x
?
v
y
,
u
y
?
?
v
x
的两个调和函数
u
,
v
,
v
必为
u
的共轭调和函数
.
现在研究反过来的问题：
若
< br>u
,
v
是任意选取的在区域
D
内的两个调和函数
,
则
u
?
iv
在
D
内就不一定解析
.
.
例如
v
?
x
?
y
不是
u
?
x
?
y
的共轭调和函数
要想使
u
?
iv
在
D
内解析
,
u
及
v
还必须满足
C
?
R
方程，即
v
必
须是
u
的共轭调和函数
.
有
已知一个解析函数的实
部
u
(
x
,
y
),
利用
C
?
R
方程可求得它的虚
部
v
(<
/p>
x
,
y
),
得解析函数
u
?
i
v
.
同理：已知虚部
v
?
x
,
y
?
,
求实部
u
?
x
,
y
?
。
假设
D
是一个单连通区域，
u
?
x
,
y
?
< br>是区域
D
内的调和函数，则
?<
/p>
2
u
u
?
x
,
y
?
在
D
内有二阶连续偏导数，且
?
x
2
?
?
2
u
?
y
2
?
0
由数学分析的定理知：
?
?
u
?
u
dx
?
dy
是某函数的全微分，<
/p>
?
y
?
x
令
?
?
u
?
u
dx
?
dy
?
dv
?
x
,
y
< br>?
，则
?
y
?
x
?
x
,
y
?
0<
/p>
v
?
x
,
y
?
?
?
?
x
,
y
?
0
?
?
u
?
u
dx
?
dy
?
C
（
1
）
?
y
?
x
其中
?
x
0
,
y
0
?
是
D
内的定点
,
?
x
,
y
?
是
D
内的动点，
C
是一个
任意常数，积分与路径无关
.
结论：
设
u
?
x
,
y
?
是在单连通区域
D
内的调和函数
,
则存在由
< br>（
1
）
式所确定的函数
v
?
x
,
y
?
,
使
< br>f
?
z
?
?
u
?
x
,
y
?
?
iv<
/p>
?
x
,
y
?
是
D
内的解
析函数
.
注
2
：
如单连通区域
D
包含原点
< br>,
则（
1
）式中的
?
x
0
,
< br>y
0
?
显
然可取成原点
(0,0)
；
注
3
：
（
1
）可由
dv
?
x
,
y
?
?
v
x
< br>dx
?
v
y
dy
C
.
?
R
.
?
u
y
dx
?
u
x<
/p>
dy
两端积分得之
.
注：
类似地，
du
?
x
,
y
?
?
u
x
dx
?
< br>u
y
dy
C
.
?
R
.
v
y
dx
?
v
x
dy
?
x<
/p>
,
y
?
两端积分，有
u
< br>?
x
,
y
?
?
?
?
x
0
,
y
0
?
?
v
?
v
dx
?
dy
?
C
（
2
）
?
y
?
x
u
?
x
,
y
?
思考题
：
“
v
?
x
,
y
?
是
u
?
x
,
y
?
的共轭调和函数”
，
v
?
x
,
y
< br>?
、
是否可以交换顺序？
例
6
验证
u
?
x
,
y
?
?
x
3
?
3
xy
2
是
z
平面上的调和函数
,
并求以
u
?
x
,
y
?
为实部的解析函数
f
?
z
?
?
u
?
x
,
y
?<
/p>
?
iv
?
x
,
y
?
,
使合
f
?
0
?
?
i
解
u
x<
/p>
?
x
,
y
?
?
3
x
2
?
3
y
2
，
u
y
?
x
,
y
?
?
?
6
xy
，
u
xx
?<
/p>
x
,
y
?
?
6
x
u
yy
?
x
,
y
?
?
< br>?
6
x
，有
?
2
u
?
x
2
?
?
2
u
?
y
2
?
0
故
u
?
< br>x
,
y
?
在
z
平面上为调和函数
.
由（
1
）得
v
?
x
,
y
?
?
?
?
x
,
y
?
?
0
,
0<
/p>
?
?
x
,
0
?
?
?
u
?
u
dx
?
dy
?
C
?
y
?
x
?
[
?
?
0
,
0
?<
/p>
6
xydx
?
3
x
2
?
3
y
2
dy
6
xydx
?
3
x
2
?
3
y
2
dy
]
?
C
?
?
?
?
?
x
,
0
?
?
x
,
0
?
?
< br>?
?
3
x
2
y
?
y
3
?
C
故
f
?
z
?
?
u
?
x
,
y
?
?
< br>iv
?
x
,
y
?
?
x
3
?
3
xy
2
?
i
(
3
x
2
y
?
y
3
)
?
z
3
?
iC
要合
f
?
< br>0
?
?
i
必
C
?
1
故
f
?
z
?
?
z
3
?
i
例
7
u
?
x
< br>2
?
y
2
?
xy
，求解析函数
f
(
z
)
?
< br>u
?
iv
,
使
f
(
i
)
?
?
1
?<
/p>
i
解法
1
?
v
?
u
?
v
?
u
?
?
2
x
?
y
?
?
?
?
< br>2
y
?
x
,
?
y
?
x
?
x
?
y
?
v
?
v
dv
?
dx
?
dy
?
(
2
y
?
x
)
dx
?
(
< br>2
x
?
y
)
dy
?
x
?
y
v
(
x<
/p>
,
y
)
?
?
(
x
,
y
)
(
0
,
0
)
(
2
y
?
x
)
dx
?
(
2
x
?
y
)
dy
?
c
?
?
?
xdx
?
?
(
2
x
?
y
)
dy
?
c
o
0
< br>x
y
x
2
y
2
?
?
?
2
xy
?
?<
/p>
c
2
2
1
1
f
(
z
)
?
(
x
2
?
y
2
?
xy
)
?
i
(
?
x
2
?
2
xy
?<
/p>
y
2
?
c
)
2
2
i
?
(
x
?
iy
)
2
?
< br>(
x
?
iy
)
2
?
ic
2
1
?
(
1
?
i
)
z
2
?
ic
2
f
(
i
)
?
?
1
?
i
f
(
z
)
?
(
1
?
代入上式得，
(
< br>1
?
i
2
1
)
i
?
i
c
?
?
1
?<
/p>
i
,
c
?
2
2
i
2
i
)
z
?
2
2
?
v
?
v
dx
?
dy
?
(
2
y
?
x
)
dx
?
(
2
x
?
y
)
dy
?
x
?
y
解法
2
dv
?
x
2
y
2
?
2
ydx
?
2
xdy
?
xdx
?
ydy
?
2
dxy
?
d
(
?
?
)
2
2
x
2
y
< br>2
v
(
x
,
y
)
?
?
?
2
xy
?<
/p>
?
c
2
2
1
1
f
(
z
)
?
(
x
2
?
y
2
?
xy
)
?
i
(
?
x
2
?
2
xy
?
y
2
?
c
)
2
2
-
-
-
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-
-
-
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