山东大学电气-山东大学电气
高等代数
2010
年
一
(20
分
)
证明
:
设
f
1
?
x
?
,
???
,
f
m
?
x
?
,
g
1
?
< br>x
?
,
???
,
g
n
?
x
?
是数域
P
上的多项式
,
证明
:
(
f
< p>1
?
x
?
,
???
,
f
m
?
x
?
,
g< /p>
1
?
x
?
,
???
,
g
n
?
x
?
)
1
的充分必要条件是
f
< br>i
(
x
),
g
j
?
x
?
?
1
,
其中
?
?
i
?
1,
???
,
m
,
j
?
1,
???
,
n
a
?
b
1
二
(20
分
)
计算
n
阶行列式
D
n
?
ab
a
?
b
1
?
< br>0
0
0
ab
?
0
0
?
?
0
0
?
0<
/p>
0
0
?
0
ab
a
?
b
0
?
0
0
a
?
b
?
?
a
?
b
?
ab
三
(20
分
)
设
A
为
n
?
n
矩阵
,
证明
:
存在一个
n
?
n
< p>非零矩阵
B
使得
AB
?
0
的充分必要条件
是
A
?
0
四
(25
分
)
把二次型
f
?
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
?
?
x
1
?
x
2
?
x
3
?
x
4
< br>?
2
x
1
x
2
?
2
x
2
x
3
?
2
x
3
x
4
化为标准<
/p>
2
2
2
2
型
,
写出所做的可逆线形变换
.
五
(20
分
)
设
V
1
,
V< /p>
2
是线性空间
V
的两个非平凡子空间
,
证明
:
V
1
?
V
也是的子空间的充分<
/p>
必要条件是
V
1
?
V
2
,
或者
.
V
2
?
V
1
?
3
?
2
?
4
?
?
?
六
(30
分
)
设矩阵
A
?
?
2
6
?
2
?
?
?
?
?
4
?
2
3
?
?
(1)
求矩阵
A
的特征值与特征向量
:
(2)
求一可逆矩 阵
T
,
使
T
成对角形
.
七
(15
分
)
设
V
是
维
欧
< p>几里
得
空
间
,
证
明
:
如
果
?
?
1
,
?
2
?
V
,
对
任
一
?
?
V
有
?
?
1
,
?
?
?
?
?
2
,
?
?
,
则
?
1
?
?
2
2009
年
一
(20
分
)
设
f
?
x
?
,
g
?
x
?
,
d
?
x
?
是三个多项式
,
证明
:
?
f
?
x
?
,
g
?
< br>x
?
?
?
d
?
x
?
的充分必要
条
件是
d
?
x
?
d
?
x
?
?
f
?
x
?
g
?
x
?
?
,
?
1
,
其中
?<
/p>
f
?
x
?
,
g
?
x
?
?
表示
f
?
x
?
和
g
?
x
?
的首项
系
,
且
?
,
?
?
?
f
?
x
?
g
?
x
?
?
d
?
x
?
d
?
x
?
?
数为
1
的最大公因式
,
d
?
x
?
的首项系数为
1 .
?
x
1
?
x
2
?
x
3
?
x
4
?
0
?
x
?
2
x
?
3
x
?
ax
?
0
2
3
4
?
1
二
(30
分
)
当参数
a
,
b
为何值时
,
方程 组
?
无解
?
有唯一解
< p>?有无穷
2
?
x<
/p>
1
?
4
x
2
?
9
x
3
?
a
x
4
?
0
?
x
?
8
x< /p>
?
27
x
?
a
3
x
?
b
2
3
4
?
1
多解
并在有无穷多个解时求出全部解
.(
即一般解或通解
)
三
(15
分
)
< p>设
A
,
B
为
n
?
n
矩阵
,
证 明
:
如果
AB
?
0
,
那么秩
(
A
)
+
秩
(
B
)
< p>?
n
2
2
2
四
(30
分
)
设二次型
f
?
x
1
?
x
2
?
x
3
?
2
ax
1
x
2
?
2
x
1
x
3
?
4
bx
2
x
3
通过正交变换化为标准型
2
2
< p>,
求参数
a
,
b
< p>的值及所用的正交变换
.
f
?
< p>y
2
?
2
y
3
五
(20
分
)
设
V
?
P
2
?
2
为
数
域
P
上
的
2
?
2
全
体
矩
阵
构
成
的
线
形
空
间
.
证
明
:
?
1
?
?
?
1
0
?
?
1
1
?
?
1
1
?
?
1
1
?
,
,
?
?
?
?
?
?
2
4
?
?
?
?
?
?
为
线
性
空< /p>
间
V
的
一
组
基
.
求
?
?
0
0
?
?
1
0
?
?
1
1
< p>?
?
0
0
?
?
1
2
?
?
?
?
?
在这组基下的坐标
(
写成列向量的形式
)
3
4
?
?
六
( 20
分
)
在
n
维线形空间
V
中
,
设有线性变换
A
和向量
?
?
0
,
使得
A
n
?
1
?
?
0
,
但
A
n
1
?
?
0
,
证明
:
(1)
< br>?
,
A
?
,
?
,
A
n
?
1
?
线形无关
?
0
0
?
0
0
?
?
1
0
?
0
0
?
?
?
(2)
线性变换
A
在某组基下的矩阵是
?
< br>0
1
?
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
?
1
0
?
?
七
(15
分
)
设< /p>
A
,
B
都是
n
阶实对称矩阵
,
证明
:
存在正交矩阵
T
使
T
AT
?
B
的充分必要条件
?
1
A
,
B
是的特征多
项式的根全部相同
.
2008
年
一
(20
分
)
,
设
f
?
x
?
,
g
?
x
?
是
数
域
< br>P
,
上
的
两
个
多
项
式
,
a
,
b
,
c
,
d
?
P
f
1
?
x
?
?
af
< p>?
x
?
?
bg
?
x
?
g
1
?
x
?
?
cf
?
x
?
?
dg
?
x
?
ad
?
bc
,
?
f
?
x
?
,
g
?
< br>x
?
?
?
1
证明
?
f
1
?
x
?
,
1
?
x
?
?
g
1
?
x
?
?
?
1
1<
/p>
1
二
(20
分
)
计算
f
?
x
1
?
?
f
?
x
?
,
其中
f
?
x
?
?
0
2
3
?
n
0
0
3
?
2
C
< br>n
0
0
0
?
3
C
n
?
?
?
?
?
0
0
0
?
n
?
1
C
n
x
x
2
x
3
?
x
n
x
n
?
1
1
?
1
2
3
n
?
1_
1
n
?
1
C
n
C
n
?
C
n
?
1
?
1
?
1
2
三
(20
分
)
设
n
阶方阵
A
满
足
A
?
4
A
?
< p>6E
?
0
,
其中
E
是单位矩阵
,
证明
:
A
?
E
可逆
,
并求
其逆矩阵
.
2
2
2
四
(30
分
)
把二次型
f
?
x
1
,
x
2
,
x
3
?
?
3
x
1
?
4
< p>x
2
?
5
x
3
?
4
x
1
x
2
?
4
x
2
x
3
化为标准型<
/p>
,
写出所做的
可逆线性替换
,
并判别其是否正定
.
五
(20
分
)
在
R
中
,
记子空间
, < /p>
n
W
1
?
W
2
?
?
?
?
x
,
x
,
?
,
x
?
?
R
|
x
?
x
1
2
n
1
2< /p>
?
?
?
x
n
?
0
?
,
?
?
?
x
,
x
,
?
,
x
?<
/p>
?
R
|
x
1
2
n
1
?
x
2
?
?
?
x
n
证明
:
R
n
?
W
1
?
W< /p>
2
?
六
(30
分
)
设
?
1
,
?
2
,
?
< br>3
是数域
P
上三维线性空间
V
的一组基
,
线性变换
?
在这组基下的矩阵
?
1<
/p>
4
2
?
?
?
为
:
A
?
0
?
3
4
?
?
?
?
0
4
3
?
?
(1)
求
?
的特征值与特征向量
;
(2)
求一可逆 矩阵
T
,
使
T
AT
成对角形
.
?
七
(10
分
)
设
?
为维欧式空间
V<
/p>
的正交变换
,
W
是
?
的不变子空间
,
证明
:
W
的正交补
W
< br>?
1
也是
?
的不
变子空间
.
2007
年
3
3
2
一
(25
分
)
设
f
?
x
?
,
g
?<
/p>
x
?
多项式满足
:
f
x
?
xg
x
?
1
?
x
?
x
k< /p>
?
x
?
,
证明
:
x
?
1
是
?
?
?
?
?< /p>
?
f
?
x
?
,
g
?
x<
/p>
?
的公因式
a
0
1
二
(25
分
)
计算行列式
D
?
1< /p>
1
a
1
0
0
1
0
?
?
1
0
0
,
其中
a
0
,
a
1
,
?
,
a
n
均不为零
.
< br>?
?
?
?
?
1
0
?
a
n
< br>a
2
?
2
2
2
三
(30
分
)
将二次型
f
?
x
1
,
x
2
,
x
3
?
?
x
1
?
2
x
2
?
3
x
3
?
4
x
1
x
2
?
4
x
2
x
< br>3
化为标准型
,
并写出所有
的线性替换
.
?
2
2
1
?
?
1
4
< p>?
?
?
?
?
四
(20
分
)
已知
A
?
1
1
?
1
,
B
?
?
1< /p>
3
,
解矩阵方程
:
AX
?
B
求矩阵
X
.
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
?
?
?
3
2
?
?
五
(30
分
)
设
?
1
,
?
2
,
?
3
,
?
4
是数域上的
F
四维线性空间
V
的一组基
,
线性变换
?
在这组基下的
?<
/p>
1
1
1
1
?
?
1
1
?
1
< p>?1
?
?
,
求线性变换
?
的特征值与特征向量
.
矩阵为
A
?
?
< br>?
1
1
1
?
1
?
?
?
?
< br>1
?
1
?
1
1
?
六
(20
分
)
< p>设
A
,
B
是两个
n
?
n
实对称矩阵
,
且
A
为正定矩阵
,
证明
;
存在一个
n
?
n
实可逆矩阵
T
使
T<
/p>
?
AT
与
T
?
BT
同为对角形
.
2006
年
一
(30
分
)
设
f
?
x
?
为次数
>1
的实系数多项式
,
则
f
?
x
?
的根全为实数的充分必要条件为
f
2
?
x
?
不能表示为两个次
数均
?
1
且次数不等的实系数多项式的平方和<
/p>
.
a
1
?
x
1
?
x
1
二
(20
分
)
计算
n
阶行列式
D
n
?
a
2
x
< br>2
?
x
2
?
0
a
3
?
0
?
0
?
?
x
3
?
< br>a
n
?
1
0
0
?
a
n
< br>0
0
?
x
n
0
?
0
?
?
x
n
?
1
三
(20
分
) < /p>
设
?
1
,
?
2
,
?
,
< p>?
n
是方阵
A
的互不相同的特征值
,
?
1
,
?
2
,
?
,
?
n
是对应
的向量
,
证明
:
?
1
,
?
2
,
?
,
?
n
线性相关
.
?
1
0
2
?
?
?
8<
/p>
5
4
2
四
(30
< p>分)
设
A
?
0
?
1
1
,
计算
< br>2
A
?
3
A
?
A
?
A
?
4
E
< br>
?
?
?
?
0
1
0
?
?
五
(30
分
)
如
果
V
1
,
V< /p>
2
是
线
性
空
间
V
的
两
个
< p>子空
间
,
则
Dim<
/p>
?
V
1
?
?
Dim
?
V
2
?
?
Dim
?
V
1
?
V
< p>2
?
?
Dim
?
V
1
?
V
2
?
,
Dim
?
V
?
表示线性空
间的维数
.
六
(20
分
)
化二次型
f
?
x
1
,
x
2
,
x
3
?
?
2
x
1
x
2
?
6
x
2
x
3
?
2
x
1
< br>x
3
为规范型
.
数学分析
2010
年
1.
计算下列各题
(
每 题
8
分
,
共
40
分
)
(1)
lim
?
n
??
?
1
2
?
n
?
1
?
1
n
2
?
2
?
?
?
?
?
2
n
?
n
?
1
(2)
lim
?
x
?
0
1
?
?
1
?
< br>?
?
tan
x
x
?
dy
dx
(3)
设
ye
xy
?
x
?
1
?
0
,
求
(4)
?
arctan
xdx
2
2
z
?
1
?
x
?
y
,
其 中
为上半球面
,
取外
xdydz
?
ydxdz
?
zdxdy
?
??
(5)
计算曲面积分
I
?
侧
.
?
2.
(10
分
)
函数
f
?
x
?
< br>在区间
?
a
,
b
?
上连续
,
F
?
x
?
?
?
f
?
t
?
dt
证明
:
F
?
x
?
可导
,
且
a
x
F<
/p>
?
?
x
?
?
f
?
x
?
3. (10
分
)
计算二重积分
??
e
D
x
?
y
x
?
y
dxdy
,
其中 是
D
由
x
?
< p>y?
1,
x
?
0,
< p>及
y
?
0
所围成的
区域
.
1
?
xy
sin
,(
x
,
y
)< /p>
?
(0,0)
?
2
2
4. (15
分
)
讨论函数
f
?
x
,
y
?
?
?
< br>
x
?
y
?
0,(
x
,
y
)
?
(0,0)
?
在点
(0,0)
处的连续性
,
可微性
.
5.
(15
分
)
设函数
< p>f
?
x
?
在
[0,a]
上二阶可导
,
且
< p>f
?
?
(
x
)
?
M
?
??
,
f
?
x
?
在
(0,a)
内取得最
大值
,
证明
:
f
?
(0)
?
f
?
?
a
?
?
Ma
< p>
6.
(15
分
)
设
f
?
x
?
在
[a,+
?
)
上连续
,
且
l
im
f
?
x
?
存在
,
证明
:
f
?
x
?
在
?
a
,
??
?
上一致连
x
??
续
,
试问反之如何
/
7.
(15
分
)
若级数
< p>?
a
n
n
与
?
b
n
n
都收敛
,
且成立不等式
a
n
?
b
n
?
c
n
?
n
?
1
,2,
?
?
证明级数
?
c
n
也收敛
,
若
?
a
??
与
?
b
都发散
,
试问
?
c
n
一定发散吗
?
8.
(15
分
)
< /p>
若
f
?
x
,
y
?
在
?
a
,
b
?
?
?
0,
??
?
上连续
,
又
?
??
0
f
?
x
,
y
?
dy
在<
/p>
?
a
,
b
?
上收敛
,
但在
x
?
b
处发散
,
则
?
0
f
?
x
,
y
?
dy
在
?
a
,
b
?
上不一致收敛
.
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