中央财经大学 分数线(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(43)

n

n

1

n

n

2

n

!

lim

n

2

1

1

< br>n

n

2

e

1

，所以级数

n

1

2

n

!

n

n

n

收敛。

3

）

n

1

n

n

n

!

a

n

a

0

n

1

n

1

a

n

1

解：因为

lim

1

!

n

n

n

lim

1

1

n

n

n

a

ea

n

!

a

n

1

）

当

a

1

e

时，

ea

1

< br>，级数

n

n

a

< br>n

a

0

收敛；

n

1

n

!

2

）

当

a

1

n

< br>e

时，

ea

1

， 级数

n

n

0

发 散；

n

1

n

!

< br>a

a

3

）

当

a

1

时，

n

n

e

ea

1

，级数为< /p>

n

n

1

e

n

!

，比值判别法无法判别

（注：

判别正项级数

n

n

e

n

n

0

n

!

解：利用

拉贝判别法，

因为

n

1

n

1

n

1

1

lim

e

n

1

n

1

!

n

n

1

n

< br>n

lim

n

1

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n

1

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2

e

n

n

!

所 以正项级数

n

n

n

0< /p>

e

n

n

!

发散。

（

1

）

用

x

替换

1

n

< br>，则

n

时，

x

0

1

1

x

ln< /p>

1

x

1

e

1

x

x

1

x

x< /p>

2

x

1

x

x

lim

0

xe

x

lim

0

e

ln

1

x

1

1

x

ln

1

x

x

x

lim

0

x

2

x

1

x

x

lim

0

x

2

1

x

1

1

ln

1

x

ln

1

x

x

1

x

lim

0

2

x

3

x

2

x

lim

x

0

2

3

x

x

l im

ln

1

x

0

2

3

x

2

所以

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n

1

n

n

1

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e

n

1

n

1

!

1

< br>1

n

1

n

n

1

n

n

lim

n

n

1

e

2

e

n

n

!

（

2

）

拉贝判别法

对于正项级 数

u

u

n

1

，如果

lim

n

1

n

n

1

u< /p>

r

，则当

n

（< /p>

1

）

r

1

时，正项 级数

u

n

收敛；

n

1

（

2

）

r

1

时，正项级数

u

n< /p>

发散；

n

1

（

）

r

1

时，不能确定正项 级数

u

n

的敛散性。

< br>n

1

证明：我们证明

2

）如果

lim

u

n

n

n

1

1

u

< br>r

1

n

取

0

使得

r

1

，由极限的定义， 存在自然数

N

0

0

，当

n

n

1

u

n

1

u

r

r

n

1

u

n

1

r

n

u

n