-
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第一章
随机事件及其概率（一）
一．选择题
1
．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为
< p>
[
C
]
（
A
）不可能事件
（
B
）必然事件
（
C
）随机事件
（
D
）样本事件
2
．下面各组事件中，互为对立事件的有
[
B
]
（
A
< p>）
A
1
?
{
抽到的三个产品全是合格品
}
A
2
?
{
抽到的三个 产品全是废品
}
（
B
）
B
1
?
{
抽到 的三个产品全是合格品
}
B
2
?
{
抽到的三个产品中至少有一个废品
}
（
C
）
C
1
?<
/p>
{
抽到的三个产品中合格品不少于
2
个
}
C
2
?
{
抽到的三个产品中废品不多于
2
个< /p>
}
（
D
）
D
1
?
{
抽到的三个产品中有
2
个合格品
}
D
2
?
{
抽到的三个 产品中有
2
个废品
}
3
．下列事件与事件
A
?
B
不等价
的是
[
C ]
（
A
）
A
?
A B
（
B
）
(
A
?
B
)
?
B
< br>
（
C
）
AB
（
D
）
AB
<
/p>
4
．甲、乙两人进行射击，
A
、
< p>B分别表示甲、乙射中目标，则
A
?
B
表示
[
C]
（
A
）二人都没射中
（
B
）二人都射中
（
C
）二人没有都射着
（
D
）至少一个射中
5
．以
A
表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销
”
，则其对应事件
A
为
.
[
D]
< br>（
A
）
“甲种产品滞销，乙种产品畅销”
；
（
B
）
“甲、乙两种产品均畅销”
；
（
）
“甲种产品滞销”
；
（
D
）
“甲种产品滞销或乙种产品畅销
6
．设
?
?
{
x
|
? ?
?
x
?
??
},
A
?
{
x
|
0
?< /p>
x
?
2},
B
?
{< /p>
x
|1
?
x
?
3}< /p>
，则
AB
表示
[
< /p>
（
A
）
{
x
|
0
?
x
?
1
< p>}
（
B
）
{
x
|
0
?
x
?
1
}
（
C
）
{
x
|1
?
x
?
2}
（
D
）
{
x
|
??
?
x
?
0}
?
{
x
| 1
?
x
?
??
}
< br>
7
．在事件
A
，
B
，
C
中，
A
和
B
至少有
一个发生而
C
不发生的事件可表示为
[
A]
< br>（
A
）
A
C
?
B
C
；
（
B
）
AB
C
；
（
C
）
AB
C
?
A
B
C
?
A
BC
；
（
D
）
A
?
B
?
C
.
8
、设随机事件
A
,
B
满足
P
(
AB
)
?
0
，则
[
D
]
< br>（
A
）
A
,
B
互为对立事件
(B)
A
,
B
互不相容
A]
(C)
AB
一定为不可能事件
(D)
AB
不一定为不可能事件
二、填空题
1
．若事件
A
，
B
< p>满足
AB
?
?
，则
称
A
与
B
互不相容或互斥
。
2
．
“
A
，
B
，
C
三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为
ABC
?< /p>
ABC
?
ABC
?
ABC
< p>或
AB
?
AC
?
BC
。
三、简答题：
1
< p>．一盒内放有四个球，它们分别标上1
，
2
，
3
，
4
号，试根据下列
3
种不同的随机实验，写出对应的样本空间：
（
1
）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录 取球的结果；
（
2
）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果；
（
3
）一次从盒中任取
2
个球，记录取球的结果。
答：
（
1
）
｛
(1,2) ,(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),( 4,1),(4,2),(4,3)
｝
（
2
）
｛
（
1,1
）
,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1), (3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)
｝< /p>
(3
）
｛
(1,2),( 1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)
｝
2
．设
A
、
B
、
C
为三个事件，用
A
、
B
、
C
的运算关系表示下列事件。
（
1
）
A
、
B
、
C
中只有
A
发生；
（
2
）
A
不发生，
B< /p>
与
C
发生；
（
3
）
A
、
B
、
C
中恰有一个 发生；
（
4
）
A
、
B
、
C
中恰有二个发生；
< p>
（
5
）
A
、
B
、
C
中没有一个发生；
（
6
）
A
、
B
、
C
中所有三个都发生；
（
7
）
A
、
B
、
C
中至少有一个发生；
（
8
）
A
、
B
、
< br>C
中不多于两个发生。
答：
< /p>
(1)
ABC
(6)
ABC
(2)
ABC
(3)
ABC
?
ABC
?
ABC
(5)
ABC
(8)
C
?
A
?
B
?
ABC
(4)
ABC
?
ABC
?
ABC
(7)
A
?
B
?
C
概
率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第一章
随机事件及其概率（二）
一、
选择题：
1
．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为
3
”的概率是
[
B
]
（
A
< p>）
1
1
1
1
（
B
）
（
C
）
（
D
）
36
12
11
2
．袋中放有
3
个红球，
2
个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再 取一球，则两次都是红球的概率是
[
B ]
（
A
）
9
3
6
3< /p>
（
B
）
（
C
）
（
D
）
25
10
25
20
3
．
已知事件
A
、
B
满足
A
?
B
，则
P
(< /p>
B
?
A
)
?
[
B]
（
A
）
P
(
B
)
?
P
(
A
)
（
B
）
P
(
B
)
?
(
A
)
?
P
(
AB
)
（
C
）
P
(
A
B
)
（
D
）
P
(
B
)
?
P
(
A B
)
4
．
A< /p>
、
B
为两事件，若
P
(
A
?
B
)
?
0.8,
P
(
A
)
?
0.2,
P
(
B
)
?
0.4
，则
[
B]
< br>（
A
）
P
(
A
B
)
?
0.32
（
B
）
P
(
A
B
)
?
0.2
（
C
）
P
(
B
?
A
)
?
0.4
（
D
）
P
(
B
A
)
?
0.48
5
．有
6
本中文书和
4
本外文书，任意往书架摆放， 则
4
本外文书放在一起的概率是
[
D]
（
A
）
4!<
/p>
?
6!
7
4
4!
?< /p>
7!
（
B
）
（
C
）
（
D
）
10!
10
10
10!
二、选择题：
< /p>
1
．设
A
和
B
是两事件，则
P
(
A
)
?
P
(
AB
)
?
< br>
P
(
AB
)
2
．设
A
、<
/p>
B
、
C
两两互不相容，< /p>
P
(
A
)
?
0.2
,
P
(
B
)
?
0.3,
P
(
C
)
?
0.4
，则
P
[(
A
?
B
)
?
C
]
?
0.5
P
[(
< p>A?
B
)
?
C
]
?
P
(
A
?
B< /p>
)
?
P
((
A
?
B
)
C
）
解答：
?
P
(
A
?
B
)
?
P
(
?
)
(
因为
A,B,C
两两互不相容）
＝
P(A)+
P
(
B
)
?
0.5
3
．若
P
(
A
)
?
0.5,
P
(
B
)
?
0.4,
P
(
A
?
B
)
?
0.3
，则
P
(
A
?
B
)
?
0.8
。
P
(
A
?
B
)
?
P
(
A
)
?
P
(
AB
)
解：
0.3
?
0.5
?
P
(
AB
)
?
P
(
AB
)
?
0.2
P
(
A
?
B
)
?
P
(
AB
)
?
1
?
P
(
AB
)
?
0.8
4
．
设两两独立 的事件
A
，
B
，
C
满足条件
ABC
?
?
，
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
C
)
?
1
，且已
知
2
P
(
A< /p>
?
B
?
C
)
?
9
，则
P
(
A
)
?
1/4
。
16
2
P
(
A
?
B
?
C
)
?
P
(< /p>
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
C
)
< p>?P
(
AB
)
?
P
(
AC
)
?
P
(
BC
)
?
P
(
A BC
)
解：
9
/16
< p>?3
P
(
A
)
?
3
P
(
A
)
(< /p>
A
,
B
,
C
两两独立 ，且
ABC
=
?
)
P
(
A
)
?
1/
4
5
．设
P
(
A
)
1/2
。
(3/
4
舍）
1
1
，
P
(
AB
)
?
0
,
P
(
A C
)
?
P
(
BC
)
?
，则
4
8
A
、
B
、
C
全不发生的概率为
?
P
(
B
)
?
P
(
C
)
?
解：
P<
/p>
(
ABC
)
?
1
?< /p>
P
(
A
?
B
?
C
)
P
(
A
?< /p>
B
?
C
)
?
P
(
A
)
?
P
(
< p>B)
?
P
(
C
)
?
P
(
AB
)
?
P
(
AC
)
?
P< /p>
(
BC
)
?
P
(
ABC
)
?
3/
4
< p>?2
/
8
?
0
?
1
/
2
(
AB C
?
AB
)
6
．设
A
和
B
是两事件，
< p>B
?
A
，
P
(
A
)
?
0.9,
P
(
B
)
?
0.36
，则
P
(
AB
)
?< /p>
0.54
。
解：
P<
/p>
(
AB
)
?
P
(
A
?
B
)
?
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
0.54
三、计算题：
(
B
?
A
)
1
．罐中有
12
颗围棋子，其中
8
颗白子，
4
颗黑 子，若从中任取
3
颗，求：
（
1
）取到的都是白子的概率；
（
2
）取到的两颗白子，一颗黑子的概率；
（
3
）取到的
3
颗中至少有一颗黑子的概率；
（
< p>4）取到的
3
颗棋子颜色相同的概率。
3
3
(1)
P
1
?
C
8
/
C
12
?
14
/
55
解：
（
1
）
< br>1
3
(2)
P
2
?
C
8
2
C
4
/
C
12
?
28/
55
(3)
P
3
?
1
?
P
1
?
41/
55
3
3
(4)
P
4
?
(
C
8
3
?
C
4
)
/< /p>
C
12
?
41/
5 5
2
．加工某一零 件共需经过
4
道工序，设第一、二、三和四道工序的次品率分别为
2%
、
3%
、
5%
和
3%
，假定各道
工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解：
A,B,C,D
分别表示第一、二、三 四道工序出现次品
P
(
A
)
?
2%,
P
(
B
)
?
3%,
P
(
C
)
?
5%,
P
(
D
)
?
3%
加工出的成品率
P
< p>(ABCD
)
?
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
C
)
P
(
D
)
?
0.98*0.97*0.95*0.97
?
0.876
次品率
1
－
P
(
ABCD
)
＝
0.12 4
3
．袋中人民币五元的
2
张，二元的< /p>
3
张和一元的
5
张，从中任取
5
张，求它们之和大于
12
元的概率。
法一：大于
12
的有
13,14,15,16
P
（大于
12
< p>元）＝P
(13)
?
P
(14 )
?
P
(15)
?
P
(16)
解：
?
C
2
C
3
2
3
5
2
2
1
5
2
1
2
5
2
3
5
/
C
10
?
C
2
C
3
C
5
/
C
10
?
C
2
C
3
< br>C
5
/
C
10<
/p>
?
C
2
C
5
/
C
10
?
2
/
9
法二：
2
3
5
P
（大于
12
元）＝
C
2
C
8
/
C
10
?
2
/
9
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第一章
随机事件及其概率（三）
一、
选择题：
1
．
设
A
、
B
为两个事件，
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
0
< br>，且
A
?
B
，则下列必成
立是
[ A
]
A
)
?
1
（
C
）
P
(
B
|
A
)
?
1
（
D
）
P
(
A
|
B
)
?
0
（
A
）
P
(
A
|
B
)
?
1
（
D
）
P
(
B
|
2
．设盒中有
10
个木质球，
6
个玻璃球，木质球有
< p>3个红球，
7
个蓝色；玻璃球有
2
< p>个红色，4
个蓝色。现在从盒
中任取一球，用
A
表示“取到蓝色球”
，
B
表示“取到玻 璃球”
，则
P
(
B
|
A
)=[ D
]
。
（
A
）
6
6
4
（
B
）
（
C
）
10
16
7
（
D
）
4
11
3
．设
A
、
B
为两事件，且
P<
/p>
(
A
),
P
(
B
)
均大于
0
，则下列公式错误的是
< p>
[
B
]
（
A
< p>）
P
(
A
?
B
)
?
（
C
）
P
(
AB
)
?
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
AB
< p>)
（
B
）
P
(
AB
)
?
P
(
A
)
P
(
B
)< /p>
P
(
A
)
P
(
B
|
A
)
< p>
（
D
）
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A
)
4
．设
10
件产品中有
4
件不合格品，从中任取
2
件，已知所取的
2
件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合
格品的概率为
[
B
]
（
A
）
解：
A
：至少有一件不合格品，
B
：两件均是合 格品。
B
2
5
（
B
）
1
1
（
C
）
5
2
（
D
）
3
5
?
A
2
C
4
P
(
AB
)
P
(
B
)< /p>
4
?
3/
2
P
(
B
|
A
)
?
?
?
2
?
?
1/< /p>
5
1
1
P
(
A
)
P
(
A< /p>
)
C
4
?
C
4
C
6
6
24
5
．设
< p>A
、
B
为两个随机事件，且
0
?
P
(
A
)
< p>?1,
P
(
B
)
?
0,
P
(
B
|
A
)
?
P
(
B
|< /p>
A
)
，则必有
[ C
]
P
(
A
|
B
)
（
A
）
P
(
A
|
B
)
?
P
(
A
|
B
)
（
B
）
P
(
A
|
B
)
?
< br>（
C
）
P
(
AB< /p>
)
?
P
(
A
)
P
(
B
)
（
D
）
P
(
AB
)
?
P
(
A
)
P
(
B< /p>
)
0
?
P
(
A
)
?
1,
P
(
B
)
?
0,
P<
/p>
(
AB
)
P
(
BA< /p>
)
P
(
B
)
?
P
(
AB
)
?
?
P
(
A
)
P
(
A
)
1
?
P
(
A
)
解：
?
P< /p>
(
AB
)(1
?
P
(
A
))
?
P
(
A< /p>
)(
P
(
B
)
?
P
(
AB
))
P
(
B
|
A
)
?
P
(
B
|
A
)
?
?
P
(
AB
)
?
P
(
AB
)
P
(
A
)
?
P
(
A
)
P
(
B
)
?
P
(
A
)
P
(
AB
)
?<
/p>
P
(
AB
)
?
P
(
A
)
P
(
B
)
二、填空题：
1< /p>
．设
A
、
B
为两事 件，
P
(
A
?
B
)
?
0.8,
P
(
A
)
?
0.6,
P
(
B
)
?
0.3
，则
P<
/p>
(
B
|
A
)
?
1/6
P
(
A
?
B
)
?
0.8,
P
(
< p>A)
?
0.6,
P
(
B
)
?
0.3
?
0 .8
?
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
AB
)
?
0.6
?< /p>
0.3
?
P
(
AB
)
解：
P
(
AB
)
?
0.1
P
(
AB
)
0.1
?
?
1/
6
P
(
A
)
0.6
?
P
(
B
|
A
)
?
2
．设
P
(
A
)
?
0.6,
P
(
A
?
B
)
?
0.84,
P
(
B
|
A
)
?
0.4
，则
P
(
B
)
< p>?
0.6
P
(
AB
)
P
(
A
)
?
P
(
AB
)
0.6
?
P
(
A B
)
?
?
P
(< /p>
A
)
P
(
A
)
0.6
解：
?
0.6
?
P
(
AB
)
?
0. 24,
?
P
(
AB
)
?
0.36
P
(
< p>A)
?
0.6
,
P
< p>(B
|
A
)
?
0.4
?
P
(
A
?
B
)
?
0.84
?
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
AB
< p>)?
0.6
?
P
(
< p>B)
?
0.36
?
P
(
B
)
?
0.6
< br>
3
．若
P
(
A< /p>
)
?
0.6,
P
(
B
)
?
0.8,
P
(
B
|
A
)
?
0.2
，则
P
(
A
|
B
)
?
0.9
P
(
A
)
?
0.6
,
P
(
B
)
?
0.8
,
P
(
B
|
A
)
?
0.2
?
解：
P
(
BA
)
0.8
?
P
(
AB
)
0.8
?< /p>
P
(
AB
)
?
?
P
(
A
)
1
?
P
(
A
)
0.4
?
P
(
AB
)
?< /p>
0.72
P
(
A
|
B
)
?
P
(
AB< /p>
)
0.72
?
?
0.9
P
(
B
)
0.8
4
．某产品的次品率为
2 %
，且合格品中一等品率为
75%
。如果任取一件产品，取到的是 一等品的概率为
0.735
解：
A
：合格品；
C< /p>
：一等品
.
5
．已知
P
(
C
|
A
)
?
0.75,
P
(< /p>
C
)
?
P
(
A
)
P
(
C
|
A
< p>)?
0.98*0.75
?
0.735
A
1
,
2
,
A
3
为一完备事件组，且
P
(
A
< p>1
)
?
0.1,
P
(
A
2
)
?
0.5,
P
(
B
|
A
< p>1
)
?
0.2
P
< p>(B
|
A
2
)
?
0.6
P
(
B
|
A
3
)<
/p>
?
0.1
，则
P
(
A
1
|
B
)
?
1/18
P
(
A
1
|
B
)
?
解：
P
(
A
1
B
)
P
(
A
1
)(
B
|
A
1
)
?
P
(
B
)
P
(
A
< br>1
)(
B
|
A
1
)
?
P
(
A
2
)(
B
|
A
2
)
?
P
(
A
3
)(
B
|
A
3
)
?
0.
1
?
0.2
?
1/18
< br>0.1
?
0.2
?
0.5
?
0.6
?
0.1
?
0.4
三、计算题：
．
某种动物由出生活到
10
岁的概率为
0.8
，活到
12
岁的概率为
0.56
，求现年
10
岁的该动物活到
12
岁的概率是
多少？
解：
A:
某种动物由出生活到
10
岁
.B:
某种动物由出生活到
12
岁
B
?
A
?
P
(
B
|
A
)
?
<
/p>
P
(
AB
)
P
(
B
)
?
?
0.7
P
(
A
)
P
(
A
)
2
．
某产品由甲、乙 两车间生产，甲车间占
60%
，乙车间占
40%
， 且甲车间的正品率为
90%
，乙车间的正品率为
95%<
/p>
，求：
（
1
）任取一件产品是正品的概率；
< /p>
（
2
）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。
解：
A
：某产品由甲两车间生产。
B
：任取一件产品是正品。
P
(
A
)
?
0.6,
P
(< /p>
A
)
?
0.4,
P
(
B
|
A
)
?
0.9 ,
P
(
B
|
A
)< /p>
?
0.95
已知：
(1)
P
(
B
)
?
P
(
A
)
P
(
B
|
A
)
?
P
(
A
)
P
(
B
|
A
)
?
0.6
?
0.9
?
0.4
?
0.95
?
0.92
P
(
AB
)
< p>P(
A
)
P
(
B
|
A
)
0.4
?
(1
?
0.95)
?
?
?
25%
1
?
P
(
B
)
1
?
0.92
P
(
B
)
(2)
P
(
A
|
B
)
?
< p>
3
．
为了防止意外，在矿内同 时设有两报警系统
A
与
B
，每种系统单独使用时， 其有效的概率系统
A
为
0.92
，系
统
B
为
0.93
，在
A
失灵的条件下，
B
有效的概率为
0.85
，求：
（
1
）发生意外时，这两 个报警系统至少一个有效的概率；
（
2
）
B
失灵的条件下，
A
有效的概率。
解
:
设
A
为系统< /p>
A
有效
,
B
为系统
B
有效
,
则根据题意有
P
(
A
)=0.92,
P
(
B
)=0.93,
P
(
B
|
A
)
?< /p>
0
.
85
(1)
两个系统至少一个有效的事件为
A
+
B
< p>,其对立事件为两个系统都失效
,
即
A
?
B
?
A
B
,
而
P
(
B
|
A
)
?
1
?
P
(
B
|
A
)
?
1
?
0
.
85< /p>
?
0
.
15
,
则
P
(
A
B
)
?
P
(
A
)
P
(
B
|
A
)
?
(
1
?
0
.
92
)
?
0
.< /p>
15
?
0
.
08
?< /p>
0
.
15
?
0
.
012
P
(
A
?
B
)
?
1
?
P
(
A
B
)
?
1
?
0
.
012
?
0
.
988
(2)
B
失灵条件下
A
有效的概率为
P
(
A
|
B
)
,
则
< p>
P
(
A
|
B
)
?
1
?
P
(
A
< p>|B
)
?
1
?
P
(
A
B
)< /p>
0
.
012
?
1< /p>
?
?
0
.
829
P
(
B
)
1
?
0
.
93
4
． 某酒厂生产一、二、三等白酒，酒的质量相差甚微，且包装一样，唯有从不同的价格才能区别品级。厂部取一
箱给销售部做样品，但忘了标明价格，只写了箱内
10
瓶一等 品，
8
瓶二等品，
6
瓶三等品，销售部主任从中任 取
1
瓶，请
3
位评酒专家品尝，判断所取 的是否为一等品。专家甲说是一等品，专家乙与丙都说不是一等品，而销售主
任根据平时
资料知道甲、
乙、
丙
3
位专家判定的准确率分别为
0.96,0.92
和
0.90
。
问懂得概率论的主任该作出怎
样的裁决？
解：
A
：这瓶酒是一等品。
< p>
B
1
,
B
2
,
B
3
分别表示甲、
乙、丙说是一等品。
B
1
,
2
,
B
3
相互独立。
已知：
P
(
B
1
|
A
< p>)?
0.96,
P
(
B
2
|
A
)
?
< p>0.92,
C
P
(
B
3
|
A
)
?
< p>0.9,P
(
A
)
?
?
5/12
C
P
(
B
1
B
2
B
3
)
?
P
(
B
1
B
2<
/p>
B
3
|
A
)
P
(
A
)
?
P< /p>
(
B
1
B
2
B
3
|
A
< p>)P
(
A
)
?
P
(
B
1
|
)
P
(
B
2
|
A
)
P
(
B< /p>
3
|
A
)
P
(
A
)
?
P
(< /p>
B
1
|
A
)
P
(
B
2
|
)
P
(
B
3
|
A
)
P
(
A< /p>
)
5
5
?
0.96
?
0.08
?
0.1
?
< p>?0.04
?
0.92
?
0. 9
?
(1
?
)
12
12
P
(
B
1
B
2
B
3
A
)
P
(
A
|
B
1
B
2
B
3
)
?
P
(
B
1
B
2
B
3
)
P
(
B
1
B
2
B
3
|
A
)
P
(
A
)
?
P
(
B
1
B
2
B
3
)
5
0.96
?
0.08
?
0.1
?
12
?
5
5
0.96
?
0.08< /p>
?
0.1
?
?
0.04
?
0.92
?
0.9
?
(1
?
)
12
12
?
14.2%
1
10
1
24
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第一章
随机事件及其概率（四）
一、
选择题：
1
．设
A
，
B
是两个相互独立的事件，
P
(
A
)
?
0,
P
(
B
)
?
0
，则一定有
P
(
A
?
B
)
?
[
B
]
（
A
）
P
(
A
)
?
P
(
B
)
（
B
）
1
?
P
(
A
)
P
(
B
)
（
C
）
1
?
P
(
A
)
P
(
B
)
（
D
）
1
?
P
(
AB
)
2
．甲、乙两人各自考上大学的概率分别为
< p>0.7，
0.8
，则两人同时考上大学的概率是
[
B
]
（
A
）
0.75
（
B
）
0.56
（
C
）
0.50
（
D
）
0.94
3
．某人打靶的命中率为
0.8
，现独立的射击
5
次，那么
5
次中有
2
次命中的概率是
[
D
]
（
A
）
0
.
8
2
2
2
?
0
.
2
3
（
B
）
0
.
8
2
（
C
）
?
0
.
8
2
（
D
）
C
5
0
.
8
< br>2
?
0
.
2
3
5
4
．设
A
，
B
是两个相互独立的事件，已知< /p>
P
(
A
)
?
1
1
,
P
(
B< /p>
)
?
，则
P
(
A
?
B
)
?
[
C
]
2
3
（
D
）
（
A
）
1
2
（
B
）
5
2
（
C
）
6
3
3
4
5
．若
A< /p>
，
B
之积为不可能事件，则称
A
与
B
[
B
]
（
A
）独立
（
B
）互不相容
（
C
）对立
（
D
）构成完备事件组
二、填空题：
1
< p>．设
A
与
B
是相互独立的两事件，且
P
(
A
)
?
0.7
,
P
(
B
)
?
0.4
，则
P<
/p>
(
AB
)
?
0.12
2
．设事件
A
，
B
独立。且
P
(
A
)
?
0.4
,
P
(
B
)
?
0.7
，则<
/p>
A
，
B
至少一个发生的概率为
0.82
3
．设有供水龙头
5
个，每一个龙头被打开的可能为
< p>0.1，则有
3
个同时被打开的概率为
2
C
5
(
0
.
1
)
3
(
0
.
9
)
2
?
0
.
0081
4
．某批产品中有
20%
的次品，进行重复抽样调查，共取
5
件样品，则
5
件中恰有
2
< p>件次品的概率为
2
C<
/p>
5
(
0
.
2
)
2
(
0
.
< p>8)
3
?
0
.
2048
，
5
件中至多有
2
件次品的概率
0
5
3
2
。
C
5
(
0
.
8
)
?
C
< br>5
1
(
0
.
2
)
0
(
8
.
< br>4
?
)
C
5
2
0
(
2
.
< br>2
)
0
(
8
?
.
)
0
9
.
4
0
8
三、计算题：
1
．设某人打靶，命中率为
0.6
，现独立地重复射击
6
次，求至少命中两次的概率。
解：所求的概率为
P
?
?
P
6
(
k
)
?
1
?
P
6
(
0
)
?
P
6
(
1
)
K
?
2
6
?
1
?
(
0
.
4
)
6
?
6
?
(
0
.
6
)(
0
.
4
)
5
?
0< /p>
.
95904
2
．某类灯泡使用寿命在
1000
个小时以上的概率为
< p>0.2，求三个灯泡在使用
1000
小时以后最多只坏一个的 概率。
解：设
A =
“灯泡使用寿命在
1000
个小时以上”
，
则
P
(
A
)
所求的概率为
?
0
.
2
0
1
P
?
C
3
P
(
A
)
3
P
(
A
)
< br>0
?
C
3
P
(
A
)
2
P
(
A
)
?
(
0
.
2
)
3
?
3
?
(
0
.
2
)
2
?
0
.
8
?
0
.
104
3
．甲、乙、丙
3< /p>
人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为
0.4
，
< p>0.5，
0.7
。如果只有一人击中飞机，则飞机
< p>被击落的概率是
0.2
；如果
2
人击 中飞机，则飞机被击落的概率是
0.6
；如果
3
人 都击飞机，则飞机一定被击落，求
飞机被击落的概率。
解：设
A
=
“甲击中敌机”
B
=
“乙击中敌机”
C
=
“丙击中敌机”
D
k
=
“
k
人击中飞机”
（
k
=1
，
2
，
3
）
H
=
“敌机被击中”
P
(
D
1
)
?
P
(
ABC
)
?
P
(
ABC
)
?
P
(
ABC
)
?
0
.
4
?
0
.
5
?
0
.
3
?
0
.
6
?
0
.
5
?
0
.
3
?
0
.
6
?
0
.
5
?
0
.
7
?
0
.
36
P
(
D
2
)
?
P
(
ABC
)
?
P
(
ABC
)
?
P
(
A BC
)
?
0
.
4
?
0
.
5
?
0
.
3
?
0
.
4
?
0
.
5
?
0
.
7
?
0
.
6
?
0
.
5
?
0
.
7
?
0
.
41< /p>
P
(
D
3
)
?
P
(
ABC
)
?
0
.
4
?
< p>0.
5
?
0
.
7
?
0
.
14
P
(
H
)
?
P
(
D
1
)
P
(
H
|
D
1
)
?
P
(
D
2
)
P
(
H
|
D
2
)
?
P
(
D
3
)
P
(
H
|
D
3
< br>)
?
0
.
36
?
0
.
2
?
0
.
41
?
0
.
6
?
0
.
14
?
1< /p>
?
0
.
458
4
．一质量控制检查员通过 一系列相互独立的在线检查过程（每一过程有一定的持续时间）以检查新生产元件的缺
陷
。已知若缺陷确实存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为
（
2< /p>
）求缺陷在第
n
个过程结束之前被查出的概率；<
/p>
（
3
）若缺陷经
3
个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率；
注：
（
1
）
< p>、（
2
）
、
（
3
）都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。
（
4
）设随机地取一元件，它有缺陷的概率为
0.1
，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在（
3
）的假设下一元件
通过检查的概率；
（
5
）已知一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷
的概率（设
解：设
A
k
=
“第
k
个过程前有缺陷的元件被查出”
p
。
（
1
）求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率（缺陷若在一个过程查出就不再进行下一 个过程）
；
p
?
0.5
）
。
B =
“元件有缺陷”
C =
“元件通过检查”
（
1
）
（
2
）
P
(
A
1
?
A
< br>1
A
2
)
?
P
(
A
1
)
?
P
(
A
1
)
P
(
A
2
)
?
p
?
p
(
1
?
p
)
?
2
p
?
p
2
P
(
A
1
?
A
1
A
2
?
A
1
A
2
A
3
?
?
A
1
A
2
A
n
?
1
A
n
)
?
p
(
1
?
p
)
n
?
1
?
p
?
p
(
1
?
p
)
?
p
(
1
?
p
)
2
?
?
1
?
(
1
?
p
)
n
（
3
）
P
(
A
1
A
2
A
3
)
?
(
1
?
（
4
）
P
(
C
)
?
p
)
3
P
(
BA
1
A
2
A
3
?
B
)
< p>?0
.
1
?
(
1
?
p
)
3
?<
/p>
0
.
9
|
C
)
?
P
(
BA
1
A
2
A
3
)
P
(
C
)
（
5
）
P
(
A
< br>1
A
2
A
3
0
.
1
(
1
?
p
)
3
?
?
0
.
0137
（
p
?
0.5
）
3
0
.
1
(
1
?
p
)
?
0
.
9
P
(
A
|
B
),
P
(
A
)
?
< p>0,P
(
B
)
?
0
，证明
A
与
B
独立。
5
．设
A
，
B< /p>
为两个事件，
P
(
A
|
B
)
?
证：
由于
< br>P
(
A
|
B
)
?
P
(
AB
)
P
(
AB
)
P
(
A
)
?
P
(
AB
)< /p>
P
(
A
|
B
)
?
?
P
(
B
)
P
(
B
)
1
?
P
(
B
)
已知
P
(
A
|
B
)
?
P
(
A
|
B
)< /p>
P
(
AB
)
P
(
A
)
?
P
(
AB
)
?
P
(
B
)
1
?
P
(
B
)
有
即
P
(
AB
)
< p>?P
(
A
)
P
(
B
)
所以
A
与
B
独立
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第一章
随机事件及其概率（五）
一、选择题：
1
．对于任意两个事件
A
和
B
[
B
]
（
A
）若
（
< p>C）若
AB
?
?
，则
A
，
B
一定独立
（
B
）若
AB
?
?
，则
A
，
B
有可能独立
AB
?
?
，则
A
，
B
一定独立
（
D
）若< /p>
AB
?
?
，则
，
B
一定不独立
2
．设
0
?
P
< p>(A
)
?
1,
0
?
P
(
B
)
?
1
,
P
(
A
|
B
)
?
P
(
A
|
B
)
?
1
，则
[
D
]
（
A
）事件
A
和
B
互不相容
（
B
）事件
A
和
B
互相对立
（
C
）事件
A
和
B
互不独立
（
D
）事件
A
和
B
相互独 立
3
．设
A
，
B
为任意两个事件且
（
A
）
P
(
A
)< /p>
?
（
C
）
P
(
A
)
?
二、
填空题：
1
．已知
A
，
B
为两个事件满足
P
(
A B
)
?
P
(
AB
)
，且
P
(
A
)< /p>
?
2
．设两两独立的事件
A
，
B
，
C
满足条件
A
?
B
，
P
(
B
)
?
0
，则下列选项必然成立的
是
[
B
]
P
(
A
|
B
)
（
B
）
P
(
A
)
?
P
(
A
|
B
)
P
(
A
|
B
)
（
D
）
P
(
A
)
?
P
(
A
|
B
)
p
，则
P
(
B
)
?
1
?
p
1
，且已知
2
ABC
?
?
，
P
(
A
)
?
P
< p>(B
)
?
P
(
C
)
?
P
(
A
< p>?B
?
C
)
?
9
，则
P
(
A
)
?
0.25
16
3
．假设一批产品中一，二，三等品各占
60%
，
30%
，
10%
，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一
等品的概率是
2/3
三、计算题：
1
．设两个相互独立的事件都不发生 的概率为
生的概率
P
(
A
)
解：已知
而
1
，
A
发生
B
不发生的概率与
B
发生
A
不发生的概
率相等，求
A
发
9
P
(
AB
)
?
P
(
A
)
P
(< /p>
B
)
?
1
又
P
(
AB
)
?
P
(
BA
)
9
< br>P
(
AB
)
?
P
< p>(A
)
?
P
(
AB
)
P
(
BA
< p>)?
P
(
B
)
?
P
(
AB
)
?
P
(
B
)
P
(
A
)
?
1
3
所以，有
P
(
A
)
故
P
(
A
)
?
2
3
2
．
如果一危险情况
C
发生时，
一电路闭合并发出 警报，
我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性。
在
C
发
生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了
，警
报就发出。如果两个
这样的开关并联连接，它们每个
具有
0.96
的可靠性（即在情况
C<
/p>
发生时闭合的概率）
，问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？ 如果
需要有一个可靠性至少为
0.9999
的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。
解：设一个电路闭合的可靠性为
p
，已知
所以
1
C
2
p
(
1
?
p
)
?
p
2
?
0
.
96
，
p
?
0
.
8
设
n
个开关并联，可使系统可 靠性至少为
0.9999
则
?
C
k
?
1
n
k
< br>n
k
p
(
1
?
p
)
?
?
C
n
(
0
.
8
)
k
(
0
.
2
)
n
?
k
?
1
?
(
0
.
2
)
n
?
0
.
9999
k
k
k
?
1
n
即
1
n
?
(
0
.
2
n
)
?
0
.
0
0
0
lg
0
.
0
0
0
1
?<
/p>
5
.
7
2
2
,
7
lg
0
.
2
所以
取
6
个开关并联，可使系统可靠性至少为
0.9999
。
3
．将
A
、
B
、
C
三个
字母之一输入信道，输出为原字母的概率为
?
，
而输出为其他一字母的概率
为
之
一
输
入
信
道
，
输
入
1
?
?
2
。今
将
字
母
串
AAAA
,
BBBB
,
CCCC
A AAA
,
BBBB
,
CCCC
的
概
率
分
别
为
p
1
,
p
2<
/p>
,
p
3
(
p
?
1
p
?
2
ABCA
，问输入的是
AAAA
的概率是多少？（设信道传输各个字
，已知输出为
p
?
)
3
1
< br>母的工作是相互独立的）
解 ：
P
(
AAAA
|
ABCA
)
?
P
(
AAAA
)
P
(
ABCA
|
AAAA
)
P
(
AAAA
)
P
(
ABCA
|
AA AA
)
?
P
(
BBBB
< p>)P
(
ABCA
|
BBBB< /p>
)
?
P
(
CCCC
)
P
(
ABCA
|
CCCC
)
?
1
?
?
?
p
1
?
?
2
?
2
?
?
?
?
2
3
3
?
1
?
?
?
?
1
?
?
?
2
?
1
?
?
?
< br>3
p
1
?
?
?
?
?
p
2
?
?
?
?
?
p
?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
?
2
?
?
2
?
2
?
2
p
1
?
< br>(
3
p
1
?
1
)
?
?
p
< br>2
?
p
3
4
．一条自动生产线连续生产
n
件产品不出故障的概率为
?
n
n
!
e
?
?
(
n
?
0,1,2,
)
，假设产品的优质率为
p
(0
?
p
?
1)
。如果各件产品是否为优质品相互独立。求：
（
1
）计算生产线在两次故障间共生产
k
件（
k
= 0
，
1
，
2
，…）优质品的概率；
（
2
）若已知在某两次故障间该生产线生产了
k
件优质品，求它共生产
m
件产品的概率。
解：
A
n
:
生产
n
件产品不出故障 ；
B
:
共生产
k
件优质品 。
（
1
）
P
(
< p>B)
?
?
P
(
B
|
A
n
)<
/p>
P
(
A
n
)
?
?
C
n
P
k
(
1
?
P
)
n
?
k
k<
/p>
n
?
k
n
?
k
?
?
?
?
?<
/p>
n
n
!
e
?
?
P
(< /p>
A
m
B
)
P
(
B
|
A
m
)
P
(
A
m
)
（
2
）
P
(
< p>A
m
|
B
)
?
?
P
(
B
)
< p>P(
B
)
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第二章
随机变量及其分布（一）
一．选择题：
1
．设
X
是离散型随机 变量，以下可以作为
X
的概率分布是
[
]
X
（
A
）
x
1
1
2
x
< br>2
1
4
x
3
1
8
x
4
X
p
X
1
（
B
）
p
16
X
x
1
1
2
x
2
1
4
x
3
1
8
x
3
1<
/p>
x
4
1
8
（
C
）
x
1
1
2
x
< br>2
1
3
x
3
1
4
x
4
p
1
（
D
）
p
12
x
1
1
2
x
2
1
3
?
1
4
1
2
x
4
2
．设随机变量
ξ
的分布列为
< /p>
X
0
1
2
3
F
(
x
)
为其分布函数，则
F
(
2
)
= [
]
p
0.1
0.3
0.4
< p>0.2
（
A
）
0.2
（
B
）
0.4
（
C
）
0.8
（
D
）
1
二、填空题：
X
0
1
2
1
．设随机变量
X
的概率分布为
p
a
0.2
0.5
，则
a
=
2
15
件，其中有次品
2
件。现从中任 取
3
件，则抽得次品数
X
的概率分布为
< p>
3
．设射手每次击中目标的概率为
0.7,
连续射击
< p>10次，则击中目标次数
X
的概率分布为
三、计算题：
1
．同 时掷两颗骰子，设随机变量
X
为“两颗骰子点数之和”求：
（
1
）
X
的概率分布；
（
2
）
P
(
X
2
．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为
60%
，
10%
，
20%
及
10%
，任取一
个产品检查其质量，试用随机变量
X
描述检查结果。
3
．已知随机变量
X
只能取
?
1
，
0
，
1
，
2
四个值，相应概率依次为
?
3)
；<
/p>
（
3
）
P
(
X
?
12)
1
3
5
7
,
,
,
，试确定常数
c
，并计算
2
c
4
c
8< /p>
c
16
c
P
(
X
?
1)
4
．一袋中装有
5
只球编号
1
，
2
，
3
，
4
，
5
。在袋中同时取
3
只，以
X
表示取出的
3
只球中最大号码，写出随机变
量
X
的分布律和分布函数。
5
．设随机变量
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第二章
随机变量及其分布（二）
一、选择题：
1
< p>．设连续性随机变量X
的密度函数为
X
~
B
(2,
P
)
,
Y
~
B
(3,
P
)
，若
P
{
X
?
1
}
?
5
}
，求
P
{
Y
?
1
9
?
2
x
0
?
x
?
1
，则下列等式成立的是
[
A
]
f
(
x
)
?
?
0
其他
?
1
1
?
)
?
<
/p>
2
2
1
0
（
A
）
P
(< /p>
X
?
?
1)
?
1
（Ｂ）
P
(
X
?
（Ｃ）
P
(
X
1
1
?
)
?
2
2
（Ｄ）
< br>P
(
X
1
1
?
)
?
2
2
解：
（
A
）
P<
/p>
(
X
?
?
1)
?
?
f
(
x
)
dx
?
?
2
xdx
?
1
?
1
2
．设连 续性随机变量
X
的密度函数为
?
ln
x
x
?
[1,
b
]
，则常数
b
?
<
/p>
f
(
x
)
?
?
?
0
x
?
< p>[1,b
]
[
A
]
（
A
）
e
（
B
）
e
?
1
（
C
）
e
?
1
（
D
）
e
2
1
?
?
< br>??
??
b
f
(
x
)
dx
?
?
ln
xdx
?
x
ln
x
|
1
?
?
xd
ln
x
1
1
< p>b
b
b
b
解：
?
b
ln
b
?
?
dx
?
b
ln
b
?
x
|
1
?
b
ln
b
?
b
?
1
?
1
1
ln
b
?
1(
b
?
0
舍）
b
?
e< /p>
3
．设
X
~
N
(
?
,
?
2
)
，要使
Y
~
N
(0,1)
，则
[ C
]
?
X
（
A
）
Y
?
?
?
（
B
）
Y
?
?
X
?
?
（
C
）
Y
?
X
?
?
?
（
D
）
Y
?
?
X
?
?
4
．设
X
~< /p>
N
(0,1)
，
?
(
x
)
?
1
2<
/p>
?
?
x
??
e
?
x
2
2
dt
（
x
?
< p>0)
，则下列等式不成立的是
[
C
]
< br>x
|
?
a
)
?
2
?
(
a
)
?
1
（
A
）
?
(
x
)
?
1
?
?
(
?
x
)
（
B
）
?
(0)
?
0.5
（
C
）
?
(
?
x
)
?
?
(
x
)
（
D
）
P
(|
5
．
X
服从参数
?
?
1
9
的指数分布，则
P
(3
?
< p>X?
9)
?
[
C
]
x
9
?
1
1
1
1
1
1
?
)
< p>
（
C
）
3
?
（
D
）
?
e
9
dx
（
A< /p>
）
F
(1)
?
F
< p>()
（
B
）
(
3
3
3
9
e
e
e
e
解：
< br>P
(3
?
X
?
9)
?
?
?
e
3
9
?
?
x
dx
?
?
1
3
9
9
e
?
1
x
9
dx
?
?
e
3
9
?
1
x
9
d
(
?
1
9
x
)
?
?
e
?
1
x
9
9
3
< br>|
?
?
e
?
1
?
e
?
1
< br>3
二、填空题：
1< /p>
．设连续性随机变量
X
的密度函数为
?
Ax
2
f
(
x
)
?
?
?
0
0
?
x
?
1
其他
，则常数
A = 3
Ax
3<
/p>
1
A
1
?
?
f
(
x
)
dx
?
?
Ax
dx
?
|
0
?
??
解：
3
3
?
A
?
3
?
1
2
2
．设随机变量
三、计算题：
1
．设
X
~< /p>
N
(2,
?
2
)
，已知
P
(2
?
X
?
4)
?
0.4
，则
P
(
X
?
0)
?
0.1
X
~
U
(1,4),
求
P
(
X
?
5)
和
P
(0
?
X
?
2.5)
X
~
U
(1,
4)
,1
?
x
?
4
?
1
f
(
x
)
?
?
3
?
0,
其它
解：
P
(
< p>X
1
1
4
dx
?
x
|
1
?
1
??
1
3<
/p>
3
2.5
1
1
2.5
P
(0
?
X
?
2.5)
?
?
dx
?
x
|
1
?
0 .5
1
3
3
或用分布函
数来求也可以
?
5)
?
?
5
f
(
x
)
< p>dx?
?
4
2
．设随机变量
X
的密度函数为
0
?
x
?
1
?
x
3
7
?
f
(
x
)
?
?
ax
?
b
1
?
x< /p>
?
2
，且
P
(0< /p>
?
X
?
)
?
2
8
?
0
其他
?
1
3
?
X
?
)
（
3
）
X
2
2
的分布函数
F
(
x
)
：
求：
（
1
）常数
a<
/p>
,
b
（
2
）
P
(
解
3
1
3
7
7
2
2
.(1)
由
P
(0
?
X
?
)
?
?
?
xdx
?
?
(
ax
?
b< /p>
)
dx
?
0
1
2
8
8
又
1=
?
??
??
f
(
x
)
dx
?
?
xdx
?
?
(
a x
?
b
)
dx
.
可 得
a
?
?
1
，
b< /p>
?
2.
0
1
1
2
3
1
1
3
3
2
(2)
P
(
?
X
?
)
?
?
1
xdx
?
?
(
?
x
?
2)
dx
?
1
2
2
2
4
?
0
x
?
0
?
0.5
x
0
?
x
?
1
?
(3)
F
(
x
)
?
?
2
?
0.5
x
?
2
x
?
1
1
?
x
?
2
?
?
?
1
x
?
2
3
．设某种电子元件的使用 寿命
X
（单位：
h
）服从参数
?
且它们工作时相互独立，求：
?
1
的指数分布，现某种仪器使用三个该电子元件，
600
（
1
）一个元件时间在
200h
以上的概率；
（
2
）三个元件中至少有两个使用时间在
200h
以 上的概率。
1
3
.(1)
P
(
X
?
200)
?< /p>
?
e
dx
?
e
200
600
(2)
Y
?
使用时间在
200
h
以上的元件个数
??
?
?
1
x
600
1
3
P
(
Y
?
< p>2)?
C
(
e
)
(1
?
e
)
?
C
(
e
)
?
3
e
概率论与数理统计练习题
2
3
?
1
3
2
?
1
3
3
3
?
1
3
3
?
2
3
?
2
e
?
1< /p>
系
专业
班
姓名
学号
第二章
随机变量及其分布（三）
1
．已知
X
的概率分辨为
X
p
i
?
?
1
0
1
2
3
，试求：
2
a
0.1
3
a
a
a
2
a
（
1
）常数
a
；
（
2
）
Y
?
X
2
?
1
的概率分布。
(1)
2
a
?
0.1
?
3
a
?
a
?
a
?
2
a
?
1
?
a
?
0.1
(2
)
Y
-1 0
3
8
p
0.3
0.2
0.3
0.2
2
．< /p>
设随机变量
X
在（
0
，
1
）服从均匀分布，求：
（
1
）
Y
（
2
）
Y
?
e
X
的概率密度；
?
?
2ln
X
的概率密度。
2
.(1)
F< /p>
Y
(
y
)
?
P
(
Y
?
y
)
< p>?P
(
e
?
y
)
?
P
(
X
?
ln
y
)
?
0
y
?
1
?
?
F
X
(ln
y
)
?
?
ln
y
1< /p>
?
y
?
e
?
1
y
?
e
< /p>
?
?
1
dF
Y
(
y
)
?
1
?
y
?
e
?
f
Y
(<
/p>
y
)
?
?
?
y
y
?
0
other
?
(2)
F
Y
(
y
)
?
P
(
Y
?
y
)
?
P
(
?
2ln
X
?
y
)
?
P
(
X
?
e
)
y
?
?
?
1
?
e
2
0
?
y
?
??
?
1
?
P
(
X
?
e
)
?
?
?
?
0
y
?
0
y
?
2
y
?
< br>1
?
2
dF
Y
(
y
)
?
e
0
?
y
?
??
?
f
Y
(
y
)
?
?
?
2
y
?
0
other
?
3
．设
< p>X
?
y
2
X
~
N
(0,1)
，
求：
?
2
X
2
?
1
的概率密度；
（
1
）
Y
（
2
）
Y
?
|
X
|
的概率密度
。
3
.(1)
F
Y
(
y
)
?
P
(
Y
?
y
)
?
P
(2
X
?
1
?
y
)
y
?
1
?
P
(
?
?
X
?
2
?
2
P
(
X
?
y
?
1
)
2
2
y
?
1
y
?
1
)
?
1
?
2
F
X
(
)
?
1
2
2
y
?
1
1
1
?
f
< br>Y
(
y
)
?
2
f
X
(
)
2
2
2
y
?
1
?
1
1
e
y
?
1
?
2
2
2(
y
?
1)
2
?
?
1
1
2(
y
?
1)
2
?
e
?
y
?
1
4
(
y
?
1)
y
?
1
?<
/p>
?
1
4
e
y
?
1
?
?
f
Y
(
y
< p>)?
?
2
?
(
y
?
1)
?
0
other
?
(2)
F
Y
< br>(
y
)
?
P
(
Y
?
y
)
?
P
(
X
?
y
)
?
P
(
?
y
?
X
?
y
)
?
2
?
X
(
y
)
?
1
?
1
e
y
?
0
?
2
?
f
Y
(
y
)
?
?
2
?
?
0
other
?
4
．设随机变量
X
的概 率密度为
y
2
?
2
?
2
x
?
f
(
x
)
?
?
?
2
?
?
0
0
?
x
?
?
其他
，求
Y
?
sin
X
的概率
密度。
4
.
F
Y
(
y
)
?< /p>
P
(
Y
?
y
)
?
P
(sin
X
?
y
)
?
P
(
X
?
arcsin
y
X
?
?<
/p>
?
arcsin
y
)
?
P
(
X
?
arcsin
y
)
?< /p>
1
?
P
(
X
?
?
?
arcsin
y
)
1
1
?
f
Y
(
y
)
?
f
X
(arcsin
y
)
?
f
X
(
?
?
arcsin
y
)(
?
)
2
2
1
?
y
1
?
y
?
2arcsin
y
1
1
?
y
2
?
2
< br>?
2(
?
?
ar csin
y
)
1
1
?
y
2
?
2
< br>(0
?
y
?
1)
2
?
0
?
y
?
1
?
2
?
f
Y
(
y
)
?
?
?
1
?
y
?
0
other
?
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第三章
多维
随机变量及其分布（一）
一、填空题：
1
、
< p>设二
维
随
机
变
量
(
X
,
Y
)
< p>的
联
合
密
度
函
数
为
?
Axy
2
,0
?
x
?
1,0
?
y
?
1
f
(
x
,
y
)
?
?
?
0,
其他
，
则
常
数
A
?
< br>1/6
。
1
?
?
?
?
?
??
?
?
x
2
1
y
3
1
f
(
x
,
y
< p>)dxdy
?
A
?
< br>xdx
?
y
dy
?
A
|
0
|
0<
/p>
?
6
A
0
0
2
3
1
1< /p>
2
2
、设二维随机变量
(
X
,
Y
)
的联合分布函数
为
F
(
x
,
y
< p>)?
?
?
A
arctan
x
?
arctan
y
,
x
?
0,
y
?
0
，则常数
A
?
?
0,
其他
4
/
?
2
。
1
?
F
(
??
,
??
)
?
A
lim
arctan
x
lim
arctan
y
?
A
x
? ?
y
??
?
2
< br>4
二、计算题：
1
．在一箱子中装有
12
只开关，其中
2
只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验：
（
1
）放回抽样；
（
2
）不放回抽样。我们定义随机变量
X
，
Y
如下：
?
0
若第一次出的是正品
?
0
若第二次出的是正品
，
X
?
?
Y
?
?
?
< br>1
若第一次出的是次品
?
1
若第二次出的是次品
试分别就（
1
）
，
（
2
）两种情况，写出
X
和
Y
的联合分布律。
解：
1
．
（
1
）放回抽样
（
2
）不放回抽样
2
．设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求
Y
0
1
X
0
25/36
5/36
1
5/36
1/36
Y
0
1
X
0
15/22
5/33
1
5/33
1/66
1
3
（
1
）
P
{
?
< p>X?
,0
?
Y
?
4}
，
2
2
X
Y
1
2
0
1/
4< /p>
3
0
0
4
1/16
1/
4
0
1
2
3
1/
4
1/16
0
1/16
1/1 6
（
2
）
P
{< /p>
1
?
X
?
2,3
?< /p>
Y
?
4}
1
3
P
{
?
X
?
,0
?
Y
?
4}
< br>2
2
解：
（
1
）< /p>
?
P
(
X
?
1,
Y
?
2)
?
P
(
X
?
1,
Y
?
3 )
?
P
(
X
?
1,
Y
?
1)
，
?
1/
< p>4
P
{
1
?
X
?
2,3
?
Y
?
4}
（
2
）
?
P
(
X
?
1,
Y
?
< p>3)?
P
(
X
?
1,
Y
?
4)
?
P
(
X
?
2,
Y
?
3)
?
P
(
X
?
2 ,
Y
?
4)
?
5/16
3
．设随机变量
(
,
Y
)
的联合分布律如表：
求：
（
1
）
a
值；
（
2
）
(
X
,
Y
)
的联合分布函数
F
(
x
,
y
)
（
3
）
(
X
,
Y
)
关于
X
，
Y
的边缘分布函数
F
X
(
x
)
和
F
Y
(
y
)
解：
（
1
）
1 /4+1/4+1/6+
a
=1,
a=
1/3
Y
?
1
0
X
1
1/4
1/4
2
1/6
a
?
0
?
1
?
?
4
?
?
5
F
(
x
,
y
)
?
?
（
2
）
?
12
?
1
?
2
?
?
1
?
（
3
）
x<1
或
y<-1
1
?
x
?
2,
< p>?1
?
y
?
0
x
?
2,
?
1
?
y
?
0
1
?
x
?
2
，
y
?
0
x
?
2,
y
?
0< /p>
X
Y
0
1
p
? j
-1
0
1/4
1/4
1/6
1/3
5/12
7/12
p
i?
1/2
1/2
?
0
x
?
1
?
1
?
F
X
(
x
)
?
?
1
?
x
< p>?2
；
?
2
?
?
1
x
?
< p>2
4
．设随机变量
(
X
,
Y
)
的概率密度为
?
0
y
?
?
< p>1
?
5
?
F
Y
(
y
)
?< /p>
?
?
1
?
y
?
0.
?
1
2
?
?
1
y
< p>?0
?
k
(6
?
x
?
y
)
0 ( x , y ) ? 其他 （<
/p> 1 ）常数 k （ 2 ）求 P { X ? 1, Y ? 3} （ 3 ） { X<
/p> ? 1.5}
（ 4 ） { X ? Y ? 4
} (6 ? x ? y ) dydx ? 1 ? k ? ;
，求：
f
?
0
?
；
；
P
；
P
1
k
（
1
）
?
0
?
2
8
1
3
1
3
P
(
X
?
1,
Y
?
3 )
?
?
?
(6
?
x
?
y
)
dydx
?
;
（
2
）
< p>0
2
8
8
2
4
（
3
）
P
X
?
1.5)
?
P
(
X
?
1.5,
2
?
Y
?
4)
?
?
< br>1.5
0
?
4
< br>2
1
27
(6
?
x
?
y
)
dydx
?
;
8
32
（
4
）
P
(
X
?
Y
?
4)
?
?
0
2
?
4<
/p>
?
x
2
1
2
(6
?
x
?
y
)
dydx
?
.
8
3
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
概率论与数理统计练习题
系
专业
班
姓名
学号
第三章
多维
随机变量及其分布（二）
一、选择题：
1
、设随机变量
X
与
Y
独立，
且
X
N
(
?
1
,
?
1
2
),
Y
2
N
(
?
2
,
?
2
)
，则
Z
?
X
?
Y
仍服从正态分
布，且有
[
D
]
（
A
）
Z
(C)
< p>
2
N
(
?
1
?
?
2
,<
/p>
?
1
2
?
?
2
)
(B)
Z
2
N
(
?
1
?
?
2
,
?
1
2
?
?
2
)
(D)
Z
2
N
(
?
1
?
?
2
,
?
1
2
?<
/p>
?
2
)
2
N
(
?
1
?
?
2
,
?
1
2
?<
/p>
?
2
)
Z
2
、若< /p>
(
X
,
Y
)
服从二维均匀分布，则
[
B
]
（
A
）随机变量
（
C
）随机变量
二、填空题：
X
,
Y< /p>
都服从均匀分布
（
B
）随机变量
X
,
Y
不一定服从均匀分布
服从均匀分布
X
,
< p>Y
一定不服从均匀分布
（
D
）随机变量
X
?
< p>Y
1
、设二维随机变量
(
X
,
Y
)
的密度函数为
?
2
xy
?
x
?
,0
?
x
?
1,0
?
y
?
2
，
f
(
x
,
y< /p>
)
?
?
3
?
其他
.
?
0,
则
P
(
X
?
< p>Y?
1)
?
。
1
?
P
(
X
?
Y
?
1
)
?
1
?
?
dx<
/p>
?
0
1
1
?
x
0
1
x
2
x
2
5
x
3
7
(
x
?
)
dy
?
1
?
< p>?
(
?
?
)
dx
?
0
6
3
3
6
8
2
2
、
设随机变量
X
,
Y
同分布，
X
的密度函数为
?
3
2
?
< br>x
,0
?
x
?
2
< p>，
设
A
?
{
X
?
a
}
与
B<
/p>
?
{
Y
?
a
}
f
(
x
)
?
?
8
?
?
0,
其他
相互独立，且
P
(
A
?
B
)
?
3
，则
a
?
4
3
4
。
a
P
(
A
)
?
P
(
X
?
a
)
?
1
?
P
(
X
?
a
)
?
1
?
?
0
3
x
2
a
3
dx
?
1
?< /p>
8
8
P
(
A
?
B
)
?
P< /p>
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
A
< p>)P
(
B
)
?
2
P
(
A
)
?
[< /p>
P
(
A
)]
2
a
3
a
3
2
< br>a
6
3
?
2
(
1
?
)
?
(
1
?
)
?
1
?
?
8
8
64
4
a
b
< p>,
P
{
Y
?
?
k
}
?
2
,
k
?
1,
2,3)
，
X
与
Y
独立，确定
a
< p>，b
的值，求出
(
X
,
Y
)
的联合
k
k
6
a
a
11
a
?
?
?
1
所以
a
?
11
2
3
6
36
b
b
49
b
?
?
?
1
所以
b
?
49
4
9
36
Y
?
3
?
2
?
1
X
1
24/539
54/539
216/539
2
12/539
27/539
108/539
3
8/539
18/539
72/539
三、计算题：
1
< p>．已知
P
{
X
概率分布以及
?
k
}
?
X
?
Y
的概率分布。
解：由归一性
?
P
X
?
k
)
?
a
?
k
由归一性
?
P
(
Y
?
?
k< /p>
)
?
b
?
k
(
X
,
Y
)
的联
合概率分布
由于
< p>
P
(
X
?
Y
?
?
2)
?
24
539
P
(
X
?
Y
?
?< /p>
1)
?
66
6
?<
/p>
539
49