-
神奇的
Gamma
函数
(
下
)
rickjin
关
键
词
：
特
殊
函
数
,
概
率
分
布
从
二
项
分
布
到
G
a
m
m
a
分
布
Gamma
函
数
在
概
率
统
计
中
频
繁
现<
/p>
身
，
众
多
的
统
计
分
布
，
包
括
常
见
的
统
计
学
三
大
分
布
(
t
<
/p>
分
布
，
χ
2
分
布
，
F
分
布
)
、
Beta
分
布
、
Dirichlet
分
布
的
密
度
公
式
中
都
有
Gamma
函
数
的
身
影
；
< br>当
然
发
生
最
直
接
联
系
的
概
率
分
布
是
直
接
由
Gamma
函<
/p>
数
变
换
得
到
的
Gamma
分
布
。
对
Gamma
函
数
的
定
义
做
一<
/p>
个
变
形
，
就
可
以
得
到
如
下
式
子
∫
∞0
< br>x
α
?
1
e
?
x
Γ(
α
)
dx
=1
于
是
，取
积<
/p>
分
中
的
函
数
作
为
概
率
密
度
，就
得
到
一
个
< br>形
式
最
简
单
的
Gamma
分
布
的
密
度
函
数
Gamma
(
x
|
α
)=
x
α
?
1
e
?
x
Γ
(
α
)
如<
/p>
果
做
一
个
变
换
x
=
βt
,
就
得
到
Gam
ma
分
布
的
更
一
般
的
形<
/p>
式
Gamma
(
t
|
α
,<
/p>
β
)=
β
α
t
α
?
1
e
?
βt
Γ(
α
)
其
中
α
称
为
shape parameter,
主
要
决
定
了
分
布
曲
线
的
形
状
;
而
β
称
为
rate
parameter
或
者
inverse
scale
parameter
(
1
β
称
为
scale
parameter),
主
要
决<
/p>
定
曲
线
有
多
陡
。
Gamma
(
t
|
α
,
β
)
分
布
图
像
Gamma
分
布
在
概
率
统
计
领
域
也
< br>是
一
个
万
人
迷
，
众
多
统
计
分
布
和
它
有
密
切
关
系
。
指
数
分
布
< br>和
χ
2
分
布
都
是
特
殊
的
Gamma
分
布
。
另
外
Gamma
分
布
< br>作
为
先
验
分
布
是
很
强
大
的
，
在
贝
叶
斯
统
计
分
析
中
被
广
泛
的
< br>用
作
其
它
分
布
的
先
验
。
如
果
把
统
计
分
布
中
的
共
轭
关
系
类
比
< br>为
人
类
生
活
中
的
情
侣
关
系
的
话
，
那
指
数
分
布
、
Poissio
n
分
布
、
正<
/p>
态
分
布
、
对
数
正
态
分
布
都
可
以
是
Gamma
分
布
的
情
人
。
接
下
< br>来
的
内
容
中
中
我
们
主
要
关
注
β
=1
的
简
单
形
式
的
Gamma
分
布
。
Gamma
分
布
首
先
和
Poisson
分
布
、
Poisson
过
程
发
生
密
切
的
联
系
。
我
们
容
易
< br>发
现
Gamma
分
布
的
概
率
密
度
和
Poisson
分
布
在
数
学
形
式
上
具
有
高
度
的
一
致<
/p>
性
。
参
数
为
λ
的
Poisso
n
分
布
，
概
率
写
为
Poisson
(
X
=
k
|
λ
)
=
λ
k
e
?<
/p>
λ
k
!
在
Gamma
分
布
的
密
度
中
取
α<
/p>
=
k
+1
得
到
Gam
ma
(
x
|
α
=
k
+1)=
x
k
e
?
x<
/p>
Γ(
k
+1)=
x
k
e
?
x<
/p>
k
!
所
以
这
两
个
分
布
数
学
形
式
上
是
一
致
的
，
只
是
Poisson
分
布
是
离
< br>散
的
，
Gamma
分
布
是
连
续
的
，可
以
< br>直
观
的
认
为
Gamma
分
布
是
Poisson
分
布
在
正
实
数
集
上
的
连
续
化
版
本
。<
/p>
这
种
数
学
上
的
一
致
性
是
偶
然
的
吗
？
这
个
问
题
我
个
人
曾
经<
/p>
思
考
了
很
久
，
终
于
想
明
白
了
从
二
项
分
布
出
发
能
把
Gamma
分
布
和
Poisson
分
布
紧
密
联
系
起
来
。我
们
在
概
率
统
计
中
都
学
Poi
sson
(
λ
)
分
布
可
以
看
成
是
二
项
分
布
B
(
n
,
p
)
在
np
=<
/p>
λ
,
n
→∞
条
件
下
的
极
限
分
布
。
如
果
< br>你
对
二
项
分
布
关
注
的
足
够
多
，
可
能
会
知
道
二
项
分
布
的
随
机
< br>变
量
X
?
B
(
n
,
p
)
满
足
如
下
一
个
很
奇
妙
的
恒
等
式
P
< br>(
X
≤
k
)=
n
!
k
!(
n
?
k
?
1)!
∫
1
p
t
n
?
k
?
1
(1?
t
)
k
dt
(
?
)
这
个
等
式
反
应
的
是
二
项
分
布
和
Beta
分
布
之
间
的
关
系
，
证
明
并
不
难
，
它
可
以
用
一
个
物
理
模
< br>型
直
观
的
做
概
率
解
释
，
而
不
需
要
使
用
复
杂
的
数
学
分
析
的
方
< br>法
做
证
明
。
由
于
这
个
解
释
和
Beta
分
布
有
紧
密
的
联
系
，
所
以
这
个
直
观
的
概
率
解
释
我
们
放
< br>到
下
一
个
章
节
，
讲
解
Beta/Dirichlet
分
布
的
时
候
进
行
。
此
处
我
们
暂
时
先
承
认
< br>(*)
这
个
等
< br>式
成
立
。
我
们
在
等
式
右
侧
做
一
个
变
换
t
=
xn
,
得
到
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