悉尼大学学院-
北京航空航天大学
2011
－
2012
学年第二学期期末考试
《
工科数学分析
(II)
》
试卷
班号
学号
姓名
成绩
题
号
成
绩
阅卷人
校对人
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
201
2
年
6
月
18
日
一．
计算题。
（
35
）
u
r
r
r
r
3
2
1.
计算向量场
A
?
(
x
?
z
)
i
?
(
x
?
yz
)
j
?
3
xy
k< /p>
的旋度
.
解
:
r
i
?
?
x< /p>
x
?
z
r
j
r
k
r
<
/p>
rotA
?
r
r
r
?
?
2
2
?
(
?
6
xy
?
y
)
i
?
(
?
< p>1?
3
y
)
j
?
3
x
k
?<
/p>
y
?
z
x
3
?
yz
?
3
xy
2
2.
通过改变积分次序计算累次积分
解
:
< br>蝌
dy
0
1
y< /p>
y
2
e
dx
+
x
2
蝌
d
y
1
2
1
y
2
e
dx
.
x
2
蝌
dy
0
1
y
y
2
e
dx
+
x
2<
/p>
蝌
dy
1
2
y
e
dx
=
2
1
x
2
蝌<
/p>
dx
0
1
2
x
x
e
dy
=
x
2
?
1
0
xe
x
dx
=< /p>
2
1
(
e
-
1)
2
x
2
y
2
x
2
y
2
且
y
?
0}
.
3.
计算二重积分
??
sin(
2
?
2
)
dxdy
，其中
D
?
{(
x
,
y
)
|
2
?
2
?
1
，
a
b
a
b
D
解：
取广义极坐标变换
?
?
x
?
ar
cos
?
?
(
x
,
y
)
?
abr
.
在广义极坐标系下，积分区域
D
为
，则
?
(
r
,
< p>?
)
?
y
?
br
sin
?
{(
,
?
)
|
0
?
r
?
1,0
?
?
?
?
}
，因此
原式
=
?
?
0
d
?
?
abr
sin
r
2
dr
?
0
1
?
2
ab
(cos1
?
1 )
2
4.
求极限
lim
?
r
?
0
1
r
3
x
2
?
y
2
?
z
2
?
r
2
2
2
2
2
???
cos(
x
?
y
?
z
)
e
x
2
?
y
2
?
z
2
?
3
xyz
dxdydz
.
解：
由积分中值定理，存在
(
?
,
?
,
?
),
?<
/p>
?
?
?
?
?
r
，使得
x
?
y
2
?
z< /p>
2
?
r
2
2
???
cos(
x
?
y
?
z
)
e
x
2
?
y
2
< br>?
z
2
?
3
xyz
2
2
2
4
dxdydz
?
?
r
3
cos(
?
?
?
?
?
)
e
?
?
?
?
?
?
3
???
3
因此，原式
=
< br>lim
?
r
?
0
2
2
2
4
4
?
cos(
?
?
?
?
?
)
e
?
?
?
?<
/p>
?
?
3
???
?
?
.
3
3
5.
< p>利用对称性计算三重积分
2
(
z
< p>???
?
x
cos(
xy< /p>
))
dxdydz
，其中
V
V
?
{(
x
,
y
,
z
)
|
x
2
?
y
2
?
z
2
?
2,
z
< p>?x
2
?
y
2
}
.
解：
由于积分区域
V
关于
yoz
平面对称，
x
cos(
xy
)
为关于
x
的奇函数，因此
?
x
?
r
sin
< p>?
cos
?
?
2
.
下面计算
，采用球极坐标系
x
cos(
xy
)
dxdydz< /p>
?
0
z
dxdydz
?
y
?
r
sin
?
sin
?
，则此时
???
???
V
V
?
z
?
r
cos
?
?
|
?<
/p>
(
x
,
y
,
z
)
?
|
?
r
< p>2
sin
?
，被积区域<
/p>
V
为
{(
r
,
?
,
?
)
|
0
?
?
?
,0
?
?
?
2
?
,0
?
r
?
2}
，因此
?
(
r
,
?
,
?<
/p>
)
4
?
原式
=
< br>?
4
0
d
?
?
d
?
?
r
2
cos
2
?
r
2
sin
?
dr
?
0
2
?
2
4
?
(2
2
?
1 )
.
15
6.
利用对称性计算第一型曲面积分
??
?
xy
?
yz
?
zx
x
2
?
y
2
?
z
2
dS
< br>，
?
为球面
x
< br>2
?
y
2
?
z
2
?
1
.
yz
?
zx
x
?
y
?
z
xy
x<
/p>
?
y
?
z
2
2
2
2
2
2
解：
由于
?
关于
xoy
平面对称，
yz
?
zx
x
?
y
?
z
x
y
2
2
2
为
z
的奇函数，因此
??
?
dS
=0
，又
由于
?
关于
xoz
平面对称，<
/p>
x
?
y
?
z
2
2
2
为
y
的奇函数，因此
??
?
d
S
=0
，因此
??
?<
/p>
xy
?
yz
?
zx
x
?
y
?
z
2
2
2
dS
=0
.
3
7.
计算第二型曲面积分
2<
/p>
2
z
?
x
?
y
与
z
?
1
围成区域边界
的外侧
.
，
为
xydydz
?
??
?
解法一：
?
是一个封闭曲面，设
?
所围区域为
V
，则由
Gauss
< p>公式知
??
xydydz
?
???
ydxdydz
?
0< /p>
.
其中只需注意到
V
是关
于
xoz
平面对称的，被积函数
y
是关于变
?
V
量
y
的奇函数
.
2
2
2
2
解法二：
设
?
1
?
{(
x
,
y
,
z
)
|
z
?
x
?
y
,0
?
z
?
1
}
< p>，
指向下侧，
?
2
?
{(
x
,
y
,
z
)
|
z
?
1,
< p>x?
y
?
1
}
，
指向上侧，
D
xy
?
{(
x
,
y
)< /p>
|
x
2
?
y
2
?
1
}
，则
由对称性
2
xydydz
=
?< /p>
xy
(2
x
)
dxdy
?
?
2
x
??
??
??
ydxdy
?
0
.
而
??
xydydz
=0
，因此
??
xydydz
=0
.
?
1
D
xy
D
xy
?
2
?
二．
（
15
）计算下面问题
1)
利用格林公式计算椭圆盘
x
?
2
xy
?
2
y
?
?
（
?
?<
/p>
0
）的面积；
2)
计算第二型曲线积分
时针
.
解
：
1
）
.
x
?
< p>2xy
?
2
y
=(
< p>x?
y
)
?
y
，
由此我们可以给出椭圆
L
:
x
?
2
xy
?
2
y< /p>
?
?
的一个
参
方
程
x
?
y
?
?
cos
?
,
y
?
?
sin
?
，
即
?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xdy
?
ydx
?
L
x
2
?
2
xy
?
2
y
2
,
其中<
/p>
L
为包围原点的一条光滑封闭曲线，方向为逆
?
x
?
?
cos<
/p>
?
?
?
sin<
/p>
?
,
0
?
< p>?
?
2
?
,
因
此
椭
圆
盘
y
?
?
sin
?<
/p>
?
x<
/p>
2
?
2
xy
?
2
y
2
?
?
2
的面积为
1
1
2
?
2
.
xdy
?
ydx
?
[(
?
cos
?
?
?
sin
?
)(
?
cos
?
< br>)
?
?
sin
?
(
?
?
sin
?
?
?
cos
?
)]
d
?
?
??
?
?
?
L
0
2
2
2).
记
P
(
x
,
y
)
?
?
y
x
Q
(
x
,
y
)
?
，
，容易验证
x
2
?
2
xy
?
2
y
2
x
2<
/p>
?
2
xy
?
2
y
2
?
Q
?
P
2
y
2
?
x
2
2
2
?
?
2
(
x
?
y
?
0
时
)
.
为
使
用
Green
公
式
< p>，做
辅
助
曲
线
2
2
?
x
?
y< /p>
(
x
?
2
xy
?
2
y
)
L
?
:
x
2
?
2
xy
?
2
y
2
?
?
2
，其中
?
充分小使得
L
?
位于
L
所包围的区域内部，
L
?
取定向为逆时
针
.
设
L
包围区域为
V
，
L
?
包围区域为
V
?
,
由
Green
公式易知
?
?
L
?
L
?
Pdx
?
Qdy
?
??
V
V
?
(
?
Q
?
P
?
)
dxdy
?
0
，
?
x
?
y
4