-
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第一章
随机事件及其概率(一)
一.选择题
1
.对掷一粒骰子的试验,在概率论中将“出现奇数点”称为
< p>
[
C
]
(
A
)不可能事件
(
B
)必然事件
(
C
)随机事件
(
D
)样本事件
2
.下面各组事件中,互为对立事件的有
[
B
]
(
A
< p>)
A
1
?
{
抽到的三个产品全是合格品
}
A
2
?
{
抽到的三个 产品全是废品
}
(
B
)
B
1
?
{
抽到 的三个产品全是合格品
}
B
2
p>
?
{
抽到的三个产品中至少有一个废品
}
(
C
)
C
1
?<
/p>
{
抽到的三个产品中合格品不少于
2
个 p>
}
C
2
?
{
抽到的三个产品中废品不多于
2
个< /p>
}
(
D
)
D
1
?
{
抽到的三个产品中有
2
个合格品
}
D
2
?
{
抽到的三个 产品中有
2
个废品
}
3
.下列事件与事件
A
?
B
不等价
的是
[
C ]
(
A
)
A
?
A B
(
B
)
(
A
?
B
)
?
B
< br>
(
C
)
AB
(
D
)
AB
<
/p>
4
.甲、乙两人进行射击,
A
、
< p>B分别表示甲、乙射中目标,则
A
?
B
表示
[
C]
(
A
)二人都没射中
(
B
)二人都射中
(
C
)二人没有都射着
(
D
)至少一个射中
5
.以
A
表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销
”
,则其对应事件
A
为
.
[
D]
< br>(
A
)
“甲种产品滞销,乙种产品畅销”
;
(
B
) p>
“甲、乙两种产品均畅销”
;
(
)
“甲种产品滞销”
;
(
D
) p>
“甲种产品滞销或乙种产品畅销
6
.设 p>
?
?
{
x
|
? ?
?
x
?
??
},
A
?
{
x
|
0
?< /p>
x
?
2},
B
?
{< /p>
x
|1
?
x
?
3}< /p>
,则
AB
表示
[
< /p>
(
A
)
{
x
|
0
?
x
?
1
< p>}
(
B
)
{
x
|
0
?
x
?
1
}
(
C p>
)
{
x
|1
?
x
?
2}
(
D
) p>
{
x
|
??
?
x
?
0}
?
{
x
| 1
?
x
?
??
}
< br>
7
.在事件
A
,
B
,
C
中,
A
和
B
至少有
一个发生而
C
不发生的事件可表示为
[
A]
< br>(
A
)
A
C
?
B
C
;
(
B p>
)
AB
C
;
(
C
)
AB
C
?
A
B
C
?
p>
A
BC
;
p>
(
D
)
A
?
B
?
C
.
8
、设随机事件
A
,
B p>
满足
P
(
AB
) p>
?
0
,则
[
D
]
< br>(
A
)
A
,
B p>
互为对立事件
(B)
A
,
B
互不相容
1 / 48
A]
(C)
AB
一定为不可能事件
(D)
AB
不一定为不可能事件
二、填空题
p>
1
.若事件
A
,
B
< p>满足
AB
?
?
,则
称
A
与
B
互不相容或互斥
。
2
.
“
A
,
B
,
C
三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为
ABC
?< /p>
ABC
?
ABC
?
ABC
< p>或
AB
?
AC
?
BC
。
三、简答题:
1
< p>.一盒内放有四个球,它们分别标上1
,
2
,
3
,
4
号,试根据下列
3
种不同的随机实验,写出对应的样本空间:
(
1
)从盒中任取一球后,不放回盒中,再从盒中任取一球,记录 取球的结果;
(
2
)从盒中任取一球后放回,再从盒中任取一球,记录两次取球的结果;
(
3
)一次从盒中任取
2
个球,记录取球的结果。
答:
(
1
)
{
(1,2) ,(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),( 4,1),(4,2),(4,3)
}
(
2
)
{
(
1,1
)
,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1), (3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)
}< /p>
(3
)
{
(1,2),( 1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)
}
2
.设
A
、<
/p>
B
、
C
为三个事件,用< /p>
A
、
B
、
C
的运算关系表示下列事件。
(
1
)
A
、
B
、
C
中只有 p>
A
发生;
(
2 p>
)
A
不发生,
B
与
C< /p>
发生;
(
< p>3)
A
、
B
、
C
中恰有一个发生;
(
4 p>
)
A
、
B
、
C
中恰有二个发生;
(
5
)
A
、
B
、
C
中没有一个 发生;
(
6
)
A
、
B
、
C
中所有三个都发生;
(
7
) p>
A
、
B
、
< br>C
中至少有一个发生;
(
8
)
A
、
B
、
C
中不多于两 个发生。
答:
(1)
ABC
(6)
ABC
(2)
(3)
ABC
?
ABC
?
ABC
(5)
ABC
(8)<
/p>
C
?
A
?
B
?
ABC
概率论与数理统计练习题
<
/p>
(4)
ABC
?
ABC
?< /p>
ABC
(7)
A
?
B
?
C
系
专业
班
姓名
学号
第一章
随机事件及其概率(二)
一、
选择题:
1
.掷两颗均匀的骰子,事件 “点数之和为
3
”的概率是
[
B
]
(
A
)
1
1 p>
1
1
(
B
)
(
C
)
(
D
)
36
12
11
2
.袋中放有
3
个红球,
2
个白球,第一次取出一球,不放回,第二次再 取一球,则两次都是红球的概率是
[
B ]
(
A
)
9
3
6
3< /p>
(
B
)
(
C
)
(
D p>
)
25
10
25
20
3
.
已知事件
A
、
B
满足
A
?
B
,则
P
(< /p>
B
?
A
)
?
[
B]
(
A
)
P
(
B
)
?
P
( p>
A
)
( p>
B
)
P
(
B
)
?
(
A
)
?
P p>
(
AB
)
2 / 48
(
C
)
P
(
A
B p>
)
(
D
) p>
P
(
B
)
?
P
(
AB
)
4<
/p>
.
A
、
B
为两事件 ,若
P
(
A
?
B
)
?
0.8,
P
(
A
)
?
0.2,
P
(
B p>
)
?
0.4
,则
[
B]
(
A
)
P
(
A
B
)
?
0.3 2
( p>
B
)
P
(
A
B
)
?
0.2
(
C
)
P
(
B
?
A
)
?
0.4
p>
(
D
)
P
(
B
A
)
?
0.48
5
.有
6
本中文书和
4
本外文书,任意往书架摆放,则
4
本外文书放在一起的概率是
[
D]
(
A
)
4!
?
6!
7
4
4 !
?
7!
(
B
)
(
C
)
(
D
)
10!
10
10
10!
二、选择题:
< /p>
1
.设
A
和
B
是两事件,则
P
(
A
)
?
P
(
AB
)
?
< br>
P
(
AB
)
2
.设
A
、<
/p>
B
、
C
两两互不相容,< /p>
P
(
A
)
?
0.2
,
P
(
B
)
?
0.3,
P
(
C
)
?
0.4
,则
P
[(
A
?
B
)
?
C
]
?
0.5
P
[(
< p>A?
B
)
?
C
]
?
P
(
A
?
B< /p>
)
?
P
((
A
? p>
B
)
C
)
解答:
?
P
(
A
?
B
)
?
P
(
?
)
(
因为
A,B,C
两两互不相容)
=
P(A)+
P
(
B
)
?
0.5
3
.若
P
(
A
)
?
0.5,
P
(
B
)
?
0.4,
P
(
A
?
B
)
?
0.3
,则
P
(
A
?
B
)
?
0.8
。
p>
P
(
A
?
B
)
?
P
(
A
)
? p>
P
(
AB
)
解:
0.3
?
0.5
?
P
(
AB
)
?
P
(
AB
)
?
0.2
P
(
A
?
B
)
?
P
(
AB
)
?
1
?
P
(
AB
)
?
0.8
4
.
设两两独立的事件
A
,
< p>B,
C
满足条件
< br>ABC
?
?
,
P
(
A
)
?
P
( p>
B
)
?
P
(
C
)
?
1
,且已知
2
P
(
A
?
< p>B?
C
)
?
9
,则
P
(
A
)
?
1/4
。
16
2
P
(
A
?
B
?
C
)
?
P
(
A
)< /p>
?
P
(
B
)
?
P
(
C
)
?
P
< p>(AB
)
?
P
(
AC
)
?
P
(
BC
)
?
P
(
ABC
)
解:
9
/16
?
3
< p>P(
A
)
?
3
P
(
A
)
(
A
,< /p>
B
,
C
两两独立,且
ABC
=
?
)
P
(
A
)
?
1/
4
5
.设
P
(
A
)
1/2
。
(3/
4
舍)
1
1
,
P
(
AB
)
?
0 p>
,
P
(
AC
)
?
P
(
BC
)
?
,
则
4
8
A
、
B
、
C
全不发生的概率为
?
P
(
B
)
?
P
(
C
)
?
3 /
48
解:
P
(
ABC
)
?
1
?
P
(
A
?
B
?
C
)
P
(
A
?
B
?
C
)
?
P
(
A
)
?
P
(
B
) p>
?
P
(
C
)
?
P
(
AB
)
?
P
< p>(AC
)
?
P
(
BC
)
?
P
(
ABC
< p>)
?
3/
4
?
2 p>
/
8
?
0
?
1
/
2
(
ABC
?
AB
)
6
.设
A
和
B
是两事件,
B
?
A
,
P
(
A
)
?
0.9,
P
(
B
)
?
0.36
,则
P
(
AB
)
?
0.5
4
。
解:
P
(< /p>
AB
)
?
P
(
A p>
?
B
)
?
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
0.54
三、计算题:
(
B
?
A
)
1
.罐中有
12
颗 围棋子,其中
8
颗白子,
4
颗黑子,若从中任取< /p>
3
颗,求:
(
1
)取到的都是白子的概率;
(
2
)取到的两颗白子,一颗黑子的概率;
(
3
)取到的
3
颗中至少有一颗黑子的概率;
(
< p>4)取到的
3
颗棋子颜色相同的概率。
p>
3
3
(1)
P
? p>
C
/
C
1
8
1 2
?
14
/
55
解:
(
1
)
1
3
(2)
P
2
?
C
8
2
C
4
p>
/
C
12
?
28/
55
(3)
P
3
?
1
?
P
1
?
41/
55
3
3
< p>(4)
P
4
?
(< /p>
C
8
3
?
C
4
)
/
C
12
?
41/
55
2
.加工某一零件共需经过
4
道工序,设第一、 二、三和四道工序的次品率分别为
2%
、
3%
、< /p>
5%
和
3%
,假定各道
工序
是互不影响的,求加工出来的零件的次品率。
解:
A, B,C,D
分别表示第一、二、三四道工序出现次品
P
(
A
)
?
2%,
P
(
B
)
?
3%,
P
(
C
)
?
5%,
P
(
D
)
?
3%
加工出的成品率
P
(
ABCD
)
?
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
C
) p>
P
(
D
)
?
0 .98*0.97*0.95*0.97
?
0.876
次
品率
1
-
P
(
ABCD
< p>)=
0.124
3
.袋中人民币五元 的
2
张,二元的
3
张和一元的
5< /p>
张,从中任取
5
张,求它们之和大于
12
< p>元的概率。
法一:大于
12
的有
13,14,15,16
P
(大 于
12
元)=
P
(13)
?
P
(14)
?
P
(15)
?
P
(16)
解:
?
2
C
3
2
3
5
2
2
1
5< /p>
2
1
2
5
2
3
5
/
C
10
?
C
2
C
3
C
5
/
C
1
0
?
C
2
C
3
C
5
/
C
10
?
C
2
C
5
/
C
10
?
2
/
9
法二:
2
3
5
< br>P
(大于
12
元)=
C
2
C
8
/
C
10
?
2
/
9
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第一章
随机事件及其概率(三)
一、
选择题:
4 / 48
<
/p>
1
.
设
A
、
B
为两个事件,
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
0
,且
A
?
B
,则下列必成立是
[ A
]
A
)
?
1
(
C p>
)
P
(
B
|
A
)
?
1
(
D p>
)
P
(
A
|
B
)
?
0
(
A
)
P
(
A
|
B
)
?
1
(
D
)
P
(
B
|
2
.设盒中有
10
个木质球,
6
个玻璃球,木质球有
< p>3个红球,
7
个蓝色;玻璃球有
2
< p>个红色,4
个蓝色。现在从盒
中任取一球,用
A
表示“取到蓝色球”
,
B
表示“取到玻 璃球”
,则
P
(
B
|
A
)=[ D
]
。
(
A
)
6
6
4
(
B
)
(
C p>
)
10
16
7
(
D
)
4
11
3
.设
A
、
B
为两事件,且
P<
/p>
(
A
),
P
(
B p>
)
均大于
0
,则下列公式错误的是
< p>
[
B
]
(
A
< p>)
P
(
A
?
B
)
?
(
C
)
P
(
AB
)
?
P
p>
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
AB
< p>)
(
B
)
P
(
AB
)
?
P
(
A
)
P
(
B
)< /p>
P
(
A
)
P
(
B
|
A
)
< p>
( p>
D
)
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A p>
)
4
.设
10 p>
件产品中有
4
件不合格品,从中任取
2
件,已知所取的
2
件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合
格品的概率为
[
B
]
1
1
3
(
C
)
(
D
)
5
2
5
解:
A
:至少有一件不合格品,< /p>
B
:两件均是合格品。
B
?
A
(
A
)
( p>
B
)
2
C
4
P
(
AB
)
P
< p>(B
)
4
?
3/
2
P
(
B
|
A
)
?
?
?
2
?
?
1/
5
1
1
P
(
A
)
< p>P(
A
)
C
4
?
C
4
C
6
6
?
24
2
5
5
.设
A
、
B
为两个随机事件,且
0
?
< p>P(
A
)
?
1,
P
(
B
)
?
0,
P
(
B
|
A
)
?< /p>
P
(
B
|
A
)
,则必有
[ C
]
P
A
|
B
)
(
A
)
P
(
A< /p>
|
B
)
?
P
(
A
|
B
)
(
B p>
)
P
(
A
|
B
)
?
(
C
)
P
(
AB
)
?
P
(
A
)
P
(
B
< p>)
p>
(
D
)
P
(
A B
)
?
P
(
A
)< /p>
P
(
B
)
0
?
P
(
A
)
< p>?1,
P
(
B
)
?
0,
P
(
AB
) p>
P
(
BA
)
P
(
B
)
?
P
(
AB
)
?
?
P
(
A
)
P
(
A
)
1
?
P
(
A
)
解:
?
P
(
AB
)(1
?
P
(
A
))
?< /p>
P
(
A
)(
P
( p>
B
)
?
P
(
AB
))
P
(
B
|
A
)
?
P
(
B
|
A
)
?
< br>?
P
(
AB
)
?
< p>P(
AB
)
P
(
A
)
?
P
(
A
)
P
(
B
)
?
P p>
(
A
)
P
(
AB
)
?
P
(
AB
)
?
P
(
A
)
P p>
(
B
)
二、填空题:
1
.设
A
、<
/p>
B
为两事件,
P
(
A
?
B
)
?
0.8,
P
(
A
)
?
0.6,
< p>P(
B
)
?
0.3
< p>,则
P
(
B
|
A
)
?
1/6
5 / 48
< br>P
(
A
?
B
)
?
0.8,
P
(
A
)
< p>?0.6,
P
(
B
)
?
0.3
?
0.8
?
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
AB< /p>
)
?
0.6
?
0.3
?
P
(
AB
)
解:
P
(
AB
)
?
0.1
P
(
AB
)
0.1
?
?
1/
6
P
(
A
)
0.6
?
P
(
B
|
A
)
?
2
.设
P
(
A
)
?
0.6,
P
(
A
?
B
)
?
0.84,
P
(
B
|
A
)
?
0.4
,则
P
(
B
)
?
0.6
P
(
AB
)
P
(
A
)
?
P
(
AB
)
0 .6
?
P
(
AB
)
?
?
P
(
A
)< /p>
P
(
A
)
0.6
解:
?
0.6
?
P
(
AB
)
?
0.24,
?
< p>P(
AB
)
?
0.36
P
(
A
)
< p>?0.6
,
P
(
B
< p>|A
)
?
0.4
?
< p>P
(
A
?
B
)
?
0.84
?
P
(
A p>
)
?
P
(
B
)
?
P
(
AB
)
?
< p>0.6?
P
(
B
)
< p>?0.36
?
P
(
B
)
?
0.6
3
.若
P
(
A
)
?< /p>
0.6,
P
(
B
)
?
0.8,
P
(
B
|
A
)
?
0.2
,则
P
(
A
|
B
)
?
0.9
P
(
A
)
?
0.6
,
P
(
B
)
?
0.8
,
P
p>
(
B
|
A
)
?
0.2
?
解:
P
(
BA
)
0.8
?
P
( p>
AB
)
0.8
?
P
(< /p>
AB
)
?
?
P
p>
(
A
)
1
?
P
(
A
)
0.4
?
P
(
AB
)
?
0.72
P
(
A
|
B
)
?
P
(
AB
)
0. 72
?
?
0.9
P
(
B
)
0.8
4
.某产品的次品率为
2%
< p>,且合格品中一等品率为75%
。如果任取一件产品,取到的是一等品的概率 为
0.735
p>
解:
A
:合格品;
C
:一等品
.
5
.已知
P
(
C
|
A
)
?< /p>
0.75,
P
(
C
)
?
P
(
A
)
P
(< /p>
C
|
A
)
?
0.98 *0.75
?
0.735
A<
/p>
1
,
A
2
,
A
3
为一完备事件组,且
P
(
A
1
)
?
0.1,
P
(
A
2
)
?
0.5,
P
(< /p>
B
|
A
1
)
?
0.2
P
(
B
|
A
2
)
?
0.6
P
(
B
|
< p>A
3
)
?
0.1
< p>,则
P
(
A
1
p>
|
B
)
?
1/18
p>
P
(
A
1
|
B
)
?
解:
P<
/p>
(
A
1
B
)
P
(
A
1
)(
B
|
A
1
)
?
P
(
B
)
P
(
A
1
)(
B< /p>
|
A
1
)
?
P
(
A
2
)(
B
|
A
2
)
?
P
(
A
3
)
(
B
|
A
3
)<
/p>
?
0.1
?
0.2
?
1/18
0.1
?
0.2 p>
?
0.5
?
0.6
?
0 .1
?
0.4
三、计算题:
1
< p>.某种动物由出生活到
10
岁的概率为
0.8
,活到
12
岁的概率为
0.56
, 求现年
10
岁的该动物活到
12
岁的概率是
多少?
解:
A:
某种动物由出生活到
10
岁
.B:
某种动物由出生活到
12
岁
6 / 48
B
?
A
?
P
(
B
|
A p>
)
?
P
(
AB
)
P
(
B
)
< p>?
?
0.7
P
(
< p>A)
P
(
A
)
2
.
某产品由甲、乙两车间生产,甲车间占
60%
,乙车间占
40%
,且甲车间的正品率为
90%
,乙车间的正品率为
95%
,求:
(
1
)任取一件产品是正品的概率;
< /p>
(
2
)任取一件是次品,它是乙车间生产的概率。
解:
A
:某产品由甲两车间生产。
B
:任取一件产品是正品。
P
( p>
A
)
?
0.6,
P
(< /p>
A
)
?
0.4,
P
(
B
|
A
)
?
0.9 ,
P
(
B
|
A
)< /p>
?
0.95
已知:
(1)
P
(
B
)
?
P
(
A
)
P
(
B
|
A
)
?
P
(
A p>
)
P
(
B
|
A
)
?
0.6
?
0.9
? p>
0.4
?
0.95
?
0.92
P
(
AB
)
< p>P(
A
)
P
(
B
|
A
)
0.4
?
(1
?
0.95)
?
?
?
25%
1
?
P
(
B
)
1
?
0.92
P
(
B
)
(2)
P
(
A
|
B
)
?
< p>3
.
为了防止意外,在矿内同时设有两报警系统
A< /p>
与
B
,每种系统单独使用时,其有效的概率系统
A< /p>
为
0.92
,系
统
B
为
0.93
,在
A
失灵的条件下,
B
有效的概率为
0.85
,求:
(
1
)发生意外时,这两个报警系统至少一个有效的概率; p>
(
2
)
B
失 灵的条件下,
A
有效的概率。
解
:
设
A
为系统
A
有效
,
B
为系统
B
有效
,
则根据题意有
P
(
A
)=0.92,
P
(
B
)=0.93,
P
(
B
|
A
)
?< /p>
0
.
85
(1)
两个系统至少一个有效的事件为
A
+
B
< p>,其对立事件为两个系统都失效
,
即
A
?
B
?
A
B
,
而
P
(
B
|
A
)
?
1
?
P
(
B
|
A
)
?
1
?
0
.
85< /p>
?
0
.
15
,
则
P
( p>
A
B
)
?
P
(
A
)
P
(
B
|
A
)
?
(
1
?
0
.
92
)
?
0
.< /p>
15
?
0
.
08
?< /p>
0
.
15
?
0
. p>
012
P
(
A
?
B
)
?
1
?
P
(
A
B
)
?
1
? p>
0
.
012
?
0
. p>
988
(2)
B
失灵条件下
A
有效的概率为
P
(
A
|
B
)
,
则
< p>
P
(
A
|
B
)
?
1
?
P
(
A
< p>|B
)
?
1
?
P
(
A
B
)
0<
/p>
.
012
?
1
?
< p>?0
.
829
P
(
B
)
1
?
0
.
93
4
.某酒厂生产一、二、三等白 酒,酒的质量相差甚微,且包装一样,唯有从不同的价格才能区别品级。厂部取一
箱给销
售部做样品,但忘了标明价格,只写了箱内
10
瓶一等品,
8 p>
瓶二等品,
6
瓶三等品,销售部主任从中任取
1
瓶,请
3
位评酒专家品尝,判断所取的是否为一等品。专家甲说 是一等品,专家乙与丙都说不是一等品,而销售主
任根据平时资料知道甲、
乙、
丙
3
位专家判定的准确率分别为
0
.96,0.92
和
0.90
。
问懂得概 率论的主任该作出怎
样的裁决?
解:
A
:这瓶酒是一等品。
< p>
B
1
,
B
2
,
B
3
分别表示甲、
乙、丙说是一等品。
B
1
,
2
,
B
3
相互独立。
7 / 48
已知:
8 / 48
P
(
B
1
|
A
)
?
0.96,
P
(
B
2
|
A
)
?
0 .92,
C
P
(
B
3
|
A
)
?
0 .9,
P
(
A
)
?
?
5/12
C
P
(
B
1
B
2
B
3
)
?
P
(
B
1
B
2
B
3
|
A
) p>
P
(
A
)
?
P
(
B
1
B
2
p>
B
3
|
A
)
P
(
A
)
?
P
(
B
1
|
A
)
P
(
B
2
|
A
)
P
(
B
3
|
A
)
P
(
A
)
?
P
(
B
1
|
A
)
P
(
B
2
|
A
)
P
(
B
3
|
A
)
P
(
A
)
5
5
?
0.96
?
0.08
?
0.1
?
?
0.04
?
0.92
?
0.9 p>
?
(1
?
)
12
12
P
(
B
1
B
2
B
3
A
)
P
(
A
|
B
1
B
2
B
3
)
?
P
(
B
1
B
2<
/p>
B
3
)
P
(
B
1
B
2<
/p>
B
3
|
A
)
P
(
A
)
?
P
(
B
1
B
2
B
3
)
5
0.96
?
0.08
?< /p>
0.1
?
12
?
< br>5
5
0.96
?
0.08
?
0.1
?
?
0.04
?< /p>
0.92
?
0.9
?
(1
< p>?)
12
12
?
9 / 48
1
10
1
24
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第一章
随机事件及其概率(四)
一、
选择题:
1
.设 p>
A
,
B
是两个相互独立的事件,
P
(
A
)
?
0,
P
(
B
)
?
0
,则一定有
P
(
A
?
B
)
?
[
B
]
(
A
)
P
(
A
)
?
P
(
B
)
(
B
)
1
?
P
(
A
)
P
(
B
)
(
C
)
1
?
P
(
A
)
P
(
B
)
(
D
)
1
?
P
(
AB
)
2
.甲、乙两人各自考上大学的概率分别为
< p>0.7,
0.8
,则两人同时考上大学的概率是
[
B
]
(
A
)
0.75
(
B
)
0.56
(
C
)
0.50
(
D
)
0.94
p>
3
.某人打靶的命中率为
0.8
,现独立的射击
5
次,那么
5
次中有
2
次命中的概率是
[
D
]
(
A
)
0
.
8
2
2
2
?
0
.
2
3
(
B
)
0
.
8
2
( p>
C
)
?
0
.
8
2
(
D
)
C
5
0
.
8
< br>2
?
0
.
2
3
5
4
.设
A
,
B
是两个相互独立的事件,已知< /p>
P
(
A
)
?
1
1
,
P
(
B< /p>
)
?
,则
P
( p>
A
?
B
)
?
[
C
]
2
3
(
D
)
(
A p>
)
1
2
(
B
)
5
2
(
C p>
)
6
3
3
4
5
.若
A< /p>
,
B
之积为不可能事件,则称
A
与
B
[
B
]
(
A
)独立
(
B
)互不相容
(
C
)对立
(
D
)构成完备事件组
二、填空题:
1
< p>.设
A
与
B
是相互独立的两事件,且
P
(
A
) p>
?
0.7
,
P
(
B p>
)
?
0.4
,则
P<
/p>
(
AB
)
?
0.12
2
.设事件
A
,
B
独立。且
P
(
A
)
?
0.4
,
P
(
B
)
?
0.7
,则<
/p>
A
,
B
至少一个发生的概率为
0.82
3
.设有供水龙头
5
个,每一个龙头被打开的可能为
< p>0.1,则有
3
个同时被打开的概率为
2
C
5
(
0
.
1
)
3
(
0
.
9
)
2
?
0
.
0081
4
.某批产品中有
20%
的次品,进行重复抽样调查,共取 p>
5
件样品,则
5
件中恰有
2
< p>件次品的概率为
2
C<
/p>
5
(
0
.
2
)
2
(
0
.
< p>8)
3
?
0
.
2048
,
5 p>
件中至多有
2
件次品的概率
0
5
3
2
。
C
5
(
0
.
8
)
?
C
< br>5
1
(
0
.
2
)
0
(
8
.
< br>4
?
)
C
5
2
0
(
2
.
< br>2
)
0
(
8
? p>
.
)
0
9
.
4
0
8
三、计算题:
1
.设某人打靶,命中率为
0.6 p>
,现独立地重复射击
6
次,求至少命中两次的概率。
解:所求的概率为
10 / 48
p>
P
?
?
P
< br>6
(
k
)
?
1 p>
?
P
6
(
0
)
?
P
6
(
1
)
K
?
2
6
?
1
?
(
0
.
4
)
6
?
6
? p>
(
0
.
6
)(
0
.
4
)
5
?
.
95904
2
.某类灯泡使用寿命在
1000
个小时以上的概率为< /p>
0.2
,求三个灯泡在使用
1000
小时以后最多只 坏一个的概率。
解:设
A =
“灯泡使用寿命在
1000
个小时以上”
,
则
P
A
)
所求的概率为
?
0
.
2
p>
0
1
P
?
C
3
P
(
A
)
3
P
(
A
)
< br>0
?
C
3
P
p>
(
A
)
2
P
(
A
)
?
(
0
.
2
)
3
?
3
?
(
0
. p>
2
)
2
?
0
.
8
?
0
.
104
3
.甲、乙、丙
3< /p>
人同时向一敌机射击,设击中敌机的概率分别为
0.4
,
< p>0.5,
0.7
。如果只有一人击中飞机,则飞机
< p>被击落的概率是
0.2
;如果
2
人击 中飞机,则飞机被击落的概率是
0.6
;如果
3
人 都击飞机,则飞机一定被击落,求
飞机被击落的概率。
解:设
A
=
“甲击中敌机”
B
=
“乙击中敌机”
C
=
“丙击中敌机”
D
k
=
“ p>
k
人击中飞机”
(
k
=1
,
2
,
3
)
H
=
“敌机被击中”
p>
P
(
D
1
)
?
P
(
ABC
)
?
P
(
ABC
)
?
P
(
ABC
)
?
0
.
4
?
0
. p>
5
?
0
.
3
?
0
.
6
?
0
.
5
?
0
.
3
?
0
.
6
?
0
.
5 p>
?
0
.
7
?
0
.
36
P
(
D
2
)
?
P
(
ABC
)
?
P
(
ABC
)
?
P
(
A BC
)
?
0
.
4
?
0
.
5
?
0
.
3
?
0
. p>
4
?
0
.
5
?
0
.
7
?
0
.
6
?
0
.
5
?
0
.
7
?
0
.
41< /p>
P
(
D
3
)
?
P
(
ABC
)
?
0
.
4
?
< p>0.
5
?
0
.
7
?
0
.
14
P
(
H
)
?
P
(
D
1
)
P
(
H
|
D
1
)
?
P
(
D
2
)
P
(
H
|
D
2
)
?
P
(
D
3
)
P p>
(
H
|
D
3
< br>)
?
0
.
36
?
0
.
2
?
0
.
41
?
0
.
6
?
0
.
14
?
1< /p>
?
0
.
458
p
。
4
.一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查 过程(每一过程有一定的持续时间)以检查新生产元件的缺
陷。已知若缺陷确实存在,缺
陷在任一在线检查过程被查出的概率为
(
2
)求缺陷在第
n
个过程结束之前被查出的概率;
< p>
(
3
)若缺陷经
3
个过程未被查出, 该元件就通过检查,求一个有缺陷的元件通过检查的概率;
注:
(
1
)
、
(
< p>2)
、
(
3
)都是在缺陷确实 存在的前提下讨论的。
(
4
)设随机地 取一元件,它有缺陷的概率为
0.1
,设当元件无缺陷时将自动
通过检查,求在(
3
)的假设下一元件
通过检查的概率;
(
5
)已知一元件已通过检查,求该元 件确实是有缺陷
的概率(设
解:设
A
k
=
“第
k
个过程前有缺陷的元件被查出”
B =
“元件有缺陷”
C =
“元件通过检查”
(
1
)求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率(缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程)
;
p
?
0.5
)
。
11 / 48
(
1
)
(
2
)
P
(
A
1
?
A
< br>1
A
2
)
? p>
P
(
A
1
)
?
P
(
A
1
)
P
(
A
2
)
?
p
?
p
(
1 p>
?
p
)
?
2
p
?
p
2
P
p>
(
A
1
?
A
1
A
2
?
A
1
A
2
A
3
?
?
A
1
A
2
A
n
?
1
A
n
)
?
p
(
1
?
p
)
n
?
1
?
p
?
p
(
1
?
p
)
?
p
(
1
?
p
)
2
?
?
1
?
(
1
?
p
)
n
(
3
)
P
(
A
1
A
2
A
3
)
?
( p>
1
?
(
4
)
P
(
C
)
?
p
)
3
P
( p>
BA
1
A
2
A
3
?
B
)
< p>?0
.
1
?
(
1
?
p
)
3
?<
/p>
0
.
9
|
C
)
?
P
(
BA
1
A
2
A
p>
3
)
P
(
C
)
( p>
5
)
P
(
A
< br>1
A
2
A
3
0
.
1
(
1
?
p
)
3
?
?
0
.
0137
(
p
?
0.5
)
3
0
.
1
(
1
?
p
)
?
0
.
9
P
(
A
|
B
),
P
(
A
)
?
< p>0,P
(
B
)
?
0
,证明
A
与
B
独立。
5
.设
A
,
B< /p>
为两个事件,
P
(
A
| p>
B
)
?
证:
由于
< br>P
(
A
|
B
)
?
P
(
AB
)
P
(
AB
)
P
(
A
)
?
P
(
AB
)< /p>
p>
P
(
A
|
B
)
?
?
P
(
B
)
P
(
B
)
1
?
P
(
B
)
已知
P
(
A
|
B
)
?
P
(
A
|
B
)< /p>
P
(
AB
) p>
P
(
A
)
?
P
(
AB
)
?
P
(
B
)
1
?
P
(
B
)
有
即
P
(
AB
)
< p>?P
(
A
)
P
(
B
)
概率论与数理统计练习题
所以
A
与
B
独立
系
专业
班
姓名
学号
第一章
随机事件及其概率(五)
一、选择题:
1
.对于任意两个事件
A
和
B
[
B
]
(
A
)若
(
< p>C)若
AB
?
?
,则
A
,
B
一定独立
(
B p>
)若
AB
?
?
,则
A
,
B
有可能独立
AB
?
?
,则
A
,
B
一定独立
(
D
)若< /p>
AB
?
?
,则
,
B
一定不独立
12 / 48
2
.设 p>
0
?
P
(
A
)
?
1,
0
?
P
(< /p>
B
)
?
1
,
P
(
A
|
B
)
?
< p>P(
A
|
B
)
?
1
,则
[
D
]
(
A
)事件
A
和
B
互不相容
p>
(
B
)事件
A
和
B p>
互相对立
(
C
< p>)事件A
和
B
互不独立
(
D
)事件
A
和
B
相互独立
3
.设
A
,
B
为任意两个事件且
< p>(
A
)
P
(
A
)
?
(
< p>C)
P
(
A
)
?
二、填空题:
1
. 已知
A
,
B
为两个事件满足
P
(
AB
)
?
P
(
AB
)
,且
P
(
A
)
?
2
.设两两独立 的事件
A
,
B
,
C
满足条件
A
?
B
,
P
(
B
)
?
0
,则下列选项必然成立的是
[
B
]
P
(
A
|
B
)
< br>
p>
(
B
)
P
(
A
)
?
P
(
A
| p>
B
)
P
(
A
|
B
)
(
D p>
)
P
(
A
)
?
P
(
A
|
B
) p>
p
,则
P
(
B
)
?
1
?
p
1
,且已知
2
ABC
?
?
,
P
(
A
)
?
P
< p>(B
)
?
P
(
C
)
?
P
(
A
< p>?B
?
C
)
?
9
,则
P
(
A
)
?
0.25
p>
16
3
.假设一批产品中一,二,三等品各占
60%
,
30%
,
10%
,从中任意取出一件,结果不是三等品,则取到的是一
等品的概率是
2/3
三、计算题:
1
.设两个相互独立的事件都不发生 的概率为
生的概率
P
(
A
)
解:已知
而
1
,
A p>
发生
B
不发生的概率与
B
发生
A
不发生的概
率相等,求
A
发
9
P
(
AB
)
?
P
(
A
)
P
(< /p>
B
)
?
1
又
P
(
AB
)
?
P
(
BA
)
9
< br>P
(
AB
)
?
P
< p>(A
)
?
P
(
AB
)
P
(
BA
< p>)?
P
(
B
)
?
P
(
AB
)
?
P
(
B
)
P
(
A
)
?
1
3
所以,有
P
(
A
)
故
2
3
2
p>
.
如果一危险情况
C
发生时,
一电路闭合并发出警报,
我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性。
在
C
发
P
(
A
)
?
生时这些开关每一个都应闭合,且若至少一
个开关闭合了,警
报就发出。如果两个
这样的开关并联连接,它们每个
< p>具有
0.96
的可靠性(即在情况
C
发生时闭合的概率)
,问这时系统的可靠性(即电路闭合的概 率)是多少?如果
需要有一个可靠性至少为
0.9999
的系统,则至少需要用多少只开关并联?设各开关闭合与否是相互独立的。
解:设一个电路闭合的可靠性为
p
,已知
所以
1
C
2
p
(
1
?
p
)
?
p
2
?
0
.
96
,
p
?
0
.
8
13 / 48
设
n p>
个开关并联,可使系统可靠性至少为
0.9999
则
?
C
k
?
1
n
k
n
k
p
(
1
?
p
)
?
< br>?
C
n
(
0 p>
.
8
)
k
(
0
.
2
)
n
? p>
k
?
1
?
(
0
.
2
)
n
?
p>
0
.
9999
k<
/p>
k
k
?
1
n
即
1
n
?
(
0
.
2
n
< br>)
?
0
.
0
0
0
lg
0
.
0
0
0
1
?
5
.
7< /p>
2
2
,
7
lg
.
2
1
?
?
2
所以
取
6
个开关并联,可使系统可靠性至少为
0.9999
。
3
.将
A
、
B
、
C
三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为<
/p>
?
,
而输出为其他一字母的概率
为
之
一
输
入
信
道
,
输
入
。今
将
字
母
串
AAAA
, p>
BBBB
,
CCCC
AAAA
,
BBBB
,
CCCC
的
概
率
分
别
为
p
1
,
p
2
,
p
3
(
p
?
< p>1
p
?
2
ABCA
,问输入的是
AAAA
的概率
是多少?(设信道传输各个字
,已知输出为
p
?
)
3
1
母的工作是相互独立的)
解:
P<
/p>
(
AAAA
|
ABCA
)
?
P
(
AAAA
)
P
(
ABCA
|
AAAA
) p>
P
(
AAAA
)< /p>
P
(
ABCA
|
AAAA
< p>)?
P
(
BBBB
)
P
(
ABCA
|
BBBB
)
?
P
(
CCCC
)
P
(
ABCA
|
CCCC
)
?
1
?
?
?
p
1
?
?
2
?
2
?<
/p>
?
?
?
2
3
3
?
1
?
?
?
?
1
?
?
?
2
?
1
?
?
?
3
p
1
?
?
?
?
?
p
2
?
?
?
?<
/p>
?
p
?
?
?
?
?
?
?
?<
/p>
2
?
?
2
?
?
2
?
2<
/p>
?
2
p p>
1
?
(
3
p
1
?
1
)
?
?
p
2
?
p
3
4 p>
.一条自动生产线连续生产
n
件产品不出故障的概率为
?
n
n
!
e<
/p>
?
?
(
n
?
0,1,2,
)
,假设产品的优质率为
p
(0
?
p
?
1)
。如果各件产品是否为优质品相互独立。求:
(
1
)计算生产线在两次故障间共生产
k
件(
k
= 0
,
1 p>
,
2
,…)优质品的概率;
(
2
)若已知在某两次故障间该生产线生产了< /p>
k
件优质品,求它共生产
m
件产品的概率。
解:
14 / 48
A
n
:
生产
n
件产品不出故障;
< p>B
:
共生产
k
件优质品。
< p>(
1
)
P
(
B
)
?
?
P
(
< p>B|
A
n
)
P
(
A
n
)
?< /p>
?
C
n
P
(
1
?
P
)
k<
/p>
k
n
?
k
n
?
k
?
?
?
?< /p>
n
?
k
?
n
n
!
e
?
?
(
2
)
P
(
A
m
|
)
?
P
(
A
m
B
)
P
(
< p>B|
A
m
)
P
(
A
m
)
?
P
(
B
)
P
(
B
)
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第二章
随机变量及其分布(一)
一.选择题:
1
.设
X
是离散型随机 变量,以下可以作为
X
的概率分布是
[
]
X
(
A
)
x
1
1
2
x
< br>2
1
4
x
3
1
8
x
4
X
p
X
1
p>
(
B
)
p
16
X
x
1
1
2
x
2
1
4
x
3
1
8
x
3
1<
/p>
x
4
1
8
(
C
)
x
1
1
2
x
< br>2
1
3
x
3
1
4
x
4
p
1
(
D
)
p
12
x
1
1
2
x
2
1
3
?
1
4
1
2
x
4
2
.设随机变量
ξ
的分布列为
< /p>
X
0
1
2
3
F
(
x
)
为其分布函数,则
p>
F
(
2
)
= [
]
p
0.1
0.3
0.4
< p>0.2
(
A
)
0.2
(
B
)
0.4
(
C
)
0.8
(
D
)
1
二、填空题:
1
.设随机变量
X
的概率分布为
X
0
1
2
p
p>
a
0.2
0.5
,则
a
=
2
.某产品
15
件,其中有次品
2
件。现从中任取
3
件,则抽得次品数
X
的概率分布为
3
.设射手每次击中目标的概率为
0.7,
连续射击
10
次,则击中目标次数
X
的概率分布为
三、计算题:
1
.同时掷两颗骰子,设随机变量
X< /p>
为“两颗骰子点数之和”求:
(
1
)
X
的概率分布;
(
2
)
P
(
X
?
3)
;
(
3
)
< p>P
(
X
?
12)
2
.产品有一、二、三等品及废品四种,其中一 、二、三等品及废品率分别为
60%
,
10%
,< /p>
20%
及
10%
,任取一
个
产品检查其质量,试用随机变量
X
描述检查结果。
3
.已知随机变量
X
只 能取
?
1
,
0
,
1
,
2
四个值,相应概率依次为
< br>1
3
5
7
,
, p>
,
,试确定常数
c
,并计算
< br>2
c
4
c
8
c
16
c
15 / 48
P
(
X
?
1)
<
/p>
4
.一袋中装有
5
只球编号
1
,
2
,
3
,
4
< p>,5
。在袋中同时取
3
只,以
X
表示取出的
3
只球中最大号码,写出随机变
量
X
的分布律和分布函数。
p>
5
.设随机变量
X
~
B
(2,
P
)
,
Y
~
B
(3,
P
)
,若
P
{
X
?
1
}
?
5
}
,求< /p>
P
{
Y
?
1
9
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第二章
随机变量及其分布(二)
一、选择题:
1
.设连续性随机变量
X
的密度函数为
?
2
x
0
?
x
?
1
,则下列等式成立的是
[
A
]
f
x
)
?
?
0
其他
?
1
1
< br>?
)
?
2
2
1
0
(
A
)
P
(
X
? p>
?
1)
?
1
(B)
P
(
X
?
(C)
P
(
X
1
1
?
)
? p>
2
2
( D)
P
(
X
1
1
?
)
?
2
2
解:
(
A
)
P
(
X
?
?
1)
?
?
f
(
x p>
)
dx
?
?
2
xdx
?
1
?
1
2
.设连 续性随机变量
X
的密度函数为
?
ln
x
x
?
[1,
b
]
,则常数
b
?
<
/p>
f
(
x
)
?
?
0
x
?
[1,
b
]
?
[
A
]
(
A
)
e
p>
(
B
)
e
?
1
(
C
)
e
?
1
(
D
)
e
p>
2
1
?
?
< br>??
??
f
(
x
)
dx
?
?
ln
xdx
?
x
ln
x
|
?
?
xd
ln
x
1
1
b
1
b
b
1
b
b
解:
?
b
ln
b
?
?
dx
?
b
ln
b
?
x
|
1
?
b
ln
b
? p>
b
?
1
?
1
ln
b
?
1(
b
?
0
舍)
b
?
e< /p>
3
.设
X
~ p>
N
(
?
,
?
2
)
,要使
Y
~
N
(0,1)
,则
[ C
]
?
X
(
A
)
Y
?
?
?
(
B
)
Y
?
?
X
?
?
( p>
C
)
Y
?
X
?
?
?
( p>
D
)
Y
?
?
X
?
?
1
4
.设
X
~
N
(0,1)
,
?
(
x
)
?
2<
/p>
?
?
x
??
p>
e
?
x
2
2
dt
(
x
?
< p>0)
,则下列等式不成立的是
[
C
]
< br>x
|
?
a
)
?
2
?
(
a
)
?
1
(
A
)
?
(
x
)
?
1
?
?
(
?
x
)
(
B
)
?
(0)
?
0.5
(
C
)
?
(
?
x
)
?
?
(
x
)
(
D
)
P
(|
5
.
X
服从参数
?
?
1
9
p>
的指数分布,则
P
(3
?
< p>X?
9)
?
[
C
]
16 /
48
(
A
)
F
(1)
?
F
(
1
3
)
(
B
)
1
9
(
1
3
< br>e
?
1
e
)
(
C
)
1
1
9
?
x
9
3
e
?
e
( p>
D
)
?
3
e
dx
P
(3
?
X
?
9)
?
9
1
解:
?
3
?
e
?
?
x
dx
?
?
3
9
e
?
1
9
x
dx
< br>9
?
?
?
1
9
x
?
1
?
1
3
e
d
(
9
x
)
?
?
e
?
1
9
x
|
9
3
?
?
e
? p>
e
?
1
3
< br>二、填空题:
2
1< /p>
.设连续性随机变量
X
的密度函数为
f
p>
(
x
)
?
?
< br>?
Ax
0
?
x
?< /p>
1
?
0
其他< /p>
,则常数
A = 3
1
?
?
?
f
(
x
)
dx
?
?
1
Ax
2
解:
??
0
dx
?
Ax
3
3
|
1
?
A
0
p>
3
?
A
?
3
p>
2
.设随机变量
X
~
N
(2,
?
2
)
,已知
P
(2
?
X
?
4)
?
0.4
,则
< br>P
(
X
?
0)
?
< p>
0.1
三、计算题:
1
< p>.设
X
~
U
(1,4),
< p>求
P
(
X
?
5)
和
P
(0
?
X
?
2.5)
X
~
U
(1,
4)
?
1
f
(
x
)
?
?
3
,1
?
x
?
4
?
0,
其它
解:
P
(
X
?< /p>
5)
?
?
5
f
(
x
)
dx
?
?
4
1
??
1
3
dx
?
1
4
3
x
|
1
?
1
P
?
X
?
2.5)
?
?
2.5
1
1
3
dx
?
1
< br>3
x
|
2.5
1
?
0.5
或用分布函数来求也可以
?
x
0
?
x
?
1
2
.设随机变量
X< /p>
的密度函数为
f
(
x
) p>
?
?
?
ax
?
b
1
?
x
?
2< /p>
,且
P
(0
?
X< /p>
?
3
)
?
7
?
?
0<
/p>
其他
2
8
求:
(< /p>
1
)常数
a
,
b
< p>
(
2
)
P
(
1
2<
/p>
?
X
?
3
2
)
(
3
)
X
的分布函数
F
(
x
)
解
17 / 48
:
3
1
3
7
7
2
2
.(1)
由
P
(0
?
X p>
?
)
?
?
?
< br>xdx
?
?
(
ax
?
b
)
dx
?
0
1
2
8
8
又
p>
1=
?
??
??
f
(
x
)
dx
? p>
?
xdx
?
?
(
ax
?
b
)
dx p>
.
可得
a
?
?
1
,
b
?
2.
0
1
1
2
3
1
1
3
3
2
(2)
p>
P
(
?
X
?
)
?
?
1
xdx
?
?
(
?
x
? p>
2)
dx
?
1
2
p>
2
2
4
?
0
x
?
0
?
0.5
x
0
?
x
?
1
?
(3)
F
(
x
)
?
?
2
?
?
0.5
x
?
2
x p>
?
1
1
?
x
?
2
?
?
1
x
?
2
3
.设某种电子元件的使用 寿命
X
(单位:
h
)服从参数
?
且它们工作时相互独立,求:
(
1
)一个元件时间在
200h
以上的概 率;
(
2
)三个元件 中至少有两个使用时间在
200h
以上的概率。
?
1
的指数分布,现某种仪器使用三个该电子元件,<
/p>
600
1
3
.(1) p>
P
(
X
?
200)
?< /p>
?
e
dx
?
e p>
200
600
(2)
Y p>
?
使用时间在
200
h
以上的元件个数
??
?
?
1
x
600
1
3
P
(
Y
?
< p>2)?
C
(
e
)
(1
?
e
)
?
C
(
e
)
?
3
e
概率论与数理统计练习题
2
3
?
1
p>
3
2
?
1
3
3
3
?
1
3
3
?
< br>2
3
?
2
e
?
1
18 / 48
系
专业
班
姓名
学号
第二章
随机变量及其分布(三)
1
.已知
X
的概率分辨为
X
p
i
?
?
1
0
1
2
3
,试求:
2
a
0.1
3
a
a
a
2
a
(
1
)常数
a
;
(
2
) p>
Y
?
X
2
?
1
的概率分布。
(1)
2
a
?
0.1< /p>
?
3
a
?
a
?
a
?
2
a
?
1
< p>?a
?
0.1
(2
)
Y
-1 0
3
8
p
0.3
0.2
0.3
< p>0.2
2
.
设随机变量
X
< p>在(0
,
1
)服从均匀分布,求:
< p>
(
1
)
Y
(
2
)
Y
p>
?
e
X
的概率密度;
?
?
2ln
X
的概率密度。
2
.(1)
F< /p>
Y
(
y
)
?
P
(
Y
?
y
)
< p>?P
(
e
X
?
y
)
?
P
(
X< /p>
?
ln
y
)
?
0
y
?
1
?
?
F p>
X
(ln
y
)
? p>
?
ln
y
1< /p>
?
y
?
e
?
1
y
?
e
< /p>
?
?
1
dF
p>
Y
(
y
)
?
1
?
y
?
e
?
f
Y
(<
/p>
y
)
?
?
?
y
y
?
0
other
?
19
/ 48
(2)
F
Y
(
y
)
?
P
(
Y< /p>
?
y
)
?
P
(
?
2ln
X
?
y
)
?
P
(
X
?
e
< p>)
y
?
?
?
1
?
e
2
0
?
y
?
??
?
1
?
P
(
X
?
e
)
?
?
?
?
0
y
?
0
y
?
2
y
?
< br>1
?
2
dF
Y
(
y
)
?
e
0
?
y
? p>
??
?
f
Y
(
y
)
?
?
?
2
y
?
0
other
?
3
.设
< p>?
y
2
X
~
N
(0,1)
,求:
?
2
X
2
?
1
的概率密度;
(
1
)
Y
p>
(
2
)
Y
?
|
X
|
的概率密度。
3
.(1)
F
Y
(
y
)
?
P
(
Y
?
y
)
?
P
(2
X
?
1
?
y
)
y
?
1
?
P< /p>
(
?
?
X
?
2
?
2
P
(
X
?
y
?
1
)
2
2
y
?
1
y
?
1
)
?
1
?
2
F
X
(
)
?
1
2
2
20 / 48
y
?
1
1
1
?
f
Y
(
y
)
?
2
f
X
(
)
2
2
2
y
?
1
?
1
1
e
p>
y
?
1
?
2
2
2(
y
?
1)
2
?
?
1
1
2(
y
?
1)
2 p>
?
e
?
y
?
1
4
(
y
?
1)
y
?
1
?
?
1
4
e<
/p>
y
?
1
?
?
f
Y
(
y
)
?
?
2
?<
/p>
(
y
?
1)
?
p>
0
other
?
(2)
F
Y
(
y p>
)
?
P
(
Y
?
y
)
?
P
(
X
?
y
)
?
P p>
(
?
y
?
X
?
y
)
?
2
?
X
p>
(
y
)
?
1
< br>?
1
e
y
< p>?0
?
2
<
/p>
?
f
Y
(
y
)
?
?
2
?<
/p>
?
0
other
?
4
.设随机变量
X
的概 率密度为
y
2
?
2
?
2
x
?
f
(
x
)
?
?
?
2
?
?
0
0
?
x
?
?
其他
,求
p>
Y
?
sin
X
的概率
密度。
21 / 48
4
.
F
Y
(
y
) p>
?
P
(
Y
?
y
)
?
P
(sin
X
?
y
)
?
P
(
X< /p>
?
arcsin
y
X
?
?
?
arcsin
y
)
?
P
(
X
?
arcsin
y
)
?< /p>
1
?
P
(
X
?
?
?
arcsin
y
)
1
1
?
f
Y
(
y
)
?
f
X
(arcsin
y
)
?
f
X
(
?
?
arcsin
y
)(
?
)
2
2
1
?
y
1
?
y
?
2arcsin
y
1
1
? p>
y
2
?
2
< br>?
2(
?
?
ar csin
y
)
1
1
? p>
y
2
?
2
< br>(0
?
y
?
1)
2
?
0
?
y
?
1
?
?
f p>
Y
(
y
)
?
?
?
1
?
y p>
2
?
0
other
?
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第三章
多维
随机变量及其分布(一)
一、填空题:
1
、
< p>设二
维
随
机
变
量
(
X
,
Y< /p>
)
的
联
合
密
度
函
数
为
?
Ax
y
2
,0
?
x
?
1,0
?
y
?
1
< br>f
(
x
,
y
)
?
?
?
0,
其他 p>
,
则
常
数
A
?
1/6
。
1
?
?
?
?
?
??
?
?
x<
/p>
2
1
y
3
1
f
(
x
,
< p>y)
dxdy
?
A
?
xdx
?
y
dy
?
A
|
0
|
0
?
6
A
0
0
2
3
1<
/p>
1
2
?
A
arctan
x
?
arctan
y
,
x
?
0,
y
?
0
2
、设二维随机变量
(
X
,
Y
)
的联合分布函数为
F
(
x
,
y
)
?
?
,则常数
A
?
?
0,
其他
4
/
?
2
。
1
?
F
(
??
,
??
)
?
A
lim
arctan
x
lim
arctan
y
?
A
x
? ?
y
??
?
2
< br>4
22 / 48
二、计算题:
1
< p>.在一箱子中装有12
只开关,其中
2
只次品 ,在其中取两次,每次任取一只,考虑两种实验:
(
1
)放回抽样;
(
2
)不放回抽样 。我们定义随机变量
X
,
Y
如下:
?
0
若第一次出的是正品 p>
?
0
若第二次出的是正品
,
Y
?
?
X
?
?
?
1
若第一次出的是次品
?
1
若第二 次出的是次品
试分别就(
1
)
,
(
2
)两种情况,写出
X
和
Y
的联合分布律。
解:
1
.
(
1
)放回抽样
(
2
)不放回抽样
Y
0
1
2
.设二维离散型随机变量的联合分布见表:试求
X
1
3
P
?
X
?
?
Y
?
4}
,
(
1
)
0
2
25/36
2
,0
5/36
1
5/36
1/36
1
?
(
2
)
P
{
X
?
2,3
?
< p>Y?
4}
Y
0
1
X
Y
X
1
0
15/22
5/33
1
1/
4
1
5/33
1/66
2
0
1/
4
3
0
0
4
1/1
6
1/
4
0
2
3
1/16
0
1
3
P
{
?
X
?< /p>
,0
?
Y
?
4}
2
2
解:
(
1
) p>
?
P
(
X
?
1 ,
Y
?
2)
?
P
(
X
?
1,
Y
?
3)
?
P
(
X
?
1,< /p>
Y
?
1)
,
?
1/
< p>4
1/16
1/16
P
{< /p>
1
?
X
?
2,3
?< /p>
Y
?
4}
(
2
)
?
P
(
X
?
1,
Y
?
3)
?
P
(
X
?
1,
Y
?
< p>4)?
P
(
X
?
2,
Y
?
3)
?
P
(
X
?
2,
Y
?
4)
?
5/16
3
.设随机变量
(
X
,
Y
)
的联合分
布律如表:
求:
(
1
)
a
值;
(
2
)
(
X
,
Y
)
的联合分布
函数
F
(
x
,
y
)
(
3
)
(
X
,
Y
)
关于
X
,
Y
的边缘分布函数
F
X
(
x
)
和<
/p>
F
Y
(
y
)
解:
(
1
)
1/4+1/4+1/6+
a
=1,
a=
1/3
Y
?
1
0
X
1
1/4
1/4
2
1/6
a
23 / 48
?
0
?
1
?
?
4
?
?
5
F
(
x
,< /p>
y
)
?
?
(
2
)
?
12
?
1
?
2
?
p>
?
1
?
(
3
)
x<1
或
y <-1
1
?
x
?
2, p>
?
1
?
y
?
0
x
?
2,
?
1
?< /p>
y
?
0
1
?
x
?
2
,
y
?
0< /p>
x
?
2,
y
?
0
X
Y
0
1
p
? j
-1
0
1/4
1/4
1/6
1/3
5/12
7/12
p
i?
1/2
1/2
?
0
x
?
1
?
1
?
F
X
(
x
)
?
?
1
?
x
< p>?2
;
?
2
?
?
1
x
?
< p>2
4
.设随机变量
(
p>
X
,
Y
)
的概率密度为
?
0
y
?
?
< p>1
?
5
?
F
Y
(
y
)
?< /p>
?
?
1
?
y
?
0.
?
1
2
?
?
1
y
< p>?0
?
k
(6
?
x
?
y
)
0 ( x , y ) ? 其他 (<
/p> 1 )常数 k ( 2 )求 P { X ? 1, Y ? 3} ( 3 ) { X<
/p> ? 1.5}
( 4 ) { X ? Y ? 4
}
,求:
f
?
0
?
;
;
P
;
P
24 / 48