-
第
2
章
质
点
动
力
学
一、质点：
是物体的理想模型。它只
有质量而没有大小。平动物体可作为质点运动来处理，
或物体的形状大小对物体运动状态
的影响可忽略不计是也可近似为质点。
二、力：
是物体间的相互作用。分为
接触作用与场作用。在经典力学中，场作用主要为万
有引力（重力），接触作用主要为弹
性力与摩擦力。
1
、弹性力：
??
（
为形变量）
2
、摩擦力： 摩擦力的方向永远与相对运动方向（或趋势）相反。
??
固体间的静摩擦力：
??
固体间的滑动摩擦力：
3
、流体阻力：
4
、万有引力：
?
或
?
。
???
（最大值）
。
??
特例：在地球引力场中 ，在地球表面附近：
????????
式中
R
< p>为地球半径，M
为地球质量。
??
在地球上方（
较大），
??
在地球内部（
），
。
。
< /p>
三、惯性参考系中的力学规律
?
牛顿三定律
牛顿第一定律：
了惯性系。
牛顿第二定律：
普遍形式：
< br>经典形式：
牛顿第三定律：
时，
。牛顿第 一定律阐明了惯性与力的概念，定义
；
??
（
为恒量）
。
）时所遵循的动力学基本规律，是经典力学
牛顿运动定律是物体低速运动（
的基础。
四、非惯性参考系中的力学规律
1
、惯性力：
惯性力没有施力物体，因此它也不存在反作用力。但惯性力同样能改变物体相对
于参考系的运动状态，这体现了惯性力就是参考系的加速度效应。
2
、引入惯性力后，非惯性系中力学规律：
五、求解动力学问题的主要步骤
恒力
作用下的连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体示力
图，列出分量
式的运动方程。
变力作用下的单质点运动：分析力函数，选取坐标系，
列运动方程，用积分法求
解。
第
3
章机械能和功
一、功
1
、功能的定义式：
恒力的功
：
变力的功：
2
、保守力
若某力所作的功仅取决于始末位置而与经历的路径无关，则该力称保守力。或满
足下述关系的力
称保守力：
???????
3
、几种常见的保守力的功：
（
1
）重力的功：
（
2
） 万有引力的功：
（
3
）弹性力的功：
4
、功率
??
二、势
能保守力的功只取决于相对位置的改变而与路径无关。由相对位置决
定系统所具有的能量
称之为势能。
1
、常见的势能有
（
1
）重力势能
?
（
2
）万有引力势能
?
（
3
）弹性势能
?
2
、势能与保守力的关系
（
1
）保守力的功等于势能的减少
?
（
2
）保守力为势能函数的梯度负值。
?
（
3
）势能曲线
???
势能曲线能很直观地表述一维运动的主要特征，如运动范围， 平衡位置，保守
力随位置的变化情况，动能与势能的相互转换等。
三、动能定理、功能原理、机械能守恒定律
< br>???
功可分为：外力的功
、保守内力的功
、和非保守内力 的功
1
、
?
质点动能定 理：
2
、质点系动能定理：
3
、 功能原理：
4
、机械能守恒定律：
，
时，
第
章
?
动量和角动量
一、动量定理
1
、动量
和
均 为描述机械运动的状态量，
但两者有重要区别：
是物体之间传
递机械运动的量度；
一种量度。
是物体的
机械运动形式与其他运动形式相互转换的
2
、冲量：冲量是力对时间的累 积，导致机械运动的传递。
???
3
、动量定理：
质点：
质点系：
。
二、动量守恒定律
矢量式：
；
??
分量式：
利用某一方向上的动量守恒分量式常可简捷地解决力学问题。
三、碰撞问题
满足动量守恒定律：<
/p>
满足牛顿规则（沿碰撞方向）；
恢复系数
?
。
四、火箭飞行问题
箭体运动方程：
火箭飞行速度：
。
五、
质心是质点系中运动特别简单，
能代表质点系整体运动的特殊点。
1
、质心位置
< br>?
?
或
?
。
2
、质点系动量
?
3
、质心运动定理
?
?
六、质点角动量及其规律
1
、角动量：角动量是与各质点动量和参考点 位置有关的状态量。
（
1
）质点：
（
2
）质点系：
2
、 角动量规律
（
1
）转动动力学方程：< /p>
（
2
）角动量定理：
（
）角动量守恒定律：
。
。
。
第
5
章
?
刚体力学基础
一、刚体定轴转动的运动学描述
??
?
角位移
，角速度
，角加速度
< br>???
在匀变速转动条件下，即角加速度
为常数时有：
< /p>
???
；
?????
；
?? ???
角速度是矢量，在定轴转动中其方向沿着轴向，它与刚体中
r
处点的线速度的矢
量关系：
角速度是矢量，在定轴转动中其方向沿着轴向，它与刚体中
r
处点的线 加速度关
系：
其中：
为切向加速度：
为法向加速度。
二、转动定律
1
、力矩
?
力
矩一般说来是一空间矢量，在定轴转动中，角速度方向已经确定，沿转动轴方
向，刚体转
动状态的改变只与力矩在这一方向上的分量有关。在定轴转动中，力
矩可简化为代数量。
其量值：
2
、转动惯量
?J < /p>
转动惯量是表示物体转动惯性的物理量，它与物体的质量大小、质量的分布及转
轴位置都有关系，是转动问题中的一个重要的物理量：
（
1
）定义式：
不连续分布的质点系：
???
质量连续分布的物体：
? ??
（
2
）平行轴定理：
< br>任意物体绕某固定轴
O
的转动惯量为
，
绕通 过质心
C
而平行于固定轴
O
的转动惯
量为
，
O
轴与
C
轴间距 为
d
，转动物体的总质量为
m
，那么：
< p>
（
3
）垂直轴定理：
< p>
???
在
量为
平面上，有一薄形板
，薄板饶
轴的转动惯量为
，那么，薄板饶通过
。
转动惯量除上述的计算方法，对于匀质简单形状的几何体可查表查得它
的转动惯
量，对于非匀质或不规则的物体我们可以经过实验方法来测定。
3
、转动定律：
一般形式为：
在刚体定轴转动中：
轴的交点
O
垂直于
< p>，薄板饶
轴的转动惯
平面的
轴的转动惯量：
转动定律是转动问题中的基本规律，它的地位与质点动力学牛顿第二定律相当。
用转动定律的解题步骤也与牛顿第二定律类同。仍为分析研究对象，画出隔离体
< br>受力图，选取合适坐标，列出相应方程，和求解讨论。因注意到
一轴而言，
是个代数式。
、
、
相 对同
三、角动量原理
1
、刚体定轴转动角动量：
?
2
、角动量原理：
一般形式：
?
刚体定轴转动：
3
、角动量守恒定律：
系统（质点系或物体组）受到的合外矩为零，则系统的角动量守恒。
???????
恒矢量
物体组绕
z
轴做定轴转动时：
??????
恒量
应用角动量守恒定律时应注意：
（
）合外力矩为零的条件而不是合外力为零的条件
（
2
）适用于惯性参照系（或质心参照系），对同一转轴而言
（
3
）适用于刚体也适用于非刚体
（
4
）适用于宏观也适用于微观
四、转动中的功能关系
1
2
、刚体的转动动能：
3
、功能定理：
和
是质心的平动动
式中
是指内力、外力、内力矩 、外力矩的总功，而动能
能与刚体或非刚体绕质心转动动能的总和。
4
、机械能守恒
非保守内力、
内力矩、非保守外力和外力矩不作功时系统的总机能保持不变。
??????
恒量
五、刚体的平面运动
刚体中某一平面，被限制在一固定平面内运动，有三个自由度，处理刚体平面运
动有如下的方法：
方法一，刚体平面运动可以分解为以质心运动为代
表的平动和绕过质心的垂直轴
的转动。
质心运动服从质心运动规律。
???????
绕质心轴转动服从质心系转动定律和动能定理
???
???
方法二，刚体平面运动可视为饶瞬时转轴
P< /p>
作纯转动。
对瞬轴的动能定理
；
???
式中
但对瞬轴的转动定律，只有
在
体和球作纯滚动时，
是个常数的条
件下才能成立，
例如圆柱
，则对瞬时轴的转动定律才成立。
??
六、刚体的进动
进动是刚体的一种非
定点运动，绕自转轴转动的回转仪在重力矩作用下，非但不
会倾倒；而且自转轴还会旋转
。
1
、回转仪进动的物理实质（在转动参照系中观察）
< /p>
重力矩作用使回转仪倾倒；回转仪倾倒而产生垂直于自转轴的惯性力矩，使回转
仪进动；回转仪进动又产生与重力矩平衡的惯性力矩，使回转仪不再倾倒，继续
进动。
2
、回转仪进动方向的规则
回转仪的进动使其自转角速度的指向，具有向外加力矩指向靠拢的趋势。
?
3
、回转仪进动角速度：
?
对于给定刚体，进动角速度的大小，与外加
力矩成正比，与刚体自转角速度成反
比。
第
6
章
?
振动力学基础
一、产生谐振动的动力学条件
物
体受到的合外力或合外力矩为零的位置，我们称之为平衡位置。当物体偏离平
衡位置时，
物体受到与位移成正比与位移方向相反的恢复力（
与角位移成正比与角位移方向相反的恢
复力矩
（
1
、弹簧振子（图< /p>
6-1
）
??
），或受到
）
作用时物体将作谐振动。
这微分方程的解为：
式中圆频率
由此可得振动周期
2
、复摆（物理 摆）
式中
b
为支点到质心的距离，也常用
表示。
这微分方程的解为：
式中圆频率
，由此可得振动周期
3
、其他类型简谐振动的一般求解步骤：
（
1
）选取合适的坐标，找出平衡位置。
（
2
）写出在平衡位置处物体所受各力的平衡条件，（在 此较简单的情况下这一步
可省略）。
（
3
）给一微扰使物体偏离平衡位置，画出物体的受力图，找出回复力或回复力矩
的表达式。
（
4
）列出 动力学微分方程，与标准谐振动微分方程比较系数，可得谐振动的圆频
率和周期。
二、谐振动的运动学描述有三种形式：
1
、解析式
谐振动的运动方程为
将此式分别对时间求一次
，
二次导数可相应得到振子的速度
和加速度
a
随时 间的
函数表达式：
???????????
??
???????????????
事实上速
度
和加速度
a
还应是位移
x
的函数 ：
?????????????????
，
< p>???
在运动方程中圆频率
或周期
T
是由力学条件所确定的，
而振幅
A
和初相位
是由
初始条件所确定的。将
由此可解出：
代入位移
和速度
的表达式可得：
?
< br>，
?
2
、用旋转矢量（即参考圆）描述
旋转矢量
方程：
，以匀角速
逆时针旋转，矢 端
M
点在
X
轴上的投影
P
点的运动
却好是谐振动方程，且
M
点匀速圆周运动 的速度
和加速
也却好是
P
点在
< p>X轴上作谐振动的速度和加速度。
所以
度
在< /p>
X
轴上的投影
和
用参考圆来描述谐振动比较
简单直观，容易记忆（如图
6-3
所示）。
3
、用谐动图线描述
谐振动的
位移、
速度和加速度随时间变化的曲线如图
4
所示。
一般要求看懂位移
x
和速度
和加速度
三 条曲线的相位关系依次超前
。
三、谐振动的能量
弹性势能：
?
动能：
弹簧振子系统的总能量：
四、谐振动的合成
1
、同方向同频率两个谐振动的合成
< br>设谐振动
?
?????????
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