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＂复数的引入与运算规则＂

作者：高考题库网
来源：https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2023-05-24 15:27
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复数是由实数和虚数部分组成的数，虚数部分以单位虚数i表示，其中i满足i? = -1。引入复数的目的是扩展实数域，使得方程在实数范围内无解的情况下也能有解。复数可以表示为a + bi的形式，其中a为实数部分，bi为虚数部分。 复数的运算规则如下： 复数的加法：将实部和虚部分别相加。例如，(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。 复数的减法：将实部和虚部分别相减。例如，(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。 复数的乘法：按照分配律展开并利用虚数单位i的平方等于-1，进行运算。例如，(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi? = (ac - bd) + (ad + bc)i。 复数的除法：将除数和被除数同时乘以除数的共轭复数的倒数，并进行化简。例如，(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c - di)/(c + di)(c - di) = (ac + bd)/(c? + d?) + (bc - ad)i/(c? + d?)。 复数的共轭：将复数的虚部改变符号得到共轭复数。例如，对于复数a + bi，它的共轭复数是a - bi。 复数的模：复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算得到。对于复数a + bi，它的模表示为|a + bi| = √(a? + b?)。 复数的幂运算：复数的幂运算可以通过欧拉公式进行计算。欧拉公式表示为e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中e是自然对数的底，i是虚数单位。根据欧拉公式，可以将复数表示为模长和幅角的形式，然后进行幂运算。 这些是复数的基本运算规则，它们使得复数可以进行加减乘除等运算。复数在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用，比如在电路分析中用于表示交流电信号、在量子力学中用于描述物理系统的波函数等。
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