-
南
京
师
范
大
学
泰
州
学
院
毕
业
论
文（设
计）
（
一三
届
）
题
目：
关于逆矩阵求法的讨论
院（系、部）
：
数学科学与应用学院
专
业：
数学与应用数学
姓
名：
张利明
学
号
08090231
指导教师：
肖艳艳
南京师范大学泰州学院教务处
制
南京师范大学泰州学院本科毕业论文
摘
要
：为
了更便捷地解决求矩阵的逆，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种
求逆矩阵的方
法。
主要有定义法、
伴随矩阵法、
初等
变换法、
分块矩阵法与解方程组法，
并对部分进行了简要论证。
关键字：
逆矩阵；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵
Abstract:
In the
aim of extracting the inverse of the matrix more
conveniently,
this paper introduces
several methods of extracting the inverse matrix
according
to the different features of
the matrix. It mainly includs the definition
method,
the
adjoint
matrix
method,
the
elementary
operation
method,
the
partitioned
matrix method and the method of solving
the equations. Some of these methods
are briefly demonstrated in the
paper.
Keywords:
inverse
matrix;
partitioned
matrix;
elementary
operation;
adjoint matrix
1
南京师范大学泰州学院本科毕业论文
目
录
1
绪论
.
.......................................
.................
3
1.1
研究意义
............................................ .............. 3
1.2
国内外研究现状
......
.............................................. 3
1.3
本文主要解决的问题
.......................................
......... 4
2
矩阵的基础知识
.
< br>..............................................
4
2.1
矩阵的定义及性质
.....
............................................. 4
2.1.1
矩阵的定义
......
............................................ 4
2.1.2
矩阵的性质
......
............................................ 5
2.2
逆矩阵的定义与性质
.......................................
......... 6
2.2.1
逆矩阵的定义
.....
........................................... 6
2.2.2
逆矩阵的性质
.....
...........................................
7
3
逆矩阵的求法
.
................................................
7
3.1
用定义求逆矩阵
......
.............................................. 7
3.2
用伴随矩阵求逆矩阵
.......................................
......... 8
3.3
用初等变换求逆矩阵
....
............................................ 9
3.3.1
初等行变换
.......................................
............ 9
3.3.2
初等列变换
......
............................................. 9
3.3.3
混合采用初等行、列变换
......................................
10
3.4
用分块矩阵求逆矩阵
....
........................................... 12
3.5
用解方程组求逆矩阵
.......................................
........ 12
结
论
.
...
..................................................
..
14
谢
辞
<
/p>
.
............................
...........................
15
参考文献
.
..................................................
...
16
2
南京师范大学泰州学院本科毕业论文
1
绪
论
矩阵是
数学中的一个重要的基本概念，是代数学的主要研究对象之一，也是数学研
究和应用的一
个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数
字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵在它的课题诞生之前就
< br>已经发展的很好了。
18
世纪
中期，
数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题，
即二次型的
化简。在这一问题的研究中，数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许
多概念和
结论。
1748
年，瑞士数学
家欧拉
(L
．
Euler
，
1707
—
1783)<
/p>
在将三个变数的二次型化为标
准形时，
隐
含地给出了特征方程的概念。
1773
年，
法国数学家拉格朗日
(J
．
L
．
Lagrange
，
1736
—
1813)
在讨论齐次
多项式时引入了线性变换。
1801
年德国数学家高斯
(C
．
F
．
Gauss
，
1777
一
1855)
在《算术研究》中，将欧拉与拉格朗日的二次型理论
进行了系统的推广，
给出了两个线性变换的复合，
而这个复合的
新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩
阵的乘积。另外，高斯还从拉格朗日的工作中
抽象出了型的等价概念，在研究两个互逆
变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念。
1.1
研究意义
矩阵理论是线性代数的一个重要内容，也是处理实际问题的重
要工具，很多实际问
题用矩阵的思想去解既简单又快捷。
而逆矩
阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地
位。比如逆矩阵可以用来解线性方程组。逆矩
阵的求法自然也就成为线性代数研究的主
要内容之一。伴随矩阵法要求计算矩阵的行列式
的值以及它的伴随矩阵，当其阶数较高
时，它的计算量是很大的，此时用伴随矩阵法求逆
矩阵通常是不方便的。为了更便捷地
求矩阵的逆，本文根据矩阵的特点简单介绍了几种求
逆矩阵的方法，这些方法能帮助我
们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题。同时，它还是
我们更好的学习线性代数的必备
基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深
造打下坚实的基础。
1.2
国内外研究现状
矩阵是数学中的一个重要的基本
概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研
究和应用的一个重要工具。而逆矩阵在
矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位，逆矩
阵的应用也相当广泛。可以说，凡是用到
矩阵的地方，都有可能用到逆矩阵。随着逆矩
阵研究的深入，其应用的范围越来越广，在
数理统计、线性规划、经济学、数值分析、
控制论、网络和测绘等领域的许多问题都需要
用逆矩阵来解决。在研究最小二乘问题，
长方、病态线性、非线性问题，无约束、约束规
划问题，系统识别问题和网络问题等领
域，逆矩阵更是不可缺少的研究工具。
3
南京师范大学泰州学院本科毕业论文
1.3
本文主要解决的问题
本文先对矩阵及其逆矩阵从定理、性质等方面进行了总结，然
后介绍了逆矩阵的几
种常用的求解方法，主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块
矩阵法与解方程组
法。从而对矩阵有了进一步的理解，有助于解决在数理统计、线性规划
、经济学、数值
分析、控制论、网络和测绘等领域遇到的相关问题。
2
矩阵的基础知识
2.1
矩阵的定义及性质
2.1.1
矩阵的定义
由
m
?
n
个数
a
ij
(
i
?
1
,2,
???
,
m
;
j
?
1
,2,
???
,
n
)
排列成
m
个行
n
个列的数表
?
a
11
a
12
?
a
14
?
?
a
?
a
?
a
21
22
1
n
?
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
a
?
a
mn
?
?
m
1
m
2
称为
m
?
n
矩阵，其中数
a
ij
称为矩阵
A
的
(
i
,
j
)
元
.
当
< br>m
?
n
时，称
< br>A
为
n
阶矩阵或
n
方阵
.
元素全为零的矩阵
称为零矩阵，记作
O
m
?
n
或简记为
O
.
两个矩阵
A
?
(
a
ij
)
m
?
n
，
B
?
(
b
ij
)
s
?
t
，
如果
m
?
s
，
n
?
t
，
则称矩阵
A
与
B
为同型矩阵
.
< br>如果两个同型矩阵
A
?
(
a
ij
)
与
B
?
(
b
ij
)
的对应元素相等，即
a
ij
?
b
i
j
，
?
i
?<
/p>
1
,2,
???
,
m
，
j
?<
/p>
1
,2,
???
,
n
，
则称矩阵
A
与
B
相等，记作
< br>A
?
B
或
(
a
ij
)
m
?
n
?
(<
/p>
b
ij
)
m
?
n
.[1]
当
m
?
1
时，矩
阵
A
?
(
a<
/p>
1
,
a
2
,
?
?
?
,
a
n
)
称为行矩阵或行向量
.
?
b
1
?
?
b
?
当
n
?
1
时，
，矩阵
A
?
?
2
?
称为列矩阵或列向量
.
?
?
?
?
?
?
b
m
?
形如<
/p>
4
南京师范大学泰州学院本科毕业论文
?
a
11
0
?
0
?
?
0
a
?
0
?
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
?
a
nn
?
?
的
n
阶方阵，即主对角线以外的元素都是零的方阵称为对角矩阵或对角方阵，记作
?
a
1
?
?
?
a
2
?
.
?
?
diag
(
a
1
,
a<
/p>
2
,
?
,
a
n
)
?
?
?
?
?
?
?
a
n
?
?
特别当
a
11
?
a
22
?
?
?
< br>a
nn
?
a
时，这时的对角矩阵叫做
n
阶数量矩阵
.
当
a
11
?
a
22
?
?
?
a
nn
?
1
时，
这时的数量矩阵叫做
n
阶单位矩阵，记作
< br>E
n
或
I
n
，
在阶
?
1
?
0
数不致混淆时，简记为
E
或
I
，即
I
n
?
?
?
?
?
?
0
主对角线下方的元素都是零的方阵
0
?
0
?
1
?
0
?
?
.
?
?
?
?
0
?
1
?
?
a
11
< br>a
12
?
a
1
n
?
?
0
a
?
a
?<
/p>
22
2
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
?
a
nn
?
?
叫做上三角矩阵
.
主对角线上方的元素都是零的方阵
?
a
11
0
?<
/p>
0
?
?
a
a
?
0
?
22
?
?
21
?
?<
/p>
?
?
?
?
?
a
a
?
a
nn
?
?
n
1
n
2
< br>叫做下三角矩阵
.[2]
2.1.2
矩阵的性质
性质
1
矩阵的加法运算具有以下运算规律：
(
1
)
加法交换律
A
?
B
?
B
?
A
；
<
/p>
(
2
)
加法的结
合律
(
A
?
B
)
?
C
?
A
?
(
B
?
C
)
；
(
3
)
< br>A
?
O
?
O
?
A
?
A
，
5
南京师范大学泰州学院本科毕业论文
其中
A
，
B
，
C
都是
m
?<
/p>
n
矩阵
.
性质
2
矩阵数乘运算满足以下运算规律：
(
1
)
A
?
k
(
lA
)
?
l
(
kA
)
；
(
2
)
k
(
< br>A
?
B
)
?
kA
?
kB
；
(
3
)
(
k
?
l
)
A
?
kA
?
lA
，
其中
A
，
B
都是
m
?
n
矩阵，
k
，
l
为任意实数
.
性质
3
矩阵乘法满足的运算规律和性质：
(
1
)
结合律
(
AB
)
C<
/p>
?
A
(
BC
)
；
(
2
)
分配律
A
(
B
?
C
)
?
AB
?
AC
，
(
A
?
B
)
C
?
AC
?
BC
；
(
3
)
数与乘法的结合律
(
kA
)
B
?
A
(
kB
)
?
k
(
AB
)
；
(
4
)
当
A
，
B
均为
n<
/p>
阶方阵时，有
AB
?
A
B
；
(
5
)
(
AB
)
T
?
B
T
A
T
；
(
6
)
r
(
AB
)
?
min(
r
(
A
),
r
(
B
))
.[3]
性质
4
矩阵乘法不满足交换律：
?
1
0
?
?
0
0
?
例
< br> 1
已知
A
< br>?
?
?
，
B
?
?
1
0
?
.
求
AB<
/p>
和
BA
.
0<
/p>
0
?
?
?
?
解
AB
?
?
<
/p>
?
1
0
?
?
0
0
?
?
0
0
?
?
0
0
?
?
1
0
?
?
0
0
?
，<
/p>
.
?
BA
?<
/p>
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
?
?
1
0
?
?
0
0
?
?<
/p>
1
0
?
?
0
0
?
?
1
0
?
2.2
逆矩阵的定义与性质
2.2.1
逆矩阵的定义
定义
设
A<
/p>
为
n
阶矩阵，
如
果存在
n
阶矩阵
B
，
使得
AB
?
BA
?
I
成立，
< br>那么矩阵
A
称
为可逆矩阵，此时
矩阵
B
称为
A
的逆矩阵，简称为矩阵
A
的逆
.
如果
A
的逆矩阵不存在，
那么
A
称为不可逆矩阵
.
A
的逆矩阵记作
A
?
1
，即如果
AB
?
BA
?
I
，那么
B
?
A
?
1
.
6
南京师范大学泰州学院本科毕业论文
2.2.2
逆矩阵的性质
性质
1
如果
矩阵
A
可逆的，那么
A
的逆矩阵是唯一的
.
证明
设
B
，
C
都是
A
的逆矩阵，那么有
< br>B
?
BI
?
B
(
AC
)
?
(
BA
)
C
?
IC
?
C
，
所以
A<
/p>
的逆矩阵是唯一的
.
性质
2
如果
A
可逆，那么
A
?
1
可逆，且
(
A
?
1
)
?
1
?
A
.
性质
3
如果
A
可逆，数
?
?
0
，那么
?
A
可逆，且
(
?
A
)
?
1
?
性质
4
如果
A
可逆，那么
A
T
可逆，且
(
A
T
)
?
1
?
(
A
?
1<
/p>
)
T
.
性质
5
如果
A
，
B
都是<
/p>
n
阶可逆矩阵，那么
AB
可逆，且
(
AB
)
?
1
?
B
?
1
A
?
1
.
证明
因为
(
AB
)(
B
?
1
A
?
< br>1
)
?
A
(
BB
?
1
)
A
?
1
?<
/p>
AIA
?
1
?<
/p>
AA
?
1
?
I
(
B
?
1
A
?
1
)(
A
B
)
?
B
?<
/p>
1
(
A
?
1
A
)
B
?
B
?
1
IB
?
B
?
< br>1
B
?
I
所以
AB
可逆，且
(
AB
)
?
< br>1
?
B
?
1
A
?
1
.
[4]
1
?
A
?
1
.
3
逆矩阵的求法
3.1
用定义求逆矩阵
设
A
是一个
n
阶矩阵，如果存在
n
阶矩阵
A
，使
A
B
?
B
A
< br>?
I
，则称
A
< br>矩阵是可逆矩
阵，并称
B
是
A
的逆矩阵
.[5]
例
2
已
知
n
阶矩
阵
A
满足
A
2
?
A
?
I
，证
明
A
?
2
I
可逆，并
求
出它的
逆矩阵
(
A
?
2
I
)
?
1
.
证
由
A<
/p>
2
?
A
?
2
I
?
0
，得
(
A
?
3
I
)(
A
?
2
I
)
?
4
I
?
0
，则
(
A
?
2
I
)(
A<
/p>
?
3
I
)
?
4
I
?
0
，即
1
1
(
A
?
2
< br>I
)[
?
(
A
?
3
I
)]
?
I
且
[
?
(
A
?
3
I
)](
A
?
2
I
)
?
I
，
由
定
义
可
知
< br>，
A
?
2
I
可
逆
且
4
4
1
(
A
?
2
I
)
?
1
?
?
(
A
?
3
< br>I
)
.
4
7