-
袇
（
1
章）
6
从
52
张扑克随机抽出两张牌。如果已知两张的花色不同，则他们都是
A
的条件概率是多少？
解：设第一次取出
A
的事件为
A1
，第二
次取出不同花色
A
的事件为
A2,
则
p(A1A2)=P(A1)p(A2/A1)
因为
p(A1)=4/52=1/13p(A2/A1)=3/52-13=3
/39=1/13,
所以
p(A1A2)=1/169
7
若
A,B
独立，证
明下列事件也独立：
a)A
和
B^cb
)A^c
和
B^c
芅
证明：
a)
因为
p
（
B
）
+p(B^c)=1,p(B/A)+P(B^c/A)=1,
所以
p(B^cA)=p(A)xp(B^c/A)=p(A)[1-p(B/A)]=p(A)
袃
-p(A)p(B)=p(A)[
1-p(B)]=p(A)p(B^c),
所以
A
和
B^c
独立
薂
b)p(A^c)p(B^c)=
p(B^c)p(A^c/B^c)=p(B^c)[1-p(A/B^c)=p(B^c)-p(B^c)p(
A/B^c)=p(B^c)-p(A^cB^
袁
c)=p(B^c)-p(A)P(B^c)=p(B^c)[1-p(A)]=p(B^c)p
(A^c),
所以
A^c
和
B^c
独立。
9
四辆公共汽车载着
152
位学生从同一学校出
发去足球场。四辆车分别载乘
39,33,46,34
位学生。
如果
肄
薃
蒀
羇
从
152
位学生中任意选取一位，记
X
为被选中
的学生所乘坐的汽车里的学生数。四辆公共汽车的司机也随机
选取一位，令
Y
为那位司机驾驶的汽车里的乘坐学生人数。
蚂
a)
你认
为
E
（
X
）和
E
（
Y
）哪一
个大？
b)
求出
E(X)
和
E(Y)
羈
解
：
a)E(X)
大<
/p>
。
b)
由
题
意
知
X
可
取
39,33,46,34
。
< br>Y
可
取
39,33,46,34
。
所
以
X=3
9,p(x)=39/152,x=33,p(x)=33/152,x=46,p(x)=46/152,x=
34,p(x)=34/152,
同理
p(Y=39)=1/4
虿
P(Y=33)=1/4,P(Y
=46)=1/4,P(Y=34)=1/4,
蚅
所以
E
（
X
）
=39x39/152+33x33/152+46x46/152+3
4x34/152=5882/152=38.697
螂<
/p>
E(Y)=39x1/4+33x1/4+46x1/4+34x1/4=38
袆
荿
10<
/p>
两位选手比赛兵兵球，
当一个选手赢了两局时比赛结束。
设每位选手赢每一局概率相等，
且每一局的结果都
是独立的。求比赛总局数的期望值和方差。
解：设
x
为比赛的总局数，则
x
可取
2,3
，则
p(x=2)=1/
2x1/2x2=1/2,p(x=)=1/2x1/2+1/2x1/2=1/2
E
(X)=2x1/2+3x1/2=5/2,x^2=4,9,p(x^2=4)=1/2,p(x^2=9)=
1/2,E(x^2)=4x1/2+9x1/2=13/2
膇
蒄
所以
var(x)=E(x^2)-[E(x)]^2=13/2-
(5/2)^2=1/4.
11.
袂
12.
螀
证明
Var
(
X
)
?
E
[
X
]
?
(
E
[
X<
/p>
])
衿
2
2
证明：
Var
(
X
)
?
E
[(
X
?
E
[
X
])
2
?
E
[
X
2
?
2
< br>XE
[
X
]
?
(
E
[
X
])
2
]
?
E
[
X
2
]
?
2
(
E
[
X
])
2
?
(
E
[
X
])
2
< br>?
E
[
X
2
]
?
(
E
[
X
])
2<
/p>
12
一位律
师要决定收取固定费用
5000
美元，
还是收取胜诉酬金
25000
美元
（输
掉则一无所获）
。
他估计打赢的
概率为
0.3
，求他收取的费用的均值和方差，如果
< br>a)
收取固定费用
b)
收取胜诉
酬金费用。
羂
x)]^2=0,
所以
s=0.b)
由题意知
x=0,25000,
则
p
(x=0)=1-0.3=0.7,p(x=25000)=0.3,E(x)=0.7x0+
膁
25000x0.3=7500,
莆
S=
根号
下
var(x)=11456.439
14.
膃
15.
芅
证明：
Cov
(
x
,
y
)
?
E
[
xy
]
?
E
[
x
]
E
[
y
]
肂
证明：
C
ov
(
x
,
y
)
?
E
[(<
/p>
x
?
E
(
x
)(
y
?
E
(
y
)]
?
E
[
xy
?
xE
(
y
)
?
yE
(
< br>x
)
?
E
(
x
)
E
(
y
)]
<
/p>
18
设任意给定的时间内，某股票价格只能等概率的增加
1
或减少
1
，
且不同时期股票变化是独立的。
记
X
为股
票在第一时间段内增加
1
或减少
1
的数量，
Y
为前三段时间内累计上升的数量，求
X,Y
相关性。
肈
解：<
/p>
E
（
X
）
=0,E(X^2)=1,var(x)=E(X^2)-[E(X)]^2=1
羄
E(Y)=0,E(Y^2)=3
,var(y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=3
莇
膂
E(XY)=1,Cov(X,Y)=E(X,Y)-E(X
)E(Y)=1,
?
(
X
,
Y
)
?
< br>Cov
(
X
,
< br>Y
)
1
3
?
?
?
0
所
以
X,Y
呈正相关。
3
Var
(
x
)
Var
(
y
)
3
螈
（
2
章）
4
设
x
为正态随机变量，均值为
u
，方差为
&^2,y=a+bx,
如果
y
和
x
服从相同的
分布，求
a
和
b
的值（
a
不等于
0
< br>）
，并求出
Cov(x,y).
解：因为
E(X)=u,var(x)=&^2,y=a+bx
,
所以
E(Y)=a+bu,var(y)=b^2u^2,<
/p>
又因为
x
和
y<
/p>
服从相同的分布，所以
a+bu=u,&^2=b^2&^2,<
/p>
因为
a
不等于
0
，所以
b=-1,a=2u,
即
y=2u-x,
Cov(x,y)=cov(x,a+bx)=co
v(x,a)+bCov(x,x)=-&^2.
5
成年男子
的血液收缩压服从均值为
127.7
，标准差为
19.2
的正态分布，求：
a)68%
的成年男子血液收缩压的取
值范围。
b)95%
的成年男子血液收缩压的取值范围。
c)99.9%
< br>成年男子血液收缩压的取值范围。
解：
a)
设陈年男子血液收缩压为
X,E
< br>为对应的正态随机变量，即
E=
（
X-127
）
/19.2
u=12
7.7,&=19.2,
所以
|&|<=19=0.682,<
/p>
所以
-1<=(E-127.7)/19.2<=1,
即
108.5<=E,
所以取值范围为
[108.5,146.9]
b)
由表可得
p{|E|<=2}=0.9544,
即
-2<=(E-127.7)/19.2<=2,89.3<=E<=166.1,
所以取值范围
[89.3,166.1]
c)p{|E|<=3}=0.9974,
即
-3<=(E-1
27.7)/19.2<=3,
解得
70.1<=E<=185
.3,
所以取值范围
[70.1,185.3].
蒆
螃
膂
腿
芈
袆
芁
薀
蚆
第
4
章
薅
1
若
10%
的名义利率分别
为：
a)
半年计息一次的复利
b)
每季度计息一次的复利
c)
连续复利
莁
其对应的有效利率分别是多少？
羁
解：
a)
reff=(1+r/2)^2-1=10.25%b)reff=(1+r/4)^4-1=10.38%c)
e^r-1=10.52
2
将钱存入银行，银行支付的名义利
率为
10%
。如果利率是连续复利利率，多久存入的钱是原来的
两倍？
解：
pe^rt=2pe^1
0%t=2t=6.93
需要
7
年才能
变为原来的两倍
3
如果利率为
5%,
每年计息一次，那么大约要多少年才能使你的钱变为原来的
4
倍？如果利率变为
4%
< br>又要多少
年？
肈
解：
p(1+r)^n=4p
当
r=5%
时，
（
1+0.05)^n=4,n=28.41
。当然
r=
4%
，
(1+0.04)^n=4,n=35.35
4
如果利率为年复利利率
r,
< br>请给出一个公式，用它来估计多少年使你的钱变为原来的
3
倍。
解：由
limp(1+r/n
)^nt=pe^rtpe^rt=3p,e^rt=3t=lin3/r
5
假设年名义利率固定在
6%
，每月计息一次。在
未来
60
个月中，每月需要投资多少钱，才能在
60
个月后得到
100000
美元？
葿
解：
p[(1+r/12)+(1+r/12)^2+
…
+
（
1+r/12)^60]=100000
pX1+r/12[1-(1+r/12)^60]/1-(1+r/12)=100000
薈
pX1.005(1-1.35)
/-0.05=100000p=100000/70.37=1421.46,
所以每
月需要投资
1421.46
美元。
<
/p>
6
一个投资的年现金流：
-1000
，
-1200,800,900,800.
年利率为
6%
。对于一个既可以借款也可以存款的的人，
这是否是一个值得的投资？
解：现值
=-1000+-1200/(1+60%)+800/(1+60%)^2+900/(1+
60%)^3+800/(1+60%)^4
=-1000+(-1132.08)+
712+755.66+633.67=-30.75<0,
所以不值得投资。
莈
莄
蒁
袆
膃
薁
膆
蚁
袀
8
一个五年期、面值为
10000
美元、具有
10%
票息率的债权，价值为
10000
美元。在今后五年中，每六个月支
付给持有者
500
美元，并且将在这十次支付末再支付本金
10000
美元。如果每月计息一次的利率为：
a)6%b)10%c)12%
求出其现值。
羄
解
：（<
/p>
1
）
当
r=6%
时
，
B=1/(1+0.6)=0.9
4pv(a)=500x(0.94)^6+500x(0.94)^12+500x(0.94)^18+
…
+500x(0.94)^60+500x(0.94)^100
=1085+244=1329
螁
(2)
当
r=10%
时
，
B=1/(1+0.1)=0.91PV(a)=500x0.91^6+5
00x0.91^12+
…
+500x0.91^60+100
00x0.91^60=653+34=687
芀
(3)
当
r=12%,B=1/(1+0.12
)=0.89pv(a)=500x0.89^6+500x0.89^12+
…
+500x0.89^60+10000x0.89^60=493+9=502
螇
9
一个朋
友购买了一套新的价值
4200
美元的音响系统。他同意预付定
金
1000
美元，并在一个月后开始每月支
肅