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第三章
1
．解：
考虑分
5
次取产品，每次取一个。设随机变量
X
表示取出 的
5
个产品中的次品数，
引入随机变量
X
i
表示第
i
次取产品的结果：< /p>
?
1
，
第
i
次
取
到
次
品
X
i
?
?
（
i
=
1,
2,
3,
4,
5)
?
0
，
第
i< /p>
次
取
到
合
格
品
则有
X
?
X
1
?
X
2
?
X
3
?
X
< br>4
?
X
5
易知，
X
i
有相同的分布律
：
P
{
X
i<
/p>
?
1}
?
9
10
1
10
C
10
?
P
99
P
100
1
5
1
4
?
1
10
，
P
{
X
i
?
0}
?
1
?
1
10
?
9
10
则
E
(
X
i
)
?
0
?
?
1
?
?
< br>10
，于是
5
E
(
X
)
?
E< /p>
(
X
1
?
X
2
?
X
3
?
X
4
?
X
5
)
?
?
i<
/p>
?
1
E
(
X
i
)
?
1
10
?
5
?
0.5
。
注意：
随机变量
X< /p>
并不服从二项分布，这是因为每次取产品的结果不是相互独立的，前面
取产
品的结果会影响到后面取产品的结果。为了理解这一点，可以考虑求任意取出的
20
个
产品中次品数的期望值；
或者改成
100
< p>个产品中有2
个次品，
求任意取出的
5
个产品中次品
数的期望值；注意在这两种情形下，随机变量
X< /p>
的可能取值。
2
．解：
设 随机变量
X
表示
3
人中生日在第一季度的人数，由 于每个人生日在各个月份的机
会是同样的，并且每个人的生日应该相互独立，因此
X
?
B
(
3
,
)
，那么
3
人中生日在第
4
1
一季度的平均
人数为
E
(
X
)
?
n
p
?
3
?
3<
/p>
．略。
1
4
?
0
.
75
。
4
．
解：
由于
X
?
P
(
?
)
，
因此
E
(
X
< p>)?
?
,
D
(
X
)
?
?
，<
/p>
再由公式
D
(
X
)
?
E
(
X
)
?
[
E
(
X
)]
，
可求得
E
(
X
)
?
D
(
X
)
?
< p>[E
(
X
)]
?
?
?
?
。
由数学期望的性质，有
E
[(
X
?
1
)(
X
?< /p>
2
)]
?
E
[
X
?
3
X
?
2
]
?
E
(
X
)
?
3
E
(
X
)
?
2
?
?
?
?
?
3
?
?
2
?
?
?
2
?
?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
则可得到关于
?
的方程
?
?
2
?
?
2
?
1
亦即
2
?
?
2
?
?
1
?
0
2
容易
求得
?
?
1
。
5
．解：
（
1
） 设随机变量
X
表示发生故障的设备台数，则依题意可知
X
?
B
(
20
,
0
.
01
)
，
近
似
由于
n
?
20
较大，
p
?
0
.
01
较小，因此
X
?
< p>P(
0
.
2
)
。
当发生故障的设备超过一台的时候，维修工就不能及时维修，其概率为
P
{
X
?
1
}
?
1
?
P
{
X
?
0
}
?
P
{
X
?
1
}
?
1
?
0
.
8187
?
0
.
1637
?
0
.
017 6
；
（
2
）设 随机变量
X
表示发生故障的设备台数，则依题意可知
X<
/p>
?
B
(
80
,
0
.
01
)
，由于
近
似
n
?
80
较
大，
p
?
0
.
01
较小，因此
X
?
P
(< /p>
0
.
8
)
。
当发生故障的设备超过三台的时候，维修工就不能及时维修，其概率为
P
{
X
?
3
}
?
1
?
P
{
X
?
0
}
?
P
{
X
?
1
}
?
P
{
X
?
2
}
?
P
{
X
?
3
}
< br>
?
1
?
0
.
4493
?
0
.
3595
?
0
.
1438
?
0
.
0383
?
0
.
0091
6
．解：
方法一：由于函数
1
2
xe
?
x
为奇函数，因此
xf
(
x
)
dx
?
< p>E(
X
)
?
?
?
?
?
?
?<
/p>
?
?
?
?
1
2
xe
?
x
dx
?
0
；
方法二：由期望的计算公式，可得
E
(
X
)
?
?
?
1
2
< br>??
??
xf
(
x
)
dx
?
x
x
0
?
??
??
1
2
xe
?
x
< p>dx
?
?
e
?
x
1
?
2
< br>??
0
??
xe
dx
?
1
2
?
1
2
x
1
?
2
??
0
xe
?
x
dx
[
xe
?
e
]
??
?
x
1
2
[
?
xe
?
x
]
0
?
?
?
0
7
．解
：方法一：由 于函数
?
E
(
X
)
?
1
?
x
2<
/p>
为奇函数，因此
?
??
??
xf
(
x
)
dx
?
?
1
?
1
x
?
1
?
x
2
dx
?
0
；
方法二：由期望的计算公式，可得
E
(
X
)
?
?
??
??
xf
(
x
< p>)dx
?
?
1
?
1
x
?
1
?
x
2
dx
?< /p>
?
1
2
?
1
?
1
1
?<
/p>
1
?
x
2
d
(
1
?
x
)
?< /p>
?
2
1
1
?
1
?
x
2
?
1
?
0
8
．解：
依题意，可得
1
k
?
??
a
f
(
x
)
dx
?
k x
dx
?
?
1
?
0
?
?
?
??
a
?
1
；
?
??
1
k
a
?
1
?
E
(
X
)
?
xf
(
x
)
dx
?
kx
dx
?
?
0
.
75
?
?
??
0
?
a
?
2
?
因此，
求解上述方程组，可求得
a
?
2
,
k
?
3
。