-
傅里叶变换基础知识
1.
傅里叶级数展开
最简单有最常用的信号是
谐波信号
，
一般周期信号利用傅里叶级数展开
成多个乃至无
穷多个
不同频率的谐波信号，
即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线
性叠加而成。
1.1
周期信号的傅里叶级数
在有限区间上
，任何周期信号
x
(
t
)
只要满足狄利克雷（
dirichlet
）条件，都可以展开成
傅里叶级数。
1.1.1
狄利克雷（
dirich
let
）条件
狄利克雷（
dirichlet
）条件为：
（
1
）信号
x
(
t
)
在一个周期内只有有限
个第一类间断点（当
t
从左或右趋向于这个间断
点时，函数有左极限值和右极限值）
；
（
2
）信号
x
(
t
)
在一周期内只有有限
个极大值和极小值；
（
3
）信号在一个周期内是绝对可积分的，即
?
?
T
/2
x
(
t
)
dt
应为有限值
。
0
T
0<
/p>
/2
1.1.2
间断点
在非连续函数
y
?
f
(
x
)
中某点处
x
< br>0
处有中断现象，那么，
x
0<
/p>
就称为函数的不连续点。
（
1
）第一类间断点（有限型间断点）
：
a.
可去间断点：函数在该点左极限、右极限
存在且相等，但不等于该点函数值或函数
在该点无定义（
x
0
令分母为零时等情况）
；
b.
跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在
，但不相等（
y
?
x
< br>/
x
0
在点
x
?
0
处等
情况）
。
（
2
）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。
1.1.3
傅里叶级数三角函数表达式
傅里叶级数三角函数表达式为
x
(
t
)
?
a
0
?
?
(
a
n
cos
n
?
0
t
< br>?
b
n
sin
< br>n
?
0
t
)
n
?
1
?
式中：
a
0
为信号的常值分量；
a
n
为信号的余弦信号幅值；
b
n
为信号的正弦信号幅值。
a
0
、
a
n
、
b
n
分别表示为：
<
/p>
?
1
T
/2
a
?
0
?
x
(
t
)
dt
?
T
0
?
T
/2
?
< br>?
2
T
/2
a
?
?
n
?
?
T
/2
x
(
t
)
cos
n
?
0
tdt
T
0
?
?
2
T
/2
?
b
n
?
?
?
T
/2
x
(
t
)sin
n
?
0
tdt
T
0
?
式中：
T
0
为信号的周期；
?<
/p>
0
为信号的基频，即角频率，
?
0
?
2
?
/
T
0
，
< br>n
?
1,
2,
< br>3...
。
合并同频项也可表示为
0
0
0
0
0
0
x
(
t
)
?
a
0
?
?
A
n
co
s(
n
?
0
t
?
?
n
)
n
?
1
?
式中：信号的幅值
A
n
和初相位
?
n
分别为
2
A
n
?
a
n
?
b
n
2
?
n
?
arctan(
?
b
n
/
a
n
)
1.1.4
频谱的相关概念
（
< br>1
）
信号的频谱
（三角频谱）<
/p>
：
构成信号的各频率分量的集合，
表征信
号的幅值和相位
随频率的变化关系，即信号的结构，是
A
n
?
?
（或
A
n
?
f
）和
?
n
?
?
（或
?
n
< br>?
f
）的统称；
（
2
）
信号的幅频谱：周期
信号幅值
A
n
随
?
（或
f
）的变化关系，
用
A
n
?
?
（或
A
n
< br>?
f
）
表示；
< br>
（
3
）信号的相频谱：周期信
号相位
?
n
随
?
（或
f
）的变化关系，用
?
n
?
?
（或
?
n
?
< br>f
）
表示；
< br>（
4
）信号的频谱分析：对信号进行数学变换，获得频谱
的过程；
（
5
）基频：
?
0
或
f
0
，各频率成分都是
?
0
或
f
0
的整数倍；
（
6
）基波：
?
0
或
f
0
对应的信号；
(
?
0
t
?
?
n
)
（
7
）
n
次
谐
波
：
< br>
n
?
0
(n
?
2,3,...)
或
nf
0
(n
?
2,3,...)
的
倍
频
成
分
A
n<
/p>
c
o
s
n
或
A
n
cos(2<
/p>
?
nf
0
t
?
?
n
)
；
1.1.5
周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开
根据欧拉公式
e
?
j
?
t
1
cos
?
t
?
(
< br>e
?
j
?
t
?
e
j
?
t
)
2
?
cos
?
t
?
j
sin
?
t
(
j
?
?
1)
，则
1
?
j
?
t
sin
?
t
?
j(
e
?
e
j
?
t
)
2
?
n
?
1
因此，傅里叶级数三角函数表达式
x
(
t
)
?
a<
/p>
0
?
?
?
a
n
cos
n
?
0
t
?
b
n
sin
n
?
0
t
?
可改写成
?
a
?
jb
n
jn
?
0
t
a
< br>n
?
jb
n
?
jn
?
0
t
?
x
(
t
)
?
a
0
?
?
?
n
e
?
e
?
2
2
?
< br>n
?
1
?
?
令
C
0
?
a
0
C
n
?
C
?
n
则
x
(
t
)
?
< br>C
0
?
?
C
n
e
n
?
1
?
jn
?<
/p>
0
t
?
1
?
a
n
?
jb
n
?
2
1
?
?
< br>a
n
?
jb
n
?
2
?
?
C
n
e
n<
/p>
?
0
jn
?
0
t
?
?
C
?
n
e
n
?
1
?
< br>jn
?
0
t
?
?
C
n
e
n
?
1
?<
/p>
jn
?
0
t
?
n
??
1
?
C
e
n
??
jn
?
0
t
或
x
(
t
)
?
n
???
?
C
e
n
?
jn
?
0
t
n
?
0,
?<
/p>
1,
?
2,
??
?
这就是周期信号的傅里叶复指数形式的表达式。
2
T
0
/2
?
a
?
?
n
T
?
?
T
0
/2
x
(
t
)cos
n
?
0
tdt
1
1
?
0
将
?<
/p>
代入
C
n
?
?
a
n
?
jb
n
?
，则
C
n
?
T
/2
T
0
2
?
b
?
2
0
x
(
t
)sin
n
?
tdt
< br>n
0
?
T
0
?
?
T
0
/2
?
在一般情况下
< br>C
n
是复数，可以写成
C
n
?
C
nR
?
jC
nI
?
C
n
e
j
?
n
式中
?
T<
/p>
0
/2
?
T
0
/2
x
(
t
)
e
?
jn
?
0
t
dt
2
2
C
n
?
C
nR
?
C
nI
C
?
n
?
arctan<
/p>
nI
C
nR<
/p>
1
1
由
C
n
?
C
nR
?
jC
nI
?
C
n
e
j
?
n
，
C
< br>n
?
?
a
n
?
jb
n
?
，
C
?
n<
/p>
?
?
a
n
?
jb
n
?
可表示为
2
2
1
?
a
n
?
jb
n
?
?
C
n
?
e
j
?
n
2
1
C
?
n
?
?
a<
/p>
n
?
jb
n
?
?
C
n
?
e
?
j
?
n
2
< br>C
n
?
则
x
(
t
)
?
n
???
?
C
e
n
?
jn<
/p>
?
0
t
n
?
0,
?<
/p>
1,
?
2,
??
?
变为
jn
?
0
t<
/p>
x
(
t
)
?
C
0
?
?
C
n
e
n
?
1
?
?
?
C
?
n
e
n
?
1<
/p>
?
?
jn
?
0
t
j
?
n
?
0
t
?
?
n
?
< br>j
?
?
n
?
0
t
?
?
n
?
?
?
C
0
?
?
?
C
e
?
C
e
0
< br>0
?
?
n
?
1
?
由此可见，周期信号用复指数
形式展开，相当于在复平面内用一系列旋转矢量
C
0
e
j
?
n
?
0
t
?
?
n
?
来描述，但是，负频率的出
现，仅仅是数学推导的结果，并无实际物理意义。
Im
O
Re
1.1.6
傅里叶级数的复指数与三角函数展开关系
1
由
C
n
?
?
a
n
?<
/p>
jb
n
?
，
C
n
?
C
nR
?
jC
nI
?
C
n
e
j
?
n
可知：
2
C
nR
?
a
n
/
< br>2
C
nI
?
?
b
n
/
2
2
2<
/p>
2
2
综合
A
n
?
a
n
，
C
n
?
C
nR
表示为
?
b
n
?
C
nI
2
2
< br>C
n
?
C
nR
?
C
nI
?
?
a
n
/
2
?
2
?
?
?
b
n
/
2
?
?
A
n
/
2
< br>
2
即双边频谱的幅值
C
n
是单边频谱幅值
A
n
的一半。
由
?
n
?
arctan
C
nI
，
C
< br>nR
?
a
n
/
2
，
C
nI
?
?
b
n
/
2
可知：
C
nR
?
n<
/p>
?
arctan
?
b
n
/
a
n
?
三角函数展开
常值分量
余弦分量幅值
正弦分量幅值
振幅
相位
表达式
a
0
?
C
0
a
n
?
2
C
nR
b
n
?
?
2
C
nI
复指数展开
复指数常量
复数
C
n
的实部
复数
C
n
的虚部
< br>
复数
C
n
的模
相位
表达式
C
0
?
a
0
C
nR
?
a
n
/
2
C
nI
?
?
b
n
/
2
< br>
A
n
?
2
C
n
C
n
?
A
n
/
2
?
n
?
arctan
?<
/p>
?
b
n
/
a
n
?
?
n
?
arctan
?
?
b
n
/
a
n
?
2
傅里叶变换
出准周期函数之外的非周期信号称为一般周期信号，
也就是瞬态信号。
瞬态信号具有瞬
变性，
例如锤子敲击力
的变化、
承载缆绳断裂的应力变化、
热电偶插入加热的液体中温
度的
变化过程等信号均属于瞬态信号。瞬态信号是非周期信号，可以看作一个周期的周期
信号，
即周期
T
??
< br>。因此，可以把瞬态信号看作周期趋于无穷大的周期信号。
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