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南京鼓楼大学同济大学版概率论与数理统计——修改版标准答案

作者:高考题库网
来源:https://bjmy2z.cn/daxue
2020-12-11 14:37
tags:

-

2020年12月11日发(作者:满骞)


概率论与数理统计练习题


专业

姓名

学号


第一章

随机事件及其概率(一)


一.选择题


1

.对掷一粒骰子的试验,在概率论中将“出现奇数点”称为

< p>

[

C

]


A

)不可能事件

B

)必然事件

C

)随机事件

D

)样本事件


2

.下面各组事件中,互为对立事件的有

[

B

]


A

< p>)


A


1


?


{

抽到的三个产品全是合格品

}


A


2


?


{

抽到的三个 产品全是废品

}


B


B


1


?


{

抽到 的三个产品全是合格品

}


B


2


?


{

抽到的三个产品中至少有一个废品

}


C


C


1


?< /p>


{

抽到的三个产品中合格品不少于

2

}


C


2


?


{

抽到的三个产品中废品不多于

2

个< /p>

}


D


D


1


?


{

抽到的三个产品中有

2

个合格品

}


D


2


?


{

抽到的三个 产品中有

2

个废品

}


3

.下列事件与事件


A

?

B


不等价 的是

[

C ]


A


A

?

A B


B


(

A

?

B

)

?

B

< br>

C


AB


D


AB


< /p>


4

.甲、乙两人进行射击,

A

< p>B

分别表示甲、乙射中目标,则


A

?

B


表示

[

C]


A

)二人都没射中

B

)二人都射中


C

)二人没有都射着

D

)至少一个射中


5

.以


A


表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销 ”

,则其对应事件


A


.

[

D]

< br>(

A

“甲种产品滞销,乙种产品畅销”

B

“甲、乙两种产品均畅销”


< p>C

“甲种产品滞销”

D

“甲种产品滞销或乙种产品畅销


6

.设


?

?

{

x

|

? ?

?

x

?

??

},

A

?

{

x

|

0

?< /p>

x

?

2},

B

?

{< /p>

x

|1

?

x

?

3}< /p>


,则


AB


表示

[

< /p>


A


{

x

|

0

?

x

?

1

< p>}


B


{

x

|

0

?

x

?

1

}



C


{

x

|1

?

x

?

2}


D


{

x

|

??

?

x

?

0}

?

{

x

| 1

?

x

?

??

}

< br>


7

.在事件


A



B



C


中,


A



B


至少有 一个发生而


C


不发生的事件可表示为

[

A]

< br>(

A


A

C


?


B

C


B


AB

C



C


AB

C


?


A

B

C


?


A

BC


D


A


?


B


?


C


.

< p>
8

、设随机事件


A

,

B


满足


P

(

AB

)

?

0


,则

[

D

]

< br>(

A


A

,

B


互为对立事件

(B)


A

,

B


互不相容


1 / 48



A]




(C)


AB


一定为不可能事件

(D)


AB


不一定为不可能事件


二、填空题


1

.若事件

A

B

< p>满足


AB

?


?


,则 称

A

B

互不相容或互斥


2

A

B

C

三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为


ABC

?< /p>

ABC

?

ABC

?

ABC

< p>

AB

?

AC

?

BC



三、简答题:


1

< p>.一盒内放有四个球,它们分别标上

1

2

3

4

号,试根据下列

3

种不同的随机实验,写出对应的样本空间:


1

)从盒中任取一球后,不放回盒中,再从盒中任取一球,记录 取球的结果;


2

)从盒中任取一球后放回,再从盒中任取一球,记录两次取球的结果;


3

)一次从盒中任取

2

个球,记录取球的结果。


答:

1

(1,2) ,(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),( 4,1),(4,2),(4,3)


2

1,1

,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1), (3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)

}< /p>


(3

(1,2),( 1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)


2

.设

A


、< /p>


B



C

为三个事件,用< /p>

A



B



C

的运算关系表示下列事件。


1

A



B



C

中只有

A

发生;

2

A

不发生,

B

C< /p>

发生;


< p>3

A



B



C

中恰有一个发生;

4

A



B



C

中恰有二个发生;


5

A



B



C

中没有一个 发生;

6

A



B



C

中所有三个都发生;


7

A



B


< br>C

中至少有一个发生;

8

A



B



C

中不多于两 个发生。


答:


(1)

ABC


(6)

ABC


(2)

< p>ABC

(3)

ABC

?

ABC

?

ABC


(5)

ABC


(8)< /p>

C

?

A

?

B

?

ABC


概率论与数理统计练习题


< /p>


(4)

ABC

?

ABC

?< /p>

ABC


(7)

A

?

B

?

C


专业

姓名

学号


第一章

随机事件及其概率(二)


一、

选择题:


1

.掷两颗均匀的骰子,事件 “点数之和为

3

”的概率是

[

B

]


A


1

1

1

1


B

C

D


36

< p>18

12

11


2

.袋中放有

3

个红球,

2

个白球,第一次取出一球,不放回,第二次再 取一球,则两次都是红球的概率是


[

B ]


A


9

3

6

3< /p>


B

C

D


25

10

25

20



3

已知事件

A



B

满足


A

?

B


,则


P

(< /p>

B

?

A

)

?


[

B]


A


P

(

B

)

?

P

(

A

)


B


P

(

B

)

?

(

A

)

?

P

(

AB

)



2 / 48


C


P

(

A

B

)


D


P

(

B

)

?

P

(

AB

)



4< /p>

A



B

为两事件 ,若


P

(

A

?

B

)

?

0.8,

P

(

A

)

?

0.2,

P

(

B

)

?

0.4


,则

[

B]


A


P

(

A

B

)

?

0.3 2


B


P

(

A

B

)

?

0.2



C


P

(

B

?

A

)

?

0.4


D


P

(

B

A

)

?

0.48



5

.有

6

本中文书和

4

本外文书,任意往书架摆放,则

4

本外文书放在一起的概率是

[

D]


A


4!

?

6!

7

4

4 !

?

7!


B

C

D


10!

10

10

10!


二、选择题:

< /p>


1

.设

A

B

是两事件,则


P

(

A

)

?

P

(

AB

)

?

< br>


P

(

AB

)



2

.设

A


、< /p>


B



C

两两互不相容,< /p>


P

(

A

)

?

0.2

,

P

(

B

)

?

0.3,

P

(

C

)

?

0.4


,则


P

[(

A

?

B

)

?

C

]

?


0.5


P

[(

< p>A

?

B

)

?

C

]

?

P

(

A

?

B< /p>

)

?

P

((

A

?

B

)

C


解答:


?

P

(

A

?

B

)

?

P

(


?


)



(

因为

A,B,C

两两互不相容)


P(A)+

P

(

B

)

?

0.5


3

.若


P

(

A

)

?

0.5,

P

(

B

)

?

0.4,

P

(

A

?

B

)

?

0.3


,则

P

(

A

?

B

)

?


0.8


P

(

A

?

B

)

?

P

(

A

)

?

P

(

AB

)


解:


0.3

?

0.5

?

P

(

AB

)

?

P

(

AB

)

?

0.2


P

(

A

?

B

)

?

P

(

AB

)

?

1

?

P

(

AB

)

?

0.8


4

设两两独立的事件

A

< p>B

C

满足条件


< br>ABC

?


?



P

(

A

)

?

P

(

B

)

?

P

(

C

)

?


1


,且已知


2


P

(

A

?

< p>B

?

C

)

?


9


,则


P

(

A

)

?


1/4


16


2

P

(

A

?

B

?

C

)

?

P

(

A

)< /p>

?

P

(

B

)

?

P

(

C

)

?

P

< p>(

AB

)

?

P

(

AC

)

?

P

(

BC

)

?

P

(

ABC

)


解:


9

/16

?

3

< p>P

(

A

)

?

3

P

(

A

)

(

A

,< /p>

B

,

C

两两独立,且

ABC

=


?


)



P

(

A

)

?

1/

4


5

.设


P

(

A

)


1/2


(3/

4

舍)


1

1


< p>
P

(

AB

)

?

0

,

P

(

AC

)

?

P

(

BC

)

?


, 则


4

8


A


< p>
B



C

全不发生的概率为


?

P

(

B

)

?

P

(

C

)

?


3 / 48


解:


P

(

ABC

)

?

1

?

P

(

A

?

B

?

C

)


P

(

A

?

B

?

C

)

?

P

(

A

)

?

P

(

B

)

?

P

(

C

)

?

P

(

AB

)

?

P

< p>(

AC

)

?

P

(

BC

)

?

P

(

ABC

< p>)


?

3/

4

?

2

/

8

?

0


?

1

/

2


(

ABC

?

AB

)



6

.设

A

B

是两事件,


B

?

A



P

(

A

)

?

0.9,

P

(

B

)

?

0.36


,则

P

(

AB

)

?


0.5 4


解:


P

(< /p>

AB

)

?

P

(

A

?

B

)

?

P

(

A

)

?

P

(

B

)

?

0.54


三、计算题:


(

B

?

A

)



1

.罐中有

12

颗 围棋子,其中

8

颗白子,

4

颗黑子,若从中任取< /p>

3

颗,求:


1

)取到的都是白子的概率;


2

)取到的两颗白子,一颗黑子的概率;


3

)取到的

3

颗中至少有一颗黑子的概率;


< p>4

)取到的

3

颗棋子颜色相同的概率。


3

3


(1)

P

?

C

/

C


1

8

1 2


?

14

/

55


解:

1


1

3


(2)

P


2


?

C


8


2


C


4


/

C


12


?

28/

55


(3)

P


3


?

1

?

P


1


?

41/

55


3

3

< p>
(4)

P


4


?

(< /p>

C


8


3


?

C


4


)

/

C

12


?

41/

55



2

.加工某一零件共需经过

4

道工序,设第一、 二、三和四道工序的次品率分别为

2%

3%

、< /p>

5%

3%

,假定各道


工序 是互不影响的,求加工出来的零件的次品率。


解:

A, B,C,D

分别表示第一、二、三四道工序出现次品


P

(

A

)

?

2%,

P

(

B

)

?

3%,

P

(

C

)

?

5%,

P

(

D

)

?

3%

加工出的成品率

P

(

ABCD

)

?

P

(

A

)

P

(

B

)

P

(

C

)

P

(

D

)


?

0 .98*0.97*0.95*0.97

?

0.876


次 品率

1

P

(

ABCD

< p>)

0.124


3

.袋中人民币五元 的

2

张,二元的

3

张和一元的

5< /p>

张,从中任取

5

张,求它们之和大于

12

< p>元的概率。



法一:大于

12

的有

13,14,15,16


P

(大 于

12

元)=

P

(13)

?

P

(14)

?

P

(15)

?

P

(16)


解:


?

< p>C


2


C


3


2

3

5

2

2

1

5< /p>

2

1

2

5

2

3

5


/

C


10


?

C


2


C


3


C


5


/

C


1 0


?

C


2


C

< p>
3


C


5


/

C


10


?

C


2


C


5


/

C


10


?

2

/

9



法二:


2

3

5

< br>P

(大于

12

元)=

C

2


C


8


/

C


10


?

2

/

9


概率论与数理统计练习题


专业

姓名

学号


第一章

随机事件及其概率(三)


一、

选择题:


4 / 48


< /p>

1

A



B

为两个事件,


P

(

A

)

?

P

(

B

)

?

0


,且


A

?

B


,则下列必成立是

[ A

]


A

)

?

1


C


P

(

B

|

A

)

?

1


D


P

(

A

|

B

)

?

0


A


P

(

A

|

B

)

?

1


D


P

(

B

|


2

.设盒中有

10

个木质球,

6

个玻璃球,木质球有

< p>3

个红球,

7

个蓝色;玻璃球有

2

< p>个红色,

4

个蓝色。现在从盒


中任取一球,用

A

表示“取到蓝色球”

B

表示“取到玻 璃球”

,则

P

(

B

|

A

)=[ D

]


A


6

6

4


B

C


10

16

7


D


4



11


3

.设

A



B

为两事件,且


P< /p>

(

A

),

P

(

B

)


均大于

0

,则下列公式错误的是

< p>

[

B

]


A

< p>)


P

(

A

?

B

)

?


C

P

(

AB

)

?


P

(

A

)

?

P

(

B

)

?

P

(

AB

< p>)


B


P

(

AB

)

?

P

(

A

)

P

(

B

)< /p>



P

(

A

)

P

(

B

|

A

)

< p>

D


P

(

A

)

?

1

?

P

(

A

)



4

.设

10

件产品中有

4

件不合格品,从中任取

2

件,已知所取的

2

件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合


格品的概率为

[

B

]


1

1

3


C

D


5

2

5


解:

A

:至少有一件不合格品,< /p>

B

:两件均是合格品。


B

?

A



A

B


2


C


4


P

(

AB

)

P

< p>(

B

)

4

?

3/

2


P

(

B

|

A

)

?

?

?


2


?

?

1/

5



1

1


P

(

A

)

< p>P

(

A

)

C


4


?

C


4


C

6


6

?

24


2


5


5

.设

A



B

为两个随机事件,且


0

?

< p>P

(

A

)

?

1,

P

(

B

)

?

0,

P

(

B

|

A

)

?< /p>

P

(

B

|

A

)


,则必有

[ C

]


P

< p>(

A

|

B

)


A


P

(

A< /p>

|

B

)

?

P

(

A

|

B

)


B


P

(

A

|

B

)

?


C


P

(

AB

)

?

P

(

A

)

P

(

B

< p>)


D


P

(

A B

)

?

P

(

A

)< /p>

P

(

B

)



0

?

P

(

A

)

< p>?

1,

P

(

B

)

?

0,


P

(

AB

)

P

(

BA

)

P

(

B

)

?

P

(

AB

)


?

?


P

(

A

)

P

(

A

)

1

?

P

(

A

)


解:


?

P

(

AB

)(1

?

P

(

A

))

?< /p>

P

(

A

)(

P

(

B

)

?

P

(

AB

))



P

(

B

|

A

)

?

P

(

B

|

A

)

?

< br>?

P

(

AB

)

?

< p>P

(

AB

)

P

(

A

)

?

P

(

A

)

P

(

B

)

?

P

(

A

)

P

(

AB

)


?

P

(

AB

)

?

P

(

A

)

P

(

B

)


二、填空题:


1

.设

A


、< /p>


B

为两事件,


P

(

A

?

B

)

?

0.8,

P

(

A

)

?

0.6,

< p>P

(

B

)

?

0.3

< p>
,则


P

(

B

|

A

)

?


1/6


5 / 48

< br>P

(

A

?

B

)

?

0.8,

P

(

A

)

< p>?

0.6,

P

(

B

)

?

0.3


?

0.8

?

P

(

A

)

?

P

(

B

)

?

P

(

AB< /p>

)

?

0.6

?

0.3

?

P

(

AB

)


解:


P

(

AB

)

?

0.1


P

(

AB

)

0.1


?

?

1/

6


P

(

A

)

0.6



?

P

(

B

|

A

)

?


2

.设

P

(

A

)

?

0.6,

P

(

A

?

B

)

?

0.84,

P

(

B

|

A

)

?

0.4


,则


P

(

B

)

?


0.6


P

(

AB

)

P

(

A

)

?

P

(

AB

)

0 .6

?

P

(

AB

)


?

?


P

(

A

)< /p>

P

(

A

)

0.6

解:


?

0.6

?

P

(

AB

)

?

0.24,

?

< p>P

(

AB

)

?

0.36



P

(

A

)

< p>?

0.6

,

P

(

B

< p>|

A

)

?

0.4

?

< p>
P

(

A

?

B

)

?

0.84

?

P

(

A

)

?

P

(

B

)

?

P

(

AB

)

?

< p>0.6

?

P

(

B

)

< p>?

0.36


?

P

(

B

)

?

0.6


3

.若


P

(

A

)

?< /p>

0.6,

P

(

B

)

?

0.8,

P

(

B

|

A

)

?

0.2


,则


P

(

A

|

B

)

?


0.9


P

(

A

)

?

0.6

,

P

(

B

)

?

0.8

,


P

(

B

|

A

)

?

0.2

?


解:


P

(

BA

)

0.8

?

P

(

AB

)

0.8

?

P

(< /p>

AB

)


?

?


P

(

A

)

1

?

P

(

A

)

0.4


?

P

(

AB

)

?

0.72


P

(

A

|

B

)

?


P

(

AB

)

0. 72


?

?

0.9


P

(

B

)

0.8



4

.某产品的次品率为

2%

< p>,且合格品中一等品率为

75%

。如果任取一件产品,取到的是一等品的概率 为

0.735


解:

A

:合格品;

C

:一等品

.


5

.已知


P

(

C

|

A

)

?< /p>

0.75,

P

(

C

)

?

P

(

A

)

P

(< /p>

C

|

A

)

?

0.98 *0.75

?

0.735



A< /p>


1


,

A


2


,

A


3


为一完备事件组,且

< p>
P

(

A


1


)

?

0.1,

P

(

A


2


)

?

0.5,

P

(< /p>

B

|

A


1


)

?

0.2

P

(

B

|

A


2


)

?

0.6



P

(

B

|

< p>A


3


)

?

0.1

< p>
,则


P

(

A


1


|

B

)

?


1/18


P

(

A


1


|

B

)

?


解:


P< /p>

(

A


1


B

)

P

(

A


1


)(

B

|

A


1


)


?


P

(

B

)

P

(

A


1


)(

B< /p>

|

A


1


)

?

P

(

A


2


)(

B

|

A


2


)

?

P

(

A


3


) (

B

|

A


3


)< /p>


?


0.1

?

0.2


?

1/18


0.1

?

0.2

?

0.5

?

0.6

?

0 .1

?

0.4



三、计算题:


1

< p>.

某种动物由出生活到

10

岁的概率为

0.8

,活到

12

岁的概率为

0.56

, 求现年

10

岁的该动物活到

12

岁的概率是


多少?


解:

A:

某种动物由出生活到

10

.B:

某种动物由出生活到

12


6 / 48


B

?

A


?

P

(

B

|

A

)

?



P

(

AB

)

P

(

B

)

< p>
?

?

0.7


P

(

< p>A

)

P

(

A

)


2

某产品由甲、乙两车间生产,甲车间占

60%

,乙车间占

40%

,且甲车间的正品率为

90%

,乙车间的正品率为


95%

,求:


1

)任取一件产品是正品的概率;

< /p>


2

)任取一件是次品,它是乙车间生产的概率。


解:

A

:某产品由甲两车间生产。

B

:任取一件产品是正品。


P

(

A

)

?

0.6,

P

(< /p>

A

)

?

0.4,

P

(

B

|

A

)

?

0.9 ,

P

(

B

|

A

)< /p>

?

0.95


已知:


(1)

P

(

B

)

?

P

(

A

)

P

(

B

|

A

)

?

P

(

A

)

P

(

B

|

A

)

?

0.6

?

0.9

?

0.4

?

0.95

?

0.92



P

(

AB

)

< p>P

(

A

)

P

(

B

|

A

)

0.4

?

(1

?

0.95)


?

?

?

25%


1

?

P

(

B

)

1

?

0.92


P

(

B

)


(2)

P

(

A

|

B

)

?

< p>
3

为了防止意外,在矿内同时设有两报警系统

A< /p>

B

,每种系统单独使用时,其有效的概率系统

A< /p>

0.92

,系


B

0.93

,在

A

失灵的条件下,

B

有效的概率为

0.85

,求:


1

)发生意外时,这两个报警系统至少一个有效的概率;


2

B

失 灵的条件下,

A

有效的概率。


:

A

为系统

A

有效

,

B

为系统

B

有效

,

则根据题意有


P

(

A

)=0.92,

P

(

B

)=0.93,


P

(

B

|

A

)

?< /p>

0

.

85



(1)

两个系统至少一个有效的事件为

A

+

B

< p>,

其对立事件为两个系统都失效

,


A

?

B

?

A

B


,


P

(

B

|

A

)

?

1

?

P

(

B

|

A

)

?

1

?

0

.

85< /p>

?

0

.

15


,



P

(

A

B

)

?

P

(

A

)

P

(

B

|

A

)

?

(

1

?

0

.

92

)

?

0

.< /p>

15

?

0

.

08

?< /p>

0

.

15

?

0

.

012


P

(

A

?

B

)

?

1

?

P

(

A

B

)

?

1

?

0

.

012

?

0

.

988


(2)

B

失灵条件下

A

有效的概率为


P

(

A

|

B

)


,

< p>
P

(

A

|

B

)

?

1

?

P

(

A

< p>|

B

)

?

1

?


P

(

A

B

)


0< /p>

.

012


?

1

?

< p>?

0

.

829


P

(

B

)

1

?

0

.

93


4

.某酒厂生产一、二、三等白 酒,酒的质量相差甚微,且包装一样,唯有从不同的价格才能区别品级。厂部取一


箱给销 售部做样品,但忘了标明价格,只写了箱内

10

瓶一等品,

8

瓶二等品,

6

瓶三等品,销售部主任从中任取

1


瓶,请

3

位评酒专家品尝,判断所取的是否为一等品。专家甲说 是一等品,专家乙与丙都说不是一等品,而销售主


任根据平时资料知道甲、

乙、

3

位专家判定的准确率分别为


0 .96,0.92

0.90


问懂得概 率论的主任该作出怎


样的裁决?


解:

A

:这瓶酒是一等品。

< p>
B


1


,

B


2


,

B


3


分别表示甲、 乙、丙说是一等品。


B


1


,

< p>B


2


,

B


3


相互独立。


7 / 48


已知:


8 / 48


P

(

B


1


|

A

)

?

0.96,

P

(

B


2


|

A

)

?

0 .92,


C


P

(

B


3


|

A

)

?

0 .9,

P

(

A

)

?

?

5/12


C


P

(

B


1


B


2


B


3


)


?

P

(

B


1


B


2


B


3


|

A

)

P

(

A

)

?

P

(

B


1


B


2


B


3


|

A

)

P

(

A

)


?

P

(

B


1


|

A

)

P

(

B


2


|

A

)

P

(

B


3


|

A

)

P

(

A

)


?

P

(

B


1


|

A

)

P

(

B


2


|

A

)

P

(

B


3


|

A

)

P

(

A

)


5

5


?

0.96

?

0.08

?

0.1

?

?

0.04

?

0.92

?

0.9

?

(1

?

)


12

12


P

(

B


1


B


2


B


3

A

)


P

(

A

|

B


1


B


2

B


3


)

?


P

(

B


1


B


2< /p>


B


3


)


P

(

B


1


B


2< /p>


B


3


|

A

)

P

(

A

)


?

< p>
P

(

B


1


B


2


B


3


)

< p>
5


0.96

?

0.08

?< /p>

0.1

?


12


?

< br>5

5


0.96

?

0.08

?

0.1

?

?

0.04

?< /p>

0.92

?

0.9

?

(1

< p>?

)


12

12


?

< p>14.2%


9 / 48


1


10


1


24


概率论与数理统计练习题


专业

姓名

学号


第一章

随机事件及其概率(四)


一、

选择题:


1

.设

A

B

是两个相互独立的事件,


P

(

A

)

?

0,

P

(

B

)

?

0

,则一定有


P

(

A

?

B

)

?


[

B

]


A


P

(

A

)

?

P

(

B

)


B


1

?

P

(

A

)

P

(

B

)


C


1

?

P

(

A

)

P

(

B

)


D


1

?

P

(

AB

)



2

.甲、乙两人各自考上大学的概率分别为

< p>0.7

0.8

,则两人同时考上大学的概率是

[

B

]


A

0.75

B

0.56

C

0.50

D

0.94


3

.某人打靶的命中率为

0.8

,现独立的射击

5

次,那么

5

次中有

2

次命中的概率是

[

D

]


A


0

.

8


2


2


2


?

0

.

2


3


B


0

.

8


2


C


?

0

.

8


2


D


C


5


0

.

8

< br>2


?

0

.

2


3



5


4

.设

A

B

是两个相互独立的事件,已知< /p>


P

(

A

)

?


1

1


,

P

(

B< /p>

)

?


,则


P

(

A

?

B

)

?


[

C

]


2

3


D

A


1


2


B


5

2


C


6

3


3


4



5

.若

A< /p>

B

之积为不可能事件,则称

A

B

[

B

]


A

)独立

B

)互不相容

C

)对立

D

)构成完备事件组


二、填空题:


1

< p>.设


A



B


是相互独立的两事件,且


P

(

A

)

?

0.7

,

P

(

B

)

?

0.4


,则


P< /p>

(

AB

)

?


0.12


2

.设事件

A

B

独立。且


P

(

A

)

?

0.4

,

P

(

B

)

?

0.7


,则< /p>

A

B

至少一个发生的概率为

0.82


3

.设有供水龙头

5

个,每一个龙头被打开的可能为

< p>0.1

,则有

3

个同时被打开的概率为


2


C


5


(

0

.

1

)


3


(

0

.

9

)


2


?

0

.

0081



4

.某批产品中有

20%

的次品,进行重复抽样调查,共取

5

件样品,则

5

件中恰有

2

< p>件次品的概率为


2


C< /p>


5


(

0

.

2

)


2


(

0

.

< p>8

)


3


?

0

.

2048


5

件中至多有

2

件次品的概率


0

5

3



2



C


5


(

0

.

8

)

?

C

< br>5


1


(

0

.

2

)

0

(

8

.

< br>4


?

)

C


5


2


0

(

2

.

< br>2


)

0

(

8

?

.

)

0

9



.

4

0

8



三、计算题:


1

.设某人打靶,命中率为

0.6

,现独立地重复射击

6

次,求至少命中两次的概率。


解:所求的概率为


10 / 48



P

?


?


P

< br>6


(

k

)

?

1

?

P


6


(

0

)

?

P


6


(

1

)



K

?

2


6



?

1

?

(

0

.

4

)


6


?

6

?

(

0

.

6

)(

0

.

4

)


5


?

< p>0

.

95904



2

.某类灯泡使用寿命在

1000

个小时以上的概率为< /p>

0.2

,求三个灯泡在使用

1000

小时以后最多只 坏一个的概率。


解:设

A =

“灯泡使用寿命在

1000

个小时以上”


P

< p>(

A

)


所求的概率为



?

0

.

2



0

1


P

?

C


3


P

(

A

)


3


P

(

A

)

< br>0


?

C


3


P

(

A

)


2


P

(

A

)



?

(

0

.

2

)


3


?

3

?

(

0

.

2

)


2


?

0

.

8

?

0

.

104



3

.甲、乙、丙

3< /p>

人同时向一敌机射击,设击中敌机的概率分别为

0.4

< p>0.5

0.7

。如果只有一人击中飞机,则飞机

< p>
被击落的概率是

0.2

;如果

2

人击 中飞机,则飞机被击落的概率是

0.6

;如果

3

人 都击飞机,则飞机一定被击落,求


飞机被击落的概率。


解:设

A

=

“甲击中敌机”

B

=

“乙击中敌机”

C

=

“丙击中敌机”


D


k


=

k

人击中飞机”

k

=1

2

3

H

=

“敌机被击中”



P

(

D


1


)

?

P

(

ABC

)

?

P

(

ABC

)

?

P

(

ABC

)



?

0

.

4

?

0

.

5

?

0

.

3

?

0

.

6

?

0

.

5

?

0

.

3

?

0

.

6

?

0

.

5

?

0

.

7

?

0

.

36



P

(

D


2


)

?

P

(

ABC

)

?

P

(

ABC

)

?

P

(

A BC

)




?

0

.

4

?

0

.

5

?

0

.

3

?

0

.

4

?

0

.

5

?

0

.

7

?

0

.

6

?

0

.

5

?

0

.

7

?

0

.

41< /p>



P

(

D


3


)

?

P

(

ABC

)

?

0

.

4

?

< p>0

.

5

?

0

.

7

?

0

.

14




P

(

H

)

?

P

(

D


1


)

P

(

H

|

D


1


)

?

P

(

D


2


)

P

(

H

|

D


2


)

?

P

(

D


3


)

P

(

H

|

D


3

< br>)



?

0

.

36

?

0

.

2

?

0

.

41

?

0

.

6

?

0

.

14

?

1< /p>

?

0

.

458



p




4

.一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查 过程(每一过程有一定的持续时间)以检查新生产元件的缺


陷。已知若缺陷确实存在,缺 陷在任一在线检查过程被查出的概率为


2

)求缺陷在第


n


个过程结束之前被查出的概率;

< p>

3

)若缺陷经

3

个过程未被查出, 该元件就通过检查,求一个有缺陷的元件通过检查的概率;


注:

1

< p>2

3

)都是在缺陷确实 存在的前提下讨论的。


4

)设随机地 取一元件,它有缺陷的概率为


0.1


,设当元件无缺陷时将自动 通过检查,求在(

3

)的假设下一元件


通过检查的概率;


5

)已知一元件已通过检查,求该元 件确实是有缺陷

的概率(设


解:设

A


k


=

“第

k

个过程前有缺陷的元件被查出”


B =

“元件有缺陷”

C =

“元件通过检查”


1

)求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率(缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程)


p

?

0.5



11 / 48


1


2


P

(

A


1


?

A

< br>1


A


2


)

?

P

(

A


1


)

?

P

(

A


1


)

P

(

A


2


)

?

p

?

p

(

1

?

p

)

?

2

p

?

p


2



P

(

A


1


?

A


1


A


2


?

A


1


A


2


A


3


?

?

A


1


A


2


A


n

?

1


A


n


)



?

p

(

1

?

p

)


n

?

1




?

p

?

p

(

1

?

p

)

?

p

(

1

?

p

)


2


?


?

1

?

(

1

?

p

)


n



3


P

(

A


1


A


2


A


3


)

?

(

1

?


4


P

(

C

)

?


p

)


3



P

(

BA


1


A


2


A


3


?

B

)

< p>?

0

.

1

?

(

1

?

p

)


3


?< /p>

0

.

9



|

C

)

?


P

(

BA


1


A


2


A


3


)



P

(

C

)


5


P

(

A

< br>1


A


2


A


3



0

.

1

(

1

?

p

)


3


?

?

0

.

0137



p

?

0.5



3


0

.

1

(

1

?

p

)

?

0

.

9


P

(

A

|

B

),

P

(

A

)

?

< p>0,

P

(

B

)

?

0


,证明

A

B

独立。

5

.设

A

B< /p>

为两个事件,


P

(

A

|

B

)

?


证:

由于

< br>P

(

A

|

B

)

?


P

(

AB

)


P

(

AB

)

P

(

A

)

?

P

(

AB

)< /p>



P

(

A

|

B

)

?



?


P

(

B

)


P

(

B

)

1

?

P

(

B

)


已知

P

(

A

|

B

)

?

P

(

A

|

B

)< /p>



P

(

AB

)

P

(

A

)

?

P

(

AB

)


?


< p>
P

(

B

)

1

?

P

(

B

)




P

(

AB

)

< p>?

P

(

A

)

P

(

B

)



概率论与数理统计练习题


所以

A

B

独立


专业

姓名

学号


第一章

随机事件及其概率(五)


一、选择题:


1

.对于任意两个事件

A

B

[

B

]


A

)若


< p>C

)若


AB

?


?

< p>
,则

A

B

一定独立

B

)若


AB

?


?


,则

A

B

有可能独立


AB

?


?


,则

A

B

一定独立

D

)若< /p>


AB

?


?


,则

< p>A

B

一定不独立


12 / 48


2

.设


0

?

P

(

A

)

?

1,

0

?

P

(< /p>

B

)

?

1

,

P

(

A

|

B

)

?

< p>P

(

A

|

B

)

?

1


,则

[

D

]


A

)事件

A

B

互不相容

B

)事件

A

B

互相对立


C

< p>)事件

A

B

互不独立

D

)事件

A

B

相互独立


3

.设

A

B

为任意两个事件且

< p>

A


P

(

A

)

?


< p>C


P

(

A

)

?


二、填空题:


1

. 已知

A

B

为两个事件满足


P

(

AB

)

?

P

(

AB

)


,且


P

(

A

)

?


2

.设两两独立 的事件

A

B

C

满足条件


A

?

B



P

(

B

)

?

0


,则下列选项必然成立的是

[

B

]


P

(

A

|

B

)

< br>

B


P

(

A

)

?

P

(

A

|

B

)



P

(

A

|

B

)


D


P

(

A

)

?

P

(

A

|

B

)



p


,则


P

(

B

)

?



1

?

p



1


,且已知


2


ABC

?


?



P

(

A

)

?

P

< p>(

B

)

?

P

(

C

)

?


P

(

A

< p>?

B

?

C

)

?


9


,则


P

(

A

)

?


0.25


16


3

.假设一批产品中一,二,三等品各占

60%

30%

10%

,从中任意取出一件,结果不是三等品,则取到的是一


等品的概率是

2/3


三、计算题:


1

.设两个相互独立的事件都不发生 的概率为


生的概率


P

(

A

)



解:已知



1


A

发生

B

不发生的概率与

B

发生

A

不发生的概

率相等,求

A


9


P

(

AB

)

?

P

(

A

)

P

(< /p>

B

)

?


1



P

(

AB

)

?

P

(

BA

)



9

< br>P

(

AB

)

?

P

< p>(

A

)

?

P

(

AB

)



P

(

BA

< p>)

?

P

(

B

)

?

P

(

AB

)



?

P

(

B

)



P

(

A

)

?


1



3


所以,有


P

(

A

)



2



3


2

如果一危险情况


C


发生时,

一电路闭合并发出警报,

我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性。


C



P

(

A

)

?


生时这些开关每一个都应闭合,且若至少一 个开关闭合了,警

报就发出。如果两个

这样的开关并联连接,它们每个

< p>
具有


0.96


的可靠性(即在情况


C


发生时闭合的概率)

,问这时系统的可靠性(即电路闭合的概 率)是多少?如果


需要有一个可靠性至少为


0.9999


的系统,则至少需要用多少只开关并联?设各开关闭合与否是相互独立的。


解:设一个电路闭合的可靠性为

p

,已知


所以


1

C


2


p

(

1

?

p

)

?

p


2

< p>
?

0

.

96



p

?

0

.

8



13 / 48


n

个开关并联,可使系统可靠性至少为

0.9999



?


C


k

?

1


n


k


n


k


p

(

1

?

p

)

?

< br>?


C


n


(

0

.

8

)


k


(

0

.

2

)


n

?

k


?

1

?

(

0

.

2

)


n


?

0

.

9999



k< /p>

k


k

?

1


n



1



n

?


(

0

.

2


n

< br>)

?

0

.

0

0

0


lg

0

.

0

0

0

1


?

5

.

7< /p>

2

2


,


7



lg

< p>0

.

2


1

?


?


2


所以

6

个开关并联,可使系统可靠性至少为

0.9999


3

.将


A

B

C


三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为< /p>


?


而输出为其他一字母的概率



。今



AAAA

,

BBBB

,

CCCC

AAAA

,

BBBB

,

CCCC



p

1


,

p


2


,

p


3


(

p

?

< p>
1


p

?


2


ABCA


,问输入的是


AAAA


的概率 是多少?(设信道传输各个字

,已知输出为


p

?

)


3


1


母的工作是相互独立的)


解:


P< /p>

(

AAAA

|



ABCA

)



?


P

(

AAAA

)

P

(

ABCA

|

AAAA

)



P

(

AAAA

)< /p>

P

(

ABCA

|

AAAA

< p>)

?

P

(

BBBB

)

P

(

ABCA

|

BBBB

)

?

P

(

CCCC

)

P

(

ABCA

|

CCCC

)


?


1

?


?

?


p


1


?


?


2


?


2


?< /p>


?

?


?


2

3

3


?


1

?

?


?

?


1

?


?


?


2


?

1

?


?


?


3


p


1


?


?

< p>
?


?


?

p


2


?


?


?


?< /p>


?

p

?


?


?


?

?

?

?


?< /p>


2


?

?


2


?

?


2


?


2< /p>




?


2

p


1


?


(

3

p


1


?

1

)


?


?

p


2


?

p


3



4

.一条自动生产线连续生产

n

件产品不出故障的概率为


?


n


n

!


e< /p>


?


?


(

n

?

0,1,2,

)


,假设产品的优质率为


p

(0

?

p

?

1)


。如果各件产品是否为优质品相互独立。求:


1

)计算生产线在两次故障间共生产

k

件(

k

= 0

1

2

,…)优质品的概率;


2

)若已知在某两次故障间该生产线生产了< /p>

k

件优质品,求它共生产

m

件产品的概率。


解:


14 / 48


A


n


:

生产

n

件产品不出故障;

< p>
B

:

共生产

k

件优质品。

< p>

1

P

(

B

)

?


?


P

(

< p>B

|

A


n


)

P

(

A


n


)

?< /p>


?


C


n


P

(

1

?

P

)


k< /p>


k


n

?

k

n

?

k


?

?

?

?< /p>


n

?

k


?


n


n

!


e


?

< p>
?



2

P

(

A


m


|

< p>B

)

?


P

(

A


m


B

)

P

(

< p>B

|

A


m


)

P

(

A


m


)

?


P

(

B

)

P

(

B

)


概率论与数理统计练习题


专业

姓名

学号


第二章

随机变量及其分布(一)


一.选择题:


1

.设

X

是离散型随机 变量,以下可以作为

X

的概率分布是

[

]


X


A


x


1


1


2


x

< br>2


1


4


x


3


1


8


x


4


X


p


X


1


B


p


16


X


x


1


1


2


x


2

1


4


x


3


1


8


x


3


1< /p>


x


4


1


8



C


x


1


1


2


x

< br>2


1


3


x


3


1


4


x


4


p


1


D


p


12


x

< p>
1


1


2


x


2


1


3



?


1


4

1

2


x


4


2

.设随机变量

ξ

的分布列为

< /p>


X

0

1

2

3


F

(

x

)


为其分布函数,则


F

(

2

)


= [ ]


p

0.1

0.3

0.4

< p>0.2


A

0.2

B

0.4

C

0.8

D

1


二、填空题:


1

.设随机变量

X

的概率分布为


X

0

1

2


p

a

0.2

0.5


,则

a

=


2

.某产品

15

件,其中有次品

2

件。现从中任取

3

件,则抽得次品数

X

的概率分布为


3

.设射手每次击中目标的概率为

0.7,

连续射击

10

次,则击中目标次数

X

的概率分布为


三、计算题:


1

.同时掷两颗骰子,设随机变量

X< /p>

为“两颗骰子点数之和”求:


1

X

的概率分布;

2


P

(

X

?

3)


3

< p>
P

(

X

?

12)


2

.产品有一、二、三等品及废品四种,其中一 、二、三等品及废品率分别为

60%

10%

,< /p>

20%

10%

,任取一


个 产品检查其质量,试用随机变量

X

描述检查结果。


3

.已知随机变量

X

只 能取


?

1


0

1

2

四个值,相应概率依次为

< br>1

3

5

7


,

,

,


,试确定常数

c

,并计算

< br>2

c

4

c

8

c

16

c


15 / 48


P

(

X

?

1)



< /p>

4

.一袋中装有

5

只球编号

1

2

3

4

< p>,

5

。在袋中同时取

3

只,以

X

表示取出的

3

只球中最大号码,写出随机变

X

的分布律和分布函数。


5

.设随机变量


X

~

B

(2,

P

)

,

Y

~

B

(3,

P

)


,若


P

{

X

?

1

}

?


5


}


,求< /p>


P

{

Y

?

1


9


概率论与数理统计练习题


专业

姓名

学号


第二章

随机变量及其分布(二)


一、选择题:


1

.设连续性随机变量

X

的密度函数为


?


2

x

0

?

x

?

1


,则下列等式成立的是

[

A

]


f

< p>(

x

)

?


?


0

其他


?


1

1

< br>?

)

?



2

2


1


0


A


P

(

X

?

?

1)

?

1


(B)


P

(

X


?


(C)


P

(

X


1

1


?

)

?



2

2


( D)


P

(

X


1

1


?

)

?



2

2


解:

A


P

(

X

?

?

1)

?


?


f

(

x

)

dx

?


?


2

xdx

?

1



?

1


2

.设连 续性随机变量

X

的密度函数为


?


ln

x

x

?

[1,

b

]


,则常数


b

?


< /p>


f

(

x

)

?


?


0

x

?

[1,

b

]


?


[

A

]


A


e


B


e

?

1


C


e

?

1


D


e



2


1

?


?

< br>??


??


f

(

x

)

dx

?


?


ln

xdx

?

x

ln

x

|

?


?


xd

ln

x


1

1


b


1

b


b


1


b


b


解:


?

b

ln

b

?


?


dx

?

b

ln

b

?

x

|

1


?

b

ln

b

?

b

?

1

?

1



ln

b

?

1(

b

?

0

舍)


b

?

e< /p>


3

.设


X

~

N

(


?


,


?


2


)


,要使


Y

~

N

(0,1)


,则

[ C

]


?


X


A


Y


?


?


?


B


Y

?


?


X

?


?


C


Y

?


X

?


?


?


D


Y

?


?


X

?


?



1


4

.设

X

~

N

(0,1)



?

(

x

)

?


2< /p>


?


?


x


??


e


?


x


2


2


dt

x

?

< p>0)


,则下列等式不成立的是

[

C

]

< br>x

|

?

a

)

?

2

?

(

a

)

?

1


A


?

(

x

)

?

1

?

?

(

?

x

)


B


?

(0)

?

0.5


C


?

(

?

x

)

?

?

(

x

)


D


P

(|


5

X

服从参数


?


?


1


9


的指数分布,则


P

(3

?

< p>X

?

9)

?


[

C

]


16 / 48


A


F

(1)

?

F

(


1


3


)


B


1


9


(


1


3

< br>e


?


1


e


)


C


1

1


9


?


x


9


3


e


?


e


D


?


3


e

dx



P

(3

?

X

?

9)

?


9

< p>9


1


解:


?


3


?


e


?


?


x


dx

?


?

< p>
3


9


e


?


1


9


x


dx

< br>9



?


?


?


1


9


x


?


1


?

1


3


e

d

(


9


x

)

?

?

e


?


1


9


x


|


9


3


?

?

e

?

e


?


1


3

< br>二、填空题:


2


1< /p>

.设连续性随机变量

X

的密度函数为


f

(

x

)

?


?

< br>?


Ax

0

?

x

?< /p>

1



?


0

其他< /p>


,则常数

A = 3


1

?


?


?


f

(

x

)

dx

?


?


1


Ax


2


解:


??

0


dx

?


Ax


3


3


|


1


?


A


0


3



?

A

?

3


2

.设随机变量


X

~

N

(2,


?


2


)


,已知


P

(2

?

X

?

4)

?

0.4


,则

< br>P

(

X

?

0)

?

< p>

0.1


三、计算题:


1

< p>.设


X

~

U

(1,4),

< p>


P

(

X

?

5)



P

(0

?

X

?

2.5)



X

~

U

(1,

4)


?

1


f

(

x

)

?


?


3


,1

?

x

?

4


?


0,

其它


解:


P

(

X

?< /p>

5)

?


?


5


f

(

x

)

dx

?


?


4


1


??

1


3


dx

?


1

< p>
4


3


x

|


1


?

1



P

< p>(0

?

X

?

2.5)

?


?


2.5


1


1


3


dx

?


1

< br>3


x

|


2.5


1


?

0.5


或用分布函数来求也可以


?


x

0

?

x

?

1


2

.设随机变量

X< /p>

的密度函数为


f

(

x

)

?


?


?


ax

?

b

1

?

x

?

2< /p>


,且


P

(0

?

X< /p>

?


3


)

?


7



?


?


0< /p>

其他


2

8


求:

(< /p>

1

)常数


a

,

b

< p>

2


P

(


1


2< /p>


?

X

?


3


2


)


3


X


的分布函数


F

(

x

)




17 / 48




3


1


3

7

7


2


2

.(1)

P

(0

?

X

?

)

?

?


?

< br>xdx

?


?


(

ax

?

b

)

dx

?


0

1


2

8

8


1=


?


??


??

< p>
f

(

x

)

dx

?


?


xdx

?


?


(

ax

?

b

)

dx

.

可得

a

?

?

1

b

?

2.


0

1


1

2


3


1


1

3

3


2


(2)

P

(

?

X

?

)

?


?


1


xdx

?


?


(

?

x

?

2)

dx

?


1


2


2

2

4


?


0

x

?

0


?


0.5

x

0

?

x

?

1


?


(3)

F

(

x

)

?


?


2


?


?

0.5

x

?

2

x

?

1

1

?

x

?

2


?


?


1

x

?

2




3

.设某种电子元件的使用 寿命

X

(单位:

h

)服从参数

?


且它们工作时相互独立,求:


1

)一个元件时间在

200h

以上的概 率;


2

)三个元件 中至少有两个使用时间在

200h

以上的概率。


?


1


的指数分布,现某种仪器使用三个该电子元件,< /p>


600


1


3

.(1)

P

(

X

?

200)

?< /p>


?


e

dx

?

e


200


600


(2)

Y

?

使用时间在

200

h

以上的元件个数


??


?

?


1


x


600


1


3


P

(

Y

?

< p>2)

?

C

(

e

)

(1

?

e

)

?

C

(

e

)

?

3

e


概率论与数理统计练习题


2


3


?


1


3


2


?


1


3


3


3


?


1


3


3


?

< br>2


3


?

2

e


?

1



18 / 48


专业

姓名

学号


第二章

随机变量及其分布(三)


1

.已知

X

的概率分辨为


X


p


i


?

< p>2

?

1

0

1

2

3


,试求:


2

a

0.1

3

a

a

a

2

a


1

)常数

a

2


Y

?

X


2


?

1


的概率分布。


(1)

2

a

?

0.1< /p>

?

3

a

?

a

?

a

?

2

a

?

1

< p>?

a

?

0.1


(2

)

Y

-1 0

3

8


p

0.3

0.2

0.3

< p>0.2


2

设随机变量

X

< p>在(

0

1

)服从均匀分布,求:

< p>


1


Y


2


Y



?

e


X


的概率密度;


?

?

2ln

X


的概率密度。


2

.(1)

F< /p>


Y


(

y

)

?

P

(

Y

?

y

)

< p>?

P

(

e


X


?

y

)

?

P

(

X< /p>

?

ln

y

)


?


0

y

?

1


?


?

F


X


(ln

y

)

?


?


ln

y

1< /p>

?

y

?

e


?


1

y

?

e

< /p>


?


?


1


dF


Y


(

y

)


?


1

?

y

?

e


?

f


Y


(< /p>

y

)

?

?


?


y


y


?


0

other


?



19 / 48


(2)

F


Y


(

y

)

?

P

(

Y< /p>

?

y

)

?

P

(

?

2ln

X

?

y

)

?

P

(

X

?

e

< p>)


y


?


?


?


1

?

e


2

0

?

y

?

??


?

1

?

P

(

X

?

e

)

?


?


?


?


0

y

?

0


y


?


2


y


?

< br>1


?


2


dF

Y


(

y

)


?


e

0

?

y

?

??


?

f


Y


(

y

)

?

?


?

< p>
2


y


?


0

other


?


3

.设

< p>
?


y


2



X

~

N

(0,1)


,求:


?

2

X


2

< p>
?

1


的概率密度;

1


Y


2


Y

?

|

X

|


的概率密度。

3

.(1)

F


Y


(

y

)

?

P

(

Y

?

y

)

?

P

(2

X

?

1

?

y

)

y

?

1


?

P< /p>

(

?

?

X

?


2


?

2

P

(

X

?


y

?

1

)


2



2


y

?

1

y

?

1

)

?

1

?

2

F


X


(

)

?

1

2

2


20 / 48


y

?

1

1

1


?

f


Y


(

y

)

?

2

f


X


(

)


2


2

2

y

?

1


?


1

1


e


y

?

1


?


2


2


2(

y

?

1)

2


?


?


1

1


2(

y

?

1)

2


?


e


?


y

?

1


4


(

y

?

1)


y

?

1


?


?


1


4


e< /p>

y

?

1


?

< p>
?

f


Y


(

y

)

?


?


2


?< /p>


(

y

?

1)


?


0

other


?



(2)

F


Y


(

y

)

?

P

(

Y

?

y

)

?

P

(

X

?

y

)


?

P

(

?

y

?

X

?

y

)

?

2

?


X


(

y

)

?

1

< br>?


1


e

y

< p>?

0


?


2


< /p>

?

f


Y


(

y

)

?


?


2


?< /p>


?


0

other


?



4

.设随机变量

X

的概 率密度为


y


2


?


2



?


2

x


?


f

(

x

)

?


?


?


2


?


?


0


0

?

x

?


?


其他


,求


Y

?

sin

X


的概率 密度。


21 / 48


4

.

F


Y


(

y

)

?

P

(

Y

?

y

)

?

P

(sin

X

?

y

)

?


P

(

X< /p>

?

arcsin

y

X

?


?


?

arcsin

y

)


?

P

(

X

?

arcsin

y

)

?< /p>

1

?

P

(

X

?


?


?

arcsin

y

)


1

1


?

f


Y


(

y

)

?

f


X


(arcsin

y

)

?

f


X


(


?


?

arcsin

y

)(

?

)


2

2


1

?

y

1

?

y


?


2arcsin

y

1


1

?

y


2


?


2

< br>?


2(


?


?

ar csin

y

)

1


1

?

y


2


?


2

< br>(0

?

y

?

1)


2


?


0

?

y

?

1


?


?

f


Y


(

y

)

?


?


?


1

?

y


2


?


0

other


?



概率论与数理统计练习题


专业

姓名

学号


第三章

多维

随机变量及其分布(一)


一、填空题:


1

< p>设



(

X

,

Y< /p>

)



?


Ax y


2


,0

?

x

?

1,0

?

y

?

1

< br>f

(

x

,

y

)

?


?


?


0,

其他



A

?


1/6


1

?


?


?


?

?

??


?


?


x< /p>


2


1


y


3


1


f

(

x

,

< p>y

)

dxdy

?

A


?


xdx


?


y

dy

?

A

|


0


|

< p>
0


?

6

A



0

0


2

3


1< /p>

1


2


?


A

arctan

x

?

arctan

y

,

x

?

0,

y

?

0


2

、设二维随机变量


(

X

,

Y

)


的联合分布函数为


F

(

x

,

y

)

?


?


,则常数


A

?



?


0,

其他


4

/


?


2



1

?

F

(

??

,

??

)

?

A

lim

arctan

x

lim

arctan

y

?

A


x

? ?

y

??


?


2

< br>4



22 / 48


二、计算题:


1

< p>.在一箱子中装有

12

只开关,其中

2

只次品 ,在其中取两次,每次任取一只,考虑两种实验:


1

)放回抽样;

2

)不放回抽样 。我们定义随机变量

X

Y

如下:



?


0

若第一次出的是正品


?


0

若第二次出的是正品



Y

?


?



X

?


?


?


1

若第一次出的是次品


?


1

若第二 次出的是次品


试分别就(

1

2

)两种情况,写出

X

Y

的联合分布律。


解:

1

1

)放回抽样

2

)不放回抽样



Y

0

1


2

.设二维离散型随机变量的联合分布见表:试求


X


1

3


P

< p>{

?

X

?

?

Y

?

4}


1


0


2


25/36


2



,0


5/36


1

5/36

1/36


1

?


2

P

{

X

?

2,3

?

< p>Y

?

4}



Y

0

1


X


Y


X


1


0

15/22

5/33


1

1/

4


1

5/33

1/66


2


0


1/

4


3


0


0


4


1/1 6


1/

4


0


2


3


1/16


0


1

3


P

{

?

X

?< /p>

,0

?

Y

?

4}

2

2


解:

1


?

P

(

X

?

1 ,

Y

?

2)

?

P

(

X

?

1,

Y

?

3)

?

P

(

X

?

1,< /p>

Y

?

1)



?

1/

< p>4


1/16

1/16


P

{< /p>

1

?

X

?

2,3

?< /p>

Y

?

4}


2


?

P

(

X

?

1,

Y

?

3)

?

P

(

X

?

1,

Y

?

< p>4)

?

P

(

X

?

2,

Y

?

3)

?

P

(

X

?

2,

Y

?

4)



?

5/16



3

.设随机变量

(

X

,

Y

)


的联合分 布律如表:


求:

1

a

值;

2


(

X

,

Y

)


的联合分布 函数


F

(

x

,

y

)



3


(

X

,

Y

)


关于

X

Y

的边缘分布函数


F


X


(

x

)


和< /p>


F


Y


(

y

)



解:

1

1/4+1/4+1/6+

a

=1,

a=

1/3


Y


?

1


0


X


1

1/4

1/4


2

1/6

a


23 / 48


?


0


?


1

?


?


4


?


?


5


F

(

x

,< /p>

y

)

?


?


2


?


12


?


1


?


2


?


?


1


?


3


x<1

y <-1


1

?

x

?

2,

?

1

?

y

?

0


x

?

2,

?

1

?< /p>

y

?

0


1

?

x

?

2

y

?

0< /p>


x

?

2,

y

?

0



X



Y



0


1


p


? j



-1

0


1/4

1/4


1/6

1/3


5/12

7/12


p


i?



1/2



1/2


?


0

x

?

1


?


1


?

< p>
F


X


(

x

)

?


?


1

?

x

< p>?

2


?


2


?


?


1

x

?

< p>2


4

.设随机变量


(

X

,

Y

)


的概率密度为


?


0

y

?

?

< p>1


?


5


?


F


Y


(

y

)

?< /p>


?


?

1

?

y

?

0.



?


1 2


?


?


1

y

< p>?

0


?


k

(6

?

x

?

y

)

0


,求:


f

(

x

,

y

)

?


?


0

其他


?


(< /p>

1

)常数

k



2

)求

P

{

X

?

1,

Y

?

3}


3


P

{

X< /p>

?

1.5}


4


P

{

X

?

Y

?

4 }



24 / 48

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本文更新与2020-12-11 14:37,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://bjmy2z.cn/daxue/31479.html

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