-
高等数学公式
高等数学公式
导数公式：
< /p>
(
tgx
)
?
?
sec
x
(
ctgx
)
?
?
?
csc
2
x
(sec
x
)< /p>
?
?
sec
x
?< /p>
tgx
(csc
x
)
?
?
?
csc
x
?
ctgx
(
a
x
)
?
?
a
x
ln
a
1
(log
a
x
)
?
?
x
ln
a
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
2
(arcsin
x
)
?
?
1
1
?
x
< p>2
1
(arccos
x
< p>)
?
?
?
1
?
x
2
1
(<
/p>
arctgx
)
?
?
1
?
x
2
1
(
arcctgx
)
?
< br>?
?
1
?
x
2
?
tgxdx
?
?
ln
cos
x
?
C
?
ctgxdx
?
ln
sin
< p>x?
C
?
sec
?
ln
sec
x
?
tgx
?
C
?
csc
xdx
?
ln
csc
x
< p>?ctgx
?
C
dx
1
x
?
arctg
?
C< /p>
?
a
2
?
x
2
a
a
dx
1
x
?
a
?
ln
?
x
2
?
a
2
2
a
x< /p>
?
a
?
C
dx
1
a
?
x
?
l n
?
a
2
?<
/p>
x
2
2
a
a
?
x
?
C
dx
x
?
arcsin
?
C
< p>?
a
2
?
x
2
a
?
2<
/p>
n
dx
2
?
sec
?
cos
2
x
?
xdx
?
t gx
?
C
dx
2
?
csc
?
sin
2
x
?
xdx
?< /p>
?
ctgx
?
C
?
sec
x
?
tgx
dx
< p>?sec
x
?
C
?<
/p>
csc
x
?
ctgxdx
?
?
csc
x
?
C
< br>a
x
?
a
dx< /p>
?
ln
a
?
C
x
?
shxdx
?
chx
?
C
?
chxdx
?
shx
?
C
?
dx
x
2
?
2
?
ln(
x
< p>?x
2
?
a
2
)
?
C
?
2
I
n
?
?
sin
xdx
?
?<
/p>
cos
n
xdx
?
0
0
n
?
1
< p>I
n
?
2
n
?
?
?
x
2
a
2
2
x
?
a
dx
?
x
?
a
?
ln(
x
?
x
2
?
a
2
)
?
C
2
2
x
2
a
2
2
2
2
x
?
a
dx
?
x
?
< p>a?
ln
x
?
x
2
?
a
2
?
C
2
2
x
a
2
x
2
2
2
2
a
?
x
dx
< p>?a
?
x
?
arcsin
?
C
2
2
a
< br>2
2
1
/
12
高等数学公式
2<
/p>
u
1
?
u
2
x
2
du
sin
x
?
，
cos
x
?
，
u
?
tg
，
dx
?
2
1
?
u
2<
/p>
1
?
u
2
1
?
u
2
一些初等函数：
两个重要极限：
e
x
?
e
?
x
双曲正
弦
:
shx
?
2
e
x
?
e
?
双曲余弦
:
chx
?
2
shx
e
x
?
e
?
x
双曲正切
thx
?
?
x
chx
e
?
e
?
arshx
?
ln(
x
< p>?x
2
?
1
）
archx
?
?
ln(
x
?
x
2
?
1< /p>
)
1
1
?
x
arthx
?
ln
2
1
?
x
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角
A
-
α
90°
-
α
90°
+
α
180°
-
α
180°
+
α
270°
-
α
270°
+
α
360°
-
α
360°
+
α
sin
x
lim
?
1
x
?
0
< br>
x
1
lim
(
1
?
)
x
?
e
?
2
.
7 182818284
59045
...
x
?
?
x
sin
cos
tg
-
tgα
ctgα
ctg
-
ctgα
tgα
-
ctgα
ctgα
tgα
-
ctgα
ctgα
-
sinα
cosα
cosα
cosα
sinα
sinα
-
sinα
-
ctgα
-
tgα
-
cosα
-
tgα
-
sinα
-
cosα
tgα
-
cosα
-
sinα
ctgα
-
cosα
sinα
-
sinα
cosα
sinα
cosα
-
tgα
tgα
-
ctgα
-
tgα
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin(
?
?
?
)
?
sin
?
cos
?
< br>?
cos
?
sin
?
cos(
?
?
?
)
?
cos
?
cos
?
?
sin
?
sin
?
tg
(
?
?
?
< br>)
?
tg
?
?<
/p>
tg
?
1
?
tg
?
?
tg
?
ctg
?
?
ctg
?
?
1
ctg
(
?
?
?
)
?
ctg
?
?
ctg
?
sin
?
?
sin
?
?
2
sin
?
?
?
2
2
?
?
?
?
?
?
s
in
?
?
sin
?
?
2
cos
sin
2
2
?
?
?
?
?
?
cos
?
?
cos
?
?
2
cos
cos
2
2
?
?
?
?
?
?
cos
?
?
cos
?
?
2
sin
sin
2
2
2
/
12
cos<
/p>
?
?
?
高等数学公式
·倍角公式：
sin
2
?
?
2
sin
?
cos
?
cos
2< /p>
?
?
2
cos
2
?
?
1
?
1
?
2
sin
2
?
?
cos
2
?
?
sin
2
?
ctg
2
?
?
1
ctg
2
?
?
2
ctg
?
2
tg
?
tg
2
?
?
1
?
tg
2
?
·半角公式：
< /p>
sin
3
?
?
sin
?
?
4
< p>sin
3
?
cos
3
?
?
4
cos
3
?
?
3
cos
?
3
tg
?
< br>?
tg
3
?
tg
3
?
?
1
?
3
tg
2
?
sin
tg
?
2
?
?
?
?
1
?
cos
?
?
1
?
cos
?
cos
?
?
2
2
2
1
?
cos
?
1
?
cos
?
sin
?
?
1
?
cos
?
1
?
cos
?
sin
?
?
?
ctg
?
?
?
?
1
?
cos
?
sin
?
1
?
cos
?
2
1
?
cos
?
sin
?
1
?
cos
?
a<
/p>
b
c
?
?
?
2
R
·余弦定理：
c
2
?
a
2
?
b
2
?
2
ab
cos
C
sin
A
sin
B
sin
C
?
2
·正弦定理：
<
/p>
·反三角函数性质：
arcsin
x
?
?
2
?
arcco s
x
arctgx
?
?
2
?
arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（
Leibn iz
）公式：
(
uv
)
(
n
)
k
(
n
?
k
)
(
k
)
?
?
C
n
u
v
k
?
0
n
?
u
(
n
)
v
?
nu
(
n
?
1
)
v
?
?
n
(
n
?
1
)
(
n
?
< p>2)
n
(
n
?
1
)
?
(
n
< p>?k
?
1
)
(
n
?
k
)
(
k
< p>)
u
v
?
?
?
?
?
u
v
< p>?
?
?
uv
(
n
)
2
!
k
!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f
(
b
)
?
f
(
a
)
?
f< /p>
?
(
?
)(
b
?
a
)
f
(
b
)
?
f
(
a
)
f
?
(
?
)
柯西中值定理：
?
F
(
b
)
?
F
(
a
)
F
?
(
?
)
曲率：
当
F
(
x
)
?
x
时，柯西中值定理就是
拉格朗日 中值定理。
弧微分公式：
ds
?
1
?
y
?
2
dx
,
其中
y
?
?<
/p>
tg
?
平均曲率：
K
?
?
?
.
?
?
:
从
M
点到
< p>M
?
点，切线斜率的倾角变
化量；
?
s
：
M
M
?
弧长。
?
s
y
?
?
?
?
d
?
M
点的曲率：
K
?
lim
?
?
.
?
s
?
0
?
s
ds
(
1
?
y< /p>
?
2
)
3
1
.
a
3
/
12
直线：
K
?
0
;
半径为
a
的圆：
K
?
高等数学公式
定积分的近似计算：
< /p>
b
矩形法：
?
f
(
x
)
?
a
b
b
?
a
(
y
0
?
y
1
?
?
?
y
< br>n
?
1
)
n
b
?
a
1
[
(
y
0
?
y
n
)
?
y
1
< br>?
?
?
y
n
?
1
]
n
2
b
?
a
[(
y
< p>0
?
y
n
)
?
2
(
y
2
?
y
4
?
?
?
y
n
?
2< /p>
)
?
4
(
y
1
?
y
3
?<
/p>
?
?
y
n
?
1
)]
3
n
< br>
梯形法：
?
f
(
x
)
?
a
b<
/p>
抛物线法：
?
f
(
x
)
?
a
定积分应用相
关公式：
功：
W
?
F< /p>
?
s
水压力：
F
?
p
?
A
m
m
引力：
F
?
k
1
2
2
,
k
为引力系数
r
b
1
函数的平均值：
y
?
f
(
x
)
dx
?
b
?
a
a
1
均方根：
f
2
(
t
)
dt
?
b
?
a
< p>a
空间解析几何和向量代数：
b
空间
2
点的距离：
d
?< /p>
M
1
M
2
?
(
x
2
?
1
)
2
?
(
y
2
?
y< /p>
1
)
2
?
(
z
2
?
z
< p>1
)
2
向量在轴上的投影
：
Pr
j
u
AB
?
AB
?
cos
?
,
?
是
AB
与
u
轴的夹角。
?
?
?
?< /p>
Pr
j
u
(
a
1
?
a
2
)
?
Pr
j
a
1
?
Pr
j
a
2
?
?
?
?
a
?
b
?
a
?
b
cos
?
?
a
x
b
x
?
a
y
b
y
?
a
z
b
z
,
是一个数量
,
两向量之间的夹
角：
cos
?
?
i
?
?
?
c
?
a
?
b
?
a
x
b
x
j
a
y
b
y
a
x
b
x
?
a
y
b
y
?
a
z
b
z
a
x
?
a
y
?
a
z
?
b
x
?
b
y
?
b
z
2
2
2
2
2
2
k
?
?
?
?
?
?
a
z
,
c
?
a
?
b
sin
?
.
例：线速度：
v
?
w
?
r
.
b
z<
/p>
a
y
b
y
c
y
a
z
?
?
?
b
z
?
a
?
b
?< /p>
c
cos
?
,
?
为锐角时，
c
z
a
x
?
?< /p>
?
?
?
?
向量的混
合积：
[
a
b
c
]
?
(
a
?
b
)
?< /p>
c
?
b
x
c
x
代表平行六面体的体积
。
4
/
12
高等数学公式
平面的方程：
?
1
、点法式：
A
(
x
?
x
0
)
?
B
(
y
?
y
0
)
?
C
(
z
?
z
0
)
?
0
，其中
n
?
{
A
,
B
,
C
},
M
0
(
x
0
,
0
,
z
0
)
2
、一般方程：
Ax
?
By
?
Cz
?
D
?
0
x
y
z
3<
/p>
、截距世方程：
?
?
?
1
< p>a
b
c
平面外任意一点到该平
面的距离：
d
?
Ax
0
?
By
0
?
C z
0
?
D
A
2
?
B
2
?
C
2
?
x
x
0
?
m
t
x
?
x
y
?
< p>y
0
z
?
z
0
?
?
空间直线的方程：
0
?
?
?
t
,
其中
s
?
{
m
< p>,n
,
p
};
参数方程：
?
y
?
y
0
?
nt
m
n
p< /p>
?
z
?
z
?
pt
0
?
二次曲面：
x
2
y
2
z
2
1
、椭球面：
< br>2
?
2
?
2
?
1
a
b
c
x
2
y
2
2
、抛物面：
?
?
z
（
,
p
,
q
同号）
2
p
2
q
3
、双曲面：
x
2
y
< br>2
z
2
单叶双曲面：
2
?
2
?
2
?
1
a
b
< p>c
x
2
y
2
z
2
双叶双曲面：
< br>2
?
2
?
2
?
（马鞍面）
1
a
b
c
多元函数微分法及应用
全微分：
dz
?
?
z
?
z
?
u
?
u
?< /p>
u
dx
?
dy
du
?
dx
?
dy
?
dz
?
x
?
y
?
x
?
y
?
z
全微分的近似计算：
?
z
?
dz
?
f
x
(
x
,
y
)
?
x
?
f
y
(
x
,
y
)
?
y
多元复合函数的求导法
：< /p>
dz
?
z
?
u
?
z
?
v
z
?
f
[
u
(
t
),
< p>v(
t
)]
?
?
?
?
dt
?< /p>
u
?
t
?
v
?
t
?
z
?
z
?< /p>
u
?
z
?
v
z
?
f
[
u
(
x< /p>
,
y
),
v
(
x
,
y
)]
?
< /p>
?
?
?
?
x
?
u
?
x
?
v
?< /p>
x
当
u
?
u
(
x
,
y
)
，
v< /p>
?
v
(
x
,
y
)
时，
du
?
?
u
?
u
?
v
?
< p>v
dx
?
dy
dv
?
dx
?
dy
?
x
?
y
?
x
?
y
隐函数的求导公式：
F
x
F
F
dy
dy
d
2
y
?
?
隐函数
F
(
x
,
y
)
?
0
，
?
?
，
2
?
(
?
x
)
＋
(
?
x
)
?
dx
F
y
?
x
F
y
?
y
F
y
dx
dx
F
y
F
x
?
z
?
< p>z
隐函数
F
(
x
,< /p>
y
,
z
)
?
0
，
?
?
，
?
?
?
x
F
z
?
y
F
z
5
/
12
高等数学公式
?
F< /p>
?
F
(
x
,
y
,
u
,
v
)
< p>?0
?
(
F
,
G
)
?
u
隐函数方程组
：
J
?
?
?
?
G
G
(
x
< p>,y
,
u
,
v
)
?
0
?
(
u
< p>,v
)
?
?
u
?
u
1
?
(
< p>F,
G
)
?
v
1
?
(
F
,
G
)< /p>
?
?
?
?
?
?
?
x
J
?
(
x
,
v
)
?
x
J
?
(
u
,
x
)
?
u
1
?
(
F
,
G
)
?
v
1
?
(
F
,
G
)
?
?
?
?
?
?
?
y
J< /p>
?
(
y
,
v
)
?
y
J
?
(
u
< p>,y
)
微分法在几何上的应用：
< /p>
?
F
?
v
?
F
u
?
G
< p>G
u
?
v
F
v
G
v
<
/p>
?
x
?
?
(
t
)
x
?
x< /p>
y
?
y
0
z
?
z
0
?
空间
曲线
?
y
?
?
(
t
)
在点
M
(< /p>
x
0
,
y
0
,
z
0
)
0
?
?
?
?
?
(
t
)
?
(
t
)
?
?
(
t
0
)
0
0
?
z
?
?
(
t
)
?
在点
M
处的法平面方程：< /p>
?
?
(
t
0
)(
x
?
x
< br>0
)
?
?
?
(
t
0
)(
y
?
y
0
)
?< /p>
?
?
(
t
0
)(
z
?
z
< br>0
)
?
0
?
?
F
y
F
< br>z
F
z
F
x
F
x
?
F
(
x
,
y
,
z
)
?
0
若空间曲线方程为：
,
则切向量
T
?
{
,
,
?
G
G
G
x
G
G
G
(
x
,
y
,
z
)
?< /p>
0
?
y
z
z
x
?
曲面
F
(
x
,
y
,
z
)
?
0
上一点
M
(
x
0
,
y
0
< br>,
z
0
)
，则：
?
1
、过此点的法向量：
n
?
{
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
),
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
),
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)}
x
?
x
0
y<
/p>
?
y
0
z
?
z
0
3
、过此点的法线方程：
?
?
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
F
z
< br>(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
方向导数与梯度：
F
y
}
G
y
2<
/p>
、过此点的切平面方程
：
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
x
?
x
0
)
?
F
y
(
x< /p>
0
,
y
0
,
z
0
)(
y
?
y
0
)
?
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
z
?
z
0
)
?
0
?<
/p>
f
?
f
?
f
函数
z
?
f
(
x
,
y
)
在一点
p
(
x
,
y
)
沿任一方向
l
的方向导数为：
?
cos
?
?
sin
?
?
l
?
x
?
y
其中
?<
/p>
为
x
轴到方向
l
的转角。< /p>
?
f
?
?
f
?
i
?
j
?
x
?
y
?
?
?
f
?
?< /p>
它与方向导数的关系是
：
?
grad
f
(
x
,
y
)
< p>?e
，其中
e
?
cos
?
?
i
?
sin
?
?
j
，为
l
方向上的
?
l
单位向量。
?
f
?
是
grad
f
(
x
,
y
)
在
l
上的投影。
?
l
函数
z
?
f
(
x
,
y
)
在一点
p
(
x
,
y
)
的梯度：
grad
f
(
x
,
y
)
< p>?
多元函数的极值及其求法：
设
f
x
(
x
0
,
y
0
)
?
f
y
(
x
0
,
y
0
)
?
0
，令：
f
xx
(
x
0
,
y
< p>0
)
?
A
,
f
xy
(
x
< br>0
,
y
0
)
?
B
,
f
y
y
(
x
0
,
0
)
?
C
?
?
A
?
0
< p>,(
x
0
,
y
0
)
为极大值
2
AC
?
B
?
0
时，
?
?
?
A
?
0
,
(
x
0
,
y
0
)
为极小值
?
?
2
则：
值
?
AC
?
B
?
0
时， 无极
?
AC
?
B
2
?
0
时
,
不确定
?
?
?
6
/
12