-
第
2
章
质点动力学
一、质点：
< /p>
是物体的理想模型。它只有质量而没有大小。平动物体可作为质点运动来处理，或物体的<
/p>
形状大小对物体运动状态的影响可忽略不计是也可近似为质点。
二、力：
是物体间的相互作用。
分为接触作用与场作用。
在经典力学中，
场作用主要为万有引力
（重
力），接触作用主要为弹性力与摩擦力。
1
、弹性力：
（
为形变量）
2
、摩擦 力：摩擦力的方向永远与相对运动方向（或趋势）相反。
固体间的静摩擦力：
固体间的滑动摩擦力：
3
4
、万有引力：
或
。
（最大值）
。
特例：在地球引力场中，在地球表面附近：
式中
R
为地球半径，
M
为地球质量。
在地球上方（
较大），
在地球内部（
），
。
。
三、惯性参考系中的力学规律
牛顿三定律
牛顿第一定律：
惯性系。
牛顿第二定律：
普遍形式：
；
时，
经典形式：
牛顿第三定律：
（
。
为恒量）
牛顿运动定律是物体低速运动（
础。
）时所遵循的动力学基本规律，是经典力学的基
四、非惯性参考系中的力
学规律
1
、惯性力：
惯性力没有施力物体，
因此它也不存在反作用 力。
但惯性力同样能改变物体相对于参考系
的运动状态，这体现了惯性力
就是参考系的加速度效应。
2
、引入惯性力后，非惯性系中力学规律：
五、求解动力学问题的主要步骤
恒力作用下的
连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体示力图，列出
分量式的运动
方程。
变力作用下的单质点运动：分析力函数，选取坐标系，列运动方
程，用积分法求解。
第
3
章
机械能和功
一、功
1
、功能的定义式：
恒力的功
：
变力的功：
2
、保守力
若某力所作的功仅取决于始末位置而与经历的路径无关，则该力称保守力。
或 满足下述关
系的力
称保守力：
3
、几种常见的保守力的功：
（
1
）重力的功：
（
2
） 万有引力的功：
（
3
）弹性力的功：
4
、功率
二、势能保守力的功只取决于相对位置的改变而与路径无关。由相对位置决定系统
所具有的能量称之为势能。
1
、常见的势能有
（
1
）重力势能
（
2
）万有引力势能
（
3
）弹性势能
2
、势能与保守力的关系
（
1
）保守力的功等于势能的减少
（
2
）保守力为势能函数的梯度负值。
（
3
）势能曲线
势能曲线能很直 观地表述一维运动的主要特征，如运动范围，平衡位置，保守力
随位置的变化情况，动能与势能的相互转换等。
三、动能定理、功能原理、机械能守恒定律
功可分为：外力的功
1
、
质点动能定理：
2
、质点系动能定理：
3
、功能原理：
4
、机械能守恒 定律：
，
时，
、保守内力的功
、和非保守内力的功
第
4
章
动量和角动量
一、动量定理
1
、动量
和
均 为描述机械运动的状态量，但两者有重要区别：
是物体之间传递
机械运动
的量度；
度。
是物体的机械运动形式与其他运
动形式相互转换的一种量
2
、冲量：冲量是力对时间的累积，导致机械运 动的传递。
3
、动量定理：
质点：
质点系：
。
二、动量守恒定律
矢量式：
；
分量式：
利用某一方向上的动量守恒分量式常可简捷地解决力学问题。
三、碰撞问题
满足动量守恒定律：
满足牛顿规则（沿碰撞方向）；
恢复系数
。
四、火箭飞行问题
箭体运动方程：
火箭飞行速度：
。
五、质心：质心
是质点系中运动特别简单，能代表质点系整体运动的特殊点。
1
、质心位置
2
、质点系动量
3
、质心运动定理
或
。
六、质点角动量及其规律
1
、角动量：
角动量是与各质点动量和参考点位置有关的状态量。
（
1
）质点：
（
2
）质点系 ：
2
、角动量规律
（
1
）转动动力学方程：
（
2
）角动 量定理：
（
3
）角动量守恒定律：
。
。
。
第
5
章
刚体力学基础
一、刚体定轴转动的运动学描述
角位移
，角速度
< p>，角加速度
为常数时有：
；
在匀变速转动条件下，即角加速度
；
角速度是矢量，在定轴转动中其方向沿着轴向，它与
刚体中
r
处点的线速度的矢量关系：
< br>角速度是矢量，在定轴转动中其方向沿着轴向，它与刚体中
r
处点的线加速 度关系：
其中：
为切向加速度：
为法向加速度。
二、转动定律
1
、力矩
力矩一般说来是一空间矢量，在定轴转动中，角速度方向已经确定，沿转动轴方向，刚体
转动状态的改变只与力矩在这一方向上的分量有关。
在定轴转动中，
力矩可简化为代数量。
其量值：
2
、转动惯量
J
转动惯量是表示物体转动惯性的物理量，它与物体的质量大小、<
/p>
质量的分布及转轴位置都
有关系，是转动问题中的一个重要的物理量：
（
1
）定义式：
不连续分布的质点系：
质量连续分布的物体：
（
2
）平行轴定理：
< br>任意物体绕某固定轴
O
的转动惯量为
，
绕通 过质心
C
而平行于固定轴
O
的转动惯量为
，
O
轴与
C
轴间 距为
d
，转动物体的总质量为
m
，那么：
（
3
）垂直轴定理：
在
量为
平面上，有一薄形板，薄板饶
轴的转动惯量为
平面的
，薄板饶
轴的转动惯
，那么，薄板饶通过
。
轴的交点
O
垂直于
轴的转动惯量：
转动惯量除上述的计算方法，
对于匀质简单形状 的几何体可查表查得它的转动惯量，
对于
非匀质或不规则的物体我们可以
经过实验方法来测定。
3
、转动定律：
一般形式为：
在刚体定轴转动中：
转动定律是转动问题中的基本规律，它的地位与质点动力学牛
顿第二定律相当。
用转动定
律的解题步骤也与牛顿第二定律类同。仍为分
析研究对象，画出隔离体受力图，选取合适
坐标，列出相应方程，和求解讨论。因注意到
、
、
相对同一轴而言，
是
个代数式。
三、角动量原理
1
、刚体定轴转动角动量：
2
、角动量原理：
一般形式：
刚体定轴转动：
3
、角动量守恒定律：
系统（质点系或物体组）受到的合外矩为零，则系统的角动量守恒。
物体组绕
z
轴做定轴转动时：
应用角动量守恒定律时应注意：
< /p>
（
1
）合外力矩为零的条件而不是合外力为零的条件
（
2
）适用于惯性参照系（或质心参照系）， 对同一转轴而言
（
3
）适用于刚体也适用于非刚体
（
4
）适用于宏观也适用于微观
四、转动中的功能关系
1
、力矩的功：
2
、刚体的转动动能：
3
、功能定理：
式中
和
是质心的平动动能与
恒量
恒矢量
是指内力、外力、内力矩、外力矩的总功，而动能
刚体或非刚体绕质心转动动能的总和。
4
、机械能守恒
非保守内力、
内力矩、非保守外力和外力矩不作功时系统的总机能保持不变。
恒量
五、刚体的平面运动
刚体中某一平面，被限制在一固定平面内运动，有三个自由度
，处理刚体平面运动有如下
的方法：
方法一，
刚体平面运动可以分解为以质心运动为代表的平动和绕过质心的垂直轴的转动。
质心运动服从质心运动规律。
绕质心轴转动服从质心系转动定律和动能定理
方法二，刚体平面运动可视为饶瞬时转轴
P
作纯转动。
对瞬轴的动能定理
；
式中
但对瞬轴的转
动定律，只有在
和球作纯滚动时，
是个常数的条件下才能成立，例如圆柱体
，则对瞬时轴的转动定律才成立。<
/p>
六、刚体的进动
进动是刚体的
一种非定点运动，绕自转轴转动的回转仪在重力矩作用下，非但不会倾倒；
而且自转轴还
会旋转。
1
、回转仪进动的物理实质（在转动参照系中观察）
< /p>
重力矩作用使回转仪倾倒；回转仪倾倒而产生垂直于自转轴的惯性力矩，使回转仪进动；<
/p>
回转仪进动又产生与重力矩平衡的惯性力矩，使回转仪不再倾倒，继续进动。
2
、回转仪进动方向的规则
回转仪的进动使其自转角速度的指向，具有向外加力矩指向靠拢的趋势。
3
、回转仪进动角速度：
对于给定刚体，进动角速度的大小，与外加力矩成正
比，与刚体自转角速度成反比。
第
6
章
振动力学基础
一、产生谐振动的动力学条件
物体受到的合外
力或合外力矩为零的位置，
我们称之为平衡位置。
当物体偏离平衡位置时，
物体受到与位移成正比与位移方向相反的恢复力（
与角位移方向相反的
恢复力矩（
），或受到与角位移成正比
）作用时物体将作谐振动
。
1
、弹簧振子（图
6-1
）
这微分方程的解为：
式中圆频率
由此可得振动周期
2
、复摆（物理摆）
式中
b
为支点到质心的距离， 也常用
这微分方程的解为：
式中圆频率
表示。
，由此可得振动周期
3
、其他类型简谐振动的一般求解步骤：
（
1
）选取合适的坐标，找出平衡位置。
（
2
）
写出在平衡位置处物体所受各力的 平衡条件，
（在此较简单的情况下这一步可省略）
。
< p>
（
3
）给一微扰使物体偏离平衡位置，画出物体的受力图，找出回复 力或回复力矩的表达
式。
（
4
）列出动力学微分方程，与标准谐振动微分方程比较系数，可得谐振动的圆频率和周
期。
二、谐振动的运动学描述有三种形式：
1
、解析式
谐振动的运动方程为
将此式分别对时间求一次
，
二次导数可相应得到振子的速度
和加速度
a
随时 间的函数表
达式：
事实上速度
和加速 度
a
还应是位移
x
的函数：
在运动方程中圆频率
，
是由初始
或周期
T
是由力学条件所确定的，而振幅
A
和初相 位
条件所确定的。将
由此可解出：
代入
位移
和速度
的表达式可得：
，
2
、用旋转矢量（即参考圆）描述
< /p>
旋转矢量
，
以匀角速
逆时针旋转，
矢端
M
点在
X
轴上的投影
P
点的运动方程：
在
X
却好是谐振动方程， 且
M
点匀速圆周运动的速度
和加速度
轴上
的投影
和
也却好是
P
点在
X
轴上作谐振动的速度和加速度。所以用参考圆来描
述谐振动比 较简单直观，容易记忆（如图
6-3
所示）。
3
、用谐动图线描述
谐振动的位移、速度和加速度随时间变化的曲线如图
4
所示。一般要求看懂位移
x
和速
度
和加 速度
三条曲线的相位关系依次超前
三、谐振动的能量
弹性势能：
动能：
弹簧振子系统的总能量：
四、谐振动的合成
1
、同方向同频率两个谐振动的合成
设谐振动
。
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