佳木斯大学会计专硕-写景
。
。
2017
年广东省高考数学试卷（理科）
（全国新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1
．
（
5
分）已知集合
A
＝
{
x
|
x
＜
1}
，< /p>
B
＝
{
x
|3
＜
1}
，则（
）
< /p>
A
．
A
∩
B
＝
{
x
|
x
＜
0}
B
．
A
∪
B
＝
R
C
．
A
∪
B
＝
{
x
|
x
＞
1}
D
．
A
∩
B
＝
?
x
2
．
（
5
分）如图 ，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部
分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色
部分的概率是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
3
．
（
5
分）设有下面四个命题
p
1
：若复数
z
满足
∈< /p>
R
，则
z
∈
R
；
p
2
：若复数
满足
z
∈
R
，则< /p>
z
∈
R
；
p
3
：若复数
z
1
，
z
2
满足
z
1
z
2
∈<
/p>
R
，则
z
1
＝
p
4
：若复数
z
< p>∈R
，则
∈
R
．
其中的真命题为（
）
A
．
p
1
，
p
3
B
．
p
1
，
p
4
C
．
p
2
，
p
3
D
．
p
2
，
p
4
；
2
4
．
（
5
分）
记
S
n
为等差数列
{
a
n<
/p>
}
的前
n
项和．
若
a
4
+
a
5
＝
24
，
S
6
＝
48
，
则
{
a
n
}
的公差为
（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
4
D
．
8
5
．
（
5
分）函数
f
（
< p>x）在（﹣∞，
+
∞）单调递减，且为奇函数．若
< p>f（
1
）＝﹣
1
，则满足﹣< /p>
1
≤
f
（
x
﹣
2
）≤
1
的
x
的 取值范围是（
）
A
．
[
﹣
2
，
2]< /p>
6
．
（
5
分）
（
1+
A
．
15
B
．
[
﹣
1
，
1]
6<
/p>
2
C
．
[0
，
4]
D
．
[1
，
3]
）
（
1+
x
）
< p>展开式中x
的系数为（
）
B
．
20
C
．
30
第
页（共
24
页）
D
．
35
<
/p>
7
．
（
5
分）某多面体的三 视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形
组成，
正方形的边长为
2
，
俯视图为等腰直角三角形，
该 多面体的各个面中有若干个是梯
形，这些梯形的面积之和为（
）
A
．
10
B
．
12
C
．
14
D
．
16
8
（
5
分）如图程序框图是为了求出满足
3< /p>
﹣
2
＞
1000
的最小偶数
n
，那么在
两个空白框中，可以分别填入（
）
n
n
和
A
．
A
＞
1000
和< /p>
n
＝
n
+1
C
．
A
≤
1000
和
< p>n＝
n
+1
B
．
A
＞
1000
和
n< /p>
＝
n
+2
D
．
A
≤
1000
和
< p>n＝
n
+2
）
，则下面结论正确的是（
）
9
．
（
5
分）已知曲线
C
1
：
y
＝
cos
x
，
C
2
：
y
＝
sin
（
2
x
+
A
．
< p>把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的
2
倍，
纵坐标不变，
再把得到的曲线向右平移
< p>个单位长度，得到曲线
C
2
B
．
把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的
2
倍，
纵坐标不变，
再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线<
/p>
C
2
第
2
页（共
24
页）
C
．把
< p>C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐 标不变，
再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线
C
2
D
把
C
1
上各点的横坐标缩
短到原来的
倍，
纵坐标不变，
再把得到的曲线向左平移
< p>个单位长度，得到曲线
C
2
10
．
（
5
分）已知
F
为抛物线
C
：
y
＝
4
x
的焦点，过
F
作两条互相垂直的直线
l
1
，
l
2
，直线
l
1
与
C
交于
A
、
B
两点，直 线
l
2
与
C
交于
D
、
E
两点，则
|
AB
|+|
DE
|
的最小值为（
）
A
．
16
B
．
14
x
z
2
C
．
12
D
．
10
11
．
（
5
分）设
x
、
y
、
z
为正数，且
2
＝
3
＝
5
，则（
）
A
．
2
x
＜
3
y
＜
5
z
B
．
5
z
＜
2
x
＜
3
y
C
．
3
y
＜
5
z
＜
2
x
D
．
3
y
＜
2
x
＜
5
z
12
．
（
5
分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件 ．为激发大家学习数学
的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软
件的激活码为下面数
学问题的答案：已知数列
1
，
1
，
2
，
1
，
< p>2，
4
，
1
，
2
，
4
，
8
，
1< /p>
，
2
，
4
，
8
，
16
，…，其中
第一项是
2< /p>
，接下来的两项是
2
，
2
，再接下来 的三项是
2
，
2
，
2
，依此类推．求满
足如下条件的最小整数
N
：
N
＞
100
且该数列的前
N
项和为
2
的整数幂．
那么该款软件的
激活
码是（
）
A
．
440
B
．
330
C
．
220
D
．
110
0
0
1
0
1
2
二、填
空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
< p>20分．
13
．
（
5
分）已知向量
，
的夹角为
60< /p>
°，
|
|
＝
2
，
|
|
＝
1
，则
|
+2
|
＝
．
14
（
5
分）设
x
，
< p>y满足约束条件
，则
z
＝
3< /p>
x
﹣
2
y
的最小值为
．
15
．
（
5
分）已知双曲线< /p>
C
：
﹣
＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
< p>0）的右顶点为
A
，以
A
为圆 心，
b
为
半径作圆
A
，圆
A
与双曲线
C
的一条渐近线交于
M
、
N
两点．若∠
MAN
＝
60
°，则
C
的
离心率为
．
16
．
（
< p>5分）如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为
5
cm
，该纸片上的等边三角形
ABC
的中心
为
O
．
D
、
E< /p>
、
F
为圆
O
上的点，△
DBC
，△
ECA
，△
F
AB< /p>
分别是以
BC
，
CA
，
AB
为底边
的等腰三角形．
沿虚线剪开后，
< p>分别以BC
，
CA
，
AB
为折痕折起△
DBC
，
△
ECA
，
△
F
AB
，
使
得
D
、
E
、
F
重合 ，
得到三棱锥．
当△
ABC
的边长变化时，
所得三棱锥体积
（单位：
cm
）
的最大值为
．
第
3
页（共
24
页）
3
三、解
答题：共
70
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17
～
21
题为必考
题，每个试题考生都
必须作答．第
22
、
23
题为选考题，考生根据要 求作答．
17
．
（
12
分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，< /p>
b
，
c
，已知△
ABC
的面积为
（
1
）求
sin
B
sin
C
；
（
2
）若
6cos
B
cos
C
＝
1
，
a
＝
3
，求△
ABC
的周长．
18
．
（
12
分）如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，
AB
∥
CD
，且∠
BAP
＝∠
CDP
＝
90
°．
（
1
）证明：平面
P
AB
⊥平面
P
AD
；
（
2
）若
P
A
＝
PD
＝
AB
＝
DC
，∠
APD
＝
90
°，求二面角
A
﹣
PB
﹣< /p>
C
的余弦值．
．
19
．
（
12
分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽
取
16
个零件，并测量其尺寸（单位：
cm
）
．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正
常状态下生产的零件的
尺寸服从正态分布
N
（
μ
，σ
）< /p>
．
（
1
）假设生产状态正 常，记
X
表示一天内抽取的
16
个零件中其尺寸在 （
μ
﹣
3
σ，
μ
+ 3
σ）之外的零件数，求
P
（
X
≥
1
）及
X
的数学期望；
（
2
）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（
μ
﹣
3
σ，
μ
+3
σ）之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需
对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的
16
个零件的尺寸：
9.95
10.26
经计算得
＝
10.12
9.91
9.96
10.13
＝
9.97
，
s
＝
9.96
10.02
10.01
9.22
＝
9.92
10.04
9.98
10.05
10.04
9.95
≈
0.212
，
2
第
4
页（共
24
页）
其中
x
i
为抽取的第
i
个零件的尺寸，
i
＝
1
，
2
，…，
16
．
用样本平均数
作为
μ
的估计值
，用样本标 准差
s
作为σ的估计值
，利用估计值判
断
是否需对当天的生产过程进行检查？剔除
的数据估计
μ
和 σ（精确到
0.01
）
．
之外的数据，
用剩下
附：
若随机变量
Z
服从正态分布
N
（
μ
，
< p>σ）
，
则
P
（
μ
﹣
3
σ＜
Z
＜
μ
+3
σ）
＝
0.9974
，
0.9974
≈
0.9592
，
≈
0.09
．
+
2
16
20
．
（
12< /p>
分）已知椭圆
C
：
＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，四点
P
1
（
1
，
1
）
，
P
2
（
0
，
1
）
，
P
3
（﹣
1
< p>，
）
，
P
4
（
1
，
）中恰有三点在椭圆
C
< p>上．
（
1
）求
C< /p>
的方程；
（
2
）设直线< /p>
l
不经过
P
2
点且
与
C
相交于
A
，
B
两点．若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的
和为﹣
1
，证明：
l
过定点．
21
．
（
12
分）已知函 数
f
（
x
）＝
ae
+
（
a
﹣
2
）
e< /p>
﹣
x
．
（
1
）讨论
f
（
x
）的单调性；
（
2
）若
f
（
x
）有两个零点，求
a
的取值范围．
< p>
[
选修
4-4
，坐标系与参数方程
]
22
．
（
< p>10分）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
l
的参数方程为
，
（
t
为参数）
．
，
（
θ
为参数）
，直线< /p>
2
x
x
（
1
）若
a
＝﹣
1
，求
C
与
l
的交点坐标；
（
2
）若
C
上的点到
l
距离 的最大值为
[
选修
4-5
：不等式选讲< /p>
]
23
．已知函数
f
（
x
）＝﹣
x
+
ax< /p>
+4
，
g
（
x
）＝< /p>
|
x
+1|+|
x
﹣
1|
．
（
1
）当
a
＝
1
时，求不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的 解集；
（
2
）若不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集包含
[
﹣
1
，
< p>1]，求
a
的取值范围．
2
，求
a
．
< /p>
第
5
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24
页）
2017
年广东省高考数学试卷（理科）
（全国新课标Ⅰ）
< br>
参考答案与试题解析
一、选
择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求
的．
1
．
【解答】
解： ∵集合
A
＝
{
x
|
x
＜
1}
，
B
＝
{
x
|3
＜
1}
＝
{
x
|
x
＜
0}
，
∴
A
∩
B
＝
{
x
|
x
< p>＜0}
，故
A
正确，
D
错误；
A
∪
B
＝
{
x
|
x
＜
1}
，故
B
和
C
都错误．
故选：
A
．
2
．
【解答】
解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一 半，设圆的半径为
1
，则正方
形的边长为
2
，
则黑色部分的面积
S
＝
，
x
则对应概率
P
＝
故选：
B
．
＝
，
3
．
【解答】
解：若复数
z
满足
∈
R
，则
z
∈
R
，故命题
p
1
为真命题；
< br>p
2
：复数
z
＝
i
满足
z
＝﹣
1
∈
R
，则
z
?
R
，故命题
p
2
为假命题；
< br>p
3
：若复数
z
1
＝
i
，
z
2<
/p>
＝
2
i
满足
z
1
z
2
∈
R
，但
z
1
≠
，故 命题
p
3
为假命题；
2
p
4
：若复数
z
∈
R
，则
＝
z
∈
R
，故命题
p
4
为真命题．
故选：
B
．
4
．
【解答】
解：∵
S
n<
/p>
为等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和，
a
4
+
a
5
＝
24
，
S
6
＝
，
∴
，
解得
a
1
＝﹣
2
，
d
＝
4
，
∴
{
a
n
}
的公差为
4
．
故选：
C
．
5
．
【解答】
解：∵函数
f
（
x
）为奇函数．
第
6
页（共
24
页）
若
f
（
1
）＝﹣
1
，则
f
（﹣
1
）＝
1
，
又∵函数
f
（
x
）在（﹣∞，
+
∞）单调递减，﹣
1
≤
f
（
x
﹣
2
）≤
1
，
∴
f
（
1
）≤
f
（
x
﹣
2
）≤
f< /p>
（﹣
1
）
，
∴﹣
1
≤
x
﹣
2
≤
1
，
解得：
x
∈
[1
，
3]
，
故选：
D
．
6
．
【解答】
解：
（
1+
< p>若（
1+
的系数：
若（
1+
）提供
x
6
< br>﹣
2
）
（
1+
< p>x）
展开式中：
﹣
2
6
）＝（
1+
x
）提供常数项
1
，则（
1+
x
）
提供含有
x
的项，可得展开式中
x
6
2
2
项，则（
1+< /p>
x
）
提供含有
x
的项，可得展开式中
x
的系数：
．
2
6
4
2
由（
1+
x
）
通项公式可得
可
知
r
＝
2
时，可得展开式中
x
的系数为
可知
r
＝
4
时，可得展开式中
x
的系数为
（
1 +
6
2
2
．
．
）
（
1+
x
）
展开式中
x
的系数为：< /p>
15+15
＝
30
．
故选：
C
．
7
．
【解答】
解：由三视图可画出直观图，
该立体图中只有两个相同的梯形的面，
S
梯形
＝
×
2
×（
2+4
）＝
6
，
∴这些梯形的面积之和为
6
×
2
＝
< p>12，
故选：
B
．
8
．
【解答】
解：因为要求
A
＞
1000
时输出，且框图中在“否”时输出，
第
7
页（共
24
页）
所以“
”内不能输入“
A
＞
1000
”
< p>，
又要求
n
为偶数，且
< p>n的初始值为
0
，
所以“
”中
n
依次加
2
可保证其为 偶数，
所以
D
选项满足要求，
故选：
D
．
9
．
【解答】
解：把
C
1<
/p>
上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
y
＝
cos2
x
图象，
再把 得到的曲线向左平移
＝
sin
（
2
x
+
故选：
D
．
10
．
【解答】
解：如图，
l
1
⊥
l
2
，直线
l
1
与
C
交于
A
、
B
两点，
直线
l
2
与
交于
D
、
E
两点，
要使
|
AB
|+|
DE
|
最小，
则
A< /p>
与
D
，
B
，
E
关于
x
轴对称，即直线
DE
的斜率为
1
，
又直线
l
2
过点（
1
，
0
）
，
则直线
l
2
的方程为
y
＝
x
﹣< /p>
1
，
联立方程组
，则
y
﹣
4
y
﹣
4
＝
0
，
2
个单位长度，
得到函数
y
＝
cos2
< p>（x
+
）
＝
cos
< p>（2
x
+
）
）的图象
，即曲线
C
2
，
∴
y
1
+
y
2
＝
4
，
y
1
y
2
＝﹣
4
，
∴
|
DE
|
＝
?
|
y
1
﹣
y
2
|
＝
×
＝
8
，
∴
|
AB
|+|
DE
|
的最小值为
2|
DE
|
＝
1 6
，
方法二：设直线
l
1
的倾斜角为
θ
，则
l
2
的倾斜角为
根据焦点弦长公
式可得
|
AB
|
＝
|
DE
|
＝
＝
＝
＝
+
θ
，
∴
|
AB
|+|
DE
|
＝
∵
0
＜
sin
2
θ
≤
1
，
2
+
＝
＝
，
< br>第
8
页（共
24
页）
∴当
θ
< p>＝45
°时，
|
AB
|+|< /p>
DE
|
的最小，最小为
16
，
故选：
A
．
11
．
【解答】
解：
x
、
y
、
z
为正数，
令
2
＝
3
＝
5
＝
k
＞
1
．
lgk
＞
0
．
则
x
＝
，
y
＝
，
z
＝
．
x
y
z
∴
3
y
＝
，
2
x
＝
，
5
z
＝
．
∵
∴
＝
＞
lg
＞
＝
，
＞
0
．
< p>
＞
＝
．
∴
3
y
＜
2
x
＜< /p>
5
z
．
另解：
、
y
、
z
为正数，
令
2
＝
3
＝
5
＝
k
＞
1
．
lgk
＞
0
．
则
x
＝
∴
＝
，
y
＝
＝
，
z
＝
．
x
y
z
＞
1
，可得
2
x
＞
3
y
，
＝
＝
＞
1
．可得
5
z
＞
2
x
．
综上可
得：
5
z
＞
2
x
＞
3
y
．
第
9
页（共
24
页）
解法三：对
k
取特殊值，也可 以比较出大小关系．
故选：
D
．
1
2
．
【解答】
解：设该数列为
{
a
n
}
，设
b
n
＝
+
…
+
＝
2
n
+1
﹣
1
，
（
n
∈
N
+
）
，则
＝
a
i
，
1
2
由题意可设数列
{
a
n
}<
/p>
的前
N
项和为
S
N
，
数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
T
< br>n
，
则
T
n
＝
2
﹣
1+2
﹣
1+< /p>
…
+2
n
+1
﹣
1
＝
2
n
+1
﹣
n
﹣
2
，
时（
n
∈
N
+<
/p>
）
，数列
{
a
n<
/p>
}
的前
N
项和为数列
{
b
n
}
的前
n
项和，即为
2
n
+1
可
知当
N
为
﹣
n
﹣
2
，
容易得到
N
＞
100
时，
n
≥
14
< p>，
A
项，
由
项符合题意．
B
项，仿上可知
＝
325
，可知
S
330
＝
T
25
+
b
5
＝
2
﹣
25
﹣
2+2
﹣
1
＝
2
+ 4
，显然不
26
5
26
< br>＝
435
，
440
＝
435 +5
，
可知
S
440
＝
T
29
+
b
5
＝
2
﹣
29
﹣
2+2
﹣
1
＝
2
，
故
A
30
5
30
为
2
的整数幂，故
B
项不符合题 意．
C
项，仿上可知
＝
210
，可知
S
220
＝
T
20
+
b
1
0
＝
2
﹣
20
﹣
2+2
﹣
1
＝
2
+2
﹣
23
，
21
10
21
10
显然不为
2
的整数幂，故
C
项不符合题意．
D
项，仿 上可知
＝
105
，可知
S
110
＝
T
14
+
b
5
＝
2
﹣
14
﹣
2+2
﹣
1
＝
2
+15
，显然不
15
5
15
为
2
的整数幂，故
D
项不符合题意．
故选
A
．
方<
/p>
法
二
：
由
题
意
可
知
：
，
，
，
< p>…
，
根据等比数列前
n< /p>
项和公式，求得每项和分别为：
2
﹣
1
，
2
﹣
1
，
2
﹣
1
，…，
2
﹣
1
，
每项含有的项数为：
1
，
2
，
3
，…，
n
，
总共的项数为
N
＝
1+2+3+
…
+
n
＝
1
2
3
1
2
3
n
，
n
1
2
3
n
所有项数的和为
S
n
：
2
﹣
1+2
﹣
1 +2
﹣
1+
…
+2
﹣
1
＝
（
2
+2
+2
+
…
+2
）
﹣
n
＝
﹣
n
＝
2
<
/p>
n
+1
﹣
2
﹣
n
，
第
10
页（共
24
页）
由题意可知：
2
n
+1
为<
/p>
2
的整数幂．只需将﹣
2
﹣
n
消去即可，
+2
＝
3
，不满足
N
＞
100
，
< /p>
+3
＝
18
，不满足
N
＞
100
，
+4
95
，
不满足
N
＞
100
，
+5
＝
440
，满足
N
＞
则
①< /p>
1+2+
（﹣
2
﹣
n
）＝
0
，解得：
n
＝
1
< p>，总共有
②
1+2+4+
（﹣
2
﹣
n
）＝
0
，解得：
n
＝
5
，总共有
③
1+2+ 4+8+
（﹣
2
﹣
n
）
< p>＝0
，
解得：
n
＝
< p>13，
总共有
④
1+2+4+8+1 6+
（﹣
2
﹣
n
）＝
0
，解得：
n
＝
29
，总共有< /p>
100
，
∴该款软件的激活码
440
．
故选：
A
．
二
、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．
13
．
【解答】
解：
【解法一】向量
，
的夹角为
60
°，且
|
|
＝
2
，
|
|
＝
1
，
∴
2
＝
+4< /p>
?
+4
2
＝
2
+4
×
2
×
1
×
cos60
°
+4
×
1
＝
12
，
< /p>
∴
|
+2
|
＝
2
．
【解法二】根据题意画出图形，如图所示；
结合图形
＝
+
＝
+2
；
在△
OAC
中，由余弦定理得
|
|
＝
．
．
＝
2
，
即
|
+2
|
＝
2
故答案为：
2
第
11
页（共
24
页）
14
．
【解答】
解：由
x
，
y
满足约束条件
作出 可行域如图，
由图可知，目标函数的最优解为
A
，
< /p>
联立
，解得
A
（﹣
1
，
1
）
．
∴<
/p>
z
＝
3
x
﹣
2
y
的最小值为﹣
3
×
1
﹣
2
×
1
＝﹣
5
．< /p>
故答案为：﹣
5
．
15
．
【解答】
解：双曲线
C
：
﹣
＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的右顶点为
A
（
a
，
0
）
，
以<
/p>
A
为圆心，
b
为半径做圆
A
，圆
A
与双曲线
C
的一条渐近线交于
M
、
N
两点．
若∠
MAN
＝
60
°，可得
A
到渐近线
bx
+
ay
＝
0
的距离为：
b
cos30
°＝
< br>可得：
＝
，即
，可得离心率为：
e
＝
．
，
故答案为：
．
BC
，
16
．
【解答】
解法一：由题意，连接
OD
，交
B C
于点
G
，由题意得
OD
⊥
BC
，
OG
＝
即
OG
的长度与
BC
的长度成正比，
设
OG
＝
x
，则
BC< /p>
＝
2
三棱锥的高
h
＝
x
，
DG
＝
5
﹣
x
，
＝
＝
3
则
V
＝
＝
< br>，
＝
，
＝
，
第
12< /p>
页（共
24
页）