-
2015-2016
学年江苏省镇江市丹阳市高级中学高二（下）期中数学试
卷（理科）
< br>一
.
填空题：本大题共
14
小题，每小题< /p>
5
分，共计
70
分，请把答案填写在答题卡的相应位
置上．
1
．某田径队有男运动 员
42
人，女运动员
30
人，用分层抽样的方法从 全体运动员中抽取一
个容量为
n
的样本．若抽到的女运动 员有
5
人，则
n
的值为
．
2
．如图是一个程序框图，则输出的
b
的值是
．
3
．已知样本
9
，
10
，
11
，
x
，
y
的 平均数是
10
，标准差是
，则
xy=
．
4
．为了解学生课外阅读的情况，随 机统计了
n
名学生的课外阅读时间，所得数据都在
[50
，
150]
中，其频率分布直方图如图所示．已知在
[50
，
75
）中的频数为
100
，则
n
的值
为
．
5
．某中学有
3
个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中
一个社团，
则这两位同学参加不同社团的概率为
．
6
．
在区间
[
﹣
1
，
1]
上随机取一个数
x
，
则
co s
7
．若
i
是虚数单位，复数
< p>z=
8
．在（
x
2
﹣
的值介于
0
到
之间的概 率为
．
的虚部为
．
）
6
的展开式中，常数项等于
．
9
．将
5
< p>位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3
所大学就读，每所 大学
至少保送
1
人，则不同的保送方法共有
种．
1
1
0
．设（
2x
﹣
1
）
6
=a
6
x
6
+a
5
x
< br>5
+…+a
1
x+a
0
，则
|a
0
|+|a
1
|+|a
2
|+…+|a
6
|=
．
11
．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为
0 .3
，乙击中敌机的概率为
0.5
，
敌机
被击中的概率为
．
*
12<
/p>
．口袋中有
n
（
n
∈
N
）个白球，
3
个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球， 那么
继续取球，
且取出的红球不放回；
如果取到白球，< /p>
就停止取球．
记取球的次数为
X
．
若
P
（
X=2
）
=
，则
n
的值为
．
13
．已知（
1+x
）
10
=a
0
+a
1
（
1
﹣
x
）
+a
2
（
1
﹣
x
）
2
+…+a
10
（
1
﹣
x
）
1
0
，则
a
8
=
．
x
y
z
14
．将集合
{2
+2
+2
< p>|x，
y
，
z
∈
N
，
x
＜
y
＜
z }
中的数从小到大排列，第
100
个数为
（用数字作答）
．
二、解答题：本大题共
6
小题，共
90
分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明
、证明过程或演算步骤．
15
．用计算机随机产生的有 序二元数组（
x
，
y
）满足﹣1≤x≤1，﹣1≤ y≤1．
2
2
（
1
）若
x
，
y
∈
Z
，求事件“x
+y
≤1”的概率．
< p>
（
2
）求事件“x
2
+y
2
＞1”的概率．
16
．如图，正四棱柱
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
=2AB
．
< p>
（
1
）求
AD
1
与面
BB
1
D
1
D
所成角的正弦值；
（
2
）点
E
在侧棱
AA
1
上，若二面角
E
﹣
BD
﹣
C
1
的余弦值为
， 求
的值．
17
．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的
A
，
< p>B，
C
三种商品有购买
意向．已知该
网民购买
A
种商品的概率为
，购买
B
种商品的槪率为
，购买
C
种商品的概
率
为
．假设该网民是否购买这三种商品相互独立
（
1
）求该网民至少购买
2
种商品的概率；
（
2
）用随机变量
η
表示 该网民购买商品的种数，求
η
的槪率分布和数学期望．
18
．已知
（其中
n
＜
< p>15）的展开式中第
9
项，第
10
< p>项，第11
项的二项式系数
成等差数列．
（
1
）求
n
的值；
（
2
）写出它展开式中的所有有理项．
19
．已知椭圆
的左、右焦点分别为
F< /p>
1
、
F
2
，短轴两个端点为
A
、
B
，
且四边形
F
1
AF
< br>2
B
是边长为
2
的正方形．
2
（
1
）求椭圆的方程；
（
2
）若
C
、
D
分别是椭圆长的左、右端点，动点
M
满足
MD⊥CD，连接
CM
，交椭圆于点
P
．证
明：
为定值．
（
3
）在 （
2
）的条件下，试问
x
轴上是否存异于点
C
的定点
Q
，使得以
MP
为直径的圆恒过
直线
DP
、
MQ
的交点，若存在，求出点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
20
．已知数列
{a
n
}
满足
a
n+1
=a
﹣
na
n
+1
，且
a
1
=2
．
（
1
）计算
a
2
，
a
3
，
a
4
的值，由此猜想数列
{a
n
}
的通项公式，并用数学 归纳法证明；
（
2
）求证：
< p>2n
n
≤a
＜
3n
n
．
3
2015-2
016
学年江苏省镇江市丹阳市高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一
.
填空题：本大题共
14
小 题，每小题
5
分，共计
70
分，请把答案填写在答 题卡的相应位
置上．
1
．某田 径队有男运动员
42
人，女运动员
30
人，用分层 抽样的方法从全体运动员中抽取一
个容量为
n
的样本．若 抽到的女运动员有
5
人，则
n
的值为
12
．
【考点】
分层抽样方法．
【分
析】
根据男女运动员的人数比例确定样本比例为
42
：
< p>30=7：
5
，然后根据比例进行抽取
即可．
【解答】
解：
田径队有男运动 员
42
人，
女运动员
30
人，
所男运动员，
女运动员的人数比为：
42
：< /p>
30=7
：
5
，
< br>若抽到的女运动员有
5
人，则抽取的男运动员的人数为
7< /p>
人，
则
n
的值为
7+5=12
故答案为：
12
．
2
．如图是一个程序框图， 则输出的
b
的值是
1027
．
【考点】
程序框图．
【分析】
模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．
【解答】
解：模拟程序框图的运行过程，如下：
a=1
，
b=1
，
a
< p>＜4
；
b=2+1=3
a=1+1=2
，
a
＜
4< /p>
；
3
b=2
+2 =10
，
a=2+1=3
，
a
＜< /p>
4
；
b=2
10
+3=1027
，
a=3+1=4
，a≥ 4；
不满足循环条件，终止循环，输出
b=1027< /p>
．
故答案为：
1027
．
3
．已知样本
9
，
10
，
11
，
x
，
y
的平均数是
10
，标准差 是
，则
xy=
96
．
【考点】
极差、方差与标准差．
【分析】
先由平均数的公式列出
x+y=20
，然后根据方差的 公式列方程，求出
x
和
y
的值即
< br>可求出
xy
的值．
4
【解答】
解：根据平均数及方差公式，可得：9+1 0+11+x+y=10×5，
即
x+y=20
，
∵标准差是
，∴方差为
2
．
∴
[
（
9
﹣
< p>10）
2
+
（
10
﹣
10
）
2
+
（
11
﹣
10
）
2
+
（
x
﹣
1 0
）
2
+
（
y< /p>
﹣
10
）
2
]=2
，
即（
x
﹣
< p>10）
2
+
（
y
﹣
10
）
2
=8
，
∴解得
x=8
，
y=12
或
x=12
，
y=8
，
则
xy=96
，
故答案为：
96
．
4
．为了解学生课外阅读的 情况，随机统计了
n
名学生的课外阅读时间，所得数据都在
[50
，
150]
中，
其频率分布直方图如图所 示．
已知在
[50
，
75
）
中的频数为
100
，
则
n
的值为
1000
．
【考点】
频率分布直方图．
【
分析】
根据直方图中的各个矩形的面积代表了频率，先求出阅读时间在
[50
，
75
）中的频
率，再根据频率与频数的关系
进行求解．
【解答】
解：阅读时间在
[ 50
，
75
）中的频率为：0.004×25=0.1，
样本容量为：n=100÷0.1=1000．
故答案为：
1000
．
5
．某中学有
3
个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中
< br>一个社团，则这两位同学参加不同社团的概率为
．
【考点】
古典概型及其概率计算公式．
【分析】
由于每位同学参加各个社团的可能性相同，
求出这两位同学同时 参加同一个社团的
概率，利用对立事件的概率即可求出结果．
【解答】
解：∵每位同学参加各个社团的可能性相同，
∴这两位同学同时参加一个社团的概率为：
P=3×
×
=
；
那么这两位同学参加不同社团的概率为
P′=
1﹣
P=1
﹣
=
．
故答案为：
．
5
6
．在 区间
[
﹣
1
，
1]
上随机取一个数
x
，则
cos
【考点】<
/p>
等可能事件的概率．
的值介于
0
到
之间的概率为
．
< /p>
【分析】
本题考查的知识点是几何概型，
由于函数
cos
是一个偶函数，
故可研究出
cos
< br>πx
的值介于
0
到
0.5
之 间对应线段的长度，再将其代入几何概型计算公式进行求解．
【解答】
解：由于函数
cos
数
x
，则
cos
是一个偶函数，可将问题转化为在区间
[0< /p>
，
1]
上随机取一个
的值介于
0
到
之间的概率
在区间
[0
，
1]
上随机取一个数
x
，
即
x
∈
[0
< p>，1]
时，要使
cos
πx
的 值介于
0
到
0.5
之间，
需使
≤
πx≤
∴
≤x≤1，区间长度为
，
由几何概型知
cos
πx
的值介于
0
到
0.5
之间的概率为
．
< p>
故答案为：
．
7
．若
i
是虚数单位， 复数
z=
的虚部为
．
【考点】
复数代数形式的乘除运算．
【分析】
根据复数的运算法则进行化简即可．
【解答】
解：
z=
=
=
< p>+i
，
即复数的虚部为
，
故答案为：
．
8
．在（
x
﹣
2
）
的展开式中，常数项等于
6
．
【考点】
二项式定理的应用．
【分析】
设（
x
2
﹣
r
即可得出．
【解答】
解 ：
设
（
x
2
﹣<
/p>
x
12
﹣
3r
，
令
12
﹣
3r= 0
，解得
r=4
．
6
）
6
的展开式的通
项公式为
T
r+1
=
x
12
﹣
3r
，令
12
﹣
3r=0
，解得
）
6
的展开式的通项公式为
T
r+1
=
=
∴常数项为
T
5
=
故答案为：
．
=
．
9
．将
5
位同学分别保送到北京大学，上海交 通大学，清华大学这
3
所大学就读，每所大学
至少保送<
/p>
1
人，则不同的保送方法共有
150
种．
【考点】
计数原理的应用．
【
分析】
每所大学至少保送一人，可以分类来解，当
5
名学生分成< /p>
2
，
2
，
1
时，当< /p>
5
名学生
分成
3
，
1
，
1
时根据分类计数原理得到结果．
< /p>
【解答】
解：当
5
名学生分成
2
，
2
，
1
或
3
，
1
，
1
两种形式，
当
5
名学生分成
2
，
2
，
1
时，共有
C
5
C
3
A
3
=90
种结果，
当
5
名学生分成
3
，
1
，
1
时，共有
C
5
C
2
A
3
=6
0
种结果，
∴根据分类计数原理知共有
90+60=150
种，
故答案为：
150
．
10
．设（
2x
﹣
1
）
6
=
a
6
x
6
+a
5
x
5
+…+
a
1
x+a
0
，则
|a
0
|+|a
1
|+|a
2
|+…+|a
6
|=
729
．
【考点】
二项式系数的性质．
【分析】
由二项式定理知
a
0
，
a
2
，
a
4
，
a
6
均为正数，
a
1
，
a
3
，
a
5
均为负数，
|a
0
|+|a
1
|+|a
2
|+…+|a
< br>6
|=a
0
﹣
a
1
+a
2
﹣<
/p>
a
3
+a
4
﹣
a
5
+a
6
，把
x=
﹣
1
代入计算 即可．
6
6
5
【解答】
解：∵（
2x
﹣
1
）
=a
6
x
+a
5
x
+…+a
1
x+
a
0
，
由二项式定理
可知
a
0
，
a
< br>2
，
a
4
，
a
6
均为正数，
a
< br>1
，
a
3
，
a
5
均为负数，
< br>令
x=
﹣
1
可得：
∴|a
0
|+|a
1
|+|a
2
|+…+|a
6
|=a
0
﹣
a
1
+a
2
﹣
a
3
+a
4
﹣
a
5
+a
6
=
（
2+1
）
6
=729
．
故答案为：
729
．
11
．甲、乙同时炮击一架 敌机，已知甲击中敌机的概率为
0.3
，乙击中敌机的概率为
0. 5
，
敌机被击中的概率为
0.65
．
【考点】
互斥事件的概率加法公式； 相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】
敌机被击中的 对立事件是甲、
乙同时没有击中，
由此利用对立事件概率计算公式能
求出敌机被击中的概率．
【解答】
解：敌机 被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，
设
A
表示“甲击中”，
B
表示“乙击中”，
由已知得
P
（
A
）
=0. 3
，
P
（
B
）
=0 .5
，
∴敌机被击中的概率为：
p=1
﹣
P
（
）
P
（
）
=1
﹣（
1
﹣
0.3
）
（
1
﹣
0.5
）
=0.65
．
故答案为：
0.65
．
12
．口袋中有
< p>n（
n
∈
N
*
）个白球，
3
个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球， 那么
继续取球，
且取出的红球不放回；
如果取到白球，< /p>
就停止取球．
记取球的次数为
X
．
若
P
（
X=2
）
=
，则
n
的值为
7
．
3
1
3
2
2
3
7
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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